2.不等式的简单变形
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
不等式的简单变形【公开课教案】新版华东师大版
导学：问题4．解不等式：
（1） ； （2） ．
导思：
1．这里的 变形 与方程的什么变形类似？
2．将不等式的某些 项改变符号后移到 另一边，不等号的方向会不会改变？
导学：解不等式：
（1） ；（2） ．
导思：
1．这里的变形与方程的什么变形类似？
2．不等式的两边都乘以（或除以） 什么数时，不等号的方向需要改变？
7ⅹ（-3）4ⅹ（-3）
从中你发现了什么？
导做：观察归纳不等式的性质
不等式性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.
不等式性质3如果a>b,并且c<0,那么ac<bc.
也就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边都乘以（或 除以）同一个负数，不等号方向改变。
导思：与等式的基本性质进行对比
学做思二：不等式的性质2、3是什么？
导学：1、不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
2、将不等式7>4两边都 乘以同一数,比较所得的数的大小,用“>”或“<”填空:
7ⅹ3 4ⅹ3 7ⅹ14ⅹ1
7ⅹ24ⅹ2 7ⅹ04ⅹ0
7ⅹ（-1）4ⅹ（-1）
7ⅹ（-2）4ⅹ（-2 ）
3．解不等式的过程，就是将不等式进行适当的变形，化成什么形式？
1．若 ，则下列不等式 中错误的 是（）
A． B．
C． D．
2. 1、设a<b,用“〈”或“〉”号填空:
(1)a+1b+1; (2)a-3b-3; (3)3a 3b; (4)-a_-b;
(5)a+2a+3; (6)-4a-5-4a-3 （7）则a-2b-1
华师大版数学七年级下册《不等式的简单变形》教学设计
华师大版数学七年级下册《不等式的简单变形》教学设计一. 教材分析《不等式的简单变形》是华师大版数学七年级下册的一个重要内容，主要介绍了不等式的性质和基本变形方法。
通过本节课的学习，使学生理解和掌握不等式的性质，学会通过加减乘除等基本运算对不等式进行变形，为后续解决实际问题和更高级的不等式学习打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了等式的性质和基本变形方法，但对不等式的性质和变形方法的理解可能还不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体例题和实际问题，引导学生理解和掌握不等式的性质和基本变形方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握不等式的性质，学会通过加减乘除等基本运算对不等式进行变形。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，引导学生发现不等式的性质和变形规律。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
四. 教学重难点1.教学重点：不等式的性质和基本变形方法。
2.教学难点：不等式性质的推导和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和例题，引导学生理解和掌握不等式的性质和变形方法。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考和探索，发现不等式的性质和变形规律。
3.互动式教学法：教师与学生、学生与学生之间的讨论和交流，共同完成不等式的变形练习。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2.学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。
3.教学资源：相关实际问题和例题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入不等式的概念，例如：“小明比小红高，小红比小刚高，请问小明、小红和小刚的身高关系如何？”引导学生思考和讨论，引出不等式的性质和变形方法。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板展示不等式的性质和基本变形方法，引导学生观察和理解。
例如，展示不等式：a < b，引导学生思考如何通过加减乘除等基本运算对不等式进行变形。
华师大版七年级下册数学练习课件-第8章-8.2 2不等式的简单变形
基础过关
1．【江苏宿迁中考】若 a＜b，则下列结论中不一定成立的是( D )
A．a－1＜b－1
B．2a＜2b
C．－a3 ＞－b3
D．a2＜b2
2．若 3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是( A )
A．x＋y＞0
B．x－y＞0
C．x＋y＜0
D．x－y＜0
5
3．【2019·广西桂林中考】如果 a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( D )
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13．若 x＞y，且(a－3)x＜(a－3)y，则 a 的取值范围为___a_<_3_____. 14．小朋友玩跷跷板，分别用 P、Q、R、S 表示四个小朋友，如下图所示，则 他们的体重从小到大排列是___Q__<R__<P_<_S____.(用“＜”连接)
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15．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式(a 为常数)． (1)13x>－13x－2； 解：不等式两边同时加上13x，得23x>－2.不等式两边同时乘32，得 x>－3. (2)12x<12(6－x)． 解：不等式两边同时乘 2，得 x<6－x.不等式两边同时加 x，得 2x<6.不等式两边 同时除以 2，得 x<3.
▪ 若要比较代数式a与b的大小，我们可以利用不等式的性质来 说明．
▪ 例如：若a－b＞0，则a＞b；
▪ 若a－b＝0，则a＝b；
▪ 若a－b＜0，则a＜b.
▪ 像上述比较两个代数式大小的方法叫做作差法．作差法是比 较两个代数式大小的一种常用的方法，也是一种很有效的方 法．
14
▪ 利用上面提供的信息，试比较a2(a－b)与b2(b－a)的大小． ▪ 解：a2(a－b)－b2(b－a)＝(a－b)(a2＋b2)．当a＞b时，a－b
基本不等式变形公式
基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。
比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。
这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。
我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。
那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。
小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。
我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。
他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。
再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。
当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。
咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。
这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。
比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。
假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。
总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。
浙江省富阳市大源中学八年级数学上册 不等式的简单变形课件 浙教版
(8)若a b,则 3 a 2
3b; 2
（9）若a>b，则5-2a____5-2b;
（10）若x<y，且(m-2)x<(m-2)y，则m_____2.
做一做
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:
（1）8x>7x-4 （2）2x+2≥5x-1
练一练
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2x+1≤2+x （2）1-5x>2(1-3x)
（2）若 a b，则 ac bc ；( )
（3）若 a b，则 ac bc ；( )
（4）若 a b，则 a 2b .( )
（5）若a b，则 ac2 bc2(c为实数)；( )
（6）若a b,且c 0，则ac3
bc3 ；(
)
（6）若m>n，则n_____m;
（7）若a-b<0，则a_____b;
（二）满足不等式2-5x＞8+x的x有最大 值或最小值吗？
（3）2(1-2x)≥-3(1+x) （5）-0.15t>0.45
（4）2m-1≥2-(5-m) 31
（6） 4 x 2
变一变
已知y1=2(x-3)+5，y2=4＋ 3x.
则当x
时，y1>y2
提高题：
（一）求出满足下列不等式的x的最大 值或最小值： （1）7x-4≤5+6x （2）2(x-3)-1≤3x （3） 2≤x≤6
13.2.1不等式的简单变形
理一理
不等式的性质1： 如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c.
不等式的性质2
若a＞b，且c＞0，则ac
不等式的简单变形教案
不等式的简单变形教案一、教学目标1. 理解不等式的基本概念，掌握不等式的简单变形方法。
2. 能够运用不等式的性质进行简单的变形运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及其表示方法。
2. 不等式的基本性质：加减乘除的不等式性质。
3. 不等式的简单变形方法：同向相加、反向相减、乘除性质的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质和简单变形方法。
2. 教学难点：不等式变形过程中的符号变化和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和推理来发现不等式的性质和变形方法。
2. 利用具体例题，让学生动手操作，培养学生的实践能力。
3. 组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作，提高学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入实际问题，引发学生对不等式的兴趣，导入新课。
2. 讲解不等式的定义和表示方法，引导学生理解不等式的基本概念。
3. 讲解不等式的基本性质，通过示例演示和讲解，让学生掌握不等式的性质。
4. 讲解不等式的简单变形方法，通过具体例题和练习，让学生熟练掌握不等式的变形技巧。
5. 课堂练习：布置一些不等式的变形题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置一些不等式变形的相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：评估学生对不等式的基本概念、性质和变形方法的理解和掌握程度。
2. 评价方法：通过课堂练习、作业和测试来评估学生的学习效果。
3. 评价内容：学生能够正确表示不等式，运用不等式的性质进行简单变形，并解决相关问题。
七、教学资源1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示不等式的定义、性质和变形方法。
2. 练习题库：准备一定数量的不等式变形练习题，包括基础题和拓展题。
3. 小组讨论工具：提供小组讨论所需的白板、彩笔等工具。
八、教学进度安排1. 第1周：介绍不等式的定义和表示方法。
2. 第2周：讲解不等式的基本性质。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
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（1）X－7＜8
解：不等式的两边都
加上7，不等式的方向 不变，所以
x－7＋7 <8＋7
x<8+7 移
x<15
（2）3X＜2X －3
解：不等式的两边都减去2x （即加上－2x）,不等号的 方向不变,所以
3x－2x ＜2x－3 －2x 3x－2x ＜ －3
得 x ＜ －3
这里的变形与方程中的移项相类似：
1 4
)
x<
－
3 4
课堂小结
1.不等式的性质是通过与等式的 类比、观察、发现、实验、归纳 的方法而得到. 2.分清不等式、等式性质的异同点.
3.注意问题：不等式的基本性质3.
1.p61习题8.2的第1题 2.预习下节课“解一元一次不等式”
不等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个整式，不等号的方向不变。
练习1：填空题（用“＞”或“＜”号填空）
（1）若x y，则x 6 _＞__ y 6，2x _＞__ x y. （2） 若x 3 y 3，则x 2 _＞__ y 2.
例1：解不等式
这两个不等式的变 形与方程的什么变 形相类似？
探 索 规 律
问题1：一个倾斜的天平两边分别放有重 物砝码，其质量分别为a和b ，从天平实 验看a ＞ b ，请同学们猜一猜，如果在两 边盘内分别放入等量的砝码c，那么天平 会发生什么变化？如果再把砝码c拿出来 呢？
由此，你能发现不等式可以怎样变形？
探 索 规 律
不等式的性质1 如果a>b，那么 a＋c > b＋c， a－c > b－c
问题1：如果把方程变为不等式我们该怎么解呢？
猜想1：能不能也象解方程那样去解答呢？
例如：解不等式
x 3 2x 1 1
2
3
3x 3 22x 1 6
3x 9 4x 2 6 3x 4x 6 9 2
请同学们回答: 以上解法正确吗?
x 17 x 17
问题2：我们应怎么解答，不等式又有哪些性质？
练习 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成
x>a或x<a的形式. (1) x－2<3 (2) 6x<5x－1
(3)
1 3
x>5
(4) –4x>3
(1)解：x－2+2<3+2
x<5 (3)解：13 x×3>5×3
x>15
(2)解：6x－5x<5x－1－5x x<－1
(4)解: –4x×(－14
)
<3×(－
问题1：如果把方程变为不等式我们该怎么解呢？
猜想1：能不能也象解方程那样去解答呢？
例如：解不等式
x 3 2x 1 1
2
3
3x 3 22x 1 6
3x 9 4x 2 6 3x 4x 6 9 2
请同学们回答: 以上解法正确吗?
x 17 x 17
问题2：我们应怎么解答，不等式又有哪些性质？
33
(3)2x 1_＞__ 2y 1 (4) 3x 1_＜__ 3y 1
例2：解不等式
（1） 1 x > -3
2
(2) –2x < 6
解：不等式的两边都乘以2，解：不等式的两边都除以-2
不等号的方向不变，所以： ，不等号的方向改变，所
1 x× 2 > -3×2
以：
–2x ÷（-2） > 6 ÷（-2）
左边
＞、＜、
=
右边
不等号 有何变化
7×3
＞ 4 ×3
不变
7 ×2
＞ 4 ×2
不变
7 ×1
＞ 4 ×1
不变
7 ×0
= 4 ×0
变
7 ×（－1） ＜ 4 ×（－ 1）
变
7 ×（－2） ＜ 4 ×（－ 2）
变
7 ×（－3） ＜ 4 ×（－ 3）
变
从中你能发现什么？
不等式的性质2 如果a＞b，并且c＞0，
注意：不等式的移项也要变号
练习4：解下列不等式(p58练习）
(1)x 2 0
(2)x 1 0
解：x 2
解：x 1
探 索 规 律
不等式的两边都乘以（或都除以）
同一个不等于0的数，不等号的方向
是否也不变呢 ？
数，比较所得的
数的大小，用“＜”、 “＞”或“ = ”填空：
新课导入
回忆 ：我们解一元一次方程有哪些基本步骤呢？ 例如 解方程： x 3 2x 1 1
23
3x 3 22x 1 6 (去分母)
3x 9 4x 2 6 (去括号)
3x 4x 6 9 2
x 17
(移项) (合并同类项)
解方程的基本步骤是： x 17
(系数化1)
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
2
x > -6
x > -3
这将两未个知不等数式的的系变数形化与 方为程1的，什即么变化形为相x类>似a？
或x<a的形式
乘这以两（个不或等除式的以变）形负与 数方时程，的什不么等变形号有的什方么 向需要改不同变？。
练习4：解下列不等式(p58练习）
(3) 2x 4
(4)3x 0
解：x 2
解：x 0
那么ac__bc ＞
a ＞__ b cc
不等式的性质3 如果a＞b，并且c＜0， 那么ac__bc ＜ a ＜__ b
cc
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变；不等式两边都乘以 （或除以）同一个负数，不等号的方向改 变。
练习2：
1.已知 x ＞ y ，用＜或＞填空
(1) 1 x _＞__ 1 y (2) 2x _＜__ 2y