八年级数学提优专题：平面直角坐标系拓展(一)
北师大版数学八年级上册3.2平面直角坐标系(第一课时)说课稿
（一）学生特点
本节课面向的是八年级学生，这一年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，具有一定的独立思考和探究能力。在认知水平上，他们已经掌握了平面几何的基本知识，具有一定的空间想象能力，但对于抽象的坐标系概念可能还不够熟悉。在学习兴趣方面，学生对新颖有趣、富有挑战性的内容较为感兴趣，喜欢通过动手实践来学习新知识。然而，部分学生的学习习惯还需进一步培养，如自主学习、合作交流等方面的能力。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设生情境，引入坐标系的概念，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用，提高学习兴趣。
2.设计丰富的教学活动，如小组讨论、动手操作、竞赛等，激发学生的学习积极性。
3.利用多媒体教学手段，如课件、动画等，直观展示坐标系知识，提高学生的学习兴趣和效果。
2.对学生的共性问题进行总结，并在下一节课中进行针对性的讲解和巩固。
3.定期对教学计划进行评估，确保教学内容与学生的实际需求相符合。
4.针对不同层次的学生，设置不同难度的任务，使每位学生都能在完成任务的过程中获得成就感，增强学习自信心。
5.结合学生的兴趣爱好，设计相关的问题或案例，让学生在解决问题中感受到学习的乐趣。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学法、任务驱动法和合作学习法。这些方法的理论依据如下：
（2）通过问题解决，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标
（1）激发学生学习数学的兴趣，增强对数学学科的好奇心和求知欲。
（2）培养学生严谨、细致的学习态度，提高合作交流能力。
（3）使学生认识到数学知识在实际生活中的应用，增强数学学习的实用性。
北师大版数学八年级上册3.2平面直角坐标系(第1课时)优秀教学案例
3.组织小组汇报，让各小组展示自己的研究成果，其他小组进行评价和提问，从而促进知识的内化和巩固。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己在解决问题时的成功经验和不足之处，以便在今后的学习中取得更好的效果。
2.创设具有挑战性的问题情景，如寻找宝藏游戏、机器人行走路径等，让学生在解决问题的过程中，自然地引入坐标概念，增强学习的积极性。
3.利用多媒体、教具等辅助手段，直观演示坐标系的建立过程，帮助学生形象地理解坐标与图形之间的关系，提高课堂参与度。
（二）题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考，如：“如何在平面内表示一个点的位置？”“如何通过坐标解决实际问题？”等，培养学生的问题意识和探究精神。
3.针对本节课的重点、难点，进行总结梳理，帮助学生巩固所学知识。
（五）作业小结
1.课后作业：
-根据课堂所学，绘制一幅学校平面图，并用坐标表示各建筑物的位置。
-完成教材课后习题，巩固坐标与图形之间的关系。
2.作业要求：
-认真完成作业，规范书写，养成良好的学习习惯。
-遇到问题及时向同学或老师请教，提高问题解决能力。
4.倡导合作、互助、共享的精神，使学生学会尊重他人、关心集体，形成良好的道德品质。
5.鼓励学生勇于面对挑战，不怕困难，培养积极向上的心态和坚韧不拔的精神。
三、教学策略
（一）情景创设
1.以生活中的实际情景为背景，如地图上的位置表示、停车场车辆的定位等，引导学生感知平面直角坐标系在现实中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平面直角坐标系的概念，掌握坐标轴、坐标点、坐标值等基本要素。
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基本概念的基础上进行讲解的，通过本节内容的学习，使学生能够熟练地建立平面直角坐标系，能够准确地确定点在坐标系中的位置，并能够利用坐标系解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了坐标系的基本概念，对于如何建立坐标系，如何确定点在坐标系中的位置有一定的了解。
但是，对于如何利用坐标系解决实际问题，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握平面直角坐标系的建立方法。
2.让学生能够准确地确定点在坐标系中的位置。
3.培养学生利用坐标系解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立方法，点在坐标系中的表示方法。
2.难点：如何利用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，发现平面直角坐标系的建立方法，以及如何确定点在坐标系中的位置。
同时，通过实例讲解，让学生学会如何利用坐标系解决实际问题。
六. 教学准备1.准备平面直角坐标系的图片，用于讲解。
2.准备一些实际问题，用于练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如地图上的路线、飞机的飞行轨迹等，引导学生思考这些实例与坐标系之间的关系。
2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及如何建立坐标系。
通过展示图片，让学生直观地理解坐标系的建立过程。
同时，讲解如何用坐标表示点在坐标系中的位置。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试利用坐标系解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（5分钟）挑选几组学生的实例，让学生上台演示如何利用坐标系解决问题。
其他学生观看并给予评价。
5.拓展（5分钟）讲解坐标系在实际生活中的应用，如航天、地理信息系统等。
平面直角坐标系背景下的存在性问题(提升练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题3.25平面直角坐标系背景下的存在性问题（分层练习）（提升练）1．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若点Q 的坐标为(,)ax y x ay ++，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”．（1）已知点(2,6)A -的“12级关联点”是点A '；（2）已知点(1,2)M m m -的“3-级关联点”N 位于x 轴上，求点N 的坐标；（3）在（2）的条件下，若存在点H ，且2HM =，直接写出H 点坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中有四点(4,6)(4,6)(2,1)(2,1)A B C D ----，，，．（1）在图中描出四点A B C D ，，，，再连接AB CD ，；（2）直接写出线段AB 与线段CD 的位置关系；（3）若AB 与y 轴交于点M ，CD 与y 轴交于点N ，在线段MN 上是否存在一点P ，使得三角形ABP 与三角形CDP 的面积相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图：在正方形网格上有一个ABC ．（1）画出ABC 关于直线MN 的对称图形111A B C △；（2）ABC 的形状是___________三角形；（3）若在MN 上存在一点Q ，使得QA QC +最小，请在图中画出点Q 的位置；（4）若网格上最小正方形的边长为1，求ABC 的面积．4．已知(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =．（1）求点B 的坐标，在平面直角坐标系中画出ABC ，并求出ABC 的面积．（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在y 轴上是否存在点Q ，使得ACQ 是等腰三角形？若存在，请画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知(0,)A a ，(,0)B b ，(,)C b c 三点，其中a ，b ，c 满足关系式2(3)0b -=，2(4)0c -≤．（1）求a ，b ，c 的值：（2）求出三角形ABC 的面积？（3）如果在第二象限内有一点1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；（4）在（3）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ，点B 的坐标为()3,4-，点C 的坐标为()3,0，点A 在x 轴的负半轴上，且9AC =．（1）直接写出点A 的坐标；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得16POB ABC S S =△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）把点C 向上平移4个单位长度得到点H ，作射线CH ，连接BH ，点M 在射线CH 上运动（不与点C ，H 重合），试探究HBM ∠，BMA ∠，MAC ∠之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图，在平面立角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点()3,0A ，点()0,4B ，点C 在y 轴的负半轴上，若将CAB △沿直线AC 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点D 处．（1）直接写出AB 的长__________．（2）求点D 和点C 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得12PAB OCD S S =？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点(,1)A a a +在第一象限，点(,0)B b 在x 轴负半轴上，且a ，b 满足20a +-=，连接AB 交y 轴正半轴于点H ．（1）求a 、b 的值以及三角形AOB 的面积AOB S ；（2）根据三角形AOH 的面积、三角形BOH 的面积与三角形AOB 的面积三者之间的数量关系，求点H 的坐标；（3）在y 轴上是否存在点(0,)P n ，使得3APB AOB S S > ，若存在，求出点P 的纵坐标n 的取值范围；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,2C ，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求ABC 的面积．（2）若过B 作BD AC ∥交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，如图，求AED ∠的度数；（3）在x 轴上存在点P 使得CBP 的面积等于ABC 面积的32，请直接写出P 点．10．在直角坐标系中，有正方形ABCD （四条边相等，四个内角都是90︒），其中AB 平行于y 轴，点A 在第二象限．（1）如图，若()24A -，，AB 长为6，则点B ，C ，D 的坐标分别为：B ______，C ______，D ______；（2）若()3A a -，，()3B b -，，点是直角坐标系中的一个动点，23P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点Q 从B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，运动时间为t ()2230b c t ++++-=．①当2t =时，求APQ △的面积；②试问是否存在点P ，使得12APQ APB S S =△△，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，(,0)A a ，(,0)B b ，(1,2)C -，且22(3)0a b ++-=，（1）求a ，b 的值；（2）①在y 轴的正半轴上存在一点M ，使12COM ABC S S =△△，求点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M ，使12COM ABC S S =△△，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点M 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为(,0),(,)a a b ，点C 在y 轴上，且BC x ∥轴，a ，b 满足|3|0a -．一动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线运动（点P 首次回到点O 时停止），运动时间为t 秒（0t ≠）．（1）直接写出点A ，B 的坐标；（2）点P 在运动过程中，连接PO ，若PO 把四边形ABCO 的面积分成1:2的两部分，求出点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中，是否存在点P 到x 轴的距离为12t 个单位长度的情况，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(,0)A a ，(,0)B b ，且a ，b 满足226(2312)0a a b ++-+=，现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）请直接写出A ，B 两点的坐标．（2）如图2，点P 是线段AC 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．（3）在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,2)A ，过点(1,0)-作x 轴的垂线l ，点A 关于直线l 的对称点为B ．（1）点B 的坐标为_____________；（2）已知点(3,2)C --，点(1,2)D -，在图中描出点B ，C ，D ，顺次连接点A ，B ，C ，D ．①在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△且PAB PCD S S = ，则此时点P 的坐标为_____________，PAB S =△_____________；②在四边形ABCD 外部是否存在点Q ，满足QAD QBC S S =△△且QAB QCD S S =△△，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知()0,A a ，(),0B b ，其中a ，b 满足20a -=，点C 是第一象限内的点，90ABC ∠=︒，AB BC =．（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标．（2）如果在第二象限内有一点(),1P m ，是否存在点P ，使得ABP 的面积等于ABC 的面积？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）在平面直角坐标系是否存在点E ，使ABE 与ABC 全等，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中，已知(0,),(,0)A a B b，其中a 的整数部分，在数轴上，b 表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度．（1）填空：=a ________，b =________；（2）在（1）条件下，如果在第三象限内有一点(1,)P m -，请用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积；（3）如图2，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(5,0)，点M 的坐标为(2,2)--，动点P 从原点O 出发以每秒4个单位长度的速度沿y 轴负方向移动，同时点B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，连接AP MP 、，设运动时间为(0)t t >秒．是否存在这样的t ，使AMP ABM S S ∆∆=？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．A 、B 两点的坐标分别为,0A m （）、0,B n （），且|3|0m n --，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若POB △的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使EOP AOB ≌？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()24240a b a +-++=．（1）求OA ，OB 长度；（2）在x 轴上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积是12；若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 从点B 出发沿着y 轴运动（点P 不与原点、B 点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB 、AP ，当运动的时间t 为几秒时，3ABP AOP S S ＝并求出此时点P 的坐标．参考答案1．（1）(5,1)；（2）16(,0)5N ；（3）42(,)55H -或162(,)55H --【分析】（1）根据新定义代入求解；（2）先根据新定义写出坐标，再根据x 轴上的点的特征，列方程求解；（3）根据平行直线的关系求解．（1）解：由题意得：()()11(26,26)22A '⨯-+-+⨯，即(5,1)A '；（2）解：由题意得：(332,61)N m m m m -++-+-，∵N 位于x 轴上，∴610m m -+-=，解得：15m =-，∴16(,0)5N ；（3）解：由（2）得：15m =-，∴6(,)552M --，∵HM x 轴，且2HM =，∴42(,55H -或162(,)55H --．【点拨】本题考查了点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（1）见分析；（2）AB CD ∥；（3）存在，11(0,)3P 【分析】（1）根据A ，B ，C ，D 的坐标确定A ，B ，C ，D 的位置即可，再画线段；（2）证明AB x ∥轴，CD x ∥轴，可得答案；（3）如图，设(0,)P y ，16y -<<，则8461AB CD MP y NP y ===-=+，，，，由ABP CDP S S = ，可得1122AB MP CD NP ⋅=⋅，再建立方程求解即可．（1）解：A ，B ，C ，D 如图示，线段AB ，CD 即为所画的线段；（2）∵A ，B 的纵坐标相同，∴AB x ∥轴，同理：CD x ∥轴，∴AB CD ∥．（3）如图，设(0,)P y ，16y -<<，则8461AB CD MP y NP y ===-=+，，，．∵ABP CDP S S = ，即1122AB MP CD NP ⋅=⋅∴2MP NP =，即2(6)1y y -=+，解得：113y =∴110,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握平面直角坐标系内线段的长度的计算是解本题的关键．3．（1）见分析；（2）等腰直角三角形；（3）见分析；（4）5【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于直线MN 的对称点1A ，1B ，1C ，再顺次连接即可；（2）先标注图形，再证明ACK CBH ≌，利用全等三角形的性质可得答案；（3）先确定C 关于直线MN 的对称点C '，再连接AC '，交直线MN 于Q 即可；（4）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求；．（2）如图，标注图形，由图形可得：1AK CH ==，3CK BH ==，90AKC BHC ∠=∠=︒，∴ACK CBH ≌，∴AC BC =，ACK CBH ∠=∠，∴90BCH ACK BCH CBH ∠+∠=∠+∠=︒，∴1809090ACB ∠=-=°°°，∴ABC 为等腰直角三角形．（3）如图，Q 即为所求；（4）111341313245222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ．【点拨】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，网格三角形面积的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．4．（1）点B 的坐标为()70-，或()10，，图见分析，ABC 的面积为8；（2）点P 的坐标为()010，或()02-，；（3）点Q 的坐标为()09，，()04-，，708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()01-，．【分析】（1）根据(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =，可知点B 的横坐标与点A 的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B 的坐标，从而可以求得ABC 的面积．（2）根据题意可知点P 在点C 的上方或者下方，从而可以求得点P 的坐标．（3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，利用勾股定理列式计算从而可以得出点的坐标．（1）解：∵(3004())A C -，，，，点B 在x 轴上，且4AB =，∴设点B 的坐标为(0)x ，，()|3|4x --=．解得，7x =-或1x =．∴点B 的坐标为()70-，或()10，．在平面直角坐标系中画出ABC ，如下图所示：∴()()137482AB C S ⎡⎤---⨯⎣⎦== ，()213482AB C S ⎡⎤--⨯⎣⎦== ．即ABC 的面积为8；（2）解：在y 轴上存在点P ，使得以A 、C 、P 三点为顶点的三角形的面积为9．设点P 的坐标为()0y ，，由题意可知点P 可能在点C 的上方或下方．当点P 在点C 上方时，()4|3|92ACP y S -⨯-== ，解得，10y =．当点P 在C 点下方时，()4|3|92ACP y S -⨯-== ，解得，=2y -．由上可得，点P 的坐标为()010，或()02-，；（3）解：在y 轴上存在点Q ，使得ACQ 是等腰三角形．如下图所示：∵(3004())A C -，，，，∴22345AC =+，当5QC AC ==时，点Q 的坐标为：()09，或()01-，；当5AQ AC ==时，点Q 与点C 关于x 轴对称，点Q 的坐标为：()04-，；当QC QA =时，设点Q 的坐标为()0y ，，则()22243y y -=+，解得78y =，∴点Q 的坐标为708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，综上，使得ACQ 是等腰三角形，点Q 的坐标为：()09，，()04-，，708⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()01-，．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积．5．（1）2a =，3b =，4c =；（2）6；（3）3m -；（4）存在，1(3,)2P -【分析】（1）用非负数的性质求解；（2）由（1）得出A ，B ，C 的坐标，再利用三角形面积公式计算；（3）把四边形ABOP 的面积看成两个三角形面积和，用m 来表示；（4）求出ABC 的面积，结合（3）列出方程即可．（1）解：由已知2|2|(3)0a b -+-=，2(4)0c -≤及2(4)0c -≥，∴20a -=，30b -=，40c -=，可得：2a =，3b =，4c =；（2）由（1）得：(0,2)A ，(3,0)B ，(3,4)C ，∴三角形ABC 的面积为1134622B x BC ⨯⨯=⨯⨯=；（3） 12332ABO S =⨯⨯=△，12()2APO S m m =⨯⨯-=-△，()33ABO APO ABOP S S S m m ∴=+=+-=-△△四边形；（4）14362ABC S =⨯⨯= ，ABCABOP S S = 四边形36m \-=，则3m =-，所以存在点1(3,)2P -使ABC ABOP S S = 四边形．【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解答．6．（1）()6,0-；（2）存在点P ，点P 的坐标为()0,2或()0,2-；（3）MAC HBM BMA ∠=∠+∠或BMA HBM MAC ∠=∠+∠．【分析】（1）根据点A 在x 轴的负半轴上，9AC =，点C 的坐标为()3,0即可求得答案．（2）先求得OP 的长度，分两种情况写出点P 的坐标：当点P 位于点O 的上方；点P 位于点O 的下方．（3）分两种情况讨论：点M 在点H 上方；点M 在线段CH 上．利用平行线的性质及三角形的外角的性质求解即可．解：（1）∵点A 在x 轴的负半轴上，9AC =，点C 的坐标为()3,0，∴点A 的坐标为()6,0-．（2）存在点P ，点P 的坐标为()0,2或()0,2-．理由如下：如图所示，连接BP ，BO ．∵194182ABC S =⨯⨯=△，∴1332POB S OP =⨯=△．∴2OP =．当点P 位于点O 的上方时，点P 的坐标为()0,2．当点P 位于点O 的下方时，点P 的坐标为()0,2-．综上所述，点P 的坐标为()0,2或()0,2-．（3）∵点H 的坐标为()3,4，点B 的坐标为()3,4-，∴BH x ∥轴．①点M 在点H 上方．设AM 与BH 交于点K ，如图所示．∵BH x ∥轴，∴MAC MKH ∠=∠．∵MKH HBM BMA ∠=∠+∠．∴MAC HBM BMA ∠=∠+∠．②点M 在线段CH 上．过点M 作x 轴的平行线，交y 轴于点G ，如图所示．∵BH x ∥轴，MG x ∥轴，∴BH MG ∥．∴HBM BMG ∠=∠．∵MG x ∥轴，∴MAC AMG ∠=∠．∴BMA BMG AMG HBM MAC ∠=∠+∠=∠+∠．综上所述，MAC HBM BMA ∠=∠+∠或BMA HBM MAC ∠=∠+∠．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形的外角的性质，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．7．（1）5；（2）点()8,0D ，点C ()0,6-；（3）存在，()0,4-或()0,12【分析】（1）直接利用勾股定理求解AB 即可；（2）证明5AD AB ==，可得8OD =，可得点()8,0D ，设点OC 的长度为m ，可得4BC m =+，可得()22284m m +=+，可得6m =，从而可得答案；（3）求解168242OCD S =⨯⨯= ，设()0,P y ，则4PB y =-，结合12PAB OCD S S = ，再建立方程求解即可．（1）解：∵点()3,0A ，点()0,4B ，∴5AB ==；（2）由折叠得：CAB CAD △≌△，5AD AB ∴==，点()3,0A ，3OA ∴=，8OD ∴=，∴点()8,0D ，设点OC 的长度为m ，4BC m ∴=+，由折叠得CD BC =，在Rt COD 中，由勾股定理得即222OC OD CD +=，即()22284m m +=+，解得6m =，点C 在y 轴的负半轴上，∴点C 的坐标为()0,6-；（3）∵()0,6C -，()8,0D ，∴168242OCD S =⨯⨯= ，设()0,P y ，则4PB y =-，∵12PAB OCD S S = ，∴11432422y ⨯-⨯=，∴48y -=，解得：4y =-或12y =，∴点P 的坐标为()0,4-或()0,12．【点拨】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的性质，熟练的利用方程解题是解本题的关键．8．（1）2a =，4b =-，6AOB S =V ；（2）()0,2H ；（3）当 3APB AOB S S > 时，则8n >或4n <-【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性可求a 、b 的值，然后根据三角形的面积公式可进行求解；（2）设点()0,H h ，然后根据等积法可进行求解；（3）由题意可分点P 在y 轴的正半轴和负半轴两种情况进行求解．（120a +-=0,20a ≥-≥，∴2160,20b a -=-=，∴4,2b a =±=，∵点(,0)B b 在x 轴负半轴上，∴4b =-，∴()2,3,(4,0)A B -，∴4OB =，∴1362AOB S OB =⨯⋅= ；（2）解：设点()0,H h ，∴OH h =，∵1123622AOB BOH AOH S S S OH OB OH OH =+=⋅+⨯⋅== ，∴2OH h ==，∴()0,2H ；（3）解：由题意可分：①当点P 在y 轴的正半轴时，则有2PH n =-，∴()142332APB AOB S PH PH S =⋅+⋅=> ，∴26n ->，即8n >；②当点P 在y 轴的负半轴时，则有2PH n =-，∴()142332APB AOB S PH PH S =⋅+⋅=> ，∴26n ->，即4n <-；综上所述：当 3APB AOB S S > 时，则8n >或4n <-．【点拨】本题主要考查坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键．9．（1）4；（2）45AED ∠=︒；（3）P 点的坐标为()4,0-或()8,0【分析】（1）根据CB x ⊥求出B 点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）如图，过E 作EF AC ∥，利用平行线的判定和性质，得到5618090CAB ODB CBA ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，13∠=∠，24∠∠=，结合角平分线的定义，利用()112342AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠，进行求解即可；（3）设点P 的坐标为()0m ,，利用CBP 的面积等于12BP BC ⋅，列方程求解即可．（1）解：∵CB x ⊥轴，()2,2C ，∴()2,0B ，∵()2,0A -，∴4AB =，2CB =，∴14242ABC S =⨯⨯= ；（2）如图，过E 作EF AC ∥．∵CB x ⊥轴，∴CB y ∥轴，90CBA ∠=︒，∴6ODB ∠=∠．又∵BD AC ∥，∴5CAB ∠=∠，∴5618090CAB ODB CBA ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒．∵BD AC ∥，∴BD AC EF ∥∥，∴13∠=∠，24∠∠=．∵AE ，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，∴132CAB ∠=∠，142ODB ∠=∠，∴()11234452AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒；（3）解：设(),0P m ，∵()2,0B ，()2,2C ，∴2BP m =-，2BC =，由（1）知：4ABC S = ，∴CBP 的面积=113224222BP BC m ⋅=-⋅=⨯，解得：8m =或4m =-；∴P 点的坐标为()4,0-或()8,0．【点拨】本题考查坐标与图形．正确的识图，通过点的坐标确定线段的长度，构造平行线，进行角度的转化，是解题的关键．10．（1）()22--，，()42-，，()44，；（2）①9②存在，927P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用()24A -，，AB 长为6，以及正方形的性质即可求解；（2）利用非负性的性质求得3a =，2b =-，3c t =-，得到()33A -，，()32B --，，()22C -，，()23D ，，()32P t -，；①当2t =时，求得P 点坐标()12，，Q 点坐标()12--，，根据割补法求解即可；②利用割补法列式计算即可求解．（1）解：∵正方形ABCD ，AB 平行于y 轴，()24A -，，AB 长为6，∴()22B --，，()42C -，，()44D ，；故答案为：()22--，，()42-，，()44，；（2()2230b c t +++-=0≥，()220b +≥，30c t +-≥，∴3a =，2b =-，3c t =-，∴()33A -，，()32B --，，()22C -，，()23D ，，()32P t -，；①当2t =时，代入求得P 点坐标()12，，此时Q 点坐标()12--，，连接CP DP ，,APQ APD CDP CPQ ABQ ABCD S S S S S S =----矩形△△△△△1111551515432592222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；②假设存在点P 满足题意，则有12APQ APB S S =△△，∵当5t =时，A 、P 、Q 三点共线，三角形不存在，∴5t <，将两者分别用含有t 的代数式表示()()1111115665165465222222t t t t ⨯⨯⨯-=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯，化简得()561534t t -=-，解得：307t =，此时927P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，坐标与图形性质，绝对值、算术平方根和偶次方的非负性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型．11．（1）2a =-，3b =；（2）①(0,5)M ；②(0,5)M -或0()5,2M -或5(,0)2M ；【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案；（2）①设(0,)M m ，根据面积关系列式求解即可得到答案；②分负半轴及x 轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案；（1）解：∵22(3)0a b ++-=，2(3)0b -≥，20a +≥，∴30b -=，20a +=，解得：2a =-，3b =；（2）解：①设(0,)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111152222m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得：5m =，∴(0,5)M ；②i ：当M 在y 轴负半轴时，设(0,)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111()152222m ⨯-⨯=⨯⨯⨯，解得：5m =-，∴(0,5)M -；ii ：当M 在x 轴上时，设(,0)M m ，∵(2,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C -，12COM ABC S S =△△，∴111252222m ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得：52m =±，∴0()5,2M -或5(,0)2M ；综上所述：(0,5)M -或0()5,2M -或5(,0)2M ；【点拨】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围城图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高．12．（1）(3,0),(3,4)A B ；（2）点P 的坐标为8(3,3或(2,4)；（3）存在，点P 的坐标为(3,1)或14(0,)5【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；（2）证明四边形ABCO 为长方形，求出面积，再分两种情况：当4POA S = 时和当4OPC S = 时，分别列出方程，求解即可；（3）分两种情况：点P 在AB 上运动和点P 在OC 上运动，根据点P 到x 轴的距离为12t 个单位长度列出方程，求解即可．（1）解：由题意知，a ，b 满足|3|0a -=，∵|3|0.a -≥>，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，∴(3,0),(3,4)A B ；（2）由题意可知，AB x ⊥轴，BC OA =，∵BC x ∥轴，∴四边形ABCO 为长方形，∵(3,4)B ，∴3412ABCO S =⨯=矩形，∵PO 把四边形ABCO 的面积分成1:2的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，∴可分两种情况讨论：当4POA S = 时和当4OPC S = 时，①当4POA S = 时，此时点P 在AB 上，点P 的坐标为(3,23),23t AP t -=-，∴()11323422POA S OA AP t =⋅⋅=⨯⨯-= ，∴176t =，∴823=3t -，∴点P 的坐标为8(3,)3，②当4OPC S = 时，此时点P 在BC 上，点P 的坐标为(102,4),102t CP t -=-，∴()111024422OPC S CP CO t =⋅⋅=⨯-⨯= ，∴4,t =，∴点P 的坐标为(2,4)，综上可知，，点P 的坐标为8(3,)3或(2,4)；（3）存在，理由如下：①当P 在AB 上运动时，12AP t =，由（2）可知，23AP t =-，∴1.232t t -=，∴2t =，∴231AP t =-=，∴点P 的坐标为(3,1)，②当P 在OC 上运动时，142OP t =-，∴11422t t -=，∴285t =，∴141425OP t =-=，∴点P 的坐标为14(0,)5，综上可知，点P 的坐标为(3,1)或14(0,5．【点拨】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．13．（1）(3,0)A -；(2,0)B ；（2）360PQD OPQ POB ∠+∠+∠=︒；（3）存在，(2,0)或(8,0)-或4(0,)3-或16(0,)3【分析】（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出a 、b ，得到点A ，B 的坐标；（2）求出五边形QPOBD 的内角和，根据平行线的性质得到180QDB OBD ∠+∠=︒，计算即可；（3）根据题意求出ACD 的面积，分点M 在x 轴上、点M 在y 轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．（1）解：()22623120a a b ++-+= ，260a ∴+=，()223120a b -+=，解得：3a =-，2b =，则点A ，B 的坐标分别为(3,0)A -，(2,0)B ；（2）解：360PQD OPQ POB ∠+∠+∠=︒，理由如下：五边形QPOBD 的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，∵CD AB ∥，180QDB OBD ∴∠+∠=︒，()540360PQD OPQ POB QDB OBD ∴∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒；（3）解：由题意得，点C 的坐标为(5,2)-，点D 的坐标为(0,2)，则ACD 的面积15252=⨯⨯=，当点M 在x 轴上时，设点M 的坐标为(,0)x ，则3AM x =--，由题意得，13252x ⨯--⨯=，解得：2x =或8-，当点M 在y 轴上时，设点M 的坐标为(0,)y ，则2DM y =-，由题意得，12352y ⨯-⨯=，解得：43y =-或163，综上所述，三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等时，存在点M ，且点M 的坐标为()2,0或()8,0-或40,3⎛⎫-⎪⎝⎭或160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查的是几何变换的综合题，非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．14．（1）()2,2-；（2）①21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，83．②()1,6Q --，理由见分析【分析】（1）根据对称性可知点A 和点B 到直线l 的距离相等，且纵坐标相等即可求解；（2）①根据点A ，B ，C ，D 的坐标可得点A 和点B 关于直线l 对称，点C 和点D 关于直线l 对称，AB CD ，2AB =，4CD =，由PAD PBC S S =△△，可知点P 在直线l 上，设点P ()1,p -，再根据PAB PCD S S = 可得()()112222AB p CD p ⨯-=⨯+，求解即可得点P 坐标，进而即可求解PAB S ；②与①同理，设()1,Q q -，根据QAB QCD S S =△△，可得()()112222AB q CD q ⨯-=⨯--，解方程进而即可求解．解：（1）∵点A 坐标为()0,2，过点(1,0)-作x 轴的垂线l ，∴点A 到直线l 的距离为1，∵点A 和点B 关于直线l 的对称点，∴()2,2B -，故答案为：()2,2-；（2）如图所示：顺次连接A ，B ，C ，D ，可以发现四边形ABCD 是等腰梯形，且关于直线l 对称，①∵点()0,2A ，点()2,2B -，点(3,2)C --，点(1,2)D -，∴点A 和点B 关于直线l 对称，点C 和点D 关于直线l 对称，AB CD ，2AB =，4CD =，∵在四边形ABCD 内部有一点P ，满足PAD PBC S S =△△，则点P 在直线l 上，设点P ()1,p -，∵PAB PCD S S = ，∴()()112222AB p CD p ⨯-=⨯+，即()()11224222p p ⨯⨯-=⨯+，整理得：32p =-，解得：23p =-，∴点21,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1212822223233PAB S AB ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，故答案为：21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，83；②存在，理由：∵QAD QBC S S =△△∴点Q 在对称轴l 上，设()1,Q q -，∵QAB QCD S S =△△，∴()()112222AB q CD q ⨯-=⨯--，即()()11224222q q ⨯⨯-=⨯⨯--，解得：6q =-，∴点()1,6Q --．【点拨】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数构造方程解决问题．15．（1）()0,2A ，()10B ,，()3,1C ；（2）()2,1P -；（3）()2,1E -，()1,1--或()2,3【分析】（1）根据20a -+可得2a =，1b =，从而得到()0,2A ，()10B ,，再根据90ABC ∠=︒，AB BC =构造全等三角形，即可得到点C 的坐标；（2）根据ABC 三个顶点坐标可求()115123212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯⨯=△，则52ABP ABC S S ==△△，又因为ABP AOB PMB APMO S S S S =+- 梯形，即可求点P 的坐标；（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E ，由（1）求点C 的坐标的方法可求出点1E 坐标，点1E 与点2E 关于点A 对称，点C 与点3E 关于点B 对称，即可得到点E 的三个坐标．（1）解：∵()2210a b -+-=，∴210a b -+-=∴2a =，1b =，∴()0,2A ，()10B ,，∴2OA =，1OB =过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则90BDC AOB ∠=∠=︒∵12180ABC ︒∠+∠+∠=，90ABC ∠=︒∴1290∠+∠=︒，在Rt BCD 中，3290∠+∠=︒，∴13∠=∠∵AB BC =，∴Rt Rt BCD ABO ≌∴2BD OA ==，∴1CD OB ==，∴213OD =+=，∵点C 在第一象限内，∴()3,1C ．（2）存在．过点P 作PM x ⊥轴于点M ，则90PMO ∠=︒∵()115123212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯⨯=△，∴52ABP ABC S S ==△△∵ABP AOB PMB APMO S S S S =+- 梯形，∴()()()11151212112222m m ⨯-⨯++⨯⨯-⨯⨯-=，∴2m =-，∴()2,1P -（3）()2,1E -，()1,1--或()2,3理由：如图所示，当1≌ ABE ABC ，且点1E 在第一象限时，由（1）同理得()12，3E 当2≌ ABE ABC ，且点2E 在第二象限时，点1E 与点2E 关于点A 对称∴()22，1E -当3≌ ABE ABC ，且点3E 在第二象限时，点C 与点3E 关于点B 对称∴()31，-1E -综上所述，()2,1E -，()1,1--或()2,3故答案为：()2,1E -，()1,1--或()2,3【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．16．（1）4,2-；（2）4m -；（3）存在，5．【分析】（1的范围即可求出它的整数部分a ；根据数轴上的点表示的数即可求出b ；（2）将四边形AOPB 的面积分解成两个三角形AOB ∆与BOP ∆的面积和即可求出；（3）先用t 表示点(0,4),(5,0)P t B t -+，然后用t 表示ABM ∆与AMP ∆的面积，然后根据题意列式即可求出答案．（1）解： 45<<，且a 4a ∴=，在数轴上，b 表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度，2b ∴=-；故答案为：4,2-；（2）解： 在第三象限内有一点(1,)P m -，0m ∴<，AOB BOPAOPB S S S ∆∆=+四边形11||22BO AO BO m =⋅+⋅1124222m =⨯⨯-⨯⨯4m =-；∴用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积为：(4)m -；（3）解：如图2，连接MO ，动点P 从原点O 出发以每秒4个单位长度的速度沿y 轴负方向移动，同时点B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为(0)t t >秒，(0,4),(5,0)P t B t ∴-+，5(1)6AB t t ∴=+--=+，4OP t =，1OA =，112(6)2622ABM S AB t t ∆∴=⨯⨯=+⨯=+，AMP AMO MOP AOPS S S S ∆∆∆∆∴=+-111124214222t t =⨯⨯+⨯-⨯⨯142t t=+-21t =+当216t t +=+时，AMP ABM S S ∆∆=，解得5t =，∴存在这样的t ，当5t =时，AMP ABM S S ∆∆=．【点拨】此题考查了平面直角坐标系下点的坐标与三角形、四边形的面积，熟练掌握用“割补法”求图形的面积、利用参数构建方程解决问题是解答此题的关键．17．（1）=6OA ，3OB =；（2）48t ≤≤且6t ≠；（3）3或9【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m 、n 的值，即可得出答案；（2）分两种情况进行讨论，用t 表示出三角形的面积，然后分别求出t 的取值范围即可；（3）根据EOP AOB ≌时，一定要使3OP OB ==，然后分两种情况：P 在线段OA 上时或P 在线段OA 的延长线上进行讨论，求出t 的值即可．（1）解：∵|3|260m n n ---，∴30m n --=，260n -=，解得：=3n ，=6m ，∴=6OA ，3OB =；（2）解：分为两种情况：①当P 在线段OA 上时，如图所示：AP t =，6PO t =-，∴BOP 的面积()13=63=922S t t --⨯⨯，∵若POB △的面积不大于3且不等于0，∴30932t -≤＜，解得：46t ≤＜；②当P 在线段OA 的延长线上时，如图所示：∵AP t =，6PO t =-，∴BOP 的面积()13=63=922S t t --⨯⨯，∵若POB △的面积不大于3且不等于0，∴30932t -≤＜，解得：68t ≤＜；即t 的范围是48t ≤≤且6t ≠；（3）解：∵EOP AOB ≌，∴3OP OB ==，分两种情况：①当P 在线段OA 上时，如图所示：∵633AP OA OP =-=-=，∴331t ==；②当P 在线段OA 的延长线上时，如图所示：∵639AP OA OP =+=+=，∴991t ==；即存在这样的点P ，使EOP AOB ≌，t 的值是3或9．【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性，注意进行分类讨论．18．（1）2,6OA OB ==；（2）存在；()2,0C 或()6,0C -；（3）当P 移动2.25秒，此时30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或P 移动4.5秒，此时()0,3P -时，3ABP AOP S S ＝．【分析】（1）根据非负性求出a b ，的值即可；（2）利用12ABC S AC OB =⋅ 进行计算即可；（3）12ABP BP OA S =⋅V ，12AOP S OP OA =⋅△，利用3ABP AOP S S ＝进行计算即可．（1）解：∵()24240a b a +-++=，()240240a b a +-≥+≥，，∴4=0a b +-，24=0a +，解得：2,6a b =-=，∴()()2006A B -，，，，∴2,6OA OB ==；（2）解：存在．设(),0C m 则：11261222ABC S AC OB m =⋅=+⨯=△，∴24m +=，∴24m +=或24m +=-，解得：2m =或6m =-，∴()2,0C 或()6,0C -（3）解：设()0,n P 1162622ABP S BP OA n n =⋅=-⨯=-△，11222AOP S OP OA n n =⋅=⨯=△，∵3ABP AOP S S ＝，∴63n n -=，∴()2269n n -=，整理得：22390n n +-=，解得：3n =-或32n =，当3n =-时：63 4.52t +==（秒），当32n =时：362 2.252t -==（秒）；∴当P 移动2.25秒，此时30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或P 移动4.5秒，此时()0,3P -时，3ABP AOP S S ＝．【点拨】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．。
北师大版八年级上册数学[平面直角坐标系(提高版) 知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平面直角坐标系（提高）【学习目标】1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.【要点梳理】要点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示、例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示、按这种表示方式，南偏东30°方向78千米的位置，可用代码表示为__________.【思路点拨】根据题目的叙述可知：代码的前四位表示时间，前两位是几点，中间两位表示多少分，后两位是指距离，时间表示方向角，即正对钟表时按：上北，下南，左西，右东的方向，以钟面圆心为基准，时针指向所对应的时间．【答案】050078【解析】解：南偏东30°方向，时针正好指到5点00分，因而代码前4位是：0500，78千米的位置则代码的后两位是78．则代码是：050078．故答案填：050078．【总结升华】正确读懂题目的含义，是解决题目的关键，这一题目就是训练学生审题，理解题目的能力．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.有一个长方形ABCD ，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A ，B ，C ，D 各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，边AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A （0，0），B （5，0），C （5，3），D （0，3）.解法二：以边AB 的中点为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点和CD 的中点所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A （﹣2.5，0），B （2.5，0），C （2.5，3），D （－2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图（3）： A （﹣2.5，－1.5），B （2.5，－1.5）， C （2.5，1.5）， D （－2.5，1.5）.【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x 轴和y 轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x 轴、y 轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.3.平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)．求△ABC 的面积．【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线与过B点平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ACED 为梯形，根据点A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)可求得AD ＝4，CE ＝6，DB ＝4，BE ＝1，DE ＝5，所以△ABC 的面积为：111()222ABC S AD CE DE AD DB CE BE =+--△ 111(46)5446114222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．举一反三： 【变式】（2015春•莘县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示△ABC 各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【答案】解：（1）A（3，3），B（（﹣2，﹣2），C（（4，﹣3）；（2）如图所示：S△ABC=S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC==.类型三、坐标平面及点的特征4.（2016春•沂水县期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．【思路点拨】根据点的坐标特征一一求解.【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面．举一反三：【变式】若点C(x,y)满足x＋y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然 B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，－4)，C点坐标为(0，－4)．【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．举一反三：【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．【答案】(2，3)或(－2，3)或(－2，－3)或(2，－3).。
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案1
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《4.2 平面直角坐标系》是浙教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标的符号特征，以及坐标轴上点的坐标特点。
通过本节课的学习，为学生后续学习函数、几何等知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了平面图形的坐标表示，对坐标的概念有一定的了解。
但他们对平面直角坐标系的理解还不够深入，对于坐标系中各象限内点的坐标符号特征以及坐标轴上点的坐标特点还需要进一步巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平面直角坐标系的定义，理解各象限内点的坐标符号特征，以及坐标轴上点的坐标特点。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标符号特征。
2.难点：坐标轴上点的坐标特点，以及坐标系在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与，提高他们的学习兴趣和动手能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具：练习本、尺子、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中常见的坐标系图片，如地图、股市走势图等，引导学生关注坐标系在实际生活中的应用。
提问：这些图片中的点是如何用坐标表示的？引发学生对坐标系的思考。
2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及各象限内点的坐标符号特征。
通过示例，让学生直观地理解坐标轴上点的坐标特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，用坐标表示给定的点，并判断这些点位于哪个象限。
每组选出一个代表进行汇报，师生共同评价、纠正。
4.巩固（10分钟）出示一些坐标系题目，让学生独立完成，检查他们对平面直角坐标系的理解。
八年级(上)第四章 数量、位置的变化 第4课时 平面直角坐标系(1)
第4课时平面直角坐标系(1)（附答案）【基础巩固】1．已知点M(a，6)，在第一象限时，a_______0，b_______0；在第二象限时，a_______0，b_______0；在第三象限时，a_______0，b_______0；在第四象限时，a_______0，b_______0．2．已知点M (a，b)，在x轴的正半轴时，a_______0，b_______0；在x轴的负半轴时，a_______0，b_______0；在y轴的正半轴时，a_______0，b _______0；在y轴的负半轴时，a_______0，b_______0．3．已知点P(m，n)的坐标满足mn<0，则m，n的符号必定_______；当m>0时，n_______0，此时点P在第_______象限；当m<0时，n_______0，此时点P在第_______象限．4．点A的横坐标是5，纵坐标是－8，点A的坐标记作：_______．5．已知点Q（－6，8），则点Q到x轴的距离是_______，到y轴的距离是_______，到原点的距离是_______．6．在平面直角坐标系中，属于第二象限的点是 ( )A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)7．若点M(m－3，m－2)在y轴上，则m的值是 ( )A．2 B．－2 C．3 D．－38．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小华对小刚说，如果他的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么小刚的位置可以表示成 ( ) A．(5，4) B．(4，5) C．(3，4) D．(4，3)9．在平面直角坐标系中，当m<0时，点P(m2＋1，－2m＋5)所在的象限是 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限10．已知点A（3，－3），B(－3，－3)，则直线AB ( )A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．不与坐标轴平行 D．不能确定11．小华去某地考察环境污染问题，并且事先知道下面的信息：(1)“悠悠日用化工品厂”在他所在地的北偏东30°的方向，距离此处3 km；(2)“佳味调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°的方向，距离此处2.4 km；(3)“幸福水库”在他现在所在地的南偏东27°的方向，距离此处1.5 km的地方，根据这些信息，请建立直角坐标系，帮助小华完成这张表示各处位置的简图．12．在下图中，写出点A、B、C、D、E、F、G的坐标，请说明点B和点F有什么关系．【拓展提优】13．以点(－3，0)为圆心，5为半径的圆与坐标轴的交点坐标为_______．14．在平面直角坐标系中，点A1(1，1)，A2(2，4)，A3(3，9)，A4(4，16)，…，用你发现的规律确定点A9的坐标为_______．15．在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若点P(2a＋1，4a－15)是第四象限内的整点，则整数a＝_______．16．若点A(m，n)在第二象限，则点B（m，－n）在第_______象限．17．若点A（－2，n）在x轴上，则B(n－1，n＋1)在 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限18．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志A(2，3)、B(4，1)，A、B“宝藏”点的坐标是 ( )A．(1，0) B．(5，4)C．(1，0)或(5，4) D．(0，1)或(4，5)19．坐标平面上，在第二象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为 ( )A．(－5，4) B．(－4，5) C．(4，5) D．(5，－4)20．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 (m，n)，规定以下两种变换：① f(m，n)＝（m，－n），如f(2，1)＝（2，－1）；②g(m，n)＝（－m，－n），如g(2，1)＝(－2，－1)．按照以上变换有：[g(3，4)]＝f（－3，－4）＝（－3，4），那么g[f(－3，2)]等于 ( ) A．(3，2) B．（3，－2） C．(－3，2) D．（－3，－2）21．已知点P（－3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是，点P关于原点O 的对称点的坐标是。
八年级下册初二数学(北京版)平面直角坐标系1
（线）点
点（平面）
点（空间）
数轴 一一对应 平面直角坐标系
一个实数 有序数对（坐标） ?
勒内 笛卡尔
世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代 数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化 而被认为是解析几何之父。笛卡尔向世人证明，几何问题 可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明 几何性质。
过点P作坐标轴垂线，垂足为点P在坐标轴上的对应点．
P（m,n)
mx
平面直角坐标系 x轴 y轴 象限
一一对应
点
有序数对
坐标
例1 写出图中各点的坐标． C
A(2，4) B(0，3)
D
C(-4，2) D(-5，0)
E(-2，-1) F(0，-2)
y
B
E F
G(3，-2) H(5，0) O(0，0)
A
H
x
G
坐标轴上点的坐标
原点坐标为（0，0） x轴上的点纵坐标为0，即坐标（x，0） y轴上的点横坐标为0，即坐标（0，y）
y
例2 画平面直角坐标系， 并在所画的直角坐标系中
作出下列各点
A(-3，-2) B(2，2)
x
C(0，-1) D(-4，0)
E(-2，3) F(4，-2)
例4 如图所示正方形网格（每个 小方格的边长为1）中，建立适当
P(-12，-9)
必做：右图是天安门广场周围的 景点分布示意图，试建立平面直 角坐标系，用坐标表示各个景点 的位置。
选做：搜集资料，了解笛卡尔
的《几何学》
的平面直角坐标系，并写出A，B， C，D的坐标
分析：答案不唯一
可以以任意一点为坐标原点建 立直角坐标系，但尽量用格点
《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）
《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《平面直角坐标系》的教案（精选5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《平面直角坐标系》的教案1[教学目标]1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位2、渗透对应关系，提高学生的数感。
[教学重点与难点]重点：平面直角坐标系和点的坐标。
难点：正确画坐标和找对应点。
[教学设计][设计说明]一、利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？二、明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。
水平的数轴称为x轴（x—axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y—axis）或纵轴，取向上方向为由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。
从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。
描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。
表示方法为（a，b）。
a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。
例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。
建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。
你能说出例1中各点在第几象限吗？例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。
（）A（3，4）；B（—1，2）；C（—3，—2）；D（2，—2）问题1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材49页：练习1，2、三。
深入探索教材48页：探索：识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。
(新)苏科版八年级数学上册5.2《平面直角坐标系》(一)教案(全国一等奖)
（新）苏科版八年级数学上册5.2《平面直角坐标系》（一）教案（全国一等奖）课题：平面直角坐标系（一）教材：义务教育教材《数学》（八年级第一册）（苏科版）p120-122【教学目标】1.在引导学生探究的过程中，将实际问题抽象为数学问题，构造平面直角坐标系，正确绘制平面直角坐标系；2．会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标标出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标；3.让学生感受“数形结合”的数学思想，感受“类比”和“坐标”的思想，体验实际问题数学化的过程和方法[教学要点]1．理解并掌握平面直角坐标系的有关概念；2.在平面直角坐标系中，根据点的坐标标注点的位置，并根据点的位置书写点的坐标【教学难点】1．将实际问题抽象成数学问题，体验从数轴到平面直角坐标系的转化过程；2．感受“数形结合”与“类比”的思想与方法；3．使学生理解平面内的点与有序实数对的一一对应关系.【教学方法与教学手段】启发式教学结合学生的探究、类比和教师的实践，并使用多媒体信息技术[教学过程]第一环节：重温数轴的抽象过程（教师主讲）老师：1小明走在淮海东路，从红绿灯路口向东走了500米。
我们规定“上去”北下南、左西右东”，在生活中，如何描述小明现在所处的位置？（在淮海东路，距红绿灯路口东面500m处，此时我们可以用一句话来描述小明的位置）一2.⑴此时，我们如何运用之前学过的数学知识将这个实际问题抽象成一个数学术问题？（在数学中，我们经常把道路抽象成一条直线。
这时，我们也可以把淮海东路抽象成一条直线。
如果以红绿灯交叉口为原点，将东方向指定为正方向，并记录100米的单位长度，则可以将道路抽象成一个数字。
）是的。
）⑵在数轴上，如何用数字来表示小明所处的位置？（小明所处的位置可用（由500人代表）3.刚才我们将一个实际问题抽象成了数学问题，在一条规定了原点、正方向、单位长度的直线即数轴上，用一个点表示了小明的位置，进而用一个数来刻画了这个位置。
这就是我们利用数轴来解决的一个数学问题，在数轴上的一个点可以用一个数来表示，反之任何一个数都可以找到数轴上的一个点对应于它，也就是说，数轴上的点一个接一个地对应于数第二环节：类比学习引导学生构建平面直角坐标系（学生探究活动）老师：1现在我们有一个新问题：如果小明从红绿灯路口开始向东走500米，然后转向正北走300米，如果我们给另一条与淮海东路垂直的路直的淮海北路，又可以如何来描述小明此时的位置？（我们可以说小明在淮海北路的东边500m，淮海东路的北边300m处），那么这个问题是不是也可以抽象成一个数学问题呢？在数学中，又如何描述这个位置？用一条数轴，一个数字还能描述小明所处的位置吗？怎么办？（显然一条数轴已不够用，一个数字500已不能准确描述小明的位置，我们刚才是用两句话来描述小明的位置的）请大家讨论，可以小组讨论，也可以独立思考.2.老师发现绝大多数同学在原来一条数轴的基础上，又以红绿灯位置为原点，画另一个垂直于它的数字轴（实际上，垂直于它的“淮海北路”被抽象为一个数字轴），这样他就可以清楚地表达小明的立场（让学生表达）。
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⑴由图观察易知A(2，0)关于直线l的对称点A′的坐标为(0，2) ，请在图 中分别标明B(5，3) 、C(-2，5) 关于直线l的对称 点B′、C′的位置，并写出它们的坐标: B′__________、C′__________；
⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内 任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的 坐标为_____(不必证明) ；
坐标系中的平移：
⑴点平移：
①将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位可得对应点(x＋a， y)或(x－a，y)
②将点(x，y)向上(或向下)平移b个单位可得对应点(x，y＋ b)或(x，y－b)
⑶点A(a，b)在直线l的下方，则a，b的大小关系为____；若在 直线l的上方，则_____。
⑵图形平移：
③求△A1O1B1的面积。
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在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形 分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周 围小三角形的面积，一般方法有割补法和等积变换法。
找规律的题目一定要先找n＝1、2、3几个图形规律，在推广 到n的情况
从简单情况入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论 ，这是创造性思维的特点。
【例12】⑴如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点 的坐标分别为A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2， 7)，求四边形ABCD的面积。
⑵如图，△AOB是由△A1O1B1平移后得到的，已知点A1的 坐标为(-3，-1) ①求O1、B1的坐标。
②指出△A1O1B1经过怎样的平移得到△AOB？
【例1】在平面直角坐标系中，P(2，-4)关于x轴的对称点的坐 标是_____，关于y轴的对称点的坐标是_____ 。
【例2】⑴在平面直角坐标系中，点P(2，-3)关于原点对称点 P′的坐标是____。
⑵P(2，3)关于直线x＝3的对称点为_____，关于直线y ＝5的对称点为____。
⑶已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限， 求a的取值范围。
⑷点(-2，3)关于点(1，2)对称的点是____。
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的 角平分线。实验与探究：
【例3】⑴已知点P(x，y)的坐标满足方程
|x＋1|＋(y－
2)2＝0，则点P关于x轴的对称点在第____象限。
⑵点P1(a，3)和点P2(-2，b) 关于y轴对称，则a＝_____ ，b＝____。
【例10】已知点A(-2，0)，B(2，0)，直线CD∥y轴，且点D坐 标为(-1，0)，S△ABC＝6，求点C的坐标。(要求：画 图) 。
【例11】⑴直角坐标系中，已知A(-1，0)，B(3，0)两点，点C 在y轴上，△ABC的面积是 4，则点C的坐标是 ____。
⑵如图，已知直角坐标系中A(-1，4)，B(0，2)，平移 线段AB，使点B移到点C(3，0) ，此时点A记作点D ，则四边形ABCD的面积是____。
①把一个图形各个点的横坐标都加上 (或减去)一个正数a， 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位
②如果把图形各个点的纵坐标都加上 (或减去)一个正数a， 相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位
注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变 化
【例5】⑴点P(-2，1)向上平移2个单位后的点的坐标为____。
⑵如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在 图中做出将 “蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°， 再向右平移2个单位的图形(其中C、D为所在小正方形 的中点)。
⑶如图，把图1中的⊙A经过平移得到⊙O(如图2)，如果图 1中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图2中 的对应点P′的坐标为______。
⑵将点P(-2，3)向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到点P′ ，则点P′的坐标为____。
【例6】在直角坐标系中，把点(-2，3)沿着x轴的正方向平移4 个单位，再沿y轴负方向向下平移1个单位，得到点Q ，则点Q的坐标是____ 。
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【例7】将点P(m－2，n＋1)沿x轴负方向平移3个单位，得到 P1(1－m，2)，则点P坐标是_____。
【例9】⑴如图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边 的图案经过平移得到 的，左案中左右眼睛的坐
标分别是(-4，2)、(-2，2)，右图中左眼的坐标是 (3，4），则右图案中右眼的坐标是_____。
【例8】将点P(m＋2，2m＋4)向右平移1个单位得到P0，且P0 在y轴上，那么P0的坐标是____。
平面直角坐标系中的变换(上)
点P(a，b)关于x轴的对称点是P′(a，-b)，即横坐标不变，纵坐 标互为相反数。
点P(a，b)关于y轴的对称点是P′(-a，b)，即纵坐标不变，横坐 标互为相反数。
点P(a，b)关于坐标原点的对称点是
P′(-a，-b)，即横
坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
点P(a，b)关于点Q(m，n) 的对称点是M(2m－a，2n－b)。