_补形法_在平面几何中的应用

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向迅速发展 ,在教育信息化的进程中 ,必须重 视教师信息素养的培养 ,它是教师个人整体 文化素养中的一个子系统 ,而不仅仅是一点 信息技术 ,教师须从实际出发 ,创造性、综合 性、全面性地活用信息的渠道和方式,探索设 计和使用课件的新思路 . 如一款由广州恒福 中学设计制作的高中语文课件《景泰蓝的制 作》,该课件以同页形式( HTML 文件)存在教 师机上 ,学生可以通过内部局域网自由调阅 , 并可以经由教师机以代理服务器形式连入因 特网,内容除了常规课件上都有的课文讲解、 多媒体资料、巩固与反馈练习之外,有两个比 较独特的部分 :(l) 网上资料 ,提供大量与课文 有关的网页链接地址 , 学生可以点击后连入 因特网上相应网站查询资料 ;(2)自由发言区 , 有些类似于 BBS(电子公告板)或者聊天室,学 生可以在上面自由的发表意见 ,或者把自己 收集的自认为比较独特的资料贴在上面 ,供 全班同学交流 . 这种课件在设计和使用上有 以下几个特点 : ①以网页形式设计并在网上 运行 ;②充分运用因特网上资源 ;③利用网络 技术使得数据可以实时交换. 当然 ,它也存在 一定的局限性 ,如目前网上资料大多为人文 类 ,理科课件很难采用这种形式 ,但它在课件 形式的探索上给了我们新的启示. ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 接 P28 参考文摘
需求 PF 、 PG . 略解 延长 BA 、 CD 交于 P , ∵ ∠B + ∠C = 90 ° ,∴ ∠BPC = 90 ° , 则△ PBC 是 Rt△(将梯形补成直角三角 形),连结 PG ,则 PG 过 AD 的中点 F . 在 Rt△ PBC 中, PG = BC / 2 . 在 Rt△ PAD 中, PF = AD / 2 . ∴ FG = PG − PF E = ( BC − AD ) / 2 = (18 − 8)/2 = 5 . A 例 3 如图, △ ABC 是等边三角形, 延长 BC B F C D 至 D , 延长 BA 至 E , 使 AE = BD ,连结 CE 、 ED .证明: EC = ED . 分 析 要证明 EC = ED ,通常要证 ∠ECD = ∠EDC ,但难以实现 . 这时可采用补形法即 延长 BD 到 F ,使 BF = BE ,连结 EF ,这样由 AE = BD , 可得 DF = AB , 而 ∠B = 60° , 则由 等角对等边推论得 , ∆BFE 为等边三角形 . 从 而易证△ EBC ≌△ EFD . 略 证 延长 BD 至 F , 使 BF = BE , 连结 EF ,则 ∆EBF 为等边三角形(将原图形补成等 边三角形). ∵ BF = BE , BD = AE , ∴ DF = AB = CB . 在△ EBC 与△ EFD 中, EB = EF , CB = DF , ∠B = ∠F , ∴△ EBC ≌△ EFD ,∴ EC = ED . 2 补成特殊的四边形 例 4 如图, 四边形 E A B ABCD 中, E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 CD 、 G H AC 、 BD 的中点,并且 D E 、 F 、 G 、 H 不在 C F 同一条直线上,求证: EF 和 GH 互相平分. 分 析 因为平行四边形的对角线互相平 分 ,故要证结论 ,需考虑四边形 CEDF 是平行 四边形.
1 2
E
D 3
B C CF 即可. 略证 延长 BA 、 CE 交于 F ,将已知图形补 成△ FBC ,由 ∠1 = ∠2 , BE ⊥ CF ,易知△ FBC 是等腰三角形,从而 CF = 2CE . 又易证△ BDA ≌△ CFA , ∴ BD = CF = 2CE . 例 2 如图, 在梯形 P ABCD 中, AD // BC , ∠B +∠C = 90° , F 、 G 分别 A D F 是 AD 、 BC 的中点,若 C G BC = 18 , AD = 8 ,求 FG B 的长. 分 析 从 ∠B 、 ∠C 互余,考虑将它们变为 直角三角形的角 ,故延长 BA 、 CD ,要求 FG ,
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1 1 ∴ S ∆ABC = BC ⋅ AD = × 5 × 6 = 15 . 2 2 A 3 补圆 例 7 如图, AD 、 BE 、 F CF 为△ ABC 的三条角平 E 分线,设它们分别为 Ta 、 C B D Tb 、 Tc ,且 BC = a, CA = b, G AB = c .求证: Ta ⋅ Tb ⋅ Tc < abc . 分 析 要证明本题 ,则可考虑找出一角的 平分线和此角的两边的关系. 证 明 作△ ABC 的外接圆 ,延长 AD 交圆 于 G ,连接 CG ,易证△ BAD ∽△ GAC , ∴ AB : AD = AG : AC , 即 AC ⋅ AB = AD ⋅ AG ,但 AD < AG , ∴ AB ⋅ AC = AD ⋅ AG > AD2 , 即 Ta 2 < bc . 同理可证: Tb 2 < ca , Tc 2 < ab . ∴ Ta 2Tb 2Tc 2 < bc ⋅ ca ⋅ab = ( abc ) 2 , 即 Ta ⋅ Tb ⋅ Tc < abc . B 例 8 如图,在四边形 ABCD 中, AB // CD, AD = DC = DB = p, BC = q , C D
A E
求对角线 AC 的长. 分析 由 AD = DC = DB ,联想不在同一直线的三点可确定一个圆. 略解 ∵ AD = DC = DB , ∴ A 、 B 、C 在 D 为圆心,以 p 为半径的 圆上 ,作出⊙ D ( 补圆 ),延长 CD 交⊙ D 于 E , 连结 AE ,则 CE = 2 p , ∠CAE = 90°, AE = BC = q ,在 Rt ∆ACE 中, 由勾股定理,得 AC = CE 2 − AE 2 = 4 p2 − q 2 . 以上思路和方法是解决不规则图形的最 常有、最有效的方法.把不规则的图形转化为 熟悉的基本图形 ,有利于沟通已知条件和结 论之间的联系 ,从而达到证题或解题的目的 , 类似地作出总结的归纳 ,定会对我们逻辑推 理能力、分析问题和解决问题的能力的提高 有帮助. (参考文献见 P31)
对多媒体课件教学的思考
福建师范大学数学与计算机科学学院 陈燕梅 郑之
பைடு நூலகம்
多媒体课件教学既带来了教育发展的无 限生机和动力 ,也向教育提出了许多崭新的 课题 . 多媒体课件教学到底能给我们带来些 什么？我们如何扬长避短？本文的主旨正在 于此. 1 课件教学的运作——教育技术革新的亮点 近年来 ,多媒体技术迅速兴起 ,并逐渐进 入课堂,它以图文并茂、声像俱佳、动静皆宜 的表现形式. 以跨越时空的非凡表现力 ,大大 增强人们对抽象事物与过程的理解与感受 , 从而将课堂教学引入全新的境界 . 多媒体课 件的启用,一改传统的“口语+粉笔+黑板”的 传道授课模式 ,使教学情境发生改观 .与普通 教学相比 ,多媒体课件教学的优势使我们看 到了课件教学这个教育技术革新的亮点: ( 一 ) 直观性 ,能突破视觉的限制,多角度 地观察对象 ,并能够突出要点 ,有助于概念的 理解和方法的掌握. 如在立体几何教学中 ,可 以从各角度演示几何体 ,有助于对概念的理 解和掌握. ( 二 ) 图文声像并茂 ,多角度调动学生的 情绪、 注意力和兴趣.如对于需要强调的重点 , 可以采用加下划线并附带声音的形式引起学 生的注意. (三)动态性,有利于反映概念及过程,能有 效地突破教学难点 . 如在介绍图形的对称性 时 ,可以动态地演示从一个图形旋转至其对 称图形而重合的过程. (四)交互性,学生有更多的参与,学习更为 主动 ,并通过创造反思的环境 ,有利于学生形 成新的认知结构 . 多媒体课件教学中的交互 功能,是传统教学中无法实现的,建构主义学
略证 连结 EG 、 GF 、 FH 、 HE ,易证 EH // AD / 2 , GF // AD / 2 . ∴ EH //GF , ∴四边形 EGFH 为平行四边形, ∴ EF 和 GH 互相平分. A 例 5 如图, 四边形 ABCD 中, ∠A = 60 °, ∠B = ∠D = 90°, AB = 200m, B CD = 100m ,求 AD 、 BC F D C E
( 二次曲线 ) 的关系问题等价于直线方程与二 次方程联立的方程组解的问题 . 而在处理具 体问题中可应用一元二次方程的韦达定理、 间接考虑问题的思想方法和数形结合的思想 方法. 例 4 已知一椭圆 x 2 / 3 + y 2 = 1 与直线 y = kx + m 相交于不同的两点 M 、 N , A(0, −1) 为椭圆的顶点,当 | AM |=| AN | 时,求 m 的取值 范围. 分 析 由图形及已知 ,可得求 m 取值范围 可利用的条件即为①直线 y = kx + m 与椭圆 有两不同的交点 ;② | AM |=| AN | ,从而延伸出 AP ⊥ MN (P 为 MN 的中点),我们即可从这两 方面着手去求解. 解 设 P 为弦 MN 的中点, y = kx + m, 由 2 消去 y 得 2 x / 3 + y = 1, (3k 2 + 1) x2 + 6mkx + 3(m2 − 1) = 0 由 ∆ > 0 得, m2 < 3k 2 + 1 . ① ( xM + xN ) 3mk xP = =− 2 , 2 3k + 1 m yP = kxP + m = 2 . 3k + 1 yp + 1 y ∴ k AP = xp P N m + 3k 2 + 1 =− . x 3mk M A 由 MN ⊥ AP ,得 1 m + 3k 2 + 1 − =− , 3km k ∴ 2m = 3k 2 + 1 ② 2 将②代入①,得 2m > m ,∴ 0 < m < 2 . 2m − 1 由②得 k 2 = > 0 ,即 m > 1 / 2 . 3 ∴ m 的取值范围是 (1/2,2) . 综上所述 ,圆锥曲线的综合问题涉及的 知识面很广 ,但题目万变不离其宗 ,只要抓住 基本量,灵活、广泛地应用定义、几何意义、 方程、 数形结合的思想,综合运用代数、 几何、 三角知识,这样任何问题都难不倒我们.