2013竞赛专题——著名不等式汇集
数学竞赛几个重要不等式
几个重要不等式一．基础知识1. 均值不等式: 设a i >0,i=1,2,…,n,n>1.n n n nn a a a G na a a A 2121,=+++=,na a a Q a a a nH nn nn 2222121,111+++=+++=,分别叫算术平均,几何平均,调和平均和平方平均,则有H n ≤G n ≤A n ≤Q n .当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 例1.设z y x ,,是正实数,且3=++z y x .求证:()zx yz xy x z z y y x +++≥+++++27291888333333.证明:由均值不等式,得3274227283274227283233233xy y y y x y y y y x =+-⋅+⋅+≥+-++++, 同理,3274227283274227283233233y z z z y y z z z z y =+-⋅+⋅+≥+-++++, 3274227283274227283233233z x x x x z x x x x z =+-⋅+⋅+≥+-++++.三式相加得()22233333327194888z y x x z z y y x ++-≥+++++ ()()()2791279912222222z y x z y x z y x ++-+++=++-+= ()zx yz xy +++=27291.例2 证明:.,)111()11(*1N n n n n n ∈++<++证明: 因11)111(11)11(1)11(++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++<⋅+n n n n n nn n , 所以,1)111()11(+++<+n n n n . 例3设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n ∈R +,且a 1+a 2+…+a n ≤1,b 1+b 2+…+b n ≤n. 求证:n nn n b a b a b a )1()11()11)(11(2211+≥+++ . 证明:∵11)1()1(11111++≥+++=+n in i i n i i i i b na n b na na b a个∴1212111)(1)1()1()11(+=⋅+≥+∏n n nn n n n ni i ib b b a a a n n b a ,又a 1a 2…a n ≤ n n n a a a )(21+++ ≤n n 1, b 1b 2…b n ≤n n n b b b )(21+++ ≤1∴nni i in b a )1()11(1+≥+∏=,得证例4设a ,b,c,d>0,且满足(a +b)(b+c)(c+d)(d+a )=1.求证:(2a +b+c)(2b+c+d)(2c+d+a )(2d+a +b)(a bcd)2161≤. 证明:因∏(2a +b+c)4])2(41[∑++≤c b a =(a +b+c+d)4，所以,仅证 (a +b+c+d)4(abcd)2161≤⇔≤16116(a +b+c+d)4(abcd)2≤[(a +b)(b+c)(c+a )(d+a )]3 ⇔≥++++3)]11)(11)(11)(11[(ad d c c b b a 16(abc dab cda bcd 1111+++)4. 令w dz c y b x a ====1,1,1,1,欲证: [(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)]3≥16(xyz+xyw+xzw+yzw)4:因4(xyz+xyw+xzw+yzw)2≤4[xy(z+w)+zw(x+y)]2≤ [xy (x+y)(z+w)+zw (z+w)(x+y)]2=[(x+y)(z+w)]2(xy +zw )2=[(x+y)(z+w)]2(xy+zw+2xyzw )2≤[(x+y)(z+w)]2(xy+zw+yw+xz)=[(x+y)(z+w)]2(y+z)(x+w);同理4(xyz+xyw+xzw+yzw)2≤(x+y)(z+w)[(y+z)(x+w)]2,将两式相乘得: [(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)]3≥16(xyz+xyw+xzw+yzw)4,即原不等式得证. 2.柯西不等式:设a i ,b i ∈R(i=1,2,…,n),则∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)())((.当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立.变形1设a i ∈R, b i ∈R +(i=1,2,…,n),则∑∑∑===≥ni i ni i ni iiba b a 11212)(.变形2设a i ,b i 同号且a i b i ≠0(i=1,2,…,n), 则∑∑∑===≥ni ii ni i ni iiba ab a 1121)(.例5、设z y x ,,是非负数,且3222=++z y x .证明:++++++xz y y zy x x2232≤++yx z z .证明:由柯西不等式得()()2223z y x z y x ++≥++, 又3222=++z y x ,所以, .222z y x z y x ++≥++由柯西不等式,有()()()221z y x z y z y x ++++++,因此,只要证明.3111≤++++++++++zy x yx z x z y z y x再由柯西不等式得()()()()()()[]()()()[]()()[]().22111322222z y x zx yz xy z y x z y x zx yz xy z y x z y x zy zx z xy yz y zx xy x z y x zyzx z z yx yz y y xz xy x x yx z x z y z y x++=+++++++≤+++++++=++++++++++≤++⋅+++⋅+++⋅=++++++++故3111222=++≤++≤++++++++++z y x z y x zy x yx z x z y z y x .因此,原不等式得证.例6设1),,,2,1(,01==>∑=ni ii xn i x ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii.证明:左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 11211111112112111212112))1(()1())1(()1(∑∑∑∑====---≥ni i ni ni i ni x x n 11)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n nn n n n n ni ii .例7设正实数a 1,a 2,…,a n 满足a 1+a 2+…+a n =1.求证:1))((1213232222113221+≥+++++++++n na a a a a a a a a a a a a a a n n . 证明:∵132211232222121132211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++≥+++=+++,∴只要证.11322112132322221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥++++++a a a a a a n n a a a a a a a a a n n∵12132223221122112132322221)()()()a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a nn n n ++++++=++++++.1)(13221213221a a a a a a a a a aa a nn +++++++≥ 令t=13221a a a a a a n +++ ，则t ≥n ，故只要证112+≥+n nt t t ，即t ≥n 这已知成立。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、引言二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他不等式三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧2.柯西不等式的应用及解题技巧3.排序不等式的应用及解题技巧4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧5.其他不等式的应用及解题技巧四、高中竞赛不等式公式大全的总结正文：一、引言不等式作为数学中的一个重要部分，在高中竞赛中占据着举足轻重的地位。
熟练掌握各类不等式及其应用，对于提高竞赛成绩具有至关重要的作用。
本文将为您整理一份高中竞赛不等式公式大全，助您竞赛之路一臂之力。
二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式类型之一，主要包含算术平均数与几何平均数的不等式、调和平均数与几何平均数的不等式等。
2.柯西不等式柯西不等式是一种在向量空间中的重要不等式，它可以用于证明其他许多不等式，同时也是解决某些问题的重要工具。
3.排序不等式排序不等式是一种与排序相关的不等式，可以用于解决一些与排序有关的问题，如求解排序问题、证明排序的稳定性等。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种在概率论和统计学中常见的不等式，可以用于求解一些概率和方差的问题。
5.其他不等式除了以上常见的不等式类型，还有一些其他的不等式，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。
三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧基本不等式在求解一些最值问题、比较大小问题等方面有着广泛的应用。
解题时需要注意观察题目条件，灵活运用基本不等式。
2.柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式在求解一些向量空间中的最值问题、证明其他不等式等方面具有重要意义。
解题时应熟练掌握柯西不等式的形式，灵活运用。
3.排序不等式的应用及解题技巧排序不等式在解决排序问题、证明排序的稳定性等方面具有重要意义。
解题时需要注意排序不等式的适用范围，正确运用。
4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧切比雪夫不等式在求解一些概率和方差的问题中具有重要作用。
高中竞赛之重要不等式
高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 同号（ ），则 当且仅当 时取等号。
ⅱ．若，且 ，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c )分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设 ， ，…， ； ， ，…，是两组正数，0k >且1k ≠ ，则（ ）（）当且仅当1212nna a ab b b ===时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记 ，，则上式为特例：2212122222221122()()m m m ma a ab b b a b a b a b +++++++≤++++++多个根式可转化为一个根式。
赫尔德不等式 已知（）是 个正实数， ，则上式中若令12αβ==， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有∑∑∑===-+≤≤ni i i n i t i ni in i b a b a ba i 1111．即“反序和”≤“乱序和”≤“同序和”．其中{}{}n t t t n ,,2,1,,,21 =．当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立．〔切比雪夫不等式〕实数i a ，i b 满足n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21（1=i ，2，…，n ）．则∑∑∑∑=-+===≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni i n i n i i n i i n i i i b a n b na nb a n 111111111． 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立． 下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。
2013竞赛专题_著名不等式汇集
竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。
不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。
以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。
1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式 9. 一些几何不等式01 佩多不等式02外森比克不等式03 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等式 11． Holder 不等式.12. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设n a a a ,,,21 是n 个正数，令na a a nn H 111)(21+++=（调和平均值），n n a a a n G 21)(= （几何平均值），na a a n A n+++=21)( （算术平均值），na a a n Q n22221)(+++= （平方平均值）， 则有（I ）(调和平均几何平均不等式) )()(n G n H ≤； （II ）(几何平均算术平均不等式) )()(n A n G ≤； （III ）（算术平均平方平均不等式） )()(n Q n A ≤.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21. （I ） )()(n G n H ≤ ⇔na a a n11121+++ ≤n n a a a 21⇔n a a a a a a a a a a a a n nnnnnn≥+++21221121 (1)121221121=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,由3的推论2知（1）式成立，故（I ）成立.等号成立的充要条件是nnnnnnna a a a a a a a a a a a 21221121===，即n a a a === 21.（II ）)()(n A n G ≤ ⇔nn a a a 21≤na a a n+++ 21⇔n a a a a a a a a a a a a nnnnnnn≥+++21212211(2)121212211=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,所以由3的推论2知（2）成立，故（II ）成立.显然等号成立的充要条件是n a a a === 21.（III ） 令na a a c n+++= 21，再令ii a c α=+ ，n i ,,2,1 =，则1212n n a a a nc ααα+++=++++1212n n a a a ααα=+++++++（）.∴ 12n ααα+++=0 ,222212()()()n n a c c c ααα++++++++=c =≥=.等号成立的充要条件是222120n ααα+++=，即n a a a === 21.另：G,Q 证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设 的最小值为 .2）. 设A 、B 、C 、D 为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD 的中点E ，连结AE 和EC ，则在△ABD 和△BCD 中，根据中线的性质，有3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .证 ∵021>+=-+++=-+b a c b c b a c b ， 由均值不等式，得313)1(1113cb c b c b -+=-+++≤-+， ∴ 313acab a c b a -+≤-+.同理可得,313babc b a c b -+≤-+ .313cbca c b a c -+≤-+将上述3个不等式相加，得333111b a c a c b c b a -++-++-+c b a ++≤ 1=.4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数,,,c b a 均有.222444c b a abc ca b bc a ++≥++解：,422244a c b bc a bc a ≥+++,422244b c a ac b ac b ≥+++,422244c b a abc ab c ≥+++ 上述3个式子相加，得)(4)(2)(2222222444c b a c b a abc ac b bc a ++≥+++++， 所以.222444c b a abc ca b bc a ++≥++2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数 ，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明 如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用 例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc
x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注 换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作 代 换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。 那么可取 p n .若它 只需对 s n 进行证明。 如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1， 们 之 中 至 少 有 一 个 大 于 1 ， 则 不 妨 设 x1 x2 ...x p 是 其 中 的 最 大 值 ， 有
全国高中数学竞赛专题不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
著名不等式荟萃
著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数。
当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数。
当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数。
设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立。
平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。
设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值。
最小值。
在中，当时，分别有时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；立；（3），当且仅当时等号成立；时等号成立。
（4），当且仅当时等号成立。
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式），有对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
时成立。
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位。
频频出现，这充分显示了它的独特地位。
三、闵可夫斯基不等式三、闵可夫斯基不等式，则 设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）时等号成立。
当且仅当时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
右图给出了对上式的一个直观理解。
，则上式为若记，，则上式为四、贝努利不等式四、贝努利不等式（1）设，且同号，则，则（2）设，则（ⅰ）当 时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立。
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
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竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。
不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。
以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。
1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式9. 一些几何不等式01 佩多不等式02外森比克不等式03 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等式 11． Holder 不等式.12. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设n a a a ,,,21 是n 个正数，令na a a nn H 111)(21+++=（调和平均值），n n a a a n G 21)(= （几何平均值）， na a a n A n+++=21)( （算术平均值），na a a n Q n22221)(+++= （平方平均值），则有（I ）(调和平均几何平均不等式) )()(n G n H ≤；（II ）(几何平均算术平均不等式) )()(n A n G ≤； （III ）（算术平均平方平均不等式） )()(n Q n A ≤.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21. （I ） )()(n G n H ≤ ⇔na a a n11121+++ ≤n n a a a 21⇔n a a a a a a a a a a a a n nnnnnn≥+++21221121 (1)121221121=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,由3的推论2知（1）式成立，故（I ）成立.等号成立的充要条件是nnnnnnna a a a a a a a a a a a 21221121===，即n a a a === 21.（II ）)()(n A n G ≤⇔nn a a a 21≤na a a n+++ 21⇔n a a a a a a a a a a a a nnnnnnn≥+++21212211 (2)121212211=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,所以由3的推论2知（2）成立，故（II ）成立.显然等号成立的充要条件是n a a a === 21.（III ） 令na a a cn+++=21，再令ii a c α=+ ，n i ,,2,1 =，则1212n n a a a nc ααα+++=++++1212n n a a a ααα=+++++++（）.∴ 12n ααα+++=0 ,2222221212()()()n n a a a c c c n n ααα+++++++++=2222212n c c c nααα+++=+≥=.等号成立的充要条件是222120n ααα+++=，即n a a a === 21.另：G,Q 证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设的最小值为 .2）. 设A 、B 、C 、D 为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD 的中点E ，连结AE 和EC ，则在△ABD 和△BCD 中，根据中线的性质，有3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .证 ∵021>+=-+++=-+b a c b c b a c b ， 由均值不等式，得 313)1(1113cb c b c b -+=-+++≤-+，∴ 313acab a c b a -+≤-+. 同理可得,313babc b a c b -+≤-+ .313cbca c b a c -+≤-+将上述3个不等式相加，得333111b a c a c b c b a -++-++-+c b a ++≤ 1=.4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数,,,c b a 均有.222444c b a abc ca b bc a ++≥++ 解：,422244a c b bc a bc a ≥+++,422244b c a ac b ac b ≥+++,422244c b a abc ab c ≥+++ 上述3个式子相加，得)(4)(2)(2222222444c b a c b a ab c ac b bc a ++≥+++++， 所以.222444c b a abc ca b bc a ++≥++2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数 ，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。
关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。
练习：1）.① 设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 )111)](()()[( )111)((2ac c b b a a c c b b a ac c b b a c b a ++++++++++=+++++++ 证明：9)111(2=++≥又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
巧拆常数 ②a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++。
212122212112212121)( )())(( ))((x x x x b a x x b x x a bx ax bx ax ax bx bx ax =+=+≥++=++证： （∵a +b =1） 重新安排某些项的次序 ③若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411 4)11( )11)](()[()11)((2=+≥-+--+-=-+--c b b a c b b a c b b a c a 证明：∴ca cb b a -≥-+-411 结构的改变从而达到使用柯西不等式 ④ 已知+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a23329 29)111(21 )111)](()()[(21 )111)(( )1()1()1(32=-≥+++++∴=++≥++++++++++=+++++++=++++++++=++++++b a c c a b c b a b a a c c b b a a c c b ba a c cbc b a bc c c a b c b a b C c a c b c b a证明 添项 2）.设已知e d c b a ,,,,是实数，满足222228,16,a b c d e a b c d e +++++++==+⎧⎨⎩试确定e 的最大值.证 由算术平方平均不等式得：442222dc b ad c b a +++≥+++， 从而有 22222)()(4d c b a d c b a +++≥+++， 224(16)(8)e e -≥- ， 解之得 5160≤≤e .当516====d c b a 时，516=e ，因此e 的最大值为516. 3）. 试确定 的所有实数解.解：由取“=”号.所以，原方程组有唯一实数解4）.3. 排序不等式设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列，则有 1121b a b a b a n n n +++- （倒序和） n i n i i b a b a b a +++≤ 2121 （乱序和） n n b a b a b a +++≤ 2211， （顺序和）等号全成立的充要条件是n a a a === 21或n b b b === 21.证： 我们先用数学归纳法证明.n i n i i b a b a b a +++ 2121n n b a b a b a +++≤ 2211 （1）当2=n 时，因为)(12212211b a b a b a b a +-+0))((1212≥--=b b a a ，所以 2=n 时，（1）式成立。
假设对于k n =时（1）式成立，即k i k i i b a b a b a +++ 2121k k b a b a b a +++≤ 2211，其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列，那么对于1+=k n ，设121,,,+k i i i 是1,2，1,+k 的一个全排列，则当11+=+k i k 时，由归纳假设知，121121++++++k k i k i k i i b a b a b a b a=112121++++++k k i k i i b a b a b a b a k112211++++++≤k k k k b a b a b a b a ，所以（1）式成立当11+≠+k i k 时，必存在j i ，1j k ≤≤，使得1j i k =+，则 11111111++-++-++++++k j j j i k i j i j i j i b a b a b a b a b a)()(11111111++-++-+++++++=k j k j j i k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a111111111()()j j k k i j i j i k i j k k i a b a b a b a b a b a b -++-+++=+++++++)()(111111111+++-+++++++≤++-k k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a k k j j11111)(1111+++-+++++++=++-k k i k i j i j i j i b a b a b a b a b a b a k j k j112211)(++++++≤k k k k b a b a b a b a1111+++++=k k k k b a b a b a ，即1+=k n 时（1）式成立。