2019届湖北省武汉市高三4月调研测试数学(理)试题(解析版)

解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，
每个村小学至少分配1名大学生，
基本事件总数n 36，
小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 12，
∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p ．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【点睛】
本题考查向量的数量积的定义和性质，以及垂直的性质和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
11．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为 ，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 .若他第1球投进的概率为 ，则他第2球投进的概率为（）
【详解】
解：（1）由 知 ，
，
由正弦定理 可知
，
（2） ，
，
三角形 的面积 ，
而
.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ，且平面
【详解】
解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为 120人，
故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．
故选：A．
【点睛】
本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．
5．为了得到函数 的图像，可以将 的图像（）
A．向右平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
【解析】（1）推导出x＞0，f′（x）＝ ，设h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，则y＝h（x）在（0，2）上存在两个零点，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出实数a的取值范围；
14．已知过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ， 的斜率之和为 ，则直线 方程为___．
【答案】
【解析】设出直线方程，联立方程利用韦达定理建立等量关系，即可得到直线的方程.
【详解】
设
，
∴
∴直线 方程为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质、直线的方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．
当直线 斜率不存在时，联立 得 ，
不妨设
， ，
.
可知 .
综上
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于中档题目．
20．已知函数 （ ， 为常数）在 内有两个极值点 ， （ ）
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】(1) (2)见证明
即 ,
,
,
所以
.
所以 ，
即M的最小值为：2；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三次函数的性质以及绝对值三角不等式的运用求最值，属于中档题．
二、填空题
13．已知实数 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_______．
【答案】
【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．
【详解】
15．已知数列 前 项和 满足 ，则 ______．
【答案】
【解析】由已知数列递推式可得 ，得到 （n≥2），结合 即可求得a4的值．
【详解】
解：由 ，得：
，
∴ （n≥2），
由 ，a1＝﹣1，得a2＝﹣1，
∴ ， ．
故答案为：11．
【点睛】
本题考查数列递推式，考查数列中项的求法，考查转化能力与计算能力，是基础题．
2019届湖北省武汉市高三4月调研测试数学（理）试题
一、单选题
1．设复数 满足 ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由 ，得1+2z＝i﹣iz，
∴z ．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本运算，是基础题．
代入双曲线C： ，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0
设此方程两实根为 ， ，则
又P（4，2）为AB的中点，
所以 8，
解得k＝1
当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0． ＝8， ＝10
|AB| | | • 4 ．
16．在四面体 中，若 ， ， ，底面 是边长为 的正三角形， 为 的中心，则 的余弦值为______．
【答案】
【解析】如图建立空间坐标系，利用长度关系明确P点坐标，借助向量夹角公式得到结果.
【详解】
,
设
∵
∴
,
故答案为：
【点睛】
本题以棱锥为背景，考查角的大小的度量，考查空间坐标法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.
(2)对k讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t的恒成立方程进行求解．
【详解】
解：（1）有椭圆 的右焦点为 ，知 ，即 ，
则：
又椭圆过点 ，则 ，又 ，求得
椭圆方程： .
（2）当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，
由 得 ，即 ，
在椭圆内部， ，
，
则
，
③
将①②代入③得
，
，
，
则
，即 ，
又 是 两个根， ，
解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z＝y﹣x与直线x﹣y﹣1＝0重合时，z取得最小值；
由 解得C（﹣5，﹣6），由 ，解A（1，0），
目标函数z＝y﹣x经过为可行域的A时，取得最小值：﹣1．
故目标函数z＝y﹣x的最小值是﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合思想，属于中等题．
【考点】线面垂直的性质定理.
7．已知 且 ，函数 在 上单调递增，那么实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：a＞0且a≠1，函数 在R上单调递增，
可得： ，解得a∈（1，2]．
故选：D．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解一元二次不等式求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜0}；
∴A∩B＝（﹣1，0）．
故选：B．
【点睛】
本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
3．等比数列 中， ， ，则数列 前3项和 （）
由平面 ，平面 .
又
又
又
，
又
（2）由（1）知 ，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 与平面 垂直的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）知 ，则 轴.
由平面几何知识易得 ，
则
于是 ，
设平面 的法向量为 .
则 ，即 ，
取 ，则 ，则
同理可求得平面 的一个向量
于是
分析知二角面 的余弦值为 .
C．向左平移 个单位长度D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【解析】由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：将 sin（2x ）的图象向右平移 个单位长度，可得函数y＝sin2x的图象，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
6．已知两个Biblioteka 面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（）
A． B． C．1D．
【答案】B
【解析】试题分析：(1)当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，（1）错；（2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂直于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，（2）正确；（3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，（3）错；（4）过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面，（4）错.
8．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】基本事件总数n 36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．
【详解】
9．过点 作一直线 与双曲线 相交于 ， 两点，若 为 中点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为 ， ，利用韦达定理可表示出 的值，根据P点坐标求得 ＝8进而求得k，则直线AB的方程可得；利用弦长公式求得|AB|．
【详解】
解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）