高中数学课件：第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不等式的应用
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(2)法一：要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立． 就要使
12 3 mx－2 ＋4m－6<0
在 x∈[1,3]上＋4m－6，x∈[1,3]．
当 m>0 时，g(x)是增函数，
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∴g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0. 6 ∴0<m<7； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)是减函数， ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6.∴m<0. 6 综上所述：m<7.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
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[自主解答] 然－1<0.
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， m＝0， 若 显
若
m<0， m≠0， Δ＝m2＋4m<0
⇒－4<m<0.
∴－4<m≤0.
a<0， 时， Δ<0.
(3)f(x)≤a 恒成立⇔a≥[f(x)]max， f(x)≥a 恒成立⇔a≤[f(x)]min.
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[通一类] 2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4， (1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)<0恒成 立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
∴不存在 m 使 f(x)≥0 恒成立．
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[悟一法] (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条 件是：当 a＝0 时，b＝0，c>0； 当 a≠0
a>0， 时， Δ<0.
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(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数(或恒成立)的 条件是：当 a＝0 时，b＝0，c<0； 当 a≠0
16 所以，－ 3 <m≤－4.
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第 三 章 不 等 式
3.2
一元 二次 不等 式及 其解 法
第二 课时 一元 二次 不等 式的 应用
名 师 课 堂 · 一 点 通
考点一 考点二
考点三
创 新 演 练 · 大 冲 关
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[研一题] [例 1] 已知一元二次不等式 x2＋px＋q<0 的解集为{x|
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b 5 ∴a＝－3. c 2 又a＝－3， 5 2 ∴b＝－3a，c＝－3a. 2 2 5 ∴不等式变为(－3a)x ＋(－3a)x＋a<0，
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即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 1 所求不等式的解集为{x|－3<x<2}．
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1 b 1 c 法二： 由已知得 a<0 且(－3)＋2＝－a， 3)×2＝a知 c>0， (－ 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1·2＝ c， x a 其中 c＝ 1 3 ＝－2， 1 －3×2
1 1 －2<x<3}，求不等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
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[自主解答]
因为 x2＋px＋q<0 的解集为
1 1 1 1 {x|－2<x<3}，所以 x1＝－2与 x2＝3是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根． 1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1×－1＝q， 2 3 1 p＝6， 解得 q＝－1. 6
况不对．同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲
车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m， 又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 返回
0.1x＋0.01x2>12 解：由题意列出不等式组 0.05x＋0.005x2>10 x<－40或x>30， 分别求解，得 x<－50或x>40，
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1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－6x ＋6x＋1>0，整理
2
得 x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
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[悟一法]
求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx
＋c<0(a>0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方 程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解 集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的 函数的零点，也就是其对应的方程的根． 返回
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法二：当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x
2
1 3 x－ 2＋ >0， －x＋1＝ 2 4
6 又 m(x －x＋1)－6<0，∴m< 2 . x －x＋1
2
∵函数 y＝
6 6 6 ＝ 在[1,3]上的最小值为7， 12 3 x2－x＋1 x－2 ＋ 4
由于 x>0，从而可得 x 甲>30 km/h，x 乙>40 km/h. 答：经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
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已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数 m的取值范围．
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[解]
法一：设方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根为 x1，
Δ＝4m2－4－m＋12≥0， x2，由题意知：x1＋x2＝－2m>4， x －2x －2>0， 1 2
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[悟一法] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不 等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起 关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知 量，再根据题目中的不等关系列不等式．
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[通一类]
3．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑 行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离 ”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情
则 y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% 12 ＝－25m(x2＋42x－400)．(0<x≤8) 依题意，得 y≥2 400m×8%×78%， 12 即－25m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
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整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2，
根据x的实际意义，知0<x≤8，所以0<x≤2为所求． 因此x的取值范围是0<x≤2.
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m2＋m－12≥0， 即m<－2， 3m＋16>0， 16 所以，－ 3 <m≤－4.
m≤－4或m≥3， m<－2， 解得 16 m>－ 3 ，
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法二：设函数 f(x)＝x2＋2mx－m＋12，则 Δ≥0， f2＝22＋2m· 2－m＋12>0， 2m b －2a＝－ 2 >2， m≤－4或m≥3， 16 即m>－ 3 ， m<－2，
[通一类] 1 1．若不等式 ax ＋bx＋c≥0 的解集是{x|－3≤x≤2}，求不
2
等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
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解：法一：由 ax2＋bx＋c≥0 的解集为 1 {x|－3≤x≤2}知 a<0， 1 c 又(－3)×2＝a<0，则 c>0. 1 又－3，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， b 5 ∴－a＝3，
m吨，按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称 作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制 定了积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点， 收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后， 国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 返回
[自主解答]
设税率调低后的“税收总收入”为 y 元，
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1 －3＋2 b 1 1 5 －c＝ c ＝ 1 ＝ 1 ＋2＝－2， －3×2 －3 a 1 ∴x1＝ 1 ＝－3，x2＝2， －3 ∴不等式 cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为 1 {x|－3<x<2}. 1
b －a
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[研一题]
[例2] (2011· 抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
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解：(1)由题意可知， 只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4 与直角坐标系中的x轴无交点时，才满 足题意，
则其相应方程x2＋2(a－2)＋4＝0此时应满足Δ<0，即
4(a－2)2－16<0，解得0<a<4.
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(2)若对任意 x∈[－3,1]，f(x)<0 恒成立，则满足题意的 函数 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4 的图象如图所示． f－3<0， 由图象可知，此时 a 应该满足f1<0， －3<2－a<1，
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25－6a<0， 即1＋2a<0， 1<a<5，
25 a> 6 ， 1 解得 a<－2， 1<a<5.
高中数学 第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不等式的应用课件 新人教A版必修5
6 ∴只需 m<7即可．
本例中，是否存在实数m，使f(x)≥0恒成立？ 解：假设存在实数m，使f(x)≥0恒成立．
∵f(x)＝mx2－mx－1，且 f(x)≥0 恒成立，
m>0， ∴ Δ≤0. m>0， 即 2 m ＋4m≤0， m>0， ∴ －4≤m≤0，
1 －3＋2 b 1 1 5 －c＝ c ＝ 1 ＝ 1 ＋2＝－2， －3×2 －3 a 1 ∴x1＝ 1 ＝－3，x2＝2， －3 ∴不等式 cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为 1 {x|－3<x<2}. 1
b －a
[研一题]
[例2] (2011· 抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
b 5 ∴a＝－3. c 2 又a＝－3， 5 2 ∴b＝－3a，c＝－3a. 2 2 5 ∴不等式变为(－3a)x ＋(－3a)x＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 1 所求不等式的解集为{x|－3<x<2}．
1 b 1 c 法二： 由已知得 a<0 且(－3)＋2＝－a， (－3)×2＝a知 c>0， 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝ c， a 其中 c＝ 1 3 ＝－2， 1 －3×2
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－6x ＋6x＋1>0，整理
2
得 x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
[悟一法]
求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx
人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 含参数一元二次不等式的解法课时作
第2课时 含参数一元二次不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( B ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a ，∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( A )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0x ＋1≠0(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．3．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4[解析] 因不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 4．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为( D )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1][解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．5．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m ＜－2或m ＞2B ．－2＜m ＜2C ．m ≠±2D ．1＜m ＜3[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＜－2或m ＞2.6．下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查了分式不等式解法等．由1x >x 知1x －x >0，1－x 2x>0即x (1－x 2)>0，所以x <－1或0<x <1；由1x <x 2知1x －x 2<0，1－x 3x<0，即x (1－x 3)<0，所以x <0或x >1，所以不等式x <1x<x 2的解为x <－1，选A ．本题可也用特殊值代入法进行排除．二、填空题7．不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是__0<m <2__.[解析] x 2＋mx ＋m2>0恒成立，等价于Δ<0，即m 2－4×m2<0，解得0<m <2.8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是__0≤a ≤4__. [解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0a >0，∴0<a ≤4.综上知0≤a ≤4. 三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1>0； (2)axx ＋1<0.[解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0.当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x <－1或x >0， ∴解集为{x |x <－1，或x >0}．综上可知，当a >0时，原不等式的解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >0}．10．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0的解集是R? [解析] 由a 2－1＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，∴x >－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.当a ≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a ≤1.B 级 素养提升一、选择题1．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( A ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，因为f (x )在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，f (x )取最小值－3，所以m ≤－3.2．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( A )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R )⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，解得1<m <3.3．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解只有－2，则实数k 的取值范围是( A )A ．[－3,2)B ．(－∞，2)C ．(－3,2]D ．(－∞，2][解析] 由x 2－x －2>0得x <－1或x >2，由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0得(2x ＋5)(x ＋k )<0，依题意，结合数轴得－2<－k ≤3，即－3≤k <2.故选A ．4．已知不等式：(1)x 2－4x ＋3<0；(2)x 2－6x ＋8<0；(3)2x 2－9x ＋m <0.若同时满足(1)(2)的x 的值也满足(3)，则实数m 的取值范围是( C )A ．{m |m >9}B ．{m |m ＝9}C ．{m |m ≤9}D ．{m |0<m <9}[解析] 解不等式(1)得1<x <3.解不等式(2)得2<x <4，所以同时满足不等式(1)(2)的x 的取值范围是{x |2<x <3}．依题意，当2<x <3时2x 2－9x ＋m <0恒成立，即m <－2x 2＋9x 恒成立，而当x ∈(2,3)时，－2x 2＋9x ∈(9，818]．故当m ≤9时，m <－2x 2＋9x 恒成立．故选C ．二、填空题5．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是__{m |m ≥25}__.[解析] 令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7. ∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，m －116>1，f (1)>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R ，∴m 的取值范围是{m |m ≥25}．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__4__.[解析] 因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝a 2－4b ＝0，又f (x )<c 的解集为(m ，m ＋4)，即m ，m ＋4是方程x 2＋ax ＋a 24－c＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝－a ，m (m ＋4)＝a 24－c ，将a ＝－2m －4代入m (m ＋4)＝a 24－c ，整理得c ＝4.三、解答题7．(2019·山东寿光现代中学高二月考)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．8．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？[解析] 由题意可列不等式如下：(20－52t )·24 000·t %≥9 000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得，3≤t ≤5.所以t %应控制在3%到5%范围内．。
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
23
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
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课前自主预习
课堂互动探究
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t
一元二次不等式及其解法-完整版课件
第2课时 含参数一元二次不等式的解法
1 课前自主预 习
2 课堂典例探 究
3 课时作 业
课前自主预习
• 一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离
L与ω、v之间的关系式为L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以50km/h行
驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行 驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令 到实施刹车的时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)
• [辨析] 错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题
不全面导致错误．
[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立．当 k＝0 时满足，当 k≠0 时△k＞＝036k2－4kk＋8≤0 ， ∴0＜k≤1，综上得 0≤k≤1.
一元二 含 二参 次数 不的 等一 式元—根 正据 确情 进况 行分类讨论 次不等式分式不等式的解法—转化成整式
由图知，①式的解为 x≤13，或 x≥2，或 x＝1.
由②式知 x≠13，且 x≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或 x>2，或 x＝1}．
[方法总结] 穿根法求高次不等式的解集： (1)求解过程概括为： 化正 ⇒ 求根 ⇒ 标根 ⇒ 穿根 ⇒ 写集 (注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇次(奇次根)穿透，偶次(偶次根)返回．
不等式32x－－x1≥1 的B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
• [答案] C
D．{x|x＜2}
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 含参数一元二次不等式的解法课件
解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每 一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
『规律总结』 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论． (2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论． (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
〔跟踪练习3〕 解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.
[解析] 56x2－ax－a2＞0 可化为 (7x－a)(8x＋a)＞0. ①当 a＞0 时，－a8＜a7，∴x＞a7或 x＜－a8； ②当 a＜0 时，－a8＞a7， ∴x＞－a8或 x＜a7；
所以原不等式的解集为{x|－3<x<－12}．
方法二：原不等式可化为2－xx＋－3x＋3>0， 化简得－x2＋x－3 1>0， 即2xx＋＋31<0，所以(2x＋1)(x＋3)<0， 解得－3<x<－12. 所以原不等式的解集为{x|－3<x<－12}．
『规律总结』 1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元 二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
____________________. [解析] 原不等式可化为(x－m)(x－m－1)<0. ∵m<m＋1，∴m<x<m＋1. ∴不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0的解集为{x|m<x<m＋1}．
互动探究学案
命题方向1 ⇨简单的分式不等式