天津市部分区2020届高三数学质量调查试卷(二)理(含解析)
天津市部分区 2020 年高三质量调查试卷(二)数学(理工类)参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么.如果事件 A，B 相互独立，那么.柱体的体积公式，其中 S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式，其中 S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集，集合，，则A. {0，4}B. {0，1，4}C. {1，4}【答案】B【解析】【分析】先求全集，再求交集，最后根据补集得结果.【详解】因为，所以= {0，1，4}，选 B.【点睛】本题考查交集与补集概念，考查基本求解能力，属基础题.=（ ） D. {0，1},2.设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数最小的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图象确定最优解，即得结果.【详解】作可行域，则直线过点 A(1,0)时取最小值 1，选 D.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ）A. 3 【答案】C 【解析】 解：当 i=1 时， 当 i=4 时，B. 1C. 0D. -1；当 i=2 时，；当 i=3 时，，，故选 C。
4.若，，，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数与指数函数单调性确定大小.【详解】因，，所以，选 A.【点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基为 础题.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据坐标原点到交点距离等于半径得 c，再根据交点在渐近线可得 关系，解得 即可.【详解】因为以线段 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，所以坐标原点到交点(4，3)距离等于半径 c，即因为(4，3)在双曲线渐近线上，所以，因为,所以，即双曲线的方程为，选 A.【点睛】本题考查双曲线渐近线与标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.则“”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“ ”的充要条件，选 C.7.如图，AB，CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，，则的值是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】,选 B.【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数，若关于 x 的方程的实数根 a，b，c，则的取值范围是（ ）A.B.C.【答案】D 【解析】恰有三个不同 D.【分析】 先作图，再确定关系以及范围，即得结果.【详解】作图可得，，所以，选 D.【点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题。
9.已知 i 是虚数单位，则________________.【答案】【解析】 【分析】 根据复数除法运算法则求解.【详解】.【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.10.某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量分别为 400，800，600 件，为检验产品 的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 90 件进行检验，则应从 C 种型号的 产品中抽取________件. 【答案】 【解析】 【分析】 根据分层抽样确定抽取数.【详解】由题意得从 C 种型号的产品中抽取件.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 ，则四棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 试题分析：正四棱锥的底面边长为 2，底面面对角线的一半为 ，所以棱锥的高为考点：棱锥的体积12.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为，在以坐标原点 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为，则直线 l 与圆 C 的位置关系为___________.【答案】相交【解析】【分析】先将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离与半径大小关系确定位置关系.【详解】因为圆 C 的方程为，所以，因此圆心到直线距离为，所以直线与圆 C 相交.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解 能力，属基础题.13. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ， _______. 【答案】 【解析】，则 ABC 周长的最大值是【分析】 根据余弦定理以及基本不等式求最值.【详解】因为，所以，当且仅当 时取等号，因此，即 ABC 周长的最大值是【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 __________种. 【答案】84 【解析】 分析：先选两个空盒子，再把 4 个小球分为 ， 两组，分到其余两个盒子里，即可得 到答案. 详解：先选两个空盒子，再把 4 个小球分为 ， 两组，故有.故答案为：84. 点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分 两步走，先选元素再排列.三、解答题(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知函数，.(1)求 的最小正周期和最大值；(2)讨论 在区间上的单调性.【答案】(1)，其最大值为 . (2)见解析【解析】 【分析】 （1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期与最值，（2）根据正弦函数性质求单调性. 【详解】解：（1）由题意，得.所以 的最小正周期，其最大值为.（2）令则函数的单调递增区间是.由,得设，易知.所以，当时, 在区间 上单调递增；在区间上单调递减.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基 础题.16.某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两 关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为 ，第二关每次闯过的概率均为 .假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关 3 次才闯关成功的概率； (2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。
【答案】(1)(2)见解析【解析】 【分析】 （1）先分类，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后求和得结果，（2）先确定随机 变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结果. 【详解】解：（1）设事件 为“甲恰好闯关 次才闯关成功 概率”，则有，（2）由已知得：随机变量的所有可能取值为 ，所以，，，.从而234. 【点睛】本题考查分布列以及数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，DC⊥平面 ABC，，AB 的中点.，，P、Q 分别为 AE，(1)证明： 平面 (2)求异面直线 与 所成角的余弦值； (3)求平面 与平面 所成锐二面角的大小。
【答案】(1)见证明；(2)(3)【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用向量数量积求直线方向向量夹角，即得异面直线所成角，（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】解：（1）证明：因为 分别是的中点，所以，，又，所以，， 平面平面 ，所以， 平面 .（2）因为 平面以点 为坐标原点，分别以则得所以，的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系. ，，所以，所以异面直线 与 所成角的余弦值 .（3）由（Ⅱ）可知，，设平面 的法向量为，.由已知可得平面 的法向量为以，所以.故所求平面 与平面 所成锐二面角的大小为 . 【点睛】本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求异面直线所成角与二面角，考查基 本分析论证与求解能力，属中档题.18.各项均为正数的等比数列 满足，.(1)求数列 的通项公式；(2)设，数列 的前 n 项和为 ，证明：.【答案】(1)(2)见证明【解析】 【分析】 （1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简 ，再利用裂 项相消法求和，即证得结果.【详解】解：（1）设等比数列 的公比为 ，由得，解得 或.因为数列 为正项数列，所以 ，所以，首项，故其通项公式为.（2）由（Ⅰ）得所以，所以. 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档 题.19.已知椭圆的一个焦点为，上顶点为 ，原点 O 到直线的距离为 .(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 T 在圆上，点 A 为椭圆的右顶点，是否存在过点 A 的直线 l 交椭圆 C 于点 B（异于点 A），使得成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2) 存在满足条件的直线，其方程为.【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得 即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得 B 点坐标，再根据条件得 T 点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果.【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为知: ，即.①.又因为直线 的方程为，即，所以.由①解得.故所求椭圆 的标准方程为.（2）假设存在过点 的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为，由，得.（*）因为点 是直线与椭圆 的一个交点，且所以，所以，即点.所以，即.因为点 在圆上，所以，化简得，解得，所以.经检验知，此时（*）对应的判别式 ，满足题意.故存在满足条件的直线，其方程为.【点睛】本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档 题.20.设 ，函数.（1）若 ，求曲线在点处的切线方程；（2）若 无零点，求 a 的取值范围；（3）若 有两个相异零点 、 ，求证：.【答案】(1)(2)(3)见证明【解析】 【分析】 （1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果，（2）先求导数，再 根据导函数零点讨论函数单调性，根据单调性确定函数最大值，最后根据最大值小于零得结果.（3）根据零点解得，化简欲证不等式，再令 ，构造关于 t 函数，利用导数证不等式.【详解】解：（1）当 时，，所以.， 则切线方程为 （2）①当 时， ②当 时，则，即 有唯一零点 ， 是区间； 上的增函数，因为，，所以，即函数 在区间有唯一零点；③当 时，令得，所以，当时，，函数 在区间 上是增函数；且；当时，，函数 是在上是减函数，且；所以在区间上，函数 的极大值为，的由，即，解得 ，故所求实数 的取值范围是.（3）设，由，，可得，，. 所以要证，只需证,即证，即.令，于是，设函数，求导得，所以函数 是上的增函数，所以，即不等式成立，故所证不等式成立【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综 合分析求解能力，属较难题.。
天津市河西区2020年高三数学总复习质量调查试卷二含答案解析
2020年天津市河西区高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）.1．设集合M ＝{x |x 2≤4}，集合N ＝{x |1≤x ≤2}，则∁M N ＝（ ） A ．{x |﹣2≤x ＜1}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{x |x ≤﹣2}D ．{x |0＜x ＜2}2．设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件3．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.64．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ） A ．23B ．32C ．43D ．346．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7．函数f （x ）＝e |x ﹣1|﹣2cos （x ﹣1）的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A ．64B ．72C ．96D ．1449．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．（2x x）6展开式中常数项为 （用数字作答）．12．若直线3x+4y＝m与圆x2+y2＝m相切，则实数m＝．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数X的期望是．14．已知x，y为正实数，且xy+2x+4y＝41，则x+y的最小值为15．在△ABC中，点M、N分别为CA、CB的中点，点G为AN与BM的交点，若AB=√5，CB＝1，且满足3AG→•MB→=CA→2+CB→2，则BC→⋅BA→=．AG→⋅AC→=．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所称角的正弦值是√63，求DF的长．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b 1=16a 1，b 5是b 2和b 14的等比中项．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求∑ 10i=11b i bi+1；（3）设数列{c n }的通项公式c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k(k ∈N ∗)，求∑ 2ni=1(c i −1)2(n ∈N ∗)；19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁M N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}解：因为集合M＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，集合N＝{x|1≤x≤2}，∴∁M N＝[﹣2，1）．故选：A．2．设p：“条件A与条件B互斥”，q：“条件A与条件B互为对立事件”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分而不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，可知“条件A与条件B互斥”，不一定有“条件A与条件B互为对立事件”，反之，由“条件A与条件B互为对立事件”，一定得到：“条件A与条件B互斥”．∴p是q的必要而不充分条件．故选：B．3．已知x与y之间的一组数据：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7则y与x的线性回归方程为y^=0.95x+a，则a的值为（）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.6解：计算x =14×（0+1+3+4）＝2， y =14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5， 代入y 与x 的线性回归方程y ^=0.95x +a 中， 解得a ＝4.5﹣0.95×2＝2.6． 故选：D ．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A ．x 29−y 216=1B ．x 216−y 29=1C ．y 29−x 216=1D ．y 216−x 29=1解：由抛物线x 2＝20y ，得2p ＝20，则p ＝10． ∴抛物线x 2＝20y 的焦点坐标为（0，5），可知双曲线是焦点在y 轴上的双曲线，设其方程为y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）．则c ＝5．又双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，∴2a ＝6，即a ＝3． ∴b 2＝c 2﹣a 2＝16．∴双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．故选：C ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），则tan B ＝（ ）A ．23B ．32C ．43D ．34解：由正弦的面积公式知，S =12acsinB ，∵3c 2＝16S +3（b 2﹣a 2），∴3（c 2+a 2﹣b 2）＝16×12acsinB ，由余弦定理知，c 2+a 2﹣b 2＝2ac •cos B ， ∴3×2ac •cos B ＝8ac •sin B ，即tan B =sinB cosB =68=34． 故选：D ．6．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为√2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解：设正四棱锥P ﹣ABCD 的顶点P 在底面的投影为O ，则V 正四棱锥=13S 底•PO =13×（√2）2×PO =23PO ，由题意可得23PO =43，所以PO ＝2，由题意可得所求的圆柱的底面直径2R ＝BD =√2×√2， 所以R ＝1，高h =PO2=1， 所以S 圆柱表面积＝2S 底+S 侧＝2πR 2+2πR •h ＝2π×12+2π×1×1＝4π， 故选：C ．7．函数f（x）＝e|x﹣1|﹣2cos（x﹣1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．解：f（0）＝e﹣2cos1＞0，排除B，D，当x≥1时，f（x）＝e x﹣1﹣2cos（x﹣1），f′（x）＝e x﹣1+2sin（x﹣1），则当x≥2时，f′（x）＞0，即此时f（x）为增函数，排除C，故选：A．8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（）A．64B．72C．96D．144解：根据题意，数字0，1，2，3，4，中有2个奇数，3个偶数，若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数，则四位数中有2个或3个偶数，分2种情况讨论：①，四位数中有3个偶数，1个奇数；因为0不能在首位，有3种情况，选取一个奇数有C21=2种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有3×2×6＝36个符合条件的四位数； ②，四位数中有2个偶数，2个奇数；若偶数中有0，在2、4中选出1个偶数，有C 21＝2种取法，其中0不能在首位，有3种情况，将其他3个数全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6种情况，则有2×3×6＝36个符合条件的四位数；若偶数中没有0，将其他4个数全排列，有A 44＝24个符合条件的四位数； 则一共有36+36+24＝96个符合条件的四位数； 故选：C ．9．已知函数f （x ）={|x −1|−1，x ≤2−12f(x −2)，x ＞2，若函数g （x ）＝x •f （x ）﹣a （a ≥﹣1）的零点个数为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23＜a ＜87或a =−1B ．23＜a ＜87C ．78＜a ＜32或a =−1 D ．78＜a ＜32解：函数g （x ）＝x ・f （x ）﹣a 的零点个数恰为2个⇔y ＝f （x ）与y =ax 有两个交点．x ≤2时，f(x)={x −2，1≤x ≤2−x ，x ＜1，2＜x ≤4时，f （x ）=−12[|x ﹣3|﹣1]．4＜x ≤6时，f （x ）=14[|x ﹣5|﹣1]． …故函数y ＝f （x ）与y =a x 的图象如下．根据图象可得a ＞0且{a 3＜12a 7＞18或a ＝﹣1， ∴78＜a ＜32，故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．设复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝ √5 ． 解：由（1+2i ）z ＝3﹣4i ，得z =3−4i1+2i， ∴|z |＝|3−4i 1+2i|=|3−4i||1+2i|=5=√5． 故答案为：√5． 11．（2x √x）6展开式中常数项为 60 （用数字作答）． 解：（2x x ）6展开式的通项为T r+1=C 6r (2x)6−r 1√x)r =(−1)r 26−r C 6r x 6−3r 2 令6−3r2=0得r ＝4故展开式中的常数项C 62(2x)2√x)4=60． 故答案为6012．若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则实数m ＝ 25 ．解：根据题意，圆x 2+y 2＝m ，必有m ＞0，其圆心为（0，0），半径r =√m ， 若直线3x +4y ＝m 与圆x 2+y 2＝m 相切，则有√9+16=√m ，解可得m ＝25；故答案为：25．13．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为715；取出的3件产品中次品的件数X 的期望是35．解：（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ，3件产品中恰好有一件次品的概率为P （X ＝1）=C 21C 82C 103=715；（2）∵X 可能为0，1，2 ∴P （X ＝0）=C 83C 103=715， P （X ＝1）=715，P （X ＝2）=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布为：X 012P715715115则 E （X ）＝0×715+1×715+2×115=35；15514．已知x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41，则x +y 的最小值为 8 解：因为x ，y 为正实数，且xy +2x +4y ＝41， 所以x =41−4yy+2， 所以则x +y ＝y +41−4yy+2=−4(y+2)+49y+2+y =−6+49y+2+y +2≥−6+2√49y+2⋅(y +2)=8，当且仅当y +2=49y+2即y ＝5，x ＝3时取等号，此时x +y 取得最小值8． 故答案为：815．在△ABC 中，点M 、N 分别为CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =√5，CB ＝1，且满足3AG →•MB →=CA →2+CB →2，则BC →⋅BA →= 1 ．AG →⋅AC →= 83．解：∵M 、N 分别是CA 、CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，∴G 是△ABC 的重心，∴AG →=23AN →=13AB →+13AC →=13（CB →−CA →）−13CA →=13CB →−23CA →，又MB →=−12CA →+CB →，∴3AG →•MB →=（CB →−2CA →）•（CB →−12CA →）=CB →2+CA →2−52CB →⋅CA →，又3AG →•MB →=CA →2+CB →2，∴CB →⋅CA →=0，故BC ⊥AC ，∴AC =√AB 2−BC 2=2，∴BC →⋅BA →=BC →2=1，AG →⋅AC →=23AN →•AC →=23AC →2=83．3三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[−π4，π4]上的单调性；解：（1）f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T＝π；（2）依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；设A=[−π4，π4]，B=[−π3+kπ，π6+kπ]，易知A∩B=[−π4，π6]，∴当x∈[−π4，π4]时，f（x）在区间[−π4，π6]上单调递增，区间(π6，π4]上单调递减．17．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E为CC1的中点（1）求证：AC1∥平面BDE；（2）求证：A1E⊥平面BDE；（3）若F 为BB 1上的动点，使直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63，求DF 的长．【解答】证明：（1）如图，连接AC ，交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接EO ； ∵E 为CC 1的中点， ∴EO ∥AC 1，又∵EO ⊂平面BED ，AC 1⊄平面BED ∴AC 1∥平面BED ，（2）连接A 1B ，A 1C 1，AA 1＝2AB ＝2，E 为CC 1的中点， ∴BE =√2，A 1E =√3，A 1D =√5；∴在△A 1BE 中：BE 2+A 1E 2=A 1B 2，则△A 1BE 是直角三角形，∴A 1E ⊥BE ； 同理可证A 1E ⊥DE ； ∵BE ∩DE ＝E ； ∴A 1E ⊥平面BDE ．（3）以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据条件知道以下几个点坐标：B （1，1，0），E （0，1，1），D （0，0，0），A 1（1，0，2），设F （1，1，m ），设A 1F 交平面BDE 于G （x 0，y 0，z 0），连接A 1G ，EG ，则∠A 1GE 便是直线A 1F 与平面BDE 所成角；先给出所用到的几个向量的坐标：BD →=(−1，−1，0)，BE →=（﹣1，0，1），BG →=（x 0﹣1，y 0﹣1，z 0），A 1G →=(x 0−1，y 0，z 0−2)，A 1E →=(−1，1，−1)． ∵G 在平面BDE 上，∴存在一组实数λ，μ使BG →=λBD →+μBE →，带入坐标得： （x 0﹣1，y 0﹣1，z 0）＝λ（﹣1，﹣1，0）+μ（﹣1，0，1），所以得到： {x 0−1=−λ−μy 0−1=−λz 0=μ，解得：x 0+y 0+z 0＝2； ① 又∵A 1G →与A 1F →共线，∴存在实数b 使A 1G →=bA 1F →； ∴带入坐标得：（x 0﹣1，y 0，z 0﹣2）＝b （0，1，m ﹣2）； ∴{x 0−1=0y 0=b z 0−2=b(m −2)，解得：{x 0=1z 0−2=y 0(m −2)； ②由①②得：x 0=1，y 0=m−3m−1，z 0=2m−1； 又直线A 1F 与平面BDE 所称角的正弦值是√63；∴A 1E A 1G=√63； ∴√3√(m−1)2+(m−1)2=√63，解得：m ＝﹣3．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，且满足b1=16a1，b5是b2和b14的等比中项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求∑10i=11b i b i+1；（3）设数列{c n}的通项公式c n={1，n≠2ka k，n=2k(k∈N∗)，求∑2n i=1(c i−1)2(n∈N∗)；解：（1）∵2S n＝3（a n﹣2）（n∈N*），∴2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣2）（n≥2），两式相减，整理得：a na n−1=3 （n≥2），当n＝1时，有2a1＝3（a1﹣2），解得a1＝6，∴数列{a n}是以6为首项，3为公比的等比数列，a n＝6×3n﹣1＝2×3n．设数列{b n}的公差为d，∵b1=16a1=1，b5是b2和b14的等比中项，∴（b5）2＝b2•b14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得d＝0或2，∵公差不为0，∴d＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（2）∵1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1），∴∑10i=11b i b i+1=12（1−13+13−15+⋯+119−121）=1021； （3）∵c n ={1，n ≠2k a k ，n =2k（k ∈N *），a n ＝2×3n ，∴∑ 2ni=1(c i −1)2=∑ n i=1(a i −1)2=∑ n i=1(2×3i −1)2=∑ n i=1(4×9i −4×3i +1)＝4∑ n i=19i −4∑ n i=13i +n =12×9n +1﹣2×3n +1+n +32． 19．如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为（√3，0），（1，√32）是椭圆上的一个点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P （x 0，y 0）（x 0≠0）是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l ：y ＝﹣1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．解：（1）设椭圆方程为x 2a +y 2b =1，由题意，得c =√3．因为a 2﹣c 2＝b 2，所以b 2＝a 2﹣3． 又(1，√32)是椭圆上的一个点，所以1a +34a −3=1，解得a 2＝4或a 2=34（舍去），从而椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）因为P （x 0，y 0），x 0≠0，则Q （0，y 0），且x 024+y 02=1．因为M 为线段PQ 中点，所以M(x2，y 0)．又A （0，1），所以直线AM 的方程为y =2(y 0−1)x 0x +1． 因为x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝﹣1，得C(x1−y 0，−1)．又B （0，﹣1），N 为线段BC 的中点，有N(x2(1−y 0)，−1)．所以NM →=(x 02−x02(1−y 0)，y 0+1)． 因此，OM →⋅NM →=x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0⋅(y 0+1)=x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0=(x 024+y 02)−x 024(1−y 0)+y 0=1−(1+y 0)+y 0=0．从而OM ⊥MN ．因为|OM|=√x 024+y 02=1，|ON|=√x 024(1−y 0)2+1=√1−y 02(1−y 0)2+1=√21−y 0， 所以在Rt △MON 中，|MN|=√|ON|2−|OM|2，因此S △MON =12|OM||MN|=12√1+y 01−y 0．从而有12√1+y 01−y 0=32，解得y 0=45． 20．（16分）已知函数f(x)=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2]（e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x ﹣1）（1﹣sin x ）对任意x ∈[0，π2]恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x −32)2+1．解：（1）f '（x ）＝e x ﹣e x （sin x +cos x ）＝e x （1﹣sin x ﹣cos x ）=e x [1−√2(sin(x +π4)]=−√2e x [sin(x +π4)−√22]，∵x ∈[0，π2]，∴x +π4∈[π4，3π4]，∴sin(x+π4)≥√22，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在[0，π2]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）＝e0﹣e0sin0＝1；f（x）的最小值为f(π2)=eπ2−eπ2sinπ2=0，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1﹣sin x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）…（*），因为1﹣sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x﹣1）．令g（x）＝e x﹣kx+k，则g'（x）＝e x﹣k当k≤0时，g'（x）＝e x﹣k＞0，所以函数g（x）在[0，π2]上单调递增，故g（x）≥g（0）＝1+k≥0，所以﹣1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，且当x∈（0，lnk）时，g'（x）＝e x﹣k＜0；当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＝e x﹣k＞0．所以当lnk＜π2，即0＜k＜eπ2时，函数g（x）min＝g（lnk）＝2k﹣klnk＝k（2﹣lnk）＞0，成立；当lnk≥π2，即k≥eπ2时，函数g（x）在[0，π2]上单调递减，g(x)min=g(π2)=eπ2−kπ2+k≥0，解得eπ2≤k≤e π2π2−1综上，−1≤k≤e π2π2−1．（3）令ℎ(x)=e x−1+12(x−32)2−1，则ℎ′(x)=e x−1+x−32．由ℎ′(12)=e−12−1＜0，ℎ′(34)=e−14−34＞0，故存在x0∈(12，34)，使得h'（x0）＝0即e x0−1=32−x0．且当x∈（﹣∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x＝x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−1+12(x 0−32)2−1=−(x 0−32)+12(x 0−32)2−1=12[(x 0−32)−1]2−32=12(x 0−52)2−32，因为x 0∈(12，34)，所以12(x 0−52)2−32＞12(34−52)2−32=132＞0，故ℎ(x)=e x−1+12(x −32)2−1＞0，e x−1＞−12(x −32)2+1．。
天津市和平区2020届高三第二次质量(二模)数学试题(理)有答案(加精)
2020届高三第二次质量调查（二模）数学（理）试题第Ⅰ卷（满分40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2|4,|4A x x B x x =≤=>，则A B =IA ．{}|22x x -<<B ．{}|22x x x <->或C ．{}|24x x x <-<<或2D ．{}|24x x x <-<≤或2 2.设变量,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ． 10C ．12D ．183.在ABC ∆中，若2,60,AB B ABC =∠=∆o 的面积为33S +=，则AC = A 36 C ．22．34.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出T 的值为A ．22B ．24C ． 39D ．415.对于实数0a >，“1a x <”是“1x a>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一个焦点为()3,0F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A,B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22136x y -= 7.如图，等腰梯形ABCD 中，4, 2.AB BC CD ===若,E F 分别是,BC AB 上的点，且满足BE AF BC ABλ==，当0AE DF ⋅=u u u r u u u r 时，则有 A ．11,84λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,48λ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．31,82λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D ．15,28λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭8.定义一种运算,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，若()2243x f x x x =⊗-+，当()()g x f x m =-有5个不同的零点时，则实数m 的取值范围是A ．()0,1B ．[]0,1C ．()1,3D ．[]1,3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上。
2020年天津市河西区高三二模数学试题(理)及答案解析
2020年天津市河西区高三二模数学（理）试题及答案一、单选题（共8小题）1．已知全集|，，，，，，则（）A．，B．，C．D．，，2．的展开式中的常数项为（）A．6B．24C．D．3．（3）已知命题：“存在，，使得”，则下列说法正确的是( ) A．是假命题；：“任意，，都有”B．是真命题；：“不存在，，使得”C．是真命题；：“任意，，都有”D．是假命题；：“任意，，都有”4．已知定义在上的偶函数在，上单调递增，则满足的的取值范围是（）A．，B．，C．，D．，5．已知双曲线：，的左焦点在抛物线：的准线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）A．B．C．D．7．若“”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图所示，边长为的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边和上移动，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）9.统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中的值为 .10.已知是纯虚数，是实数（是虚数单位），那么 .11.执行如图所示的程序框图，输出的值为 .12.若圆的方程为：（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为．（极角范围为，）13.如图，四边形内接于圆，，，过点的圆的切线与的延长线交于点，，，则 .14.函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .三、解答题（共6小题）15.已知函数（）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值及函数的定义域；（Ⅱ）若，求的值.16.长时间用手机上网严重影响学生的健康，某校为了解，两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长不小于21小时，则称为“过度用网”.（Ⅰ）请根据样本数据，估计，两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从班，班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，求的分布列和数学期望.17.如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．18.已知抛物线的顶点为，，焦点为，.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于、两点，求的最小值.19.已知直线：与圆：交于不同的两点，，.数列满足：，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）记数列的前项和为，在（Ⅱ）的条件下，求证：对任意正整数，20.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求过点，且与曲线相切的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调递增区间；（Ⅲ）若函数的两个极值点，，且，记表示不大于的最大整数，试比较与的大小.答案部分1.考点：集合的运算试题解析：|，，所以{3}.答案：C2.考点：二项式定理与性质试题解析：的展开式的通项公式为：令所以常数项为：答案：B3.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为所以，时，成立，即是真命题；因为特称命题的否定为全称命题，所以：“任意，，都有”。
【KS5U解析】天津市部分区2020届高考二模数学试题 Word版含解析
所以 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三､解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明､推证过程或演算步骤.
16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.
17.已知各项均为正数的数列 ，满足 ( ).
（1）求证： 为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设 ( )，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， .（2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，然后两式相减得 ，然后求出 即可
（2）利用错位相减法求出 即可.
【详解】（1）因为 ( )， ①
所以，当 时，有 ，②
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则可得 ，进而可得 ，求得 后，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意 ，
所以复数 的实部为 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.
4.函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ( 为常数)，则 （ ）
2020年天津市河东区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．783．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为．10．（﹣）5的展开式中的常数项是（用数字作答）．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．2020年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由==bi+1，得a=1，b=﹣1，∴a+b=0．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．78【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i ≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=0，i=1，S=0执行循环体，a=3，S=3，i=3满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．故选：D．3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，∴对应的双曲线方程为，∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），∴c=5，且λ＞0，则﹣=1，则a2=9λ，b2=16λ，则c2=9λ+16λ=25λ=25，则λ=1，即双曲线的方程为，故选：C4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】函数的图象．【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0．∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，故选：B．5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．故选：A．6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【分析】直接利用余弦定理求出A的一半的余弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cos===，cosA=2cos2﹣1=2×﹣1=．故选：D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；∴；∴；∵x＞0，∴解得x=1；∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；∴．故选：C．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]【考点】函数的值域．【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为44．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率以及高一和高二年级的总人数，用高一和高二年级的总人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，而高一和高二年级的总人数是150+180=330，故高一和高二年级一共抽取的人数为330×=44，故答案为：4410．（﹣）5的展开式中的常数项是﹣80（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：（﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1=•（）5﹣r•（﹣1）r•（）r=（﹣2）r••，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为﹣80．故答案为：﹣80．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为54π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴该儿童玩具的体积V=×33+×6=54π．故答案为：54π．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是2﹣．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】分别画出直线y=x与曲线y=sinx的图象，确定出交点，积分区间，则问题可解【解答】解：分别画出直线y=x与曲线y=sinx，如图所示，则y=x与曲线y=sinx的交点坐标是（﹣，0），（0，0），（，0），∴直线y=x与曲线y=sinx围成的区域面积S=2（sinx﹣x）dx=2（﹣cosx﹣x2）|=2[（0﹣）+1]|=2﹣；故答案为：2﹣．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=4．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．【解答】解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴，即=，解得AB=9．由DE∥AC，∴=，∴，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC•DB=2×（2+6）=16，解得AD=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围结合二次函数的性质得到△≥0，求出a的范围即可．【解答】解：若存在x∈R使g（x）≥f（x），即x2+|x﹣a|+a﹣4≤0有解，x≥a时，x2+x﹣4≤0，显然有解，x＜a时，x2﹣x+2a﹣4≤0，由△=1﹣4（2a﹣4）≥0，解得：a≤，故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角和与差的正弦化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；（2）由x得范围求出相位的范围，则函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值可求．【解答】解：（1）=，最小正周期T=．由，得，∴函数f（x）的单调减区间为[]，k∈Z；（2）由x∈[﹣，0]，得4x∈[]，∴，则f（x）在[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．（2）ξ的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．【解答】解：（1）事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为；…（2）ξ的取值为0、1、2、3，则，，，；分布列为：ξ0 1 2 3P．…17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，推出，，利用，证明PA⊥BO．（2）求出平面APB法向量为=（x0，y0，z0），求出，通过，证明DO∥平面PAB．（3）求出平面DPC法向量为，结合（2），利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，1，0），O（，，0），P（，，1）…=（，，1），=（1，，0），，∴PA⊥BO．…（2）证明：=（，，1），=（，﹣1，0），设平面APB法向量为=（x0，y0，z0）可得，令x°=1，则=（1，，）…．=（，，0），，DO∥平面PAB…（3）=（，，1），=（，0，0）设平面DPC法向量为，可得，令y°=1，则=（0，1，）…．平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为…18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得到A点坐标，代入椭圆方程即可求得椭圆的离心率；（2）把椭圆方程用含有a的代数式表示，写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，求得B的坐标，由数量积为0求得a值，得到，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A的坐标为（，），∴，即，∴b2=3c2，联立b2=a2﹣c2，得a2﹣c2=3c2，即a2=4c2，∴；（2）由（1）得，A（），则过A（）且斜率为的直线方程为y﹣=（x﹣），即y=，椭圆方程为，联立，得2x2+ax﹣a2=0，解得：B（﹣a，0），∵AB为直径的圆过点P（，），∴，即﹣（）（）﹣=0．解得：a=﹣5（舍），或a=．∴，，则=，，∴=．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设b n的公差为d，d＞1，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．求出d，然后求解{b n}、{a n}的通项公式．（2）c n=，利用错位相减法求解T n，即可证明T n＜．【解答】解：（1）设b n的公差为d，d＞1，b2=﹣1+d，b n=﹣1+d（n﹣1）当n=1时，当n≥2时，b2S n+a n①b2S n﹣1+a n﹣1②由①﹣②得到，由已知，解为d=2，d=1（舍）{b n}、{a n}的通项公式分别为n∈N*…（2）证明：、当n≥2时，，设①②由①﹣②得到，整理为．∴…20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），对a讨论，分a≤0时，a=时，a＞时，0＜a＜时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x的导数为：f′（x）=a（e x+xe x）﹣2ae x﹣x+1=（x﹣1）（ae x﹣1），可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae2﹣1，切点为（2，0），即有切线的方程为y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即为y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），①当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＞0时，若a=，则f′（x）=（x﹣1）（e x﹣1﹣1），f（x）在R上递增；若a＞，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）；a=时，f（x）的增区间为R；a＞时，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，ln），减区间为（ln，1）；0＜a＜时，f（x）的增区间为（ln，+∞），（﹣∞，1），减区间为（1，ln）；（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a≤0，②0＜a≤时，ln＞1，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a，故0＜a≤符合题意，③＜a＜1时，0＜ln＜1，f（x）在[0，ln）递增，在（ln，1]递减，而f（1）﹣f（0）=+a（2﹣e）＜0，∴f（x）max=f（ln）=，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴2ln﹣2﹣+ae﹣）≤a+1，不等式无解，④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=﹣2a，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴﹣2a+ae﹣≤a+1，解得：a≥﹣，综上，a∈[，]∪[1，+∞）．2020年8月16日。
2020天津市部分区二模数学试题参考答案(02.06稿)
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷
2020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，0，1}，{1B =-，2，3}，{|11}C x R x =∈-<„，则()(A B C =U I)A ．{1}-B ．{1-，0}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++„C ．x R ∀∈，2230x x ++…D ．x R ∀∈，2230x x ++>3．（5分）已知i 为虚数单位，若复数1()2aiz a R i+=∈-的实部为1-，则||(z = ) A ．13BC ．53D4．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，()2(x f x x a a =++为常数），则f （a ）(= )A ．12B ．32 C ．32-D ．2-5．（5分）若sin()3πθ-=，(0,)θπ∈，则cos()(6πθ-= )A ．0B ．12C ．1 D6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，10100S =，则7(a = ) A ．11B ．13C ．15D ．177．（5分）已知3log 0.3a =，0.3log 2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-上单调递减，且在区间(0,)6π上存在零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ9．（5分）已知函数2171,20,()6,0,x x x f x lnx x e ⎧++-<⎪=⎨⎪<⎩„„函数()g x kx =．若关于x 的方程()()0f x g x -=有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．15(,)6eB ．11[,]3eC ．15[,]36D ．1(0,)e二、填空题：本大题共6小题，共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为(5,0)F ，且一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的方程是 ．11．（5分）若6()ax x +的展开式中的常数项为160-，则实数a = ．12．（5分）已知点(,)P x y 在直线230x y +-=上，则24x y +的最小值为 ．13．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2sin cos()04a C c A π--=，则cos A = ．14．（5分）如图，点O 是长方体1111ABCD A B C D -的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且1BC BB =．记棱AB 的长度为l ，点O 到平面11BCC B 的距离为0l ，则l = 0l ；若该长方体的体积为120，则四棱锥O EFGH -的体积为 ．15．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM u u u u r u u u u rg的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．（14分）天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．（ⅰ）记X 表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M 发生的概率． 17．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足*23(1)()n n S a n N =-∈． （1）求证：{}n a 为等比数列，并写出其通项公式； （2）设*(21)()n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AD CD ==，45ABC ∠=︒，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求二面角P AC E --的余弦值．19．（15分）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其焦距为6，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长是122 （1）求C 的方程；（2）若0(M x ，0)y 是C 上的动点，从点(O O 是坐标系原点）向圆2200()()6x x y y -+-=作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．已知直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为1k ，2k ． （ⅰ）求证：12k k 为定值；（ⅱ）试问22||||OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 20．（16分）已知函数()(sin cos 4)x f x e x x =-+，函数()2cos g x x x =-，其中 2.71828e =⋯。
2020-2021学年天津市高三二模数学试题(理科)及答案解析
第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足(34)|43|i z i-=+，则z的虚部为（）A．4-B．45-C．4D．452.设x，y满足24,1,22,x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y=+（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值3.已知命题p：对任意x R∈，总有20x>；q：“1x>”是“2x>”的充分不必要条件，在下列命题为真命题的是（）A．()p q∧⌝B．()()p q⌝∧⌝C．()p q⌝∧D．p q∧4.执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A ．4B ．5C ．6D ．75.已知a ，b ，c 分贝为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，A ∠=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 6.若直线20ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．32+BC ．14D ．32+ 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4B ．2C ．8D ．168.已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则必有（ ） A ．0a <，0b <，0c < B ．0a <，0b >，0c > C ．22ac -<D ．1222ac<+<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=，若()U A B =∅I ð，则m = ． 10.若8(x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a = ． 11.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是 ．12.如图，在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+= ．13.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 的公共点的直角坐标为 ．14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数(())1y f f x =+的所有零点构成的集合为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量1(cos ,)2a x =-r ，(3,cos 2)b x x =r ，x R ∈，设函数()f x a b =⋅r r ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分，现从盒内任取3个球． （Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列及期望．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由．18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n S n n =+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++…，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）令4n nn a b c =（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19.在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：22420x y x +-+=的圆心．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线1l ，2l ，当直线1l ，2l 都与圆C 相切时，求P 的坐标．20.设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（Ⅰ）若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）答案一、选择题1-5:DBADC 6-8: ACD 二、填空题9.1或2 10.12 11.233 12.12 13.(2,4)-14.113,,24⎧--⎨⎩三、解答题15.解：（Ⅰ）1()cos cos 22f x a b x x x =⋅=-rr1sin 2cos 222x x =-sin(2)6x π=-， 最小正周期为T π=． （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由sin y x =图象可知,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时单调递增，5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递减， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取最小值12-； 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取最大值1．16.解：（Ⅰ）37397112C P C =-=．（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则1221232433995()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=． （Ⅲ）ξ可能的取值为0,1,2,3．36395(0)21C P C ξ===，12363945(1)84C C P C ξ===，2136393(2)14C C P C ξ===，33391(3)84C P C ξ===． ξ的分布列为：ξ123P521 4584 314 18454531()0123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B，E，(1,F -，∴(1,BE =--u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r， 设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =r，∴20,20,x y y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩不妨设n =r ，又(1,DF =-u u u r，∴0DF n ⋅==u u u r r，∴DF n ⊥u u u r r ，又∵DF ⊄平面ABE ， ∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）解：∵(1,BE =--u u u r，(BF =-u u u r ， 设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =u r，∴20,20,x y x ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设4)m =u r ，∴|cos |||31||||m n m n θ⋅===⋅u r ru r r ， ∴平面ABE 与平面EFB（Ⅲ）设(1,2,3)DP DF λλ==-u u u r u u ur(,2,3)λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(,2,3)P λλλ-，∴(1,22,3)BP λλλ=---u u u r， 又∵平面ABE 的法向量(3,0,1)n =r，∴222|333|3sin |cos ,|2(1)(22)3BP n λλθλλλ--+=<>==++-+u u u r r， ∴28610λλ-+=， ∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33(,1,)22BP =--u u u r ，∴||2BP =u u u r ； 当14λ=时，533(,,)424BP =--u u u r ，∴||2BP =u u u r ． 综上，||2BP =u u u r．18.解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，知12a =满足该式， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =．（Ⅱ）31223(1)31313131n n n b b b ba n =++++≥++++…，① 3+112+123+13131313131n n n n n b b b b ba =++++++++++…，② ②-①得111231n n n n b a a +++=-=+，112(31)n n b ++=+， 而18b =，故2(31)nn b =+（*n N ∈）．（Ⅲ）∵(31)34n n n nn a b c n n n ==+=⋅+， ∴123n n T c c c c =++++…23(1323333)(12)nn n =⨯+⨯+⨯++⨯++++……，令231323333nn H n =⨯+⨯+⨯++⨯…，③则234131323333n n H n +=⨯+⨯+⨯++⨯…，④③-④得，231233333nn n H n +-=++++-⨯…13(13)313n n n +-=-⨯-，1(21)334n n n H +-⋅+=，∴数列{}n c 的前n 项和1(21)33(1)42n n n n n T +-⋅++=+．19.解：（Ⅰ）由C ：22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=，故圆C 的圆心为点(2,0)，从而可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其焦距为2c ，由题设知2c =，12e =，所以24a c ==，22212b a c =-=， 故椭圆E 的方程为2211612x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为00(,)x y ，1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1l ，2l 的方程分别诶1l ：010()y y k x x -=-，2l ：020()y y k x x -=-，且1212k k =， 由1l 与圆C ：22(2)2x y -+=相切，=222010010(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦， 同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦， 从而1k ，2k 是方程2220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两个实根， 于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩① 且20122021(2)22y k k x -==--， 由220020201,161221,(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得20058360x x --=解得02x =-或0185x =． 由02x =-，得03y =±；由0185x =，得0y =，它们满足①式，故点P 的坐标为(2,3)-或(2,3)--或18(,55或18(,55-． 20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，11'()kxf x k x x-=-=， 当2k =时，'(1)1f =-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=． （Ⅱ）①若0k <时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数， ∵(1)0f k =->，()(1)0kkkf e k ke k e =-=-<，∴(1)()0kf f e ⋅<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =； ③若0k >，令'()0f x =，得1x k=， 在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数； 故在区间(0,)+∞上，()f x 的最大值为11()ln 1ln 1f k k k=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k=--<，解得1k e >， 故所求实数k 的取值范围是1(,)e +∞．（Ⅲ）设()f x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>， ∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=， ∴1212ln ln ()x x k x x -=-，1212ln ln ()x x k x x +=+，∵212x x e >w ，要证12ln ln 2x x +>，只需证12()2k x x +>， 只需121212ln ln 2x x x x x x ->-+，等价于1122122()ln x x x x x x ->+， 设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >）， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，22(1)'()0(1)t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->+，∴12ln ln 2x x +>．。
天津市和平区 2020届高三第二次质量调查(二模)数学(含答案)
两点，且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双曲线 的方程是( )
B．
C．
D．
7．把函数 A.
的图象向右平移 个单位⻓度，得到函数
是偶函数，则实数的最小值是（ ）
B.
C.
D.
的图象，若函数
8．已知、 A．
， B．
，则当
取最小值时，
C．
D.
的值为( )
9．已知函数
，函数 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 恰有三个不同的零点，则 k 的取值
2 名女同学.
所以所求概率
.
……………………4 分
（Ⅱ ）由题意可知，ξ的所有可能取值为 0,1,2,3，
……………………5 分
…………6 分
…………8 分
所以 的分布列为: …………12 分
…………10 分
…………11 分
0
12
3
9
3 45
5
P
112 7 112 56
＝0× 9 ＋1×3＋2× 45 ＋3× 5 ＝3. ……………………14 分 112 7 112 56 2
，为线段 的中点．则 ，则 的最小值为___________．
_______ ;
三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
3
16.(本小题满分 14 分)
为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表
所示：
组别
性别
（Ⅰ ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ ）若
，求 的值；
两点.
（Ⅲ）设直线 ， 若不存在，请说明理由.
的斜率分别为 ， ，是否存在实数，使得
天津市和平区2020届高三数学下学期第二次质量调查试卷 理(含解析)
天津市和平区 2020 学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学（理）学科试卷第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：如果事件 互斥,那么如果事件 相互独立,那么.柱体的体积公式.锥体的体积公式.其中 表示柱体的底面积,其中 表示锥体的底面积,表示柱体的高.表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 ，集合,,则A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由集合或，先求解 ，再由集合 能够求出答案. 【详解】因为全集 ,集合或，所以，所以，故选 B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合 和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.已知 满足约束条件则的最小值为A. 2B. 4C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在 y 轴的截距有最大值，据此结 合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C. 【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上 截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.3.执行如图所示的程序框图,若输入的 ，则输出A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即.故选：B. 【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力.4.下列结论错误的是A. 命题：“若，则 ”的逆否命题是“若 ，则”B. “ ”是“”的充分不必要条件C. 命题：“，”的否定是“，”D. 若“ ”为假命题，则 均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项 A，由不等式的性质考查选项 B，由全称命题的否定考查选项 C，由真值表考查选项 D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则 ”的逆否命题是“若 ，则”B. 若“ ”，当 时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“ ”，即必要性成立，综上可得，“ ”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“ ”为假命题，则 均为假命题.即结论错误的为 B 选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.5.的图象向右平移 个单位，所得到的图象关于 轴对称，则 的值为A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于 轴对称，则 得最大值或最小值，据此确定 的值即可.时函数取【详解】的图象向右平移 个单位后的解析式为：图象关于 轴对称，则当 即：， 时函数取得最大值或最小值，，故，令可得：.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.6.已知 是定义在 R 上的偶函数，且在上是增函数，设则 的大小关系是A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间 利用单调性比较函数值的大小即可.上的单调性，最后【详解】注意到，，且，据此可得：，函数为偶函数，则：，由偶函数的性质可知：函数在区间上单调递减，故，即.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为A.B.C.【答案】C 【解析】 【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线确定点 P 的坐标，然后求解的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为，D. 的面积得到 a,b与直线联立可得：，即,由题意可得，，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，，取得最小值时，，点 是 所在平面内的一点，则当A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当 【详解】取得最小值时点 P 的坐标，然后求解，，的值即可.，，以 A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当 x=2，y=1 时取最小值，此时.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分） 注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。