函数值域求法十一种(可编辑修改word版)
函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1例2求函数y '定义域。
*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4， ］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。
例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
函数值域求法十一种精编版
函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x=故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域求法大全
函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数定义域值域求法(全十一种)
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实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
(完整版)函数值域求法十一种
函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x222=++-在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
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xxx x 函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
y =1例1. 求函数x 的值域。
解：∵x ≠ 01≠ 0∴x显然函数的值域是：(-∞,0) (0,+∞)例2. 求函数y = 3 -的值域。
解 ：∵ ≥ 0∴-≤ 0,3 -≤ 3故函数的值域是：[-∞,3]2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数y = x 2- 2x + 5, x ∈[-1,2]的值域。
解：将函数配方得：y = (x - 1) 2+4∵x ∈[-1,2]由二次函数的性质可知：当x=1 时，y min = 4 ，当x =-1时，y max = 8故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4. 求函数y =1 + x + x21 + x2的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程(y - 1)x 2+ (y - 1)x = 0（1）当y ≠ 1时，x ∈R∆= (-1) 2- 4(y - 1)(y - 1) ≥ 01≤ y ≤3解得：2 21∈⎡1,3 ⎤（2）当y=1 时，x = 0 ，而⎢⎣2 2 ⎥⎦⎡ 1 , 3 ⎤ 故函数的值域为⎢⎣ 2 2 ⎥⎦例5. 求函数y = x + 的值域。
解：两边平方整理得：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2 = 0 （1） ∵x ∈R∴∆ = 4(y + 1) 2 - 8y ≥ 0 解得：1 - ≤ y ≤ 1 + 但此时的函数的定义域由x(2 - x) ≥ 0 ，得0 ≤ x ≤ 2由∆ ≥ 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2= 0 在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由⎡ 1 , 3 ⎤ ∆ ≥ 0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎣⎢ 2 2 ⎥⎦。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵0 ≤ x ≤ 2∴y = x + ∴y min = 0, y = 1 +x 1 = ≥ 0代入方程（1） ∈[0,2]解得：2 + 即当x 1 =2 - 24 22时，原函数的值域为：[0,1 + 2 ]注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。
3x + 4例6. 求函数5x + 6 值域。
x =4 - 6y 解：由原函数式可得： y =4 - 6y5y - 3x ≠ 3则其反函数为： 5x - 3 ，其定义域为： 5x(2 - x) 2 2x(2 - x) 2 2 + 2 - 242 2y 2+1 y 2+1⎢ ⎛-∞,3 ⎫⎪故所求函数的值域为：⎝ 5 ⎭5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e x- 1例7. 求函数y =e x+ 1 的值域。
e x =y + 1解：由原函数式可得：∵e x> 0y + 1> 0∴y - 1解得：- 1 < y < 1故所求函数的值域为(-1,1)y - 1例8. 求函数y =cos xsin x - 3 的值域。
解：由原函数式可得：y sin x - cos x = 3y ，可化为： y2+ 1 sin x(x +β) = 3ysin x(x +β) =3y即∵x ∈R∴sin x(x +β) ∈[-1,1]-1 ≤3y≤1即- 解得：2≤y ≤24 4⎡-2,2 ⎤⎢⎥故函数的值域为⎣ 4 4 ⎦6.函数单调性法例9. 求函数y = 2x-5+ log3解：令y1 = 2x-5 , y 2 = log3x - 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域。
则y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数x -12 - 1 x + 1 2 x - 1 ⎦所以y = y 1 + y 2 在[2，10]上是增函数当x=2 时，ymin= 2-3 + log 3 = 8当x=10 时，y max = 25+ log 3 ⎡1 = 33⎤ 故所求函数的值域为： ⎢⎣8 ,33⎥例10. 求函数y = - y =解：原函数可化为： 的值域。
令y 1 = x + 1, y 2 = ，显然y 1 , y 2 在[1,+∞] 上为无上界的增函数 所以y = y 1 ，y 2 在[1,+∞] 上也为无上界的增函数=所以当x=1 时，y = y 1 + y 2 有最小值，原函数有最大值 显然y > 0 ，故原函数的值域为(0, 2 ]7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y = x + 解：令x - 1 = t ，(t ≥ 0) 则x = t 2 + 1y = t 2 + t + 1 = (t + 1 ) 2 + 3的值域。
∵ 2 4又t ≥0 ，由二次函数的性质可知当t = 0 时，y min = 1当t → 0 时，y → +∞故函数的值域为[1,+∞)例12. 求函数y = x + 2 + 解：因1 - (x + 1) 2 ≥ 0 即(x + 1) 2 ≤ 1故可令x + 1 = cos β, β∈[0, π]的值域。
9 x - 1 2x + 1 + x - 1x - 1 2 2 2 1 - (x + 1) 21∴y = cos β + 1 += sin β + cos β + 1= 2 sin(β + π) + 140 ≤ β ≤ π,0 ≤ β + π ≤ 5π∵4 4∴-2 ≤ sin(β + π) ≤ 1 2 ∴0 ≤42 sin(β + π) + 1 ≤ 1 + 4故所求函数的值域为[0,1 +2 ]例13. 求函数y =x 3 - xx 4 + 2x 2 + 1 的值域。
1 2x 1 - x2 解：原函数可变形为：y = 2 ⨯ 1 + x 2 ⨯1 + x2 2x可令x = tg β ，则有1 + x 2= sin 2β, 1 - x 2 1 + x 2 = cos 2β∴y = - 1 sin 2β ⨯ cos 2β = - 1sin 4β2 β = k π -π 4y = 1当 2 8 时， max 4β = k π +π y = - 1当 2 8 时， min 4而此时tan β 有意义。
⎡- 1 ,1 ⎤ 故所求函数的值域为⎢⎣ 4 4 ⎥⎦x ∈ ⎡- π , π⎤例14. 求函数y = (sin x + 1)(cos x + 1) ， 解：y = (sin x + 1)(cos x + 1)= sin x cos x + sin x + cos x + 1⎣⎢ 12 2 ⎥⎦ 的值域。
sin x cos x = 1(t 2 - 1)令sin x + cos x = t ，则2y = 1 (t 2 - 1) + t + 1 = 1(t + 1) 22 2由t = sin x + cos x = 2 sin(x + π / 4)x ∈ ⎡- π , π⎤且 ⎢⎣ 12 2 ⎥⎦1 - cos2 β 22 (x - 2) 2 (x + 8) 2 x 2 - 6x + 13 x 2 + 4x + 5 ⎢ 4可得： 2≤ t≤ 2y= 3 +t = 2y = 3 + 2 ∴当t = 时， max 2，当 2 时， 4 2 ⎡ 3 +2 , 3+ 2 ⎤ ⎢ ⎥ 故所求函数的值域为⎣2 2 ⎦ 。
例15. 求函数y = x + 4 + 解：由5 - x 2 ≥ 0 ，可得| x |≤ 的值域。
故可令x = 5 cos β, β∈[0, π]y = 5 cos β + 4 +5 sin β = 10 sin(β + π) + 44∵0 ≤ β ≤ π∴ π≤ β + 4π ≤ 5π4 4 当β = π / 4 时，y max = 4 + 当β = π 时，y min = 4 - 故所求函数的值域为：[4 -5,4 +10 ]8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直 线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。
例16. 求函数y =+ 的值域。
解：原函数可化简得：y =| x - 2 | + | x + 8 | 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B(-8)间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，y =| x - 2 | + | x+ 8 |=| AB|= 10当 点 P 在 线 段 AB 的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ，y =| x - 2 | + | x + 8 |>| AB|= 10故所求函数的值域为：[10,+∞]例17. 求函数y = + 的值域。
5 22 5 - x 2 10 5(x - 3) 2 + (0 - 2) 2 (3 + 2) 2 + (2 + 1) 2 43 x 2 - 6x + 13 (3 + 2) 2 + (2 - 1) 2 解：原函数可变形为：y =+ 上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B(-2,-1) 的距离之和， 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ， y min =| AB|= = ， 故所求函数的值域为[43,+∞]例18. 求函数y = - 解：将函数变形为：y = 的值域。
- 上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点B(-2,1) 到点P(x,0) 的距离之差。
即：y =| AP | - | BP | 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点 P' ， 则构成 ∆ABP' ， 根据三角形两边之差小于第三边， 有|| AP'| - | BP'||<| AB|= = 即：- < y < （2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有|| AP | - | BP ||=| AB|= 综上所述，可知函数的值域为：(- 26, 26 ]注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17 的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1) ，在x 轴的同侧；例18 的A ，B 两点坐标分别为（3，2），(2,-1) ，在x 轴的同侧。