固体物理第六章总结
清华大学固体物理：第六章 晶格动力学
清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
固体物理第六章晶体X射线衍射
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Vectors in the direct lattice have the dimensions of [length]; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of [1/length]. • The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.
n=3, =67.52o no reflection for n4
Combining Bragg and d-spacing equation
X-rays with wavelength 1.54 Å are “reflected” from the (1 1 0) planes of a cubic crystal with unit cell a = 6 Å. Calculate the Bragg angle, , for all orders of reflection, n.
• a1,a2,a3又称为正点阵
a3 b3
a2 b2 a1
b1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 此时， b1,b2,b3为不共面的基矢，称为倒易点阵 （reciprocal lattice） • If a1,a2,a3 are primitive vectors of the crystal lattice, then b1,b2,b3 are primitive vectors of the reciprocal lattice.
2d sin = n
固体物理总结
4.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以
为单位。
晶体热容
1.固体比热的实验规律 (1)在高温时，晶体的比热为3NkB； (2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。
2.模式密度
定义：
D(
)
lim
0
n
m D()d3N 0
计算：D3 n12 V π c3
ds
s qq
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
2.线缺陷
当晶格周期性的破坏是发生在晶体内部一条线的周围近邻，
这种缺陷称为线缺陷。位错就是线缺陷。
位错
刃型位错：刃型位错的位错线与滑移方向垂直。 螺旋位错：螺旋位错的位错线与滑移方向平行。
位错缺陷的滑移
刃位错：刃位错的滑移方向与晶体受力方向平行。
螺位错：螺位错的滑移方向与晶体受力方向垂直。
第 五 章 能带理论 总结
Kn
(k
Kn 2
)
0
紧束缚近似
1.模型
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V(rR n)
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。
2.势场
1.晶体的结合能 晶体的结合能就是自由的粒子结合成晶体时所释放的能量， 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量。
EbU(r0)U(r0)
2.原子间相互作用势能
u(r)rAm rBn A、B、m、n>0
其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。
3.原子晶体、金属晶体和氢键晶体
(1)原子晶体
结构：第Ⅳ族、第Ⅴ族、第Ⅵ族、第Ⅶ族元素都可以形成
k
r
e ik r
uk
r
固体物理学---第六章
第六章 半导体ξ6.1 半导体的能带结构一、本征半导体导带（空带）价带（满带）在能带底有：*==xx C m k h E E 2(22*+yy m k 22)22*+zzm k实际上，等能面一般为椭球面，如图所示：二、杂质半导体如图所示：多出一个正电中心和一个电子，这个电子受到正电中心的某种束缚，它的能量在禁带里，不完全自由，形如：若参杂B 族元素，相当于：参杂后在禁带中产生一些附加的能级：自由时ψψπE mh =∇-*222)2/(非自由时 ψψεπE remh =-∇-*]2)2/([222ψψπεE rem h ee =-∇-=**]2)2/([,222则：令222)2/(24∇-=⇒**nh em E πm mn h em 222)2/(24επ**-= 2εm m E H*=224)2(2n h me E Hπ=此类型叫类氢模型。
加A 类型的杂质叫施主，对应的能级叫施主能级；加B 类型的杂质叫受主，对应的能级叫受主能级; 三、缺陷引起的附加能级 如图所示：当纳过量，则晶体中形成正电中心-----将出现施主能级；当氯过量，则晶体形成负电中心，将出现受主能级。
6.2 半导体的光吸收一、本征吸收当g E h≥ωπ2 时发生吸收，谱线为连续谱，但有一个吸收下限值由准动量守恒：='k h π2+k h π202k h π可见光的 cm k /10240⨯≈ ；电子的为k k cm k ≅'⇒⨯≈ ,/1018；称此种跃迁叫竖直跃迁。
如图所示：这就是光敏电阻，光电二极的原理，非常普遍用于信号传递、隔离及照明。
还有如下的情形：如果仅考虑电子的动量和光子的动量，则不满足动量守恒，为此可考虑在此过程中电子吸收或房产一个声子：q k q k k k +≈++='0由能量守恒：+ωπ2h E E E hk k q ∆=-='ωπ2 而D B q k hΘ∝ωπ2 只有百分之几电子伏特， E h ∆≅⇒ωπ2二、 激子吸收实验上发现在禁带有吸收峰，但此处无光电流。
固体物理各章节重点总结
固体物理各章节重点总结第一章1、晶体的共性：长程有序、自限性、各向异性2、长程有序：晶体中的原子都是按照一定规则排列的，这种至少在微米数量级范围内的有序排列，称为长程有序。
3、自限性：晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性。
4、原子之间的结合遵从能量最小原理5、一个原子周围最近邻的原子数，称为该晶体的配位数，用来表征原子排列的紧密程度，最紧密的堆积称密堆积6、布喇菲提出了空间点阵学说：晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间做规则的周期性的无线分布。
这一学说是对实际晶体结构的一个数学抽象，它只反映出晶体结构的周期性。
人们把这些点子的总体称为布喇菲点阵7、沿三个不同方向通过点阵中的结点作平行的直线，把结点包括无遗，点阵便构成一个三维网格。
这种三维格子称为晶格，又称为布喇菲格子，结点又称点阵。
8、某一方向上两相邻结点的距离为该方向上的周期，以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元，体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞，它能反映晶格的周期性。
9、为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心。
这种重复单元称作晶胞，惯用晶胞或布喇菲原胞10、简立方：a1=a，a2=b,a3=c11、体心立方：a1=0.5(-a+b+c)|a2=0.5(a-b+c)|a3=0.5(a+b-c)12、面心里放：a1=0.5(b+c)|a2=0.5(a+c)|a3=0.5(a+b)|13、氯化铯结构为简立方结构14、氯化钠结构为面心立方结构15、金刚石结构为面心立方结构16、所欲格点都分布在相互平行的一平面族上，每一平面都有格点分布，称这样的平面为晶面17、若ij=1,2…则可用正格基失来构造倒格基失18、将正格基失在空间平移可构成正格子，相应地我们把倒格基失平移形成的格子叫做倒格子19、正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2π)3；正格子与倒格子互为多方的倒格子；倒格失K h=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族正交；倒格失的模K h与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比20、晶体有230种对称类型，称其为空间群；若不包括平移，有32种宏观对称类型，称其为点群21、晶体的宏观对称操作一共有八种基本对称操作P1922、计算题P25P34第二章1、五种基本结合类型：共价结合、离子结合、金属结合、分子结合、氢键结合2、体积弹性模量3、计算题P53P63第三章1、玻恩和卡门提出了一个遐想的边界条件，即所谓的周期性边界条件。
固体物理学：第六章 第三节 半导体载流子的浓度
因此本征激发下，载流子浓度只依赖于能隙宽度和温 度。能隙越窄、温度越高，则载流子浓度越大。
2. 杂质激发
首先考虑N型半导体，施主浓度为ND，施主能级为ED， 受主浓度为NA=0，温度足够低忽略本征激发。 这样导带中的电子就是已经电离的施主杂质态上的电 子，电中性条件为：
即两种载流子浓度的乘积只依赖于温度，而与费米能 无关。它是质量作用定律的一种表述。这里假定费米 能与两个带边的距离足够大，不管是本征还是掺杂的 半导体，这个结论都成立。
三、费米能的确定
1.本征激发： 在本征半导体本征激发下，电中性条件为n=p 所以 两边取有效质量相等时，费 米面正好在禁带中央。
其中nD为施主能级上的电子浓度。
不考虑杂质局域能级上电子的库伦相互作用： 由此得到 由于
由此得到 其中
为施主电离能。
由此得到导带中电子浓度为
当温度足够高，满足 有 它表示施主全部电离，导带中的电子浓度等于施主浓 度，称为施主激发已经饱和。此时费米能非常接近于 导带底：
当温度足够低，有 所以
当T->0K时， 即费米能处于导带底和施主能级的中间。
即当某种载流子由高于反型密度变为低于反型密度时， 电导类型就反转。
密度大于反型密度的载流子称为多数载流子，少之的 称为少数载流子。
四、半导体载流子的简并
在前面讨论中，我们假设了
由此得到 其中
因此载流子浓度远小于临界电子浓度：
临
因此载流子是非简并的。这样采用经典的波尔兹曼统 计是合理的。
对于重掺杂的半导体，在足够高的温度下，载流子浓 度超过了有效能态密度，此时载流子称为简并的。此 时必须采用费米分布函数计算。
第六章 半导体电子论
黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化[解答]费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从和式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n :()3/22232πn m E F =,()3/2220310353πn m E E F ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从式x k S x x E S v e j F ετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ∇=⎰d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差 为什么[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成 F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因[解答]按照德拜模型, 由式可知, 在甚低温下, 固体的比热 34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=m B m B T k p T k ce v e D V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1 ,作变量变换 T k x B ω =,得到甚低温下 333232T v Ak n p Bπ=, 其中 ⎰∞-=021d x e x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比.按照§纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由式得到证明. 由可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x x e x x e x x B 。
黄昆 固体物理 讲义 第六章
在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =
固体物理 第六章 固体的介电性质
则电位移 质中单位体积的电矩,
可以表示为
D=e0E + p
由6.1.1.1和6.1.1.2可得,
6.1.1.2
p= e0(er-1)E=e0cE
c=(er-1)是介质的极 化率。
6.1. 介质极化现象与机理
注意：对于各向同性电介质，介电常数和极化率都
是标量且 E、D、p三者的方向相同 .对于各向异性 介电晶体,上面的关系式仍然成立,但E, D , p三者的
第六章 固体的介电性质
6.1. 介质极化现象与机理
6.2.电介质的有效场理论 6.3.交变电场中的介质极化 6.4.电介质的损耗 6.5.铁电体 6.6.压电体
6.1. 介质极化现象与机理
固体电介质 : 以感应方式传递电的作用和影响的 固体.
极化:介质在外电场作用下,由原来的内部电荷平衡 分布转变为在两不同的表面集中异号电荷从而使 介质产生极性的现象.
ca= a3/(n-1)
6.1.3.4
如果把异性离子间距看作离子半径R之和,用它代表
正负离子半径,则上式可写为,
ca=(R++R-)3/(n-1)
6.1.3.5
由此可见，极性分子的离子位移极化率与离子半径的立方具有相同数量级,即接近离子的电子位移极化率ce. 非极性分子的离子位移极化率很小,因而电子位移极化率ce是主要的.
6.1. 介质极化现象与机理
6.1.4.取向极化
1.什么是取向极化
在外电场作用下，由极性分子组成的物质, 除了上面两种极化，其固有偶极矩还会由无序状态变为沿外电场的方向的择优排列.
E=0
E ≠0
2. 偶极矩和极化率的理论计算
极性分子之间存在长程相互作用,对于固体(例如, 冰)这种作用是不能忽略的。但是为了能够粗略估计取向极化率的大小，我们假设分子间的相互作用可以忽略不计.这实际上只适用于稀薄气体的情况。
《固体物理》第六章 自由电子气
如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向尔兹曼方程的微分积分方程
I2(kBT)2０ (ee1)22d
计
算I２得 π62(kBT)2， 因
此 将g(E)2CE32代入
3
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得：
.
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得:
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
.
驻波边界条件 常用边界条件
周期性边界条件
x, y,zxL, y,z
x, y,zx, yL,z
x, y,zx, y,zL
k
(r
)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
E
0 F
由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均
能量，这与经典的结果是截然不同的。
.
(2) 当T 0K时 ，
N CE1 2 f (E )dE ０
2 Cf ( E )E 3 2 2 C E 3 2 f dE (分步积分得来)
3
03 0
E
2 C E 3 2 f dE
,kz
2πnz L
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
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在垂直磁场的x-y平面上，电子的运动是量子化的，从准连
2 2 2 续的能量 ( kx k y ) 变成(n+1/2)c。 2m
在与磁场垂直的kz＝常数的平面内，轨道是量子化的。这 些量子化的能级称为朗道能级。
m c eB 朗道能级简并度： 2 D Lx Ly Lx Ly π π
思考题
1. 能带顶和带底的电子有效质量有什么特点？它 和电子与晶格的相互作用有什么关系?
2. 电子的有效质量变为的物理意义是什么?
3. 绝缘体为什么不导电？而导体导电？ 4. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同? 5. 对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系? 6. 如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子 的分布函数如何变化?
玻尔兹曼方程为：
f f0 1 f e ( k E T ) ( v B ) k f T (k )
驰豫时间的统计理论
如果在上式中忽略掉(1-cos)因子，积分将表示在 k 状态
的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的
有效质量m*是固体物理学中的一个重要的概念。
（1）m*不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外
力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性
质量； （2）m*不是一个常数，而是
k 的函数。一般情况下，它是
一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；
（3）m*可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在 能带底附近，m*总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电 子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子 从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。
为德哈斯-范阿尔芬效应。它是研究金属) B SF
SF是垂直磁场方向的费米面的极值面积。
2.朗道能级
在某一方向如z方向加上磁场后，电子能量变为：
2 k z2 1 E ( n ) c 2 2m
2 kz2 沿磁场B方向，电子保持自由运动，相应的动能为 , 2m
消，从而不产生电流。
导带导电： 对于导体，其导带未填满电子，在外场作用下，电子在波 矢空间的分布将向一方移动，破坏了原来的对称分布，而
有一个小的偏移,这时不同波矢的电子电流将只是部分抵消，
而产生一定的电流。 2.空穴 满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变
成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。
此简并度与磁感应强度B成正比，与能量无关，即无论能
量为何值，简并度不变。
ky
k
x
无外磁场
有外磁场
波矢空间状态代表点
玻尔兹曼方程
1.玻尔兹曼方程 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数
f 的方程。 f t t f ＋ t 碰 0
漂
f t
漂
f f k r r k
导体、半导体和绝缘体
1. 导体、半导体和绝缘体的能带
空带 导带 禁带 空带 禁带
导体
绝缘体
半导体
有导带 满带不导电：
绝缘体禁带宽
半导体禁带窄
对于绝缘体，价带已填满电子，而导带中未填电子，且带隙很
大，在外场作用下，价带的电子只能填在价带中，电子在波矢 空间的分布仍为对称分布，这时不同波矢的电子电流将全部抵
空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+e。
* (1)k h k e (2)Eh (k h ) Ee (k e ) (3)v(k h ) v(k e ) (4) m* m h e
德哈斯-范阿尔芬效应
1.德哈斯--范阿尔芬效应 低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现象称
f b a r r f k k
玻尔兹曼微分积分方程
2.驰豫时间近似
f f0 f b a r r f k k
3.外场和温度梯度存在
r
1 k E,
f r f rT , T
e k ( v B ) ,
f t
＝b a
碰
' dk a f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2π)3 ' dk b f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2π)3
纯金属的电导率和热导率
一、纯金属的电导率
2 j ev( k ) f ( k ) dk 3 ( 2π)
e2 f 0 j 3 v ( v ) dk 4π E
j E
如果金属电子的等能面是球面，且晶体各向同性，则：
ne F m
2
m 2 ne F
' ' 1 ( k , k )1 cos dk 3 ( 2π) 1
自由碰撞时间。
式中(1-cos)因子的作用可作如下分析： 若散射是小角度的，即k’与k接近，角很小，(1-cos)值也 很小，因此在积分中的贡献很小；相反若散射角很大，如＝， 即k在散射中几乎是反向的，这时的(1-cos)值最大，因此这样的 散射在积分中的贡献也很大。
金属的电阻率
L r
L----代表纯金属的电阻率；
r---表示杂质与缺陷的散射的影响，与温度无关。
当T=0K时，没有声子，L=0， = r 称r为金属的剩余电阻率。
杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但不改
变电阻率的温度系数d/dT。 高温 L T 低温 L T 5
第六章 晶体中电子的输运性质 总 结
晶体中电子的速度、加速度和有效质量 导体、半导体和绝缘体 德哈斯-范阿尔芬效应 玻尔兹曼方程 驰豫时间的统计理论
纯金属的电导率
金属的电阻率
晶体中电子的速度、加速度和有效质量
1.电子运动速度
1 v k k E (k )
v( k ) v(k )
2.电子有效质量与加速度
1 1 2E m 2 k k
1 a F * m
晶体中电子在恒定电场作用下，电子的波矢k 随时间 匀速增加，电子在k空间作循环运动；电子在实空间里作
周期振荡运动。
实空间中电子的振荡运动很难看到，原因： （1）杂质和缺陷及声子散射作用，（2）遂道效应。