三角函数的综合应用

解答题规范练

三角函数的综合应用

(推荐时间：70分钟)

1． 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .

(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦

⎤－π3，π

3，求x 的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．

解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－3

2. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π

6，

∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4

.

(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π

2

＋2k π(k ∈Z )，

即－π3＋k π≤x ≤π

6

＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为

⎣⎡⎦

⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，

x 0 π

6 π3 π2 2π3 5π6 π y

2

3

2

－1

2

2． 已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －

cos 2x .

(1)求函数f (x )的值域；

(2)若f (θ)＝1

5，θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，求sin 2θ的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －cos 2x

＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6－1， f (x )的值域为[－3,1]．

(2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2θ＋π

6－1， 由题设2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－1＝1

5，即sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝35， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴2θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝－45

， ∴sin 2θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6sin π

6 ＝35×3

2－⎝⎛⎭⎫－45×12＝33＋410

.

3． 已知向量m ＝⎝

⎛⎭⎫sin A ，1

2与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角． (1)求角A 的大小；

(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值．

解 (1)∵m ∥n ，∴sin A ·(sin A ＋3cos A )－3

2＝0.

∴1－cos 2A 2＋32sin 2A －32＝0，

即

32sin 2A －1

2

cos 2A ＝1， 即sin ⎝

⎛⎭⎫2A －π

6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π

6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π

3

.

(2)∵BC ＝2，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，

又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3

4×4＝ 3.

即△ABC 面积S 的最大值为 3.

4． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a

b

.

(1)求

sin C

sin A

的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，设

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝k ， 则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B ，

所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B

，

即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C

sin A ＝3.

(2)由

sin C

sin A

＝3得c ＝3a .

由题意知⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋c >b

a 2＋c 2<

b 2，

又b ＝10，所以5

2

5． 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π

2的部分图象如图所示．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值． 解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π

4

.

又f (1)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π

2， 所以π4＋φ＝π2，解得φ＝π

4.

所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)因为f (－1)＝0，f (1)＝1， f (5)＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋π4＝－1，

所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． 所以|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得

cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35.

因为∠MNP ∈(0，π)， 所以sin ∠MNP ＝4

5

.

6． 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中

0<α

(1)若α＝π

4

，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；