复数的几何表示
复数的概念及其几何意义
复数的概念及其定义复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi其中，a是实部，b是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，我们可以将复数z = a + bi表示为一个有序对(a, b)。
其中实部a对应于 x 轴的坐标，虚部b对应于 y 轴的坐标。
这样，在复平面上，每个点都对应着唯一的一个复数。
复数的重要性和应用1. 扩展了实数域复数扩展了实数域，使得我们可以处理更多的问题。
例如，在求解方程时，有些方程在实数域中无解，但在复数域中却有解。
2. 描述振荡和周期性现象振荡和周期性现象在科学和工程领域中非常常见。
通过使用复数来描述这些现象，我们可以更方便地进行分析和计算。
3. 信号处理在信号处理领域中，复数广泛用于描述和分析信号。
例如，在频域中使用傅里叶变换将信号从时域转换为频域时，复数起到了重要的作用。
4. 电路分析在电路分析中，复数被用来描述电压和电流的相位关系。
通过使用复数，我们可以方便地进行交流电路的计算和分析。
5. 分形和动力系统复数在分形和动力系统研究中也扮演着重要角色。
通过使用复数，我们可以更好地理解这些系统的行为和性质。
复数的几何意义中的关键概念在复平面上，有几个重要的概念与复数的几何意义密切相关。
1. 模长（Magnitude）一个复数z = a + bi的模长表示为|z|，它等于实部a和虚部b的平方和的平方根。
模长表示了一个复数到原点的距离。
|z| = √(a^2 + b^2)2. 辐角（Argument）辐角是一个与复数相关的角度，在极坐标系中表示。
辐角通常用 Greek 字母θ表示。
对于一个非零复数z = a + bi，其辐角定义如下：θ = arctan(b/a)需要注意的是，在计算辐角时需要考虑a的正负和a=0的特殊情况。
3. 共轭复数（Conjugate）对于一个复数z = a + bi，其共轭复数定义为z* = a - bi。
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
1-2复数的几何表示k
z 0 时，以正实轴为始边与该向量的
夹角的弧度数θ称为z的辐角 。 (1) 复数的模 复数的模记为 注意：
y
y
(z)－复平面
z x iy
z r
2 2
P
2
z r
x y
o
x
x
x z, y z
z x y,
zz z z2
(2) 复数的辐角
Z不等于零, 复数的辐角记为: Arg z=,
N P o
x
S
y z
规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”，表示复数中 唯一的“无穷大”（记为∞），它与球面上的北极N相对应。 北极N就是复数∞的几何表示，从而球面上的每 一个点都有唯 一的一个复数与它对应，称该球面为复球面。
？
为什么要引入复球面？
扩充复平面 ：包括无穷远点在内的复平面 有限平面 ： 不包括无穷远点在内的复平面 注意
几何上，由方程可直接看出它表示z平面上与点-i 的距离恒为2 的所有的点的轨迹，即以-i为中心、半径为2的圆周。
2 z 2i z 2
[解] 设z=x+iy ， 则方程变为：
y y = -x
2i x
x y 2i x 2 yi
即 或
x y 2
y tg Argz x 复数的辐角的主值记为 ： arg z
y
y
z x iy
z r
P
x
o
x
规定： -π＜arg z≤π ，
Argz=argz +2kπ(k为整数)。
注意:
(ⅰ) 辐角Argz的多值性和辐角的主值argz的单值性.
(ⅱ) 当z=0时，有模且|z|=0，而辐角没有意义.
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
复数的几何表示
辐角：表示复数在复平面上的旋转角度
复数的几何运算
03
加法运算
举例：例如z1=3+4iz2=1+2i则z1+z2=4+6i
定义：两个复数相加相当于在复平面内将它们的向量相加
规则：平行四边形法则即以实部和虚部分别为邻边作平行四边形其对角线即为相加后的复数
几何意义：表示在复平面内将z1和z2对应的点相加得到的结果对应的点就是z1+z2
复数的几何表示
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目录
01
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02
复数的几何定义
03
复数的几何运算
04
复数的几何意义
05
复数的几何应用
06
复数的几何表示的扩展
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01
复数的几何定义
02
复数平面的坐标系
实轴和虚轴：复数平面的水平轴表示实数垂直轴表示虚数
点的表示：每个复数z可以表示为平面上的一点(,b)其中是实部b是虚部
模长：复数z的模长定义为√(^2 + b^2)表示点(,b)到原点的距离
幅角：复数z的幅角定义为rctn(b/)表示点(,b)与实轴正方向的夹角
复数在平面上的表示
实部为横坐标虚部为纵坐标
复数平面的表示方法有多种
复数由实部和虚部组成
复数可以用平面上的点来表示
复数的模和辐角
复数的模：表示复数在复平面上的距离
除法运算
定义：复数 + bi 与 c + di 的除法运算可以通过乘以共轭数的方式进行
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应用：在电路分析、信号处理等领域中复数的除法运算有广泛应用
第一章 第2节 复数几何表示
0
, ( 0)
0 ，
无意义
二、区域
1.区域的概念 集合中的各类点
1）集合的各类点（集）
一维空间：邻域（开区间）
（ x0
x0
） x0
二维空间：邻域（开圆）
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1
z0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
2.单连通域与多连通域
(5)0 arg z ;
非开集
边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D 中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界.
说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
C2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域
z0
R
邻域: 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
说明
z0所对应的点P的邻域和去心邻域也可 分别记作U(P,), U (P,δ)
说明 包括无穷远点自身在内且满足 z M 的
所有点的集合, 其中实数 M 0, 称为无穷远 点的邻域.
第一章
复数的概念及几何意义
复数的概念及几何意义复数是数学中一种形式的数，包括实数和虚数。
它们一般有两个部分组成：实部和虚部。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复数的几何意义可以通过将它们表示为平面上的点来理解。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部则表示复数在虚轴上的位置。
复数a+bi可以被视为复平面上的一个点(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
这个点与坐标原点形成的直角坐标系中的位置坐标。
复数的模是指复数与原点(0, 0)之间的距离，可以通过勾股定理计算。
给定复数a+bi，它的模记作，a+bi，定义为sqrt(a^2 + b^2)。
复数的模可以用来衡量复数的大小。
复数的幅角或辐角表示复数相对于正实轴的旋转角度。
可以使用三角函数来计算复数的幅角。
例如，对于复数a+bi，其幅角记作arg(a+bi)，可以通过求解tan(theta) = b/a来计算，其中theta是幅角。
复数的几何意义在很多数学和物理领域都有广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.电路分析：复数在电路分析中起着重要的作用，特别是在交流电路的分析中。
复数可以表示电路元件的阻抗和容抗，并且可以通过复数运算来计算电路中电流和电压的相位关系。
2.信号处理：复数在信号处理领域中用于分析和处理复杂波形。
通过将信号表示为复数的幅角和频率，可以进行频域分析和滤波等操作。
3.控制理论：复数在控制系统理论中用于表示系统的频率响应和稳定性。
复数的幅角和模可以用于设计控制系统的稳定性条件。
4.波动理论：复数在波动理论中用于描述波的传播和干涉。
复数的幅角和模可以用于计算波的相位差和振幅。
5.分形几何：复数在分形几何中用于描述复杂图形的生成和变换。
复数的幅角可以用于旋转和缩放图形。
总结起来，复数是一种数学工具，它可以通过几何方法来理解和解释。
复数的几何意义涵盖了电路分析、信号处理、控制理论、波动理论和分形几何等多个领域。
通过了解复数的几何意义，可以更好地应用和理解复数的数学概念。
复数的几何表示
盐城工学院基础部应用数学课程组
复数z 的辐角：向量 OP 的方向角 . 记作 Arg z .
y
注意:
y
z x yi
2) 0的模为零，0的辐角不确定. 3)
O
x
x
复数z的幅角主值: 满足 π π 的那个幅角.
记作 arg z . 于是幅角与幅角主值的关系
例5
求下列复方程所表示的曲线:
(1) z 1 z 1 4;
(2)Re( z 2 ) 1.
x2 y2 设 z x iy, 代入复方程得 1 4 3
3i
(1)
(2)
2
1
1
2
1
1
3i
盐城工学院基础部应用数学课程组
*二、复球面
1.南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
复数 z 的指数表示式为 z 4e
盐城工学院基础部应用数学课程组
5π i 6
.
习惯上取主辐角
例5
将下列复数化为三角表示式与指数表示式 :
z sin 5 i cos 5 ;
解
r z 1,
3 sin cos cos , 5 10 2 5
Arg z arg z 2 k π , k 0, 1, 2, .
盐城工学院基础部应用数学课程组
幅角主值的计算: 注意arg z ( , ]. arctan y , 若z在第一、四象限； x y arctan π, 若z在第二、三象限； x arg z π, x 0, y 0, 若 2 0或π, 若 x 0, y 0.
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5．4 复数的几何表示
一、基础达标
1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限
( )
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四 答案 D
解析 由i 2＝－1，z ＝3－i ，对应点坐标为(3，－1)． 2．当2
3<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1)．
由2
3<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限．故选D.
3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是
( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i 答案 C
解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.
4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是
( )
A ．实轴
B ．虚轴
C ．原点
D ．原点和虚轴
答案 B
解析 a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．
5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________． 答案 －1＋3i
解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，
a 2＋32＝2，解得a ＝±1，
故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.
6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．
答案 (2，6)∪(－6，－2) 解析 ∵z 位于第三象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k 2－6<0，
4－k 2
<0，
∴2<k <6或－6<k <－2.
7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |. 解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a ＋1≠0.
解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 二、能力提升
8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点
在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.
9．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π
2－B ， sin A ＞cos B ．cos B －tan A ＝cos B －sin A
cos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0， 所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B. 10．复数z ＝3＋ilog 3 1
2对应的点位于复平面内的第________象限．
答案 三
解析 3<0，log 3 1
2<0，
∴z ＝
3＋ilog 3 1
2对应的点位于复平面内的第三象限．
11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15>0
m 2＋3m －28<0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m <3或m >5
－7<m <4
，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0
，∴⎩⎨⎧
3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.
12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .
解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，
即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i. 三、探究与创新
13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为 a 2－b 2－5
a 2＋
b 2＋6＋2ab i ＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－
b 2－5a 2＋b 2＋6＝0
2ab ＝0
，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝±3，
b ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝±
1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个．。