高三数学检测题试卷
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。
高三数学：厦门市2024届高三下学期第二次质量检测试题和答案
厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14A x x =-≤，40x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =R ð（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[](]3,04,5- D ．[)(]3,04,5- 2．已知正项等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()()22334441,41S a S a =+=+，则d =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知,αβ为关于x 的方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（）A ．52B ．52-C D ．4．已知样本()2,1,3,,4,5x x ∈R 的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线3410x y ++=上．若向量()3,4a = ，则OP 在a 上的投影向量为（）A ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,55⎝⎭C ．34,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，且满足112PF F F =，直线2PF 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（）A ．53BC ．2D 7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα-︒++=︒-︒，则tan α=（）A ．33B ．33-C D ．8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5iB x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足1235413x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（）A ．60B ．100C ．120D ．130二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP 数据y （单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为ˆ0.4ˆ2yx a =+，其中解释变量x 指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号x 123456y /百亿元1y 2y 3y 11.1075y 6y （参考数据：621796i i y ==∑，()62170i i y y =-=∑），则（）A ．经验回归直线经过点()3.5,11B ．ˆ10.255a=C ．根据该模型，该地2023年12月的GDP 的预测值为14.57百亿元D ．第4个样本点()44,x y 的残差为0.10310．如图1，扇形ABC 的弧长为12π，半径为AB 上有一动点M ，弧AB 上一点N 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A 为顶点的圆锥，使得AB 和AC 重合，则在图2的圆锥中（）（第10题图1）（第10题图2）A ．圆锥的体积为216πB ．当M 为AB 中点时，线段MN 在底面的投影长为C ．存在M ，使得MN AB⊥D ．min 3302MN =11．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()f x 为单调函数，()11f >．x ∀∈R ，()()f g x x a -=（a 为常数），()()()()222g f x g f x x ++=+，则（）A ．()20g =B ．()33f <C ．()f x x -为周期函数D ．()21422n k f k nn=>+∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在C 上，且5AF =，O 为坐标原点，则AOF △的面积为______．13．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______．14．已知函数()()log 0,0,1ab f x x x a b b =->>≠，若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3ABB ∠=，AC =，M 为11A B 中点，CM =（第15题图）（1）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；（2）若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值．16．（15分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，ABC △的面积为S ，三个内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b=-．（第16题图）（1）证明：ABC △是倍角三角形；（2）若9c =，当S 取最大值时，求tan B ．17．（15分）已知()2,0A ，()2,0B -，P 为平面上的一个动点．设直线,AP BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1234k k ⋅=-．记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求Γ的轨迹方程；（2）直线PA ，PB 分别交动直线x t =于点C D 、，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．HC HD ⋅ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．18．（17分）若*n ∀∈N ，都存在唯一的实数n c ，使得()n f c n =，则称函数()f x 存在“源数列”{}n c ．已知()(]ln ,0,1f x x x =∈．（1）证明：()f x 存在源数列；（2）（ⅰ）若()0f x≤恒成立，求λ的取值范围；（ⅱ）记()f x 的源数列为{}n c ，证明：{}n c 前n 项和53n S <．19．（17分）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X 次，第二组投篮2次，投中2X 次，求()12E X X -；（3）记()P i 表示小明投篮()2,3,i i =⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率．在投篮不超过()2n n ≥次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n 次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮．记Y 表示小明投篮的次数．证明：()()222n i E Y P i +=≥∑．。
2025届济宁市高三数学上学期期中质量检测试卷及答案解析
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =I ð（ ）A. ÆB. [)1,+¥C. (),0-¥ D. (],1-¥-【答案】D 【解析】【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P ，再求出集合Q ，最后根据集合的运算法则计算可得.【详解】由y =可得210x -³，解得1x ³或1x £-，所以{(][),11,P x y ¥¥===--È+，又210x -³，则0y =³，所以{[)0,Q y y ¥===+，所以()R ,0Q =-¥ð，所以()(]R ,1P Q =-¥-I ð.故选：D2. 若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（ ）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果.【详解】因为()()12221222555z ++====+--+i i i i i i ，故21i 55z =-，故选:A3. 已知角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2a =（ ）A.34B.43C. 34-D. 43-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求解tan a ，使用二倍角公式求解tan 2a .【详解】由三角函数的定义有：2tan 21a -==-，所以22tan 44tan 21tan 33a a a ===---；故选：D .4. 已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数C. ()2024f x +是奇函数 D. ()2024f x +是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.【详解】因为()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，所以令0x y ==，可得()02024f =-，令y x =-，则()()()02024f f x f x ---=，所以()()4048f x f x -=--，则()f x 既不是奇函数又不是偶函数，且()()20242024f x f x -+=-+éùëû，所以()2024f x +是奇函数.故选：C5. 向量()1,2a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r上的投影向量是（ ）A.B. C. 11,22æö-ç÷èøD. 12,55æö--ç÷èø【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的定义计算得解.【详解】由题意可知，a r在b r 上的投影向量为：()1111,1,222a b b bb ×æö=-=-ç÷èør r r rr .故选：C .6. 已知函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则()()3f f =（ ）A. 8B. 34-C. 109-D.12【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数求值.【详解】因为函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，所以()113312f ==-，即()()211331224f f f æöæö==-=-ç÷ç÷èøèø，故选：B.7. 已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（ ）A. b a c <<B. b c a<< C. c a b<< D. c b a<<【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数单调性可判断,a b 的大小关系，利用2332>可得3232>>可得,b c 的大小关系，即可得答案.【详解】因为ππ54<，故πππcos cos sin 544>=，即s π4c s πo 5in a b ==>，又2332>，即3232>>333log 3log >\>，即3312,log 2>>，即3l πsin 4og 2b c ==>，故选：D8. 如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A Ð=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ×uuu r uuu r的最大值是（ ）A. 2B. 4C.D.1【答案】A 【解析】【分析】以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，建立坐标系，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，利用向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可.【详解】解：以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，如图所示：则(0,0),A B C ，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，的所以(cos ),(cos ,sin BP CQ q q q q ==---uuu r uuu r，所以cos (cos sin (sin BP CQ q q q q ×=-+-uuu r uuu r1q q =-3sin()1q j =+-，其中tan j =j 为第二象限角)，所以当sin()1q j +=时，3sin()1q j +-取最大值，为2.即BP CQ ×uuu r uuu r的最大值为2.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”B. 当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为4C. tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=D. “ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的必要不充分条件【答案】AC 【解析】【分析】写出命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式判断选项A ；求得当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值判断选项B ；求得tan 25tan 20tan 25tan 20°+°+°°的值判断选项C ；求得“ππ4k q =±（k ÎZ ）”与“π4k q =（k ÎZ ）”的逻辑关系判断选项D.【详解】选项A ：命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”判断正确；选项B ：当()0,πx Î时，(]sin 0,1x Î，令sin x t =，则4y t t=+在(]0,1单调递减，最小值为5，则当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为5.判断错误；选项C ：由tan 25tan 201tan 451tan 25tan 20°+°=°=-°°，可得tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=.判断正确；选项D ：π4k q =（k ÎZ ），可化为ππ4n q =-或πn q =或ππ4n q =+或ππ2n q =+（n ÎZ ），故“ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的充分不必要条件.判断错误.故选：AC10. 已知函数()cos f x x x =+，则（ ）A. 函数()f x 在π2,6π3éùêúëû上单调递减B. 函数()f x 的图象关于点5π,06æöç÷èø对称C. 函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=【答案】BCD 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，根据三角函数的单调性、对称性、奇偶性以及图像问题逐个选项判断即可.【详解】()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x öæö=+=+=+÷ç÷÷èøø，对于A ，令π2π,63x éùÎêúëû，则ππ5π,636x éù+Îêúëû，所以对于函数sin y x =，π5π,36x éùÎêúëû时，有增有减，A 错；令5π6x =，则5π5ππ2sin 0666f æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，B 正确；对于C ，平移后，得π2sin 6y x m æö=++ç÷èø，若图象关于y 轴对称，则πππ,Z 62m k k +=+Î，ππ,Z 3m k k =+Î，C 正确；因为[]0,2πx Î，作出()f x 图像如下图所示，由()f x 与y m =有且只有三个交点，所以32πx =，又因为()2f x =时π3x =，且12,x x 关于直线π3x =对称，所以123π8π22π33x x x ++=´+=，D 正确.故选：BCD11. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n Î且10a >，10n n a a -+¹（2n ³），则下列选项正确的是（ ）A. 223n a n =-B. 数列n S n ìüíýîþ为等差数列C. 当10n =时，n S 有最大值D. 设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由n a 和n S 的关系，求出数列{a n }的通项公式，进行判定；对于B ，由等差数列求和公式求出n S ，由定义判断n S n ìüíýîþ是否为等差数列；对于C ，借助二次函数性质判定；对于D ，由n a 的正负判定12n n n n b a a a ++=正负，即可判定最值.【详解】对于A ，当1n =时，()()21114100a a -=-，解得119a =或121a =-，因为10a >，所以119a =，当2n ³时，由()()214100n n a S -=-，*N n Î得()()21114100n n a S ---=-，*N n Î，所以()()()()22111141004100n n n n a a S S -----=---，整理得()()1120n n n n a a a a --+-+=，因为10n n a a ->+，所以120n n a a --+=，即12n n a a --=-，所以数列{a n }是首项为19，公差为2-的等差数列，所以()()1912221n a n n =+-´-=-+，故A 错误；对于B ，由A 可知，()()21192202n n n S n n n -=+´-=-+，所以22020n S n n n n n-+==-+，所以()()11202011n nS S n n n n+-=-++--+=-+，所以数列n S n ìüíýîþ是首项为19，公差为1-的等差数列，故B 正确；对于C ，因为()222010100n S n n n =-+=--+，*N n Î，所以当10n =时，n S 取得最大值，故C 正确；对于D ，由2210n a n =-+>，得*10N 1n n ££Î，，由2210n a n =-+<，得*N 11n n ³Î，，所以当*1,N 8n n ££Î时，120n n n n b a a a ++=>，当9n =时，9910110b a a a =<，当10n =时，101011120b a a a =>，当*11,N n n ³Î时，120nn n n b a a a ++=<，因为()9910113113b a a a ==´´-=-，()()101133b =´-´-=，所以当8n =或10n =时，数列{b n }的前n 项和取最大值.故D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．【答案】1【解析】【分析】由题意可得213b a+=，从而得12(3)3a ba b b a +=++，利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，所以213b a+=，所以1211211()()(3(3(313333a b a b a b b a b a +=++=++³+=+=+，当且仅当2a bb a=，即b =时，等号成立，将b =，代入230a b ab +-=，得a b ==时，等号成立.故答案为：1+13. 已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+¥上没有零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,-+¥【解析】【分析】根据题意转化为()21ln 022x f x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，得到ln22xa x x>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为函数()21ln 22x f x x ax =-+在区间()2,¥+上没有零点，且x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，所以()21ln 022xf x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，所以ln22xa xx>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，可得2221ln 1ln 222()122x xx g x x x ---=-=¢，因为2x >，ln 02x >，可得21ln 202x x --<，所以()0g x ¢<，所以()g x 在区间()2,¥+上单调递减，所以()()22g x g <=-，所以2a ³-，所以，实数a 的取值范围为[2,)-+¥.故答案为：[2,)-+¥.14. 已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()(n n a g g g g n n n n-=+++×××+（*n ÎN ），则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】 ①. (1,2) ②. 42n a n =-【解析】【分析】利用中心对称的定义求出()g x 图象的对称中心，利用函数()g x 的对称性及倒序相加法求出通项.【详解】函数e 1()e 1x x f x -=+的定义域为R ，e 11e ()()e 1e 1x x x x f x f x -----===-++，由()(1)2g x f x =-+，得(1)()2g x f x +=+，则(1)(1)()()224g x g x f x f x -+++=-+++=，因此函数()g x 图象的对称中心是(1,2)；由(1)(1)4g x g x -+++=，得()(2)4g x g x +-=，当*n ÎN 时，11((24g g n n+-=，12321()()()(n n a g g g g n n n n -=+++×××+，2122231((((n n n n a g g g g n n n n---=+++×××+，于是24(21)n a n =-，即42n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.故答案为：(1,2)；42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD，若AB =，2AC =，CD =，求AD 长．【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；（2）利用余弦定理来求解边边角三角形，得到两解.【小问1详解】由)2cos cos cos b B a C c A =+，结合由正弦定理边化角可得)2sin cos sin cos sin cos B B A C C A ×=+，故()2sin cos B B A C ×=+，而()sin sin 0B A C =+>，所以cos B =B ∈(0,π)，所以π6B =．【小问2详解】在ABC V中，2AB AC ==,由正弦定理可得sin sin B ACB AB AC Ð=´=因为AD BC ∥，所以DAC ACB Ð=Ð，即sin DAC Ð=在ACD V 中，因为CD AC <3cos 4DAC Ð===，又因为2AC =，CD =，结合定理可得3cos 4DAC Ð==．的解得1AD =或2．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ÎN ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ìüíýîþ的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n l +-£+恒成立，求实数l 的取值范围．【答案】（1）2n n a = （2）3,2éö+¥÷êëø．【解析】【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列的通项，利用错位相减法求出n T ，再将题意转化为可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，求出n b 的最大值，即可得出答案．【小问1详解】由22n n a S =+，可得1122n n a S ++=+，两式相减可得：1122n n n a a a ++-=，所以12n n a a +=，令1n =，可得1122a a =+，所以12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为1222n n n a -=´=.【小问2详解】2log 2n n c n ==Q ，2n n n c n a \=．可得212222n n n T =++×××+，则2311122222n n n T +=++×××+，两式相减得：231111122111111222222212nnn n n n n T ++éùæö-êúç÷èøêúëû=+++×××+-=--111211222nn n n n +++æö=--=-ç÷èø，所以222n n n T +=-，因()()()22221n nn n n n T n l ++-=£+，则()12nn n l +£，原题意等价于关于n 的不等式()12nn n l +£恒成立，可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，令11n n n n b b b b +-³ìí³î，则()()()()()11112221122n n nn n n n n n n n n+-ì+++³ïïí+-ï³ïî，解得2n =或3，则1234b b b b <=>>×××，即当2n =或3n =时，n b 取到最大值32，可得32l ³，所以实数l 的取值范围3,2éö+¥÷êëø．17. 已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ì--+-££ï=í-<£ïî在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()gx 的二阶不动点，简称为稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,¥+，()f x 的单减区间为(],1-¥- （2）①23-；②32-，23-和1.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间.（2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解.【小问1详解】()f x 的单增区间为[−1,0]，(0,+∞)，()f x 的单减区间为(],1-¥-.【小问2详解】易知()222,2012,022x x g x x x ---££ìï=í-<£ïî①当020x -££时，()0022g x x =--，令()00g x x =得0022x x --=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，令()00g x x =得200122x x -=，解得01x =综上所述：函数()g x 的不动点为23-.②当021x -£<-时，()0022g x x =--，且()002g x <£，则()()()()2200000122222242g g x g x x x x =--=---=+令()()00g g x x =得，200024x x x +=，解得032x =-或00x =（舍）；当010x -££时，()0022g x x =--，且()020g x -££，则()()()()000022222242g g x g x x x =--=----=+令()()00g g x x =，得0042x x +=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，且()020g x -<£，则()()2220000112222222g g x g x x x æöæö=-=---=-+ç÷ç÷èøèø，令()()00g g x x =，得2002x x -+=，解得01x =或02x =-（舍）综上所述：函数()g x 的稳定点有3个，分别是32-，23-和1.18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cos sin22q jq jq j +--=，cos cos 2sinsin22q jj qq j +--=）【答案】（1）π5545cos12H t =-，[]0,24t Î． （2）π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；8min t =或20mint =【解析】【分析】（1）据题意，设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，由条件确定,,,A B w j 的值；（2）由题意，1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，进而求出高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，由余弦函数性质即可求.【小问1详解】设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，则2π12πT w ==，令0t =时，则sin 1j =-，π2j =-，又10010A B A B +=ìí-+=î，解得4555A B =ìí=î，所以πππ45sin 555545cos 12212H t t æö=-+=-ç÷èø，[]0,24t Î．【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3．不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，则1ππ45sin 55122H t æö=-+ç÷èø，9ππππ5π45sin 5545sin 551223126H t t æöæö=--+=-+ç÷ç÷èøèø，所以高度19πππ5π45sin sin 122126h H H t t æöæö=-=---ç÷ç÷èøèø，由参考公式得，上式π2πππ2π90cos sin 45cos 1236123t t æöæö=-=-ç÷ç÷èøèø从而高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；当π2πcos 1123t æö-=ç÷èø，即π2ππ123t k -=，N k Î时，解得812t k =+，N k Î，又[]0,24t Î，所以8min t =或20min t =，此时高度差h 的最大值为45m ．19. 已知 a ÎR ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a 的值；为（2）若()()()12122f x f x x x ==¹，求证：12112x x a+>.【答案】（1）1 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别对()f x ，()g x 求导，讨论0a £和0a >，得出()f x 和()g x 的单调性，即可求出()f x ，()g x 的极小值，即可得出答案.（2）令1211,m n x x ==，由()()()12122f x f x x x ==¹可得1ln ln m na m n -=-，要证12112x x a +> ，不妨设0n m <<，所以只要证()2lnm n m n m n ->+，令()1m t t n =>，()()()21ln 11t h t t t t -=->+，对()h t 求导，得出()h t 的单调性，即可证明.小问1详解】()f x ，()g x 定义域均为(0,+)¥，()221,a a xf x x x x-+¢=-+=， 当0a £时，则()0f x ¢>，()f x 在(0,+)¥单调递增，无极值，与题不符；当0a >时，令()=0f x ¢，解得：=x a ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +¥单调递增，∴在=x a 取极小值，且()1ln f a a =+； 又()1g x a x¢=-，当0a £时：()0g x ¢<，()g x 在(0,+)¥单调递减，无极值，与题不符；当0a >时：令()=0g x ¢，解得：1x a=，所以()g x 在10,a æöç÷èø单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø单调递增，∴在1x a =取极小值，且11ln g a a æö=-+ç÷èø； 由题：，解得：=1a .【小问2详解】【令1211,m n x x ==，因为12x x ¹，所以m n ¹，由()()()12122f x f x x x ==¹可得：()()1122+ln =2ln =21ln =22+ln =2ax x am m an n a x x -Þ-ìïìïïííïîïïîL L ，（1）-（2）得：()ln ln a m n m n -=-，所以1ln ln m n a m n-=-，要证：12112x x a +> ，只要证：2m n a +> ，只要证：2ln ln m n m n m n-+>-， 不妨设0n m <<，所以只要证：()2lnm n m n m n->+， 即证：21ln 1m m n m n næö-ç÷èø>+，令()1m t t n =>，只要证：()()21ln 11t t t t ->>+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+， ()()()()()()()222221211114111t t t h t t t t t t t +---¢=-=-=+++，所以()h t 在()1,t Î+¥上单调递增，∴， 即有()()21ln 11t t t t ->>+成立，所以12112x x a +>成立.。
福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析
厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。
河北省石家庄市2024届高三教学质量检测(三)数学试卷
石家庄市2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（三）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2ii z -=，则|z |=（）A.B.C.3D.5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求复数的模长即可.【详解】由已知得2i (2i)i 2i 112i i i i 1z --+====--⨯-，所以z ==，故选：B.2.已知圆221:1C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，则两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径11r =，圆2226890C x y x y +--+=:的圆心()23,4C ，半径24r =，则12125C C r r ===+，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选：C.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为195,1,627n S a S a ==+，则5S =（）A.25 B.27C.30D.35【答案】A 【解析】【分析】借助等差数列及其前n 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有()()1117894262a a d a d ++⨯++=，又11a =，则()()62714914d d =⨯+++，解得2d =，则()511425252S ++⨯⨯==.故选：A.4.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y =B.33y x =±C.32y x =±D.233y x =±【答案】B 【解析】【分析】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，由题意可得3=，可求b ，由已知可求a ，可求渐近线方程.【详解】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，双曲线的渐近线方程为0by ax ±=，由点到直线的距离公式可得3b ===，又双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>a =所以双曲线C 的渐近线方程为30y ±=，即3y x =±.故选：B.5.设,,αβγ是三个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则m l ∥B.若,,m l αβαβ⊂⊂ ，则m l∥C.若,,m l m αβαβ⊥⋂=⊥，则l β⊥ D.若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则αγ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则//l α或l ⊂α，无法确定m 与l 的关系，错误；对于B 选项，根据面面平行的性质定理，缺少m l ∥的条件，它们可能平行或异面，错误；对于C 选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件l ⊂α，,l β平行、相交或l β⊂均有可能，错误；对于D 选项，若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则l γ⊥，由面面垂直的判定定理可得αγ⊥，正确.故选：D6.某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（）A.24B.10C.16D.12【答案】D 【解析】【分析】分乙值前两天，乙值后两天及乙不值第一天和最后一天进行讨论即可得.【详解】若乙值前两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙值后两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙不值第一天和最后一天，共有1222C A 4=，共有44412++=种不同安排方法.故选：D .7.已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（）A.13B.16C.17D.2【答案】C 【解析】【分析】借助()βαβα=+-对已知化简，可求出()tan αβ+的值，再由()()tan tan βαβα=+-可解.【详解】因为()2sin cos sin βαβα=+，即()()2sin cos sin αβααβα⎡⎤+-=+⎣⎦，所以()()()2sin cos 2cos sin cos sin αβααβααβα+-+=+，整理得()()2sin cos 3cos sin αβααβα+=+，变形得()31tan tan 22αβα+==，所以()()()tan tan 1tan tan 1tan tan 7αβαβαβααβα+-⎡⎤=+-==⎣⎦++.故选：C8.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，斜率为()0k k >的直线过F 与C 交于,P Q 两点，若FP FQ -=，则k 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程，联立曲线后得到横坐标有关韦达定理，结合焦半径公式计算即可得解.【详解】由2:8C y x =可得()2,0F ，则():2PQ l y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()22224840k x k x k -++=，42421664641664640k k k k ∆=++-=+>，212224884k x x k k++==+，124x x =，由焦半径公式可得1122p FP x x =+=+，2222pFQ x x =+=+，则12FP FQ x x -=-=，则有21284422k x k ++==+，22284422k x k -+==+，21224254x x k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得2k =±，又0k >，故2k =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人【答案】ABD 【解析】【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.【详解】根据题意，设A ={x x 是参加100米的同学}，B ={x x 是参加400米的同学}，C ={x x 是参加1500米的同学}，则()()()card 8,card 7,card 5,A B C ===且()()()card 4,card 3,card 3,A B A C B C === 则()()()card 128754332A B C ⎡⎤=-++-++=⎣⎦ ，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.故选：ABD10.函数()()ππ4sin 02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.π6ϕ=-B.()f x 的图象关于直线πx =对称C.()12π4cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.若方程()2f x =在()0,m 上有且只有5个根，则26π,10π3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象可求得函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.【详解】对于A ，由()02f =-，得4sin 2ϕ=-，即1sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π6ϕ∴=-，故A 正确；对于C ，又()f x 的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 036ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ36k ω∴-=，即得132k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，12ω∴=，所以()1ππ12π12π4sin 4sin 4cos 2622323f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于B ，因为()1π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，而()ππππ4sin 4sin 263f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故直线πx =不是函数()f x 的对称轴，故B 错误；对于D ，由()2f x =，得12π1cos 232x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得2π4πx k =+或2π4π3k +，Z k ∈，方程()2f x =在()0,m 上有5个根，从小到大依次为：2π14π26π,2π,,6π,333，而第7个根为10π，所以26π10π3m <≤，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 的中点，则下列说法正确的有（）A.若点O 为BD 中点，则异面直线MO 与1CC 所成角的余弦值为5B.若点N 为线段BC 上的动点（包含端点），则MN DN +C.若点P 为CD 的中点，则平面AMP 与四边形11CDD C D.若点Q 在侧面正方形11ADD A 内（包含边界）且1MQ AC ⊥，则点Q 【答案】BD 【解析】【分析】取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，可判断A ；将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，根据两点间线段最短可判断B ；对于C ，如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，取11A B 靠近1B 的四等分点，则可证明//MF AP ，判断C ；并确定点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A 内的线段，判断D.【详解】对于A ，取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，则1//CC ME ，所以OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，在Rt OEM △中，25cos 5ME OME OM ∠==，故A 错误；对于B ，将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，如图连接DM ，交BC 与点N ，此时MN DN +最小，且MN DN DM +===B 正确；对于C ，如图，以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,1,0,1,2,2,A P M 因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，所以平面AMP 与平面1111D C B A 的交线为过点M 且平行于AP 的直线，取11A B 靠近1B 的四等分点F ，连接FM ，并延长交11C D 于点S ，连接SP ，交1CC 于点T ，由32,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0,2,1,02MF AP ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则12MF AP =-，则//MF AP ，所以MF 为平面AMP 与平面1111D C B A 的交线，则SP 为平面AMP 与平面11CDD C 的交线，所以TP 为平面AMP 与四边形11CDD C 的交线，由于11Rt Rt FB M SC M ≅ ，所以1112SC FB ==，又1Rt Rt SC T PCT ，所以43CT =，则53PT ==，故C 错误；对于D ，因为点Q 在侧面正方形11ADD A 内，设(),0,Q x z ，则()()12,2,2,1,2,2A C MQ x z =--=---，因为1MQ AC ⊥，所以()()214220x z -----=，化简为1x z +=，则点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A，故D 正确.故选：BD【点睛】关键点睛：本题选项D 为空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是利用空间直角坐标系探索出动点的轨迹.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数a 的值为______．【答案】0.015【解析】【分析】利用直方图直方块总面积为1，进行运算解出a 即可.【详解】由直方图可知：组距为10，所以()100.0050.0200.0400.0201a ⨯++++=，解得0.015a =.故答案为：0.015.13.给定函数()()21,f x x x g x x x=+=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记()()(){}max ,M x f x g x =．若函数()y M x =的图象与y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是______．【答案】()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在同一坐标系下画出()()21,f x x x g x x x=+=+的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线y a =，进而求出a 的取值范围即可.【详解】由()()()2221010x x x x f x x x x x x ⎧+≤-≥⎪=+=⎨---<<⎪⎩或，()1g x x x =+，因为()()(){}max ,M x f x g x =，所以图象变为：其中()()2max1104x xx +=-≤≤，当且仅当12x =-时取最大值；且设两函数在第一象限的交点为P ，即当0,0x y >>，()()21f x x xg x x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：()1,2P ，由题意y a =与函数()y M x =的图象有3个不同的交点，由数形结合易知：10a 4<<，或2a >，故答案为：()10,2,4∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.14.已知数列{}n a 满足：12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，定义：()mod4a b ≡表示整数a 除以4的余数与整数b 除以4的余数相同，例：()()19mod4,622mod4≡≡．设()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，其中*k ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则4b =______；满足2024m S ≥的m 最小值为______．【答案】①.2②.40【解析】【分析】由12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，则得当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，即可得4b ，取()*4n s s =∈N，计算出nS后，再计算40S 及39S 即可得解.【详解】由212n n n a a a ++-=，则3415a =+=，410212a =+=，则1a 、2a 、3a 都不是4的倍数，4a 是4的倍数，5432a a a =+，不是4的倍数，65443252a a a a a =+=+，不是4的倍数，76543434321042125a a a a a a a a a =+=+++=+，不是4的倍数，87643434322410522912a a a a a a a a a =+=+++=+，是4的倍数，依次可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，由()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，则有当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，则44422b ==；当()*4n s s =∈N，12123256722snS=+++++++++ ()212344222484s s s =+++++++++-+++ ()()()212144442122ss s s s -+⨯+=+--21221822222622s s s s s s s ++=++---=+-，当40n =，即10s =时，有14021610226002048226462024S =⨯+-=+-=>，01040394264622646102416222024S b S =-=-=-=<，故满足2024m S ≥的m 最小值为40.故答案为：2；40.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当k 是4的倍数时，42kkb =，当k 不是4的倍数时，k b k =，从而可通过计算当()*4n s s =∈N 时的n S .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．（1）若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）14（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得sin ,sin 66a bA B ==，从而可求sin sin A B ⋅的值；（2）利用基本不等式可得22218a b ab +≥=，再根据余弦定理可得cos C 的范围，从而可得sin C 的范围，结合三角形面积公式，即可得ABC 面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理6sin sin sin c b a C B A ===，可得sin ,sin 66a bA B ==，91sin sin 66364a b A B ∴⋅=⋅==【小问2详解】9ab = ，22218a b ab ∴+≥=，由余弦定理可得2222161cos 2189a b c ab C ab +--=≥=，1cos 19C ∴≤<，()28001cos 81C ∴<-≤，0sin 9C ∴<≤，19sin sin 22S ab C C ∴==≤，当且仅当3a b ==时，等号成立，此时ABC 面积取得最大值16.在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量()315x x ≤≤（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．x57911y200298431609企业研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：经验回归方程①：311733ˆx y =+；经验回归方程②：26860ˆ1yx =-．其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差=观测值-预测值）：（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y 关于x 的回归方程，并说明理由；x57911y200298431609ˆe（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X ，总利润为Y ．（ⅰ）求Y 与X 的关系式，并求()E X 和()E Y ；（ⅱ）记该月的成本利润率p ，在（1）中选择的经验回归方程下，求p 的估计值．（结果保留2位小数）附：成本利润率=总利润总成本.【答案】（1）残差数据表见解析，经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程（2）（ⅰ）1805Y X =+，()7.2E X =，()216E Y =；（ⅱ）0.29【解析】【分析】（1）先列出经验回归方程②的残差数据表以及经验回归方程②的残差图，对比回归方程①进行选择，并给出理由即可；（2）对于（ⅰ），先求出优等品的概率，分析得出()12,0.6X B ~，进而得出求Y 与X 的关系式，并解出()E X 和()E Y 即可；对于（ⅱ），由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），再求出p 的估计值即可.【小问1详解】经验回归方程②的残差数据如下表：x57911y200298431609ˆe 2018-21-21经验回归方程②的残差图如图所示：经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程.（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小.理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄.理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x 轴.【小问2详解】（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率0600.6100P ==，则()12,0.6X B ~，因此()120.67.2E X =⨯=，由()2015125180Y X X X =+⨯-=+，则()()5180216E Y E X =+=；（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），则2160.29749p =≈.17.已知函数()()()211ln 02f x x a x a x a =-++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，若函数()()211e 2x g x f x x -=-+，求函数()g x 极值点的个数．【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导得()()21x a x af x x'-++=，分类讨论当01a <<，1a >，1a =时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可；（2）求导得()12e 3x g x x --+'=，令()12e 3x h x x-=-+，求导确定其单调性与最值，从而可得()g x 的单调与极值情况.【小问1详解】()()()211x a x a a f x x a x x-++=-++='()()1,0x x a x x --=>，当01a <<时，当()()0,,1,x a x ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当(),1x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减．当1a >时，当()()0,1,,x x a ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当()1,x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当1a =时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+单调递增．【小问2详解】2a =时，()()112e32ln ,e 3x x g x x x g x x--=-+-+'=，设()()()11222e3,e ,x x h x h x h x x x--=-+-''=在区间()0,∞+单调递增．因为()()1110,2e 02h h ''=-=-，所以存在唯一()01,2x ∈使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，即()g x '单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增，即()g x '单调递增．()10g '=，且()g x '在()01,x 单调递减，所以()00g x '<，又()2e 20g ='->因此()g x '在区间()0,2x 存在唯一零点t当()()0,1,,x x t ∞∈∈+时，()()0,g x g x '>单调递增；当()1,x t ∈时，()()0,g x g x '<单调递减；所以()g x 极值点为1,t ，因此()g x 极值点个数为2.18.如图，在五棱锥S ABCDE -中，平面SAE ⊥平面AED ，,AE ED SE AD ⊥⊥．（1）证明：SE ⊥平面AED ；（2）若四边形ABCD 为矩形，且1,3SE AB AD ===，2BN NC =．当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时，求三棱锥D SAE -体积．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量可得当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时EAD ∠的大小，结合体积公式计算即可得解.【小问1详解】因为平面SAE ⊥平面,,AED DE EA DE ⊥⊂平面AED ，平面SAE 平面AED AE =，所以DE ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以DE SE ⊥，又因为,SE AD ED AD D ⊥= ，且,AD DE ⊂平面AED ，所以SE ⊥平面AED ；【小问2详解】以E 为坐标原点，分别以,,EA ED ES 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设π0,2EAD θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()3cos ,0,0,0,3sin ,0,0,0,1A D S θθ，可得CD 与y 轴夹角为θ，所以()sin ,cos ,0DC θθ=，()1cos ,sin ,03CN DA θθ==-，()sin cos ,cos sin ,0DN DC CN θθθθ=+=+-，()()3cos ,0,1,0,3sin ,1SA SD θθ=-=- ，平面SAD 的法向量记为(),,n x y z =，由00n SA n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3cos 03sin 0x z y z θθ-=⎧⎨-=⎩，令3sin cos z θθ=，得()sin ,cos ,3sin cos n θθθθ=，22cos ,DN n =，即26cos ,13DN n =，当π4θ=时，等号成立，此时，直线DN 与平面SAD 的所成的角取得最小值，此时119313344D SAE ADE V S SE -=⋅=⋅⋅= .19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(F F O 为坐标原点，直线l 与C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，点B 在第四象限且满足直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-．当l 垂直于x 轴时，1232F A F B =- ．（1）求C 的方程；（2）若点P 为C 的左顶点且满足(0,0)OP OA OB λμλμ=+<<，直线PA 与OB 交于1B ，直线PB 与OA交于1A ．①证明：22λμ+为定值；②证明：四边形11AB A B 的面积是AOB 面积的2倍．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）取l 垂直x 轴特殊情况研究，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，且1232F A F B ⋅=- 求出A 点坐标，再代入椭圆方程待定系数法求解即可；（2）①由OP OA OB λμ=+建立,,P A B 坐标之间关系，利用,,P A B 在椭圆上及直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-消去1122,,,x y x y ，即可得证；②设()()()()1122133144,,,,,,,,:A x y B x y A x y B x y l x my n =+，利用韦达定理将直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-表示出来即可得到,m n 的关系2224n m =+，再表示出AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠；若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．转化为证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，由题将,y y 34用12,y y 表示，化简即可.【小问1详解】当l 垂直x 轴时，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故11:,:22OA y x OB y x ==-，设()()()2,,2,0A t t B t t t ->，则22212343332F A F B t t t ⋅=--=-=- ，解得2t =，即22A ⎫⎪⎪⎝⎭，则222221123a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1a b ==，故C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】（2）①设()()()1122,,,,2,0A x y B x y P -，由OP OA OB λμ=+ 知121220x x y y λμλμ-=+⎧⎨=+⎩①②，将224+⨯①②得()()22121244x x y y λμλμ+++=，即()()()2222221122121244244xy x y x x y y λμλμ+++++=．由,A B 为C 上点，则2222112244,44x y x y +=+=．又直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故121214y y x x =-，即121240x x y y +=．因此221λμ+=；②由题直线l 斜率不为0，设()()()1122:,,,,,2,0l x my n A x y B x y P =+-由①联立2244x y x my n⎧+=⎨=+⎩，消去x 得()()222224240,Δ1640m y mny n m n+++-==+->，212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++，由()()12121212440x x y y my n my n y y +=+++=，即()()()()2212121212440my n my n y y m y y mn y y n +++=++++=，即2224n m =+．因此有()()22212121212122244,,42m n y y y y y y y y y y n n n-+=-=-=+-=．AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠，即若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．设()()133144,,,A x y B x y ，故只需证3142122y y y y y y -⋅-=⋅即可．直线12122:2,:x xPA x y OB x y y y +=-=，联立解得()12124122212122222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+，同理得()12123211121212222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+．故()()()()()2222123142121212222212121224222482824n n y y n y y y y y y y y y y n n n y y n y y y y n n ++⋅--⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+-----+-+故问题得证．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将212S S =表示为112A A B B OA OB ⋅=⋅后将同一直线上的弦长比值问题转化为纵坐标的比值问题，即证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，而,y y 34可以用12,y y 表示出来，从而达到消元化简的目的.。
2024届高三数学模拟检测(广东专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。
重庆市2024届高三第三次联合诊断检测数学试卷(解析版)
2024年重庆市高考数学三诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}A x x =-=，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，则=a （）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用子集的概念求解.【详解】集合{}2{|10}1,1A x x =-==-，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，又11a a +>-，所以1111a a +=⎧⎨-=-⎩，解得0.a =故选：B2.设复数z 满足2i 1z z -=，则z 的虚部为（）A.13B.13-C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】设复数i(,R)z a b a b =+∈，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b 的值，即可求解.【详解】设复数i(,R)z a b a b =+∈，因为复数z 满足2i 1z z -=，可得()22i i i 1a b a b +--=，即()22i 1a b b a -+-=，则21a b -=，20b a -=，解得13b =，所以复数z 的虚部为13.故选：A.3.已知一种服装的销售量(y 单位：百件)与第x 周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x ，y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则=a （）x 12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】解：由统计图表中的数据，可得()11234535x =⨯++++=，()116663155a y a +=⨯++++=，即样本中心为16(3,5a +，因为两变量,x y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则161.337.95a+-⨯+=，解得 4.a =故选：C.4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC. D.4π【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为π4，所以底面圆的半径为2sin π4r ==，所以该圆锥的侧面积为π2S ==侧.故选：C5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）A.402400C B.242400C C.122400C D.102400C 【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样的性质计算即可。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
![湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ff4af47fe00bed5b9f3f90f76c66137ee064fdd.png)
长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学模拟卷注意事项：1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟.2 .使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰. 出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3 .答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 只有一个选项符合题目要求.A.若m//,n/ /，则m//nB.若, ，则//C.若m//,m//，则//D.若m,n , 则m//n4.已知函数 f x sin x —0的最小正周期为，则该函数的图象4在每小题给出的四个选项中,1已知集合A x log 2X 1 ，B= 2x,x 0，则A. x1 x 2 B. x1 c. x1 x 2log 3,c log s2cos—4 ，则a,b,c关系正确的是A. b>a>cB.a>b>c c. b>c>a D. c>b>a3.已知是m, n两条不同直线, 是三个不同平面，下列命题中正确的是A .关于直线X -对称B.关于点2°对称C.关于直线x 对称4x 5.已知x, y满足约束条件xy D .关于点，0对称8y 4 0y 4 0，贝U z=3x+2y的最大值为0A,6 C. 10 D. 12A .仝B.6C.丄D. _634337. 已知正实数X, y满足21 d卄1,右X2y m22m恒成立, 则实数m的取值范围是X yA. 2,4B. 4,2C. ,24,D. , 4 2,&已知函数f X X ln X , 则f X的图象大致为则实数m的取值范围是6•已知a,b为平面向量，若a b与a的夹角为3，aab与b的夹角为—，则b29.若曲线C i: X2y 2X 0与曲线C2：X 1 y mx m 0有四个不同的交点,A. B. ,0 3 .D.10.已知函数f XX2 m,x 0,2，若函数yX 2mx,x 0.X m恰有3个零点，则实数m的取值范围是1A. ,B.2,1 C . 1J D .1,二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分, 共25分.11.在等比数列a n中，若a2 1，则其前3项和S3的取值范围是12 .若某个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是A D C D4为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于两点P, Q ,若/ PAQ=60uuu uuu且OQ 3OP ，则双曲线的离心率为其中“ Z 函数”对应的序号为三、解答题：本大题共 6个小题，共75 分. 16. (本小题满分12分)(1) 求角A 的大小;⑵若a 2 3，求△ ABC 面积的最大值.17. (本小题满分12分) 已知等差数列 a n 的首项a 1 1,a 2为整数，且a 3 6,8(1)求数列 a n 的通项公式;S n 108恒成立？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.13.函数 f x 2sin15 . 若定义在 R 上f (x )对任意两个不等的实数为，X 2都有N f N x 2 f x 2 x j fx2x 2f x ,，则称函数f (x )为“ Z 函数” .给出下列四个函数：① y =— x 3+i ，② y =2x ,In x , x y0,x 0，④yx 2 4x, x 2x x, x已知△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,tan A tan B2ctan Bb［来源学科网］⑵设b na n 2六，S nb 1 b 2 b n ,问是否存在最小的正整数n ,使得来源学&科&网］象如右图所示，将f x 2x 14 .已知双曲线C : -yab18. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，/ ADC=90 ° , AB//CD ,1 _AB= , 2，平面 PBC 丄平面 ABCD .2（1）求证：AC 丄PB ; ⑵在侧棱PA 上是否存在一点 说明理由.19. （本小题满分12分）随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环•某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p 与日产量X （件）之间近似地满x N ,（日产品废品率=日废品量 100%）15已知每生产一件正品可赢利 2千元，而生产一件废品亏损 1千元. （1）将该厂日利润y （千元）表示为日产量x （件）的函数； ⑵当该厂的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是多少？（1）求f x 的解析式;-,若对任意的为 1,1，总存在x 21,e ,使得x20.（本小题满分 已知函数f x 13分）mx~2x m, n R 在x =1处取得极值2.［来源学科网］7成立, 2求实数a 的取值范围.AD=DC=2------- ,1 x足关系式p 年xx 20 “ ,10480日产量⑵设函数g x In21 .(本小题满分14分)已知点P是椭圆C上任意一点，点P到直线11 : x 2的距离为d,，到点F(- 1, 0)的距pl /Q离为d2，且:三，直线1椭圆C交于不同的两点A,B ( A, B 都在X 轴上)，/ OFA+ / OFB=180 ° .(1) 求椭圆C的方程；(2) 当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；(3) 对于动直线l，是否存在一个定点，无论/ OFA如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.10高三数学（文科）参考答案及评分标准D B A A D1说明：第9题曲线C 2的方程应为：（x ）（y mx m ） 0.、填空题13. y 2sin 2x 14.15.②④2由同角三角函数基本关系和正弦定理得， (1)35又A 0,，所以A -.3(2)由余弦定理得：12 b 2 c 2 2bccos —,3 即: b 2 c 2 bc 12 ,所以12 b 2 c 2 bc 2bc bc bc ，当且仅当b c 2、、3时取等号，分sin A sin B tan B bcosA cosB2s in Csin B sin B ，cosB分、选择题 C B D A D11.( , 1]U[3, ) 12. 12三、解答题分又 A B C ,所以 sin( A B) sinC ，1所以cos A -. 2分16.解：(1)因为 tanA tanB 2c整理得：sin ^l 2si nC ,cos A所以s ABCIbcsin—丄2 3 212宁33，10d ， 由a 1 2即ABC 面积的最大值为33.1217.解：（1）设等差数列a n 的公差为 1 , a 2为整数，可知d 为整数, 又 a 31 2d6,8 知,3.所以a n 3n（2）由（1）知，b n a n 3n疋S n 3(1 2 31 n)1 1 (1)n8TT8|n(n 1) 1 1 (1)n2 7 8[来源:]要使S n|n(n 1)（8）n108恒成立,只需(n 1)10810解得（舍），11所以存在最小的正整数 n 8使得 S n 108恒成立.18.（ 1 ）证明：取AB 的中点 E ，连结CE ， 1 ••• AB//CD , DC 严, ••• DC // AE , DC AE ,•••四边形AECD是平行四边形.又••• ADC 90，•四边形AECD是正方形，•CE AB.•CAB为等腰三角形，且CA CB 2,AB 2,2 ,•AC2 CB2 AB2,.•• AC CB, (3)分•••平面PBC 平面ABCD，平面PBC I平面ABCD BC ,AC CB , AC 平面ABCD .• AC 平面PBC .又••• PB 平面PBC , • AC PB . (6)分(2)当M为侧棱PA的中点时，DM //平面PCB . ................................................... 7分证明：取PB的中点N，连接DM , MN ,CN .在PAB 中，MN 为中位线，MN//AB，MN 1AB '一2.2 由已知AB// CD，所以MN // CD .又MN CD ,2，四边形MNCD为平行四边形•DM // CN .-10分又DM 平面PCB，CN平面PCB，DM // 平面PCB•- 12 分18x 2x219•解：（1）由题意可知，当 1 x9时，y 2x(1 p) px...... 2分12 x当10 x 15时，15x 2 xy 2x(1 p) px (4)816018x 2x 2 , ,1 x所以该厂日利润 y 12 x15x"8-12分解得m 4，4x故f(x)厂 当1x 6 时，y 0，函数单调递增，当6 x 9 时，y 0 ,函数单调递减，而x 6 时，y max6 , .............................................................................. 8分 当10 x 15 时，15 3x 2令y 一——0，解得x 10,…….............. 9分当10x 15 时， y 0，函数单调递减，18舍去）,6分所以当x 10时,11分 ymax3x ,10 x 16015当1 x 9时，令y2x 2 48x(12 x)2 216解得x 6 ( x 257， 由于256，所以当该厂的日产量为 10件时,日利润最大，为至千元.220.解:(1)f '(x) m(x 2 n) 2mx 2(x 2 n)22mx mn—2 (x n)因为 f (x)在 x 1 处取到极值为2,所以 f'(1) 0, f(1) 2，mn m (1 n)20,经检验，此时 f(x)在x 1处取得极值.由(1)当x 1,1 时，f '(x)4 1 x 2 x 21 20恒成立所以f X在1,1上单调递增分[来源:]有g'(x) 0，单调递增，所以函数g(x)最小值为f(a) ln a 1，3解不等式lna 1 —,得到0 a 晶2 '从而知1 a . e符合题意•③当a e时，显然函数g(x)在1,e上单调递减，其最小值为a 3 人g(e) 1 - 2 _，舍去• (12)e 2分综上所述，a的取值范围为a . e. (13)d2 , X 1 2 y2,-d2 x 1 2 y2x 2l -i，化简得—y2 1 , 2 2所以f X 在1,1上最小值为f 1所以f X 1,1上最小值为f依题意有g ( x) min 函数g (x) In x2a的定义域为(0,xg'(x)x a2~x①当a 时，g'(x) 0 函数g(x) 在1,e上单调递增，其最小值为g(1) 1 -合题意;2②当1 e时，函数g(x)在1,a 上有g'(x) 0，单调递减，在a,e上分x 221.解：(1)设P(x, y)，则d41022•••椭圆C 的方程为—y 1.2 分 (2) A(0,1), F( 1,0) • k AF 0 ( 1)又••• OFA OFB 180 , • k BF 1 , l BF ： y1(x 1) x 1. 42与x2y1联立,解得x,或者21 y —3• B4 13' 3,11 - 1分于是 k AB 3 • AB : y 门42，3x 0(舍去)y 1 (7)ix1.直线l 的方程为X 2y 2 0.分 2 xy2 1，得 (3)联立 2y kx m 21 2 2k x 2kmx m 10.设 A(X 1,yJ , B(X 2,y 2)2 ,OFA OFB 180 k AF k BF 0.i, i, y 1 y 2kx-i m kx 2 mk AFk BFX 1 1 X 21 X 1 1 x 21kx 1 m x 2 1 kx ? m x 1 1x 1 1 x 2 1m 2k 0,分 •••直线AB 方程为y 直线l 总经过定点M 2,02km2m 1 AX 1X 2.2 1 , kk22X i X 2kx 1 m X 2 1kx 2 m X 1 1 =2kx 〔X 222k 」k 2 12k m x 1 x 2 2m如2m k2 21314。