约束问题最优化方法精品PPT课件
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约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
第四章约束问题的最优化方法
三. 间接解法： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。 前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二使它归结到原约束问题的 同一最优解上去。 惩罚函数法：
通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而 用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效 的间接解法。 基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函 数 Φ( x, r1 ,r2 )，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断 调整加权因子，产生一系列Φ函数的极小点序列 x(k)* (r1(k),r2(k)) k= 0,1,2… ，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
适用性：当gu前(x迭)代0, 点u=的1,2目,…标,p函数值较前一点是下降的，即满足
F(xk+1)<F(xk) 第四章约束问题的最优化方法
u 1gu(x)
② . (x,r(k))f(x)r(k) m 1
u 1gu(x)
③ m
. (x,r(k))f(x)
r(k)
u
u1
1 gu(x)
其g u 中 (x ) 0 ,u ： 1 ,2 ,.m ..
其g u 中 (x ) 0 ,u ： 1 ,2 ,.m ..
④ . (x,r(k))f(x)r(k)um 1[gu(1x)2]
m
lk i m r1(k)
G[gu(x(k))]0
u1
lk im r2H [hv(x(k)) ]0
lk i[ m (x (k ),r 1 (k ),r 2 (k )) f(x (k )) ]0
最优化方法全部ppt课件
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
第四章约束问题的最优化方法
迭代，产生的极值点 xk*(r(k))
4
序列从可行域外部趋向原目标
函数的约束最优点 x* 。
外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二. 惩罚函数的形式：
m
l
( x, r) f ( x) r max[0, gi ( x)]2 r [hj ( x)]2
i1
j1
• 惩罚因子rk 是递增的，rk1 a rk ，a为递增系数，a 1
惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭 代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2
无约束优化问题：min . (x, r1, r2 )
Φ函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2…
其收敛必须满足：
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和 G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多 维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚
六. 举例：盖板问题
设计一个箱形截面的盖板。 已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， h 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
tf ts
b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
f (x) r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]
【精品课件】TOC约束理论
步骤一:找出约束条件 约束条件的三种类型 按类别可分为物理约束条件、市场约束条件、方针约束条件三种类型。
(1)物理约束条件是由装置、设备、 人力资源引起的。生产产品D的工 厂的约束条件就属于物理约束条 件。
(2)市场约束条件是因需求、客户 等市场因素产生的。最具代表性 的市场约束条件是:生产能力远远 大于市场需求。在这种情况下, 营 销策略的变化和细分市场是十分 必要的。
的能力。 这两个步骤比较容易混淆, 但步骤四提高“约束条件的能力”, 是以在步骤二中已经最优化的约束条件为基础的, 在
此基础上对现有约束条件的能力进行提升。因此, 在这一步骤中, 需要导入新的装置来提高约束条件的性能, 或者让非 约束条件来承担约束条件的一部分作业。
2.把不需要的东西扔出背包 再来看一下前面提到的《目标》中童子军列队行走的例子。现在, 让其他成员帮助贺比(约束条件)提东西, 替他分 担放在背包里的水、食物和工具等, 贺比的速度就会提高。这个例子就如步骤四所说的, 提高了约束条件的能力。
产、成本管理、战略、市场营销等一切企业活动, 都不过是为达到上述目标的手段而已。可是, 要实现上述目标, 到 底应该怎么做呢?这时, TOC就应运而生了。
艾利·高德拉特 艾利·高德拉特博士，是以色列物理学家、企业管理大师，“TOC制约法”的创造者。他的第一部作品《目标》大
胆借用小说的笔法，说明如何通过近乎常识的逻辑推理，解决复杂的管理问题，结果一炮走红。 高德拉特的4部管理著作: 《目标》：反映了一位科学家对管理问题的种种思考 《绝不是靠运气》：企业要解决的3个甚为重要的问题 《关键链》：苏格拉底式的探索问题，并提出挑战性的新理念 《仍然不足够》： “不足够”，是指什么呢？ 是指科技，尤其是信息技术
零件A 零件B
第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x ) x1 x2 4,
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
第5讲约束优化课件
16维非线性规划模型61约束非线性规划的基本原理与解法有非线性函数带约束的非线性规划nonlinearprogramming只有等式约束为参数拉格朗日乘子法构造拉格朗日函数转化为无约束优化问题利用无约束优化最优解的必要条件求解不等式约束611可行方向与下降方向一起作用约束与不起作用约束x的不起作用约束10x的起作用约束在x处的微小变动都可能导致约束条件被破坏x的不起作用约束在x处的微小变动不会破坏约束条件设x为可行解位于约束边界x的不起作用约束11不起作用约束当足够小可保证约束条件满当足够小可保证约束条件满足任意方向d都是可行方向若xd既是可行方向又是下降方向则x继续沿方向d移动时目标函数f将减少则x不是最优解若x为最优解则一定不存在可行且下降方向13612最优解的必要条件x为最优解不存在同时满足12的d库恩塔克kuhntucker条件kt条件线性无关则存在若x为最优解最优解一定是kt点互补性条件1473验证p是kt点而q不是是起作用约束g是起作用约束g16代入式子q点不是kt点17则存在线性无关是最优解且18613二次规划qp及其解法cxhxmin当h为对称阵称二次规划quadraticprogramming当h正定时称凸二次规划凸二次规划性质
线性规划模型
5
2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。
26
min
cij [(x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/ 2
j 1 i1
2
s.t.
cij di , i 1,...,6,
j 1
6 g1(P) 2
1 g2 (P) 1
15
代入式子 f (x) 1g1(x) 2g2 (x) 0
线性规划模型
5
2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。
26
min
cij [(x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/ 2
j 1 i1
2
s.t.
cij di , i 1,...,6,
j 1
6 g1(P) 2
1 g2 (P) 1
15
代入式子 f (x) 1g1(x) 2g2 (x) 0
第7章 约束极值问题ppt课件
(7-10)
条件(7-10)式常简称为K-T条件。满足这个条件的点(它当然也满足非线 性规划的所有约束条件)称为库恩-塔克点(或K-T点)。
清华大学出版社
第1节 最优性条件
现考虑带有等约束非线性规划(7-1)式的库恩－塔克条件，我们用
hi ( X ) 0 hi ( X ) 0
第7章 约束极值问题
第7章 约束极值问题
第1节
最优性条件 第2节 二次规划 第3节 可行方向法 第4节 制约函数法
清华大学出版社
第1节 最优性条件
大多数极值问题其变量的取值都会受到一定限制，这种限制由约束 条件来体现。带有约束条件的极值问题称为约束极值问题。非线性 规划的一般形式为
m in f (X) h ,2, , m i (X) 0,i 1 g (X) 0, j 1 ,2, ,l j
* * * f () X g () X g ()0 X 11 2 2
清华大学出版社
第1节 最优性条件
图7-2 如上类推，可以得到
* * f( X ) g ( X ) 0 j j j J
图7-3
清华大学出版社
第1节 最优性条件
为了把不起作用约束也包括进式(7-9)中，增加条件
(0)
的摄动起到了某种限制作用，故称这个约束是 X ( 0 ) 点的起作用约束(有效约束)。 显而易见，等式约束对所有可行点来说都是起作用约束。
清华大学出版社
第1节 最优性条件
假定X(0)是非线性规划(7-3)式的一个可行点，现考虑此点的 某一方向D，若存在实数 λ 0 0 ，使对任意 λ0,λ0 均有
X
(0)
满足它有两种可能：其一为 g j (X) ，这时，点 0 X
数学建模最优化模型课件ppt市公开课金奖市赛课一等奖课件
总收益可表示为：R 10x1 5x2 受一级黄豆数量限制：0.3x1 0.4x2 9 受二级黄豆数量限制：0.5x1 0.2x2 8
第25页
综上分析，得到该问题线性规划模型
max R 10x1 5x2
0.3x1 0.4x2 9
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
x1, x2 0
ans = 175
ans = 10 15
第28页
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。依据机床性能 和以前生产情况，得知每单位产品所需车间工作 小时数、每个车间在一个季度工作小时上限以及 单位产品利润，下列表所表示(比如，生产一个单
位A产品，需要甲、乙、丙三个车间分别工作1小时、2
其中档式（3）、（4）、（5）右边可选取（1）或（2）等 式右边.
函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目 的函数必须是连续函数，并也许只给出局部最优解.
第10页
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
最优化模型
一、最优化办法概述 二、无约束最优化问题 三、无约束最优化问题 MATLAB求解 四、有约束最优化问题
第1页
最优化办法概述
1、最优化理论和办法是近二十多年来发展十分快 速一个数学分支。
2、在数学上，最优化是一个求极值办法。 3、最优化已经广泛渗入到工程、经济、电子技术
第25页
综上分析，得到该问题线性规划模型
max R 10x1 5x2
0.3x1 0.4x2 9
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
x1, x2 0
ans = 175
ans = 10 15
第28页
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。依据机床性能 和以前生产情况，得知每单位产品所需车间工作 小时数、每个车间在一个季度工作小时上限以及 单位产品利润，下列表所表示(比如，生产一个单
位A产品，需要甲、乙、丙三个车间分别工作1小时、2
其中档式（3）、（4）、（5）右边可选取（1）或（2）等 式右边.
函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目 的函数必须是连续函数，并也许只给出局部最优解.
第10页
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
最优化模型
一、最优化办法概述 二、无约束最优化问题 三、无约束最优化问题 MATLAB求解 四、有约束最优化问题
第1页
最优化办法概述
1、最优化理论和办法是近二十多年来发展十分快 速一个数学分支。
2、在数学上，最优化是一个求极值办法。 3、最优化已经广泛渗入到工程、经济、电子技术