数学分析142
数学分析知识点详解
数学分析知识点详解数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是数学中的极限、连续、微分、积分等概念与方法。
数学分析是现代数学的基础，对理论研究和实际应用具有重要意义。
本文将详细介绍数学分析的几个重要知识点，包括极限、连续、微分和积分。
1. 极限极限是数学分析的基本概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势和性质。
极限的概念可以用来研究函数的收敛性和发散性。
极限可以分为数列极限和函数极限两种形式。
数列极限是指数列随着自变量的变化趋于无穷时的极限值，而函数极限是指函数在某一点的取值趋近于一个确定的值。
2. 连续连续是数学分析中的重要概念，它描述了函数图像在某一区间内的连贯性。
如果函数在某一点的左右极限存在且相等，并且函数在该点的取值等于极限值，那么函数在该点是连续的。
连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理和最大最小值定理等。
3. 微分微分是数学分析中的重要工具，用来研究函数的变化率和曲线的切线。
微分的基本思想是利用极限的概念来定义导数。
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率和切线的斜率。
微分的应用非常广泛，例如在物理学中用来描述速度和加速度，在经济学中用来描述边际效用和边际成本。
4. 积分积分是数学分析中的重要工具，用来研究函数的面积、曲线长度和体积等。
积分的基本思想是将函数划分为无穷小的小矩形，并将这些小矩形的面积相加得到整个区间的面积。
积分的应用非常广泛，例如在物理学中用来计算物体的质量和重心，在经济学中用来计算总收益和总成本。
通过对数学分析的几个重要知识点的详细介绍，我们可以看到数学分析在数学和其他学科中的广泛应用。
数学分析不仅为理论研究提供了基础，也为实际问题的解决提供了有力的工具。
数学分析14-1
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
y0
偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
习惯上，记全微分为
dz |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy dz f x ( x, y)dx f y ( x, y)dy
推广到三元及三元以上函数
( x0 , y0 )的全微分为 df ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy
例7
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
x2 y2 0 .
0
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
为函数在点( x0 , y0 )对应于自变量增量x, y的 全增量，记为z，
即 z= f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
全微分 (Differentiability)
如果函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全增量
证
z yx y1,
数学分析的思想与方法
数学分析的思想与方法数学分析的思想与方法数学分析是高等教学中的基础技能之一,对数学教学具有促进作用。
接下来店铺为大家推荐的是数学分析的思想与方法，欢迎阅读。
(一) 泛函分析泛函分析是现代分析数学的重要分支之一，其深远的理论体系和广泛的应用价值已经对现代分析数学，乃至现代科学技术领域都产生了重大影响。
大学本科阶段的泛函分析课程主要以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。
研究生阶段的线性泛函分析主要介绍紧算子与Fredholm算子、Banach 代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、Hilbert-Schmidt算子与迹类算子等内容。
研究生阶段的非线性泛函分析课程一般简要讲授Banach空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分方法等基本内容。
泛函分析的主要研究方向为: 线性算子谱理论、函数空间、Banach空间几何学、算子代数、非交换几何、应用泛函分析以及非线性泛函分析的相关研究方向等。
泛函分析是经过数学分析、高等代数和空间解析几何的“升空式洗礼”，而从“地上”到“天上”的一个数学抽象推广过程。
有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学一二年级的主要内容。
若只考虑线性映射的运算性质，那就是线性代数。
若考虑非线性映射的连续性与光滑性，那就是微积分。
若把有限维空间的距离概念推广到无限维空间，再考虑相应的线性映射与非线性映射的连续性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。
数学分析，高等代数和解析几何的很多结论在泛函分析层面上都有相应的推广结论。
注意到这一点之后，又可以从“天上”回到“地上”了。
把有限维换成无限维，以及欧式度量换成抽象度量，想法还是一样的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。
分析、代数、几何与拓扑的数学思想方法的交融是泛函分析发展壮大的力量之源。
泛函分析已经成为现代分析数学的必要工具之一。
数学分析 第二版 上下册 课后答案 陈纪修
7
但在[ 0, 1 ] 的任一子区间上都不是单调函数。
解
f
(
x)
=
⎧x
⎨ ⎩1
−
x
x为有理数 。
x为无理数
8
第二章 数列极限
习 题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数；
(2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 6 = m 。由 m2 = 6n2 ，
3
习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；
《数学分析》第三版全册课后答案 (1)
1 u( , )d d r 2 ( x )2 2 2 ( y ) r 1 2
u( x, y)
1 2 r
( x ) ( y ) r
2
u( , )ds
2 2
2
u( x r cos , y r sin )d
0
对任意 r 0 成立.
2 2 2 S
x2 y 2 z 2 (0 z h) 的外侧.
4、 （10 分） （两题选作一题）用适当方法完成下列计算： （1）计算拉普拉斯积分： I
0
cos 2 x dx ； 1 x2
（2）计算菲涅尔积分： I
sin x 2 dx .
0
得分
评阅人
四、证明题（共 3 小题，35 分）
华中师范大学 2008–2009 学年第二学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
期末考试试卷（A 卷）
课程名称 数学分析 3（试点班） 课程编号 83410004 任课教师 张正杰 陈世荣 题型 填空 题 分值 得分
得分 评阅人
学号：
计算 题I 15
计算 题 II 40
证明 题 35
总分10100 Nhomakorabea学生姓名：
一、填空题（共 5 题，10 分）
2
数学分析课程简介
数学分析课程简介课程编码:21090031-21090033课程名称：数学分析英文名称：Mathematical Analysis课程类别：学科基础课程课程简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19 世纪末及20世纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。
数学分析课是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。
是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础课之一。
本课程基本的内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分学等方面的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。
极限方法是贯穿于全课程的主线。
课程的目的是通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。
教材名称：数学分析教材主编：华东师范大学主编（第四版）出版日期：2010 年6 月第四版出版社：高等教育出版社数学分析1》课程教学大纲（2010 级执行）课程代号：21090031总学时：80学时（讲授58学时，习题22学时）适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学先修课程：本课程不需要先修课程，以高中数学为基础一、本课程地位、性质和任务本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。
通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求重点：极限理论；一元函数微分学及贯穿整个课程内容的无穷小分析的方法。
基本要求：掌握极限、函数连续性、可微等基本概念；掌握数列极限、函数极限；闭区间连续函数性质；熟练掌握函数导数、微分的计算及应用；掌握微分中值定理及其应用。
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--14章
a
ww
2
2π ( (1 + a 4 ) 3 − 1) 。 3a 2
w. kh d
= 2b ∫ sin t a 2 + (b 2 − a 2 ) cos 2 t dt
0
πHale Waihona Puke aw .解质量 m = ∫ ρds = b ∫0 sin t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
2π
co m
Σ
∫∫ ( x
Σ
2
+ y + z )dS = ∫∫ a dS = 4πa 4 ，
2 2 2 Σ
所以
⎛ x2 y2 z2 ⎞ 13 13 4 2 ⎜ ∫∫ ⎜ 2 + 3 + 4⎟ ⎟dS = 12 ∫∫ x dS = 9 πa 。 ⎠ Σ ⎝ Σ 1 （6）由对称性，有 ∫∫ x 3 dS = 0 ， ∫∫ y 2 dS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS ，再由 2 Σ Σ Σ 1 zdS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS ，得到 ∫∫ 2 Σ Σ
⎧ x = (b + a cos φ ) cos ϕ , ⎪ (6) 环面 ⎨ y = (b + a cos φ ) sin ϕ , 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ， 其中 0 < a < b 。 ⎪ z = a sin φ , ⎩
解（1） A = ∫∫ 1 + a 2 ( x 2 + y 2 )dxdy
4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ( x + y + z )dS ，其中∑是左半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ， y ≤ 0 ；
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2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2, )
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
例3 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数.
泰勒中值定理
如果函数 f ( x) 在含有x0 的某个开区间(a, b) 内具有 直到(n 1)阶的连续导数,则当x 在(a,b) 内时,
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
0;
充分性 f ( x) sn1( x) Rn( x),
lim[
n
f
(
x)
sn1
(
x)]
lim
n
Rn
(
x)
0,
即
lim
n
sn1
(
x
)
f ( x),
f ( x)的泰勒级数收敛于 f ( x).
证毕。
例1 设M 0,对 x ( x0 R, x0 R),恒 有 f (n)( x) M (n 0,1,2, ),试证： f ( x)
定义
如果 f ( x)在点x0 处任意阶可导,则幂级数
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
n0
f
(n) (0)x n称为 f n!
( x) 在点x0
0 的麦克劳林级数.
如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的， 就是f(x)的泰勒级数。
故
lim
n
Rn
(
x
)
0,
f ( x)可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f
(n) ( x0 n!
)，若f
(k
)
(
x0
)不存在，说明
f ( x)不能展成幂级数；
(2)
考察
lim
n
Rn
(
x)
0
的范围I
,
若lim Rn( x) 0，则f ( x)的泰勒级数在收敛
§2 函数的幂级数展开
引例
计算
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精确到104.
显然这个积分一定是存在的，
但原函数不能用初等函数表达， 无法计算精确值。
若能将 sin x 表示成一个幂级数 x
an xn ,
再利用幂级数的逐项积分，通过取足够多项，就
可以得出其近似值。
有必要研究将一个函数表示成幂级数的问题。
问题1、2的回答：
如果函数 f ( x)在U ( x0 ) 内具有任意阶导
数, 且在U ( x0 )内能展开成( x x0 )的幂级数,
即 f ( x) an ( x x0 )n
n 0
则其系数
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2, )
即展开式是唯一的.
这是定理8的推论2的结果。
问题3转化为：
f
(x)
？
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
当f(x)有任意阶导数时，可以作出其泰勒级数， 但这个泰勒级数一定收敛吗？若收敛是否收敛 于f(x)?
例如
f
(x)
e
1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2, )
f ( x)的麦克劳林级数为0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x) 的麦克劳林级数不收敛于 f ( x).
回答：
f
(x)
？
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
定理 11 f ( x)在点 x0的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
(x
x0 ))(1
)n( x
x0 )n1,
——柯西型余项
一、泰勒级数
若 f ( x) an ( x x0 )n x I
n0
称 f ( x) 在 I 上可展成关于x x0 的（或以x0 为 中心的）幂级数。
问题: 1.如果能展开, an 是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
区间I内收敛于 f ( x).
若lim Rn( x) 0，则 f ( x)不能展成幂级数.
例2 将 f ( x) e x 展开成 x 的幂级数。
解 f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1 (n 0,1,2, )
ex ~ 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
任给定M 0, 在[M, M]上
在( x0 R, x0 R)上可展开成x0 的泰勒级数.
证 Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x(n Βιβλιοθήκη )!x0 )n1M
x x0 n1 , (n 1)!
而
x
x0
n1
在( , )收 敛, (比 式 法 可 得)
n0 (n 1)!
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
f (n) ( x) e x e|x| e M (n 0,1,2, )
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
由M的任意性即得
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
解 当是正整数时，由二项式定理展开即得。
下面讨论不是正整数情形。 f (n) ( x) ( 1) ( n 1)(1 x)n , f (n) (0) ( 1) ( n 1), (n 1,2, )
f (0) 1,
利用Cauchy型余项：
Rn( x)
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
)
内lim n
Rn
(
x
)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
f (x)
n i0
f
(i) ( x0 i!
)(
x
x0
)i
Rn ( x)
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim n
Rn ( x)
lim[
n
f
(x)
sn1( x)]
其中 Rn( x)
f ( (n1) )
(x (n 1)!
x0 )n1
(
在
x0 与 x 之间)
——拉格朗日形式的余项
或Rn( x) o[(x x0 )n] ——皮亚诺形式的余项
或Rn (
x)
1 n!
x x0
f (n1)(t )( x t )n dt
——积分型余项。
Rn( x)
1 n!
f
(n1) ( x0