高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系新人教B版必修1
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反思感悟求函数零点的方法 1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解 三次以上的高次方程时,一般需要因式分解. 2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图 像联系起来,图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.
一
二
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知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1.填空:(1)二分法的定义: 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步 逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)“二分法”求函数零点的一般步骤: 已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似 值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤: ①在D内取一个闭区间[a0,b0]⊆D,使f(a0)与f(b0)异号, 即f(a0)·f(b0)<0,零点位于区间[a0,b0]中.
故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}. 答案:(1)C (2)C
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知识点三、三、零点存在的判断方法及分类 1.思考 对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点 吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0一定成立吗? 提示:对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内不一定 有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有 f(a)·f(b)<0,如图(2)所示.
②如果一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为⌀,
那么有
������ ������
< =
0, ������2-4������������
<
0.
一
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三
2.填空
设f(x)=ax2+bx+c(a>0)
Δ=b2-4ac
Δ>0
四
Δ=0
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Δ<0
y=f(x)的图像
f(x)的零点 f(x)=0 的根
一
二
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(3)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结 论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为⌀,结论又如何?
提示:①如果一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 R,那么有
������ > 0,
������ = ������2-4������������ < 0;
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
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课标阐释
思维脉络
1.了解函数零点的 定义,会求简单函数 的零点. 2.掌握判断一元二 次方程根的存在及
个数的方法. 3.了解函数的零点 与方程根的联系,能 利用具体函数的图
像,借助计算器用二 分法求相应方程的
近似解.
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知识点一、函数的零点
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函数法(图像法)解一元二次不等式 例2解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)x2-4x+4>0; (3)-x2+2x-3<0; (4)-3x2+5x-2>0. 分析:根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及 基本方法求解.
A.0 B.1 C.2 D.不确定
(2)判断下列函数的零点个数:
①f(x)=x2-7x+12;
②f(x)=x2-
1 ������
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变式训练 2解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-841≥0.
解:(1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程 2x2+7x+3=0 有两个不等
实根 x1=-3,x2=-12.又二次函数 y=2x2+7x+3 的图像开口向上,所以原
<
1
.
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反思感悟 函数法解一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数 为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程 的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程 有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草 图. (5)写解集.根据函数图像写出不等式的解集.
,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0
的根.
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2.填空 (1)定义: 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做 这个函数的零点. (2)性质: ①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号. ②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值 保持同号.
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解析:(1)∵-1是f(x)= ������������+b的一个零点, ∴b-a=0,即a=b. ∴g(x)=ax2-bx=ax2-ax.∴g(x)的零点为0和1. (2)要使函数有意义,只需x2+x-12≥0. 方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且 与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).
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探究五 规范解答 当堂检测
2>解0的:(1解)∵集Δ为>0,���方��� ������程<2−x122-或3x������-2>=20的. 根是x1=- 12,x2=2,∴不等式2x2-3x(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2, ∴不等式x2-4x+4>0的解集为{x|x≠2}.
1.思考
(1)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的条件是什么?
提示:当Δ≥0,即b2-4ac≥0时,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根.
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个
交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?
提示:交点坐标为
������ - ������ ,0
答案:D
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知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的 联系
1.思考 (1)二次函数没有零点的等价说法是什么? 提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时,函数y=f(x) 没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点. (2)二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点 吗? 提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元 二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是 因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2+2x+2就没 有零点.
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变式训练1求f(x)=x3-4x的零点. 解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0, 解得x1=0,x2=-2,x3=2. 所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.
探究一
(3)原不等式可化为x2-2x+3>0,
由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,
∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2-5x+2<0,
由于 Δ>0,方程 3x2-5x+2=0 的两根为 x1=23,x2=1,
∴不等式-3x2+5x-2>0 的解集为
������
2 3
<
������
一
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2.思考 用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗? 提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值 异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在 它的定义域上的任何一个闭区间[a,b]内,都不满足f(a)·f(b)<0,所以 无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.
3.做一做 若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上, 则下列命题中正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2,16)内无零点 D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点 解析:由题中条件易知函数f(x)的零点必在(0,2)内.故选C. 答案:C
3.2+函数与方程、不等式之间的关系+第1课时课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
高中数学第三章 3.2函数与方程不等式之间的关系学案含解析新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时学习目标1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一函数的零点一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的,即,则称.α是函数f(x)零点的充分必要条件是,是函数图像与x轴的公共点.思考:函数的零点是一个点吗?知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图像ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个不相等的实根x1,x2,且x1<x2有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2没有实数根ax2+bx+c>(a>0)的解集ax2+bx+c<(a>0)的解集课堂探究一、问题探究1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为,不等式f(x)>0的解集为,不等式f(x)<0的解集为.2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.要点归纳(1)函数的零点是一个,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.(2)函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根.(3)不是所有函数都有零点,例如f(x)=1就没有零点.x(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.二、典型例题题型一:求函数的零点的零点是()例1(1)函数y=1+1xA.(-1,0)B.-1C.1D.0(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m= .要点归纳函数零点的两种求法:(1)代数法:.(2)几何法:.(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数的图像的交点得到.变式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.题型二:一元二次不等式的解法例2利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-x-6<0;(2)-x2-2x-3≥0;(3)x2-4x+6≤0.要点归纳解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些?(1)化标准:;(2)判别式:;(3)求实根:;(4)画草图:;(5)写解集:.变式训练:(选自课本习题3—2A)利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.题型三:“三个二次”之间的关系例3若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集.要点归纳“三个二次”之间都有什么关系?变式训练:已知方程ax2+bx2+2=0的两根为-12和2.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2+bx-1>0.核心素养专练1.例3中把{x|-3<x<4}改为{x|x<-3或x>4},其他条件不变,则不等式的解集又如何?2.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,13.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()A.1,2B.-1,-2C.1,12D.-1,-124.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.第2课时学习目标1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,逐步树立数学建模的思想.(数学建模)自主预习知识点一:零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在这个区间上,即存在一点x0∈[a,b],使得,这个x0也就是方程f(x)=0的根.思考:函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a)f(b)<0,对吗?知识点二:二分法1.二分法的定义对于在区间[a,b]上图像且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区,使得所在区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?2.二分法求零点的一般步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0<ε|的一般步骤如下: 第一步检查是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若f(a+b2)=0,取x1= ,计算结束;若f(a+b2)≠0,转到第三步.第三步若f(a)f(a+b2)<0,将a+b2的值赋给,(用a+b2→b表示,下同),回到第一步;若f(a+b2)f(b)<0,将a+b2的值赋给,回到第一步.这些步骤可用如图所示的框图表示.课堂探究一、问题探究1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为.2.如图所示,已知A,B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,作出3种y=f(x)的可能的图像.判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.二、典型例题题型一:函数零点存在定理例1已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值如下:x 3 4 5 6 7 8f(x) 123.5621.45 -7.82-11.5753.76126.69则函数f(x)在区间[3,8]内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点要点归纳在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)<0,能判断出在区间(a,b)内有零点,但不一定只有一个;而f(a)f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点题型二:二分法的概念例2(1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=x2-2x(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0.可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.要点归纳运用二分法求函数的零点应具备的条件:(1)函数图像在零点附近连续不断;(2)在该零点左右的函数值异号.变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是.题型三:用二分法求函数零点例3用二分法求函数f(x)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).要点归纳用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).核心素养专练1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于;若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于.2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.3.求下列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集:(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x2.4.若方程x2-2ax+4=0的两个不相等实数根均大于1,求实数a的取值范围.参考答案第1课时课堂探究(1)B(2)3要点归纳略变式训练:0和-12例2(1)(-2,3)(2)⌀(3)⌀要点归纳略变式训练:(1){x|x>3或x<-1}(2)R(3)R例3{x|-3<x<5}要点归纳略<x<1.变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)12核心素养专练x>5}2.C3.C4.B5.⌀第2课时自主预习课堂探究略二、典型例题例1 C变式训练:B例2(1)C(2)x0∈(0,0.5),f(0.25)变式训练:(1,2)例31.562 5变式训练:1.812 5核心素养专练12.(-∞,-1)∪(1,+∞)3.(1)f(x)≥0的解集是[-3,1]∪[2,+∞);f(x)<0的解集是(1,2).(2)f(x)≥0的解集是[-2,+∞);f(x)<0的解集是(-∞,-2).4.2≤a<52第1课时学习目标1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法.自主预习完成课本第112页“尝试与发现”中的任务,并阅读第112~113页的内容,完成下列问题: 填写下列表格函数y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3函数的图像方程的实数根x1=x2=1不等式的解集y>0的解集y>0的解集y>0的解集y<0的解集课堂探究(一)【问题导入】已知二次函数y=x2-x-6,试问:(1)x为何值时y等于0?(2)画出这个函数的图像,并求图像与x轴交点的坐标.(3)图像与x轴交点的坐标,与方程的解有什么关系?思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:2.函数的零点是“点”吗?3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?(三)【巩固练习,学以致用】例1判断下列函数是否存在零点,若存在,则求出零点.(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=x3-x.跟踪训练1若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值和f(x)其余的零点.例2解下列不等式:(1)-x2+5x-6>0;(2)3x2+5x-2≥0.跟踪训练2解下列不等式:(1)4x 2-4x+1>0;(2)-x 2+6x-10>0.例3 求函数f (x )=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f (x )>0和f (x )≤0的解集.跟踪训练3 求函数f (x )=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f (x )≤0的解集.(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f (x )=2x 2-3x+1的零点是( ) A .-12,-1B .12,1C .12,-1D .-12,12.不等式x 2-4x+3<0的解集为( ) A .(1,3)B .(-∞,1]∪[3,+∞)C .(-3,-1)D .(-∞,-3]∪[-1,+∞)3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为 .课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A 组,选做题B 组. 课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3第2课时学习目标1.理解函数零点存在定理.2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.自主预习1.函数y=f (x )的零点的定义: .2.可以从以下三个方面来理解函数y=f (x )的零点:(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为.(2)函数的零点可以理解为函数的图像与x轴的交点的.(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程的.3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是.4.函数零点存在定理:.5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是,(2)f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间内有零点.课堂探究(一)【问题导入】1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?y=f(x)x∈[a,b]3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.2.二分法(1)定义:(2)用二分法求函数零点的一般步骤(三)【巩固练习,学以致用】例1分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.(1)f(x)=3x-6;(2)f(x)=x2-x-12;(3)f(x)=x2-2x+1;(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.跟踪训练1判断下列函数是否有变号零点:(1)f(x)=x2-5x-14;(2)f(x)=x2+x+1;(3)f(x)=x4-18x2+81.例2求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)跟踪训练2已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点.(精确到0.01)(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)课堂练习1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是()A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]2.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,则方程的根所在区间为()A.(1.5,2)B.(1,1.5)C.(2,3)D.不能确定3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.2f(1.437 f(1.406 25)=-0.05460 5)=0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为.课后巩固阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.参考答案第1课略课堂探究课堂探究答案:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点的概念:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.2.函数的零点是“点”吗?函数的零点不是点,而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.(2)因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.跟踪训练1解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,∴f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.例2解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.方法二 作出函数f (x )=x 2-x-6的图像,如图.因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f (0)=-6<0, 所以函数f (x )的图像与x 轴有两个交点A (-2,0),B (3,0). 故f (x )的零点是x 1=-2,x 2=3. (2)设g (x )=3x 2+5x-2, 令g (x )=0,得3x 2+5x-2=0, 即(x+2)(x -13)=0.从而x=-2或x=13,因此-2和13都是函数g (x )的零点,从而g (x )的图像与x 轴相交于(-2,0)和(13,0),又因为函数的图像是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图像示意图,如图所示.由图可知,不等式的解集为(-∞,-2]∪[13,+∞).跟踪训练2解:(1)∵方程4x 2-4x+1=0有两个相等的实根x 1=x 2=12.作出函数y=4x 2-4x+1的图像如图.由图可得原不等式的解集为(-∞,12)∪(12,+∞). (2)原不等式可化为x 2-6x+10<0,∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x 2-6x+10=0无实根, ∴原不等式的解集为⌀.例3 解:函数零点依次为-12,1,3.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x (-∞,-12) (-12,1) (1,3) (3,+∞)f(x) -+-+由此可以画出函数图像的示意图,如图所示.由图可知f(x)>0的解集为(-12,1)∪(3,+∞);f(x)≤0的解集为(-∞,-12]∪[1,3].跟踪训练3解:函数零点依次为-2,-1,32.函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.x(-∞,-2) (-2,-1) (-1,32)(32,+∞)f(x) -+-+由此可以画出函数图像的示意图如图所示.所以f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,32].(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习1.B2.A3.(-∞,-1)∪(2,3)课后拓展略第2课时自主预习略课堂探究(一)【问题导入】略(二)【理性认识,概括性质】1.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间[a,b]中至少有一个零点,即∃x0∈[a,b],f(x0)=0.思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.答案:不是,如反比例函数y=1x.2.二分法(1)定义:对于在区间[a,b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的一般步骤答案:已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,且f(a)f(b)<0,给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步:计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若f(a+b2)=0,取x1=a+b2,计算结束;若f(a+b2)≠0,转到第三步.第三步:若f(a)f(a+b2)<0,将a+b2的值赋b(用a+b2→b表示,下同),回到第一步;若f(a+b2)f(b)<0,将a+b2的值赋给a,回到第一步.(三)【巩固练习,学以致用】例1解:(1)零点是2,是变号零点.(2)零点是-3和4,都是变号零点.(3)零点是1,是不变号零点.(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.跟踪训练1解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数有变号零点.(2)无零点.函数无变号零点.(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.例2解:∵f(x)=x5-x3-3x2+3=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-3),∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.由于g(1)=1-3=-2<0,g(2)=23-3=5>0,故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下:零点所在区间区间中点中点函数近似值[1,2] 1.5 g(1.5)=0.375>0[1,1.5] 1.25 g(1.25)≈-1.046 9<0 [1.25,1.5] 1.375 g(1.375)≈-0.400 4<0 [1.375,1.5] 1.437 5 g(1.437 5)≈-0.029 5<0 [1.437 5,1.5] 1.468 75 g(1.468 75)≈0.168 4>0[1.4375,1.468 75] 1.453 125 g(1.453 125)≈0.068 4>0[1.437 5,1.453 125] 1.445 3125∵|1.453 125-1.437 5|=0.015 625<2×0.01,∴方程x3=3的根的近似值可取为1.445 312 5.故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.跟踪训练2解:由f(1)=-2<0,f(2)=4>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.零点所在区间区间中点中点的函数值[1,2] x0=1+22=1.5 f(x0)=-0.125<0[1.5,2] x1=1.5+22=1.75 f(x1)≈1.609 4>0[1.5,1.75] x2=1.5+1.752=1.625 f(x2)≈0.666 0>0[1.5,1.625] x3=1.5+1.6252=1.562 5 f(x3)≈0.252 2>0[1.5,1.562 5] x4=1.5+1.562 52=1.53125由表中数据可知,|1.562 5-1.5|=0.062 5<2×0.06, 所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.(四)【课堂小结,总结升华】略课堂练习2.A3.1.437 5。
高一【数学(人教B版)】函数与方程、不等式之间的关系(1)-教学设计
课例编号
学科
数学
年级
10
学期
秋季
课题
3.2函数与方程,不等式之间的关系(第一课时)
教科书
书名：数学必修第一册
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
1.理解函数零点的概念.
2.会求一次函数、二次函数的零点.
3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.
例2.下列说法中,正确的有________⑤_________
①每个函数都有零点;
②函数零点的纵坐标均为0;
③函数f(x)有几个零点,方程f(x)= 0就有几个实根;
④偶函数的零点的个数必为偶数
⑤一个奇函数若有零点,则其零点之和必为0
【学习任务三】
例3,0]上至少有一个零点
(2)求证:f(x) = − 4x2+2在[−1,1]上至少有两个零点
【学习任务四】
例3.判断下列函数的零点个数
(1)若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为.
(2)f(x)=x2−
(3)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()
A．0B．1 C．2D．3
4.初步掌握零点存在定理
课前学习任务
1.复习一元二次不等式的解法
2.复习函数的性质
3.预习课本本节内容
课上学习任务
【学习任务一】例1求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－ －2x＋3；
(2)求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.
(3)求函数 的零点,并作出函数的示意图,写出不等式 和 的解集.
第三章-3.2-函数与方程、不等式之间的关系高中数学必修第一册人教B版
知识点4 二分法
例4-5 (2024·广东省梅州市期中)用二分法研究函数 的零点时，经过第一次计算得, ，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
D
A., B., C., D.,
【解析】因为,，所以 ,故由用二分法求函数零点的步骤，知,第二次应计算的函数值为 .
题型6 不等式恒成立与能成立问题
例20 (2024·陕西省渭南市期中)设函数 .
（1）若对于一切实数,恒成立，求 的取值范围;
【解析】当 时，（此题易忽略对二次项系数的讨论,从而造成漏解）显然， 恒成立;当时，则有 解得 .的取值范围为 .
（2）对于,恒成立，求 的取值范围.
【解析】方法1当时，恒成立，即 恒成立.令, .当时，在 上是增函数, .，解得. .
例15（1） 解关于的不等式： .
【解析】将不等式变形为 .当，（根据与的大小关系分类讨论）即或 时，不等式的解集为或 ；当，即或时,不等式的解集为 ；当，即时，不等式的解集为或 .
（2）解关于的不等式: .
【解析】若，（题干未说明是二次不等式时，切勿忘记对 进行讨论）则原不等式为，故解集为 .若, .①当,即时，方程的两根为 , , 当时，原不等式的解集为 }.②当，即时，原不等式的解集为 .③当，即时，原不等式的解集为 .若， .
考向1 求函数的零点个数
例22 (天津高考题)已知函数函数 ,则函数 的零点个数为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】方法1当时，,所以, ,此时函数的小于零的零点为 ;当时，,, ,函数无零点；当时， , , ,函数大于2的零点为 .综上可得函数 的零点的个数为2.
图3.2-13
区间端点值或区间中点值
3.2函数与方程、不等式之间的关系(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
试求函数f(x) = x 2 − 2x + 2在区间(−2,0)内的近似零点x1 ，使
|x1 − x0 | <
1
.
8
(−) >
(−) <
−2
E
D
−1
取中点
() >
0
参考维修工人的维修
方法来解决这个问题
追问1：如果在区间(−2,0)中任取一个数作为0
{−5, −3, −1,2,4,6}
() > 0的解集为
(−5, −3) ∪ (2,4) ∪ (4,6)
() ≤ 0的解集为
[−6, −5] ∪ [−3,2] ∪ {4,6}
因此，解不等式() > 0,
可以先解对应方程 () = 0 ，
再根据函数性质得到解集.
例2 （课本例5）求函数() = ( + 2)( + 1)( − 1)的零点，并
的近似值，那么误差小于多少? 误差小于2
追问2：如果取区间(−2,0)的中点作为0 的近似
值，那么误差小于多少? 误差小于1
怎样才能不断缩小误差？
误差小于区间长度
通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间
【解析】列表如下：
零点所在区间
(−2,0)
(−2, −1)
3
(−2, − )
2
7
(−2, − )
x1
0
y
y
x2
x
(x1,0),(x2,0)
0
x1
(x1,0)
x
0
没有交点
x
例3 利用函数求下列不等式的解集：
（1） 2 − − 6 < 0;
人教B版高中数学必修第一册第3章3-2第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课件
4．关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数的
条件是( )
A．aΔ>>00，
B．aΔ><00，
C．aΔ<>00，
D．aΔ<<00，
D [由于不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为全体实数，所以与之相
对应的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像恒在 x 轴下方，则有a<0， ] Δ<0.
()
(3)一次不等式的解集不可能为∅，也不可能为 R.
()
(4)对于二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝0 时，此函数有
两个零点，对应的方程有两个相等的实数根．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.函数 y＝1＋1x的零点是( )
A．(－1,0)
B．x＝－1
C．x＝1
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 函数的零点及求法 【例 1】 求函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点．
[解] 令 f(x)＝0，即 x3－7x＋6＝0， ∴(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋ 3)＝0，解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1,2，－3.
f(x)
＋
－＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0 的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0 的解集 为(－2,1)∪(2，＋∞)．
4．解不等式：－x2x＋2＋2xx－＋36＜0. [解] 将原不等式化为xx＋ ＋32xx－ －13＞0， 即(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＞0， 各因式所对应的根分别为－3，－2,1,3，在数轴上标根并画出示 意图，如图所示． 故原不等式的解集为{x|x＜－3 或－2＜x＜1 或 x＞3}．
《函数与方程、不等式之间的关系》第2课时示范课教学设计【高中数学人教B版必修第一册】
第三章函数《3.2函数与方程、不等式之间的关系》教学设计第2课时会用函数的性质判断对应方程是否有实根，理解函数零点存在定理，会利用“二分法”找到实根的近似值.教学重点：函数零点存在定理教学难点：用“二分法”求函数零点的近似值PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本第114~118，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，在本节课的学习过程中回答问题预设的答案：（1）本节将要研究函数的零点存在定理及二分法求方程近似解.（2）起点是函数的零点，函数的零点与对应方程的根之间的关系，以及利用函数的图像求解对应不等式的解集.目标是理解函数零点存在定理，会用函数的性质判断对应方程是否有实根，会利用“二分法”找到实根的近似值等．重点是渗透数形结合的数学思想，二分法，提升学生直观想象、数学抽象、数据分析和逻辑推理等素养.设计意图：通过阅读课本，让学生明晰本节课的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1．复习引入我们知道：一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式.问题1：关于x的一元一次方程k x+b=0（k≠0）的求根公式为________；一元二次方程的求根公式为________.师生活动：学生回答.预设的答案：bxk=-；242b b acxa-±-=（有实根时）问题2：对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式）.那么，什么情况下一个函数一定存在零点呢？设计意图：通过问题引入新课，激发学生的求知欲．知识点1 零点的存在性问题3：如下图所示，已知A，B都是函数y=f（x）图像上的点，而且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种y=f（x）的可能的图像.判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律.师生活动：让学生自己动手画，互相检查(如如下图是函数的图像吗？)，教师与学生一起总结.可以看出，满足要求的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点.零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f （b）<0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y=f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即∃x o∈（a，b），f（x o）=0.强调：一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的.需要注意的是，反比例函数1yx=的图像不是连续不断的.设计意图：培养学生的抽象概括能力.知识点2 零点近似值的求法问题4：例1中的函数在区间（-2，0）中存在零点x o，但是不难看出，求出x o的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1-x0|<18？【尝试与发现】如果在区间（一2，0）中任取一个数作为x o的近似值，那么误差小于多少？如果取区间（一2，0）的中点作为x o的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？师生活动：学生回答.预设的答案：如果在区间（一2，0）中任取一个数作为x o的近似值，误差小于2；如果取区间（一2，0）的中点作为x.的近似值，误差小于1.一般地，求x.的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示.其中第2行的区间是（-2，-1），这是因为f（-2）f（-1）<0，其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值没有计算，是因为不管15 (2,]8x∈--，还是157 [,)84x∈--，我们都可以将158-看成x o的近似值，而且误差小于18.当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值. 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法.教师总结：二分法的求解步骤：在函数零点存在定理的条件满足时（即f （x ）在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，且f （a ）f （b ）<0），给定近似的精度ε，用二分法求零点x o 的近似值x 1，使得|x 1-x o |<ε的一般步骤如下：第一步 检查| b - a |<2ε是否成立，如果成立，取12a bx +=，计算结束；如果不成立，转到第二步.第二步 计算区间(a ，b )的中点2a b +对应的函数值，若()02a b f +=，取12a bx +=，计算结束；若()02a bf +≠，转到第三步. 第三步 若()()02a b f a f +<，将2a b +的值赋给b （用表示2a bb +→，下同），回到第一步；否则必有()()02a b f f b +<，将2a b+的值赋给a ，回到第一步. 这些步骤可用如图所示的框图表示三、初步应用例1 求证：函数f （x ）=x 3-2x +2至少有一个零点. 师生活动：教师与学生一起分析，教师书写规范解答. 预设的答案：证明：因为f （0）=2>0，f （-2）=-8+4+2=-2<0，所以f （-2）f （0）<0，因此∃x o ∈（-2，0），f （x o ）=0，即结论成立.设计意图：巩固函数的零点存在定理.例2 已知函数f （x ）=x 2+ax +1有两个零点，在区间（-1，1）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.师生活动：教师与学生一起分析，教师书写规范解答.预设的答案：解：因为函数f （x ）的图像是开口朝上的抛物线，因此满足条件的函数图像示意图如下图（1）（2）所示.不管哪种情况，都可以归结为f （-1）f （1）<0且||12a-≥，因此 （2-a ）（a +2）<0且|a |≥2，解得a <-2或a >2.设计意图：进一步巩固函数的零点存在定理及二次函数的图像和性质.例3．用二分法求方程的近似解，求得f (x )＝x 3＋2x －9的部分函数值数据如表所示： x 121.51.625 1.75 1.875 1.812 5 f (x )－63 －2.625－1.459－0.141.341 80.579 3A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.9师生活动：学生思考后回答.预设的答案：解：由表格可得，函数f (x )＝x 3＋2x －9的零点在(1.75,1.875)之间， 结合选项可知，方程x 3＋2x －9＝0的近似解可取为1.8，故选C. 设计意图：巩固二分法求函数的零点. 例4已知函数321()13f x x x =-+. (1)证明方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．师生活动：学生思考后回答，教师完善规范解题过程. 预设的答案：解： (1)证明：∵f (0)＝1>0，1(2)3f =-，∴1 (0)(2)03f f=-<，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取1021 2x+==，得1(1)3f=，由此可得1(1)(2)9f f=-，下一个有解区间为(1,2)．再取2123 22x+==，得31()028f=-<，∴31(1)()0224f f=-<，下一个有解区间为3(1,)2.再取3135 (1) 224x=+=，得517()0 4192f=>，∴35()()024f f<，下一个有解区间为53(,)42.故f(x)＝0的实数解x0在区间53 (,)42内．设计意图：巩固零点存在定理及二分法求函数的零点的解题步骤. 练习：教科书P119练习A 4~10四、归纳小结，布置作业1．板书设计：3.2函数与方程、不等式之间的关系1．函数的零点存在定理2．二分法及其求零点近似解例1 例2 例3 例42．总结概括：回顾本节课，你有什么收获？（1）函数的零点存在定理的内容是什么？有哪些注意点？（2）什么叫二分法？（3）二分法求函数零点近似解的求解步骤？师生活动：学生总结，老师适当补充.作业：教科书P120练习B 4~9，练习C1、3、4、5 【课外拓展】信息技术求函数零点。
2020版新教材3.2.1函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课件新人教B版必修1
【类题·通】 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零. (2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明 方程没有实根. (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【习练·破】 已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则 M∩N为 ( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3}
函数y= f(x)的图像
f(x)>0的解集
{x|x<x1 或x>x2}
b
{x|x≠- 2a }
R
f(x)<0的解集
{x|x1< x<x2}
⌀
⌀
【思考】 二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数a<0时，怎样 求不等式f(x)>0或f(x)<0的解集？ 提示：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可 以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二 次项系数为负数时的函数图像，再求解.
当x∈________________________时，f(x)=0； 当x∈________________________时，f(x)>0； 当x∈________________________时，f(x)<0.
【解析】根据图像知f(x)=0的解集是{-5，-4，2}. f(x)>0的解集是(-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞)， f(x)<0的解集是(-4，2). 答案：{-5，-4，2} (-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞) (-4，2)
人教B版高中数学必修一课件 第3章 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系
解:(方法一)设方程x2+x+a=0的两个根分别为x1,x2,则由题意可知
= 1-4 > 0,
1 2 = < 0,
解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
(方法二)令f(x)=x2+x+a,依题意知,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于0,
一个零点小于0,
= 1-4 > 0,
所以函数f(x)的大致图象如图所示:
> 0,
(0) = -1 > 0,
则实数 a 应满足 = 4( + 1)2 -4(-1) > 0,
+1
> 0,
解得a>1,所以当a>0时,例3中的方程有两个大于零的不等实数根,此时a的
取值范围为a>1.
解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区
下面对a进行分类讨论:
当a<0时,原方程无实数解;
当a=1时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a=0时,原方程实数解的个数为2.
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)利用函数的图象.画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断
.
4.若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点
是
.
解析:∵3是f(x)=ax-b的零点,
∴3a-b=0,即b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=3ax(x+1),
3.2函数与方程不等式之间的关系(第2课时)(教学课件)高一数学(人教B版2019)【04】
课堂总结 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区 间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 称为二分法.
课堂总结 二分法求函数近似零点的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上 的图像是连续不断的，且 f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε， 用二分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤 如下：
是否存在以及求零点, 都不是容易的事 (事实上, 数学家们已经证明:
次数大于 4 的多项式方程,不存在通用的求根公式). 因此, 我们有必要探
讨什么情况下一个函数一定存在零点.
新知探索 知识点一：零点存在定理
尝试与发现
如图所示, 已知
都是函数
图像上的点,
而且函数图像是连接
两点的连续不断的线, 作出 3
课堂练习
【训练 3】(多选)在用二分法求函数 f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，
4]，则第三次所取的区间可能是( )
A.
－2，－1 2
B.[－2，1]
C.
5，4 2
D.
－1，1 2
【 解 析 】 ∵第一次所取的区间是[－2，4]，
∴第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，
∴第三次所的区间可能为
新知探索 知识点一：零点存在定理 一次函数、二次函数的零点是否存在, 并不难判别, 这是因为一元一次方 程、一元二次方程实数解的情况, 都可以根据它们的系数判别出来, 而且 有实数根的时候, 都能够写出求根公式.
但是, 对于次数大于或等于 3 的多项式函数 (例如