三角函数综合应用 (1)

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1. 三角函数的综合应用

班级__________姓名____________ ___年____月____日 内 容

要 求

A B C

三角函数综合

两角和与差的正弦余弦和正切公式 √ 同角三角函数的基本关系式；二倍角公式；正弦定

理和余弦定理

√ 三角函数的图象和性质

√

1.理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理；

2.能运用它们解决有关三角函数的综合问题． 【教学过程】 一、知识梳理：

1. 同角三角函数的基本关系式

sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin α

cos α

.

2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式

sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsin αsin β，tan (α±β)＝

tan α±tan β

1tan αtan β

.

3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2

α，tan2α＝2tan α1－tan 2α

.

4. 三角函数的图象和性质

5. 正弦定理和余弦定理

(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c

sinC ＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．

(2)

余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc

. 二、回归教材

1.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c

sinC ，那么A

＝________．

2. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B 等于________．

3. 若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则可判断△ABC 的形状一定为________．(按边分类)

4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________．

5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高等于________．

三、典型题型：

题型1 三角函数与解三角形

例1 (2015·深圳联考)已知f(x)＝3sin(π＋ωx)·sin ⎝⎛⎭

⎫3π

2－ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为T ＝π.

(1) 求f ⎝⎛

⎭⎫

2π3的值；

(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若有(2a －c)cosB ＝bcosC ，

则求角B 的大小以及f(A)的取值范围．

题型2 三角函数与向量的交汇

例2 已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx)，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx)，设函数f(x)＝a·b ＋λ(λ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈⎝⎛⎭⎫

12，1.

(1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 若y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数y ＝f(x)在区间⎣

⎡⎦⎤0，3π

5上的取值范围．

题型3 三角函数的综合应用

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例3 (2015·昆明调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos 2

C 2

＋ccos 2A 2＝32

b.

(1) 求证：a ，b ，c 成等差数列；

(2) 若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．

题型4 与三角函数有关的取值范围问题

例4 (2015·天津模拟)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且tan A ＝3bc b 2＋c 2－a

2.

(1) 求A 的大小；

(2) 求cos B ＋cos C 的取值范围．

四、课堂反馈：

1.已知函数f(x)＝sin x ＋23cos 2x

2，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，将a ，b ，c 用

“<”连结起来是________．

2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b)在直线x(sin A －sin B)＋ysin B ＝csin C 上，则角C 的值为________．

3.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且c ＝b ＋1＝a ＋2，C ＝2A ，则△ABC 的面积等于________．

4.已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3. (1) 求cosA 的值；

(2) 若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小．

五、课后作业： 学生姓名：___________

1. 在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．

2.设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos(B ＋C)＋sin 2A 2＝5

4.

(1) 求角A 的大小；

(2) 若AB →·AC →

＝－1，求BC 边上的高AD 长的最大值．

4.已知函数f(x)＝2sin 2(x ＋π4)－3cos2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π

2，设x ＝α时f(x)取到最大值．

(1) 求f(x)的最大值及α的值；

(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝α－π

12，且sinBsinC

＝sin 2A ，判断△ABC 的形状．