八年级数学相似多边形的性质
相似多边形的性质的应用
相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（）A．12 B．18 C．24 D．30思路与技巧由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.∴，∴2x=36,x=18.答案 B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的长．思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴（相似多边形对应边成比例），又∵AB=6，∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG，∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又A B=6 ∴AF=4 ∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，∴.点评本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似例4 已知：如图所示，△ABC中，DE//FG//BC．（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．思路与技巧注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积．解（1）令，则，（2）∴可设，则∴AD:AF:AB=1:3:6AD:DF:FB=1:2:3.点评根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．例5 如图所示，△ABC的面积为16，，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC，分别交AC于E、G，设AD=x．（1）把△ADE的面积S1，用含x的代数式表示；（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．思路与技巧转化为相似三角形，利用其性质解决．解（1），即（2）∵F为BD的中点，.例6 如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH//AD，HG//DC，GF//BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．思路与技巧证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等．解四边形四边形．理由：因为，所以，所以，所以又因为，所以，所以，所以．而，所以．因为，所以，所以．而，所以．设，所以，所以，所以因此，所以四边形四边形．点评通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究．例7 已知：ABCD是梯形，AB//DC，对角线AC，BD交于E，ΔDCE的面积与ΔCEB的面积比为1∶3．求：ΔDCE的面积与ΔABD的面积比．分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的．ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而ΔDCE与ΔABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ΔADE与ΔBCE的面积相等，这样ΔDCE与ΔABD的面积比就可求了．解∵SΔ DCE∶SΔCEB=1∶3,而ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，∴DE∶EB=1∶3，∵DC//AB，∴ΔDCE∽ΔBAE，∴SΔDCE∶SΔBAE=(DE∶EB)2=1∶9，∵ΔADC与ΔBDC为等底、等高三角形，∴SΔADC=SΔBDC，∴SΔADC-SΔDCE=SΔBDC-SΔDCE，∴SΔAED=SΔBEC设SΔDCE=k, 则SΔAED=SΔBEC=3k, SΔBAE=9k,∴SΔABD=SΔABE+SΔADE=12k,∴SΔDCE∶SΔABD=1∶12.点评相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方．例8 如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；思路与技巧本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形．第一问，思路，作PEQR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积．第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置．解（1）：作PE⊥QR，E为垂足∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4.∴PE==3.当t=3时，QC=3．设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP，∴=()2.∵S△QEP=×4×3=6，∴S=()2×6=(cm2).（2）当t=5时，QC＝5，B、C两点重合，CR=3，设PR与DC交于G. 由△RCG∽△REP，可求出S△RCG=.S=12-=(cm2).点评本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑．每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想．。
八年级数学下册 相似多边形的性质(2)导学案 北师大版
相似多边形的性质（2）八年级数学导学案相似多边形的性质（2）当堂检测题（10分钟）姓名：得分：1、判断正误：（1分×4=4分）1）相似三角形周长的比等于对应中线的比，面积比等于对应中线的比的平方。
（）2）比例尺可以看作相似图形的相似比。
（）3）如果把一个三角形的三边同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。
（）4）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍。
（）2、如果两三角形对应角平分线的比为9：16，则它们的面积比为（2分）3、如果两三角形对应边的比为2：7，周长的和为180cm，则它们的周长分别为、。
（2分）4、在一张1：100的地图上，1cm2的面积表示的实际面积为 m2.（2分）5、在相似多边形的面积比为5，周长之比为m，则5÷m= （2分）6、在⊿ABC中，DE∥BC，且AD：DB=1：2，则S⊿ADE: S四边形DBCE= （2分）相似多边形的性质（2）当堂检测题（10分钟）姓名：得分：1、判断正误：（1分×4=4分）1）相似三角形周长的比等于对应中线的比，面积比等于对应中线的比的平方。
（）2）比例尺可以看作相似图形的相似比。
（）3）如果把一个三角形的三边同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。
（）4）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍。
（）2、如果两三角形对应角平分线的比为9：16，则它们的面积比为（2分）3、如果两三角形对应边的比为2：7，周长的和为180cm，则它们的周长分别为、。
（2分）4、在一张1：100的地图上，1cm2的面积表示的实际面积为 m2.（2分）5、在相似多边形的面积比为5，周长之比为m，则5÷m= （2分）6、在⊿ABC中，DE∥BC，且AD：DB=1：2，则S⊿ADE: S四边形DBCE= （2分）AB CD EAB CD E。
多边形的相似性质
多边形的相似性质在几何学中，多边形是由连续的直线段组成的封闭图形，它是我们研究的重要对象之一。
在多边形的研究中，相似性质是一个关键概念，它描述了在一些特定条件下，两个多边形之间的形状和大小的关系。
本文将介绍多边形相似性质的定义、判定方法以及相关的应用。
一、多边形的相似性质定义在几何学中，两个多边形被认为是相似的，当且仅当它们每两个对应边的长度之比相等，并且对应的角度也相等。
简而言之，两个多边形相似意味着它们具有相似的形状，只是尺寸不同。
例如，在图形学中，我们常常遇到的问题是，如何判断两个多边形是否相似，并且根据相似性质进行进一步的推导和计算。
二、多边形的相似性质判定判断两个多边形是否相似的一种常用方法是通过比较它们的对应边的长度之比，并且对应的角度是否相等。
如果两个多边形的边长比和角度比都相等，那么它们就是相似的。
具体来说，可以通过以下步骤进行判定：1. 确定两个多边形的对应边；2. 计算对应边的长度之比；3. 计算对应角度之间的差值；4. 比较长度之比和角度差值是否满足相似性质。
三、多边形的相似性质应用多边形的相似性质在现实生活和各个学科中有广泛应用。
以下是一些具体的例子：1.建筑设计：在建筑设计中，多边形的相似性质可以应用于模型放大缩小、结构设计等方面，从而实现建筑设计的灵活性和优化效果；2.地图制作：在地图制作中，多边形的相似性质可以用于测量和推算地理距离、比例尺等，从而准确地绘制地理形状和位置；3.工程测量：在工程测量中，多边形的相似性质可以应用于实际测量，通过已知的尺寸计算未知的尺寸；4.数学推导：在数学推导中，多边形的相似性质可以用于证明几何定理和解决几何问题。
总结：多边形的相似性质是几何学中重要的概念，它描述了两个多边形之间的形状和大小的关系。
判断多边形的相似性质可以通过比较对应边的长度之比和对应角度之间的差值。
多边形的相似性质在实际应用中具有广泛的应用，涉及建筑设计、地图制作、工程测量等多个领域。
第27章第66课时相似多边形含三角形的性质
B．乙与丙 D．甲、乙、丙都相似
四基训练
7．两个相似多边形的一组对应边分别为 3 cm 和 4 cm，那么这两个多边形的相似
比为( C )
2
2
A.3
B.3
3
9
C.4
D.4
8．下列所给的条件中，能确定相似的有( C )
(1)两个半径不相等的圆；
(2)所有的正方形；
(3)所有的等腰三角形；
(4)所有的等边三角形；
10．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝6 cm，∠BAC＝∠ C＝40°.
(1)求∠AED 和∠ADE 的大小； (2)求 DE 的长．
解：(1)由△ABC∽△ADE 可知：∠AED＝∠C， ∵∠BAC＝∠C， ∴∠AED＝∠BAC＝40°. ∴∠ADE＝180°－∠BAC－∠AED＝100°； (2)由△ABC∽△ADE 可知：AAEC＝DBCE， ∴58＝D6E，∴DE＝145.
变式训练
4. 如图，四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，求边 x、y 的长度和角 α 的大小．
解：x＝12，y＝323，α＝83°
5．如图，△ADE∽△ACB，则CE＝AADB
6.如图，下面的三个矩形中，是相似的是( B )
A．甲与乙 C．甲与丙
11．(2016 春·淄博期末)下列说法中： ①所有的等腰三角形都相似； ②所有的正三角形都相似； ③所有的正方形都相似； ④所有的矩形都相似． 其中说法正确的序号是 ②③ .
12．一个矩形 ABCD 的较短边长为 2.如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩 形相似，求它的另一边长．
解：由已知得 MN＝AB＝2，MD＝12AD＝12BC， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，
4.8 相似多边形的性质 课件5(北师大版八年级下)
5. 已知△ABC∽△A′B′C′，如果AD和 A′D′分别是它们的对应角平分线， AD＝ 8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′ 对应高的比 8：3
6．如图△ABC∽△A′B′C′，对应中线AD＝ 6cm，A′D′＝10cm，若BC＝12cm，则B′C′ ＝20cm ______ 。
注意： 1、要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 2、反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点. 3、 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是 正确解答的前提和关键.
1． △ABC∽△A ′ B ′ C ′ 相似比为3:4，若BC边上的高 AD＝12cm，则B ′C ′边上的高 A ′D ′＝ 16cm。 2．如果两个相似三角形的对应高 的比为2:3，那么对应角平分线的比 是 2:3 ，对应边上的中线的比 是 2:3 。
(相似三角形对应边成比例). E 即,相似三角形对应高的比等于相似比.
N
F
☞
你知道相似三角形对应角平分线的比与相似比的 关系及其理由吗? A 相似三角形对应角平分线的比等于相似比.理由是: 如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC B C M D 和∠EDF的角平分线. ∴∠ BAM=1/2 ∠BAC， ∠EDN=1/2 ∠EDF， ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
3．已知△ABC∽ △DEF ，相似比为1:5， 如果EF边上的角平分线DN ＝20cm，则 BC 边上的角平分线 AM ＝ ____ 。 4cm
4．如图△ABC∽△A ′ B′C′，对应中线 AD＝6cm，A ′ D ′ ＝10cm，若BC＝ 4.2cm，则B ′ C′＝______ 。 7cm
点拨初中数学教案
点拨初中数学教案课时：1课时年级：八年级教材版本：人教版教学目标：1. 让学生理解相似多边形的概念，掌握相似多边形的性质。
2. 培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
教学内容：1. 相似多边形的定义2. 相似多边形的性质3. 相似多边形的判定教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的知识，如平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。
2. 提问：这些图形之间有什么联系和区别？二、新课讲解（15分钟）1. 引入相似多边形的概念：在平面内，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
2. 讲解相似多边形的性质：a. 相似多边形的对应角相等。
b. 相似多边形的对应边的比相等。
c. 相似多边形的对应边平行。
3. 通过例题讲解相似多边形的判定方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、拓展延伸（10分钟）1. 引导学生思考：相似多边形在实际生活中有哪些应用？2. 让学生举例说明，如地图、设计图案等。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生复述相似多边形的定义和性质。
2. 强调相似多边形在实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过讲解相似多边形的定义、性质和判定方法，使学生掌握了相似多边形的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对相似多边形的性质有了更深入的理解。
在拓展延伸环节，学生能够联系生活实际，认识到相似多边形在生活中的应用。
然而，本节课也存在不足之处。
由于时间有限，未能对所有学生的作业进行点评，可能导致部分学生对相似多边形的理解不够深入。
在今后的教学中，应适当增加课堂互动环节，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与度。
同时，注重练习题的设置，提高学生的实践能力。
总之，本节课的教学效果较好，学生对相似多边形有了初步的认识。
在今后的教学中，将继续深入讲解相似多边形的性质和应用，提高学生的数学素养。
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
相似多边形的性质课件
三边对应成比例判定定理
总结词
通过两个多边形的三边对应成比例，可以判定两个多 边形相似。
详细描述
三边对应成比例判定定理是相似多边形判定定理的一 种，它基于两个多边形的三边对应成比例，从而判定 两个多边形相似。这个定理在实际应用中非常有用， 因为它只需要比较三个边的长度就可以判断两个多边 形是否相似，相对于其他判定定理更为简便。然而， 需要注意的是，这个定理只适用于三边对应成比例的 情况，对于更多边的多边形，需要使用其他判定定理 进行判断。
总结词
通过比较相似多边形的面积和相似比， 证明面积比等于相似比的平方。
详细描述
首先，计算两个相似多边形的面积。 然后，计算它们的相似比。最后，比 较面积和相似比的关系，如果面积比 等于相似比的平方，则证明了面积比 等于相似比的平方。
THANKS
感谢观看
多边形相似。
02
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等
总结词
相似多边形的对应角是相等的，这是相似多边形的基本性质之一。
详细描述
根据相似多边形的定义，如果两个多边形相似，则它们的对应角必定相等。这 意味着无论多边形的大小如何变化，只要它们是相似的，它们的对应角就会保 持不变。
相似多边形的对应边成比例
角-角-边判定定理
总结词
通过两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，可以判定两个多边形相似。
详细描述
角-角-边且对应边成比例，从而判定 两个多边形相似。在几何学中，这个定理是非常重要的，因为它提供了一种简单而有效的方法来判断两个多边形 是否相似。
相似多边形的性质
相似多边形的面积之 比等于对应边长的平 方之比。
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，小明自制了一个小孔成像装置，其中纸OD的 长度为15cm.他准备了一枝长为20cm的蜡烛想要得 到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地 方A
C
O D
B
畅谈收获和问题
1. 知识方面 2. 方法方面 3. 数学思想方面
4. 自己的困惑
了解中考
1.（08年河南中考第15题）
八年级数学相似多边形的性质
学习目标：
1.理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比 都等于相似比； 2.继续学习规范书写解题过程。
学习重点：
利用相似三角形的判定和性质探索出相似多边形的性质：相似三角形 对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
学习难点：
体验解决问题策略的多样性。
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比
都等于相似比
A
如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，
SE R
点R在AC边上，点S在AB边上，BC=6cm,
AD=40cm,四边形PQRS是正方形。
(1) △ASR与△ABC相似吗？为什么？
B PD Q
C
(2) 求正方形PQRS的边长.
解：（1） △ASR∽△ABC ∵ PQRS是正方形 ∴ SR∥BC ∴ ∠ASR= ∠B ∠ARS= ∠C ∴ △ASR∽△ABC
C C′
A
D
B
A′
B′
D′
∵ △ABC∽△ A′B′C′ ∴ ∠A= ∠ A′
∠ACB= ∠ A′C′B′ ∵ CD是∠ACB的平分线， C′ D′是∠
A′C′B′ 的平分线
∴ ∠ACD= ∠ A′C′D′ ∴ △ ACD ∽ △ A′C′D′
∴
AC CD AC CD
谢谢大家！
通过上面的交流，你发现相似 三角形对应高的比与相似比之 间的关系了吗？
请说明理由，并指出们它的相似比. (3)请你在图中再找出一相对似三角形.
现在把高CD改为角平分线，会 有什么结论，你能说明理由吗？
（4）CD CD
等于多少？你是怎么的做？与同伴交流 .
你还能把高改为什么线？改后 结论是否成立？
结论：
(2) 设正方形PQRS的边长为xcm,则AE＝（40－x）cm
∵ △ASR∽△ABC
∴ AE SR AD BC
∴ 40 x x 40 60
解得x24
所以，正方形PQRS的边长为24cm.
学会运用
1.ABC∽ABC，BD和BD是它们的对.已 应知 中 AC线 3 AC 2
BD4cm，求 BD的长 . 2.ABC∽ABC，AD和AD是它们的对应， 角已 平A知 分 D线 8cm，AD＝3cm，求 AB和 CABC对应高.的比
2. （06年河南中考第22题）
3. （05年河南中考第21题）
C
DAE来自B图８4. （04年河南中考第19题）
19．如图，在ΔABC中，AD、CE是两条高，连结DE.如果BE=2，EA=3，
CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论（要求： 分别为边的关系、角的关系、三角形相似等），并对其中一个结论给予证 明.
学习热身：
1.通过前面知识的学习，现在你有几种判定三角形相似的方法？说说看。
2.当告诉两三角形相似时，你首先会想到什么？
3.如图，AD是△ABC的高，点P，Q在 BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上， 四边形PQRS是正方形。你能找到相似 三角形吗？如果能，请简单说明理由。
A
SE R
B PD Q
C
主动探索
钳工小王准备按照比例尺为3：4的图纸制作三角形零件.如下图，图纸上
的△ABC表示该零件的横断面 ABC , CD 和CD 分别是它的高.
B
D
A
B′
D′
A′
C
通过上述的条件,你能否提出一个问题?试一试.
C′
（1）AB , BC , AC 各等于多少？ AB BC AC
（2）ABC与ABC相似吗？如果相似，
与同学们共勉
爱因斯坦讲,提出一个问题比回答一个问题更重要. 回答一个问题有可能是大脑中已有的知识，可以不假 思索，而提出问题，则需要你对知识进行加工，是思 考的过程，是创新的过程，思考即成长，交流即学 习，希望我们都能在数学的王国里成长为一个数学的 思考者，善于提出问题的探索者.
拓展练习
如图4-43，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高． (1)图中有几对相似三角形． (2)若AD＝9 cm，CD＝6 cm，求BD． (3)若AB＝25 cm，BC＝15 cm，求BD．