2020届安徽省阜阳市太和县2017级高三上学期10月诊断考试数学(理)试卷及解析
安徽省2017届高三上学期10月阶段联考检测文数试题(A3打印)
二、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分） 。
13． 已知 a, b 是两个向量， a 1 , b 2 ， 且 ( a b) a ， 则 a, b 的 下左图所示：
夹角为
.
14．已知 p : 方程 x 2 mx 1 ＝0 有两个不等的正实数根，若 p 是真命题，则实数 m 的取值
…○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○………
【考试时间：2016 年 10 月 6 日 15：00~17：00】
安徽省 2017 届高三阶段联考能力检测
文科数学试题（卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
4 ) 2 cos 2 x ． 3
3 ， a 1 ，求△ABC 2
高三文科数学 第 3页，共 8页
高三文科数学 第 4页，共 8页
Байду номын сангаас
…○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○………
评卷人
得分
19． （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，已知侧棱与底面垂直，
2 AC ． 3
差数列 bn 中， b2 5 ，且公差 d 2 ． （Ⅰ）求数列 an , bn 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数 n ，使得 a1b1 a2b2 ...an bn＞60n ?．若存在，求出 n 的最小值；若 不存在，请说明理由．
准考证号：
姓名：
班级：
…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○……
2020年安徽省阜阳市太和县中学高三数学理期末试题含解析
2020年安徽省阜阳市太和县中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入z?=2（+i）后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．则，解得．所以z=1+i．故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2. 已知全集U=Z,集合A={–2,–1,1,2},B=,则C U BA．{–2,–1} B．{2, 1} C．{–2, 1} D．{–1,2}参考答案：A略3. 一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：B还原为立体图形是半个圆锥，侧面展开图为扇形的一部分，计算易得。
4. 已知函数若互不相等，且，则的取值范围为（）A、（）B、（）C、（）D、（）参考答案：B略5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的S属于（）A．[－4,2] B．[－2,2] C．[－2,4] D．[－4,0]参考答案：A6. 设，是两个非零向量，则“?＜0”是“，夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若，夹角为钝角，则，则cosθ＜0，则?＜0成立，当θ=π时，?=﹣||?||＜0成立，但“，夹角为钝角”不成立，故“?＜0”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．7. 把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为（）A BC D参考答案：C8. 若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．9参考答案：C【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+[]=0，0＞4，否；n=1，S=0+[]=1，1＞4，否；n=2，S=1+[]=2，2＞4，否；n=3，S=2+[]=3，3＞4，否；n=4，S=3+[]=5，4＞4，否；n=5，S=5+[]=7，5＞4，是；输出S=7． 故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果是什么．9. 设是等差数列的前项和，若，则等于 （ ）A. B. C. D.参考答案：D 略10. 设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5，6}，则P∩Q=( ) A ．B ．{3,4}C ．{1,2,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6}参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a ＜0，关于x 的不等式ax 2﹣2（a+1）x+4＞0的解集是 ．参考答案：因为a ＜0，所以，所以不等式ax 2﹣2（a+1）x+4＞0的解集是．故答案为．12. 已知向量夹角为，且= _________参考答案：13. 已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值是____.参考答案：11 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最大，由，得A （2，﹣3）．代入目标函数，得z ＝2﹣3×（﹣3）＝11故答案为：11．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．14. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______.参考答案：试题分析：因为，所以，因为，所以为的中点，，又因为为的中点，所以，所以，因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过点作的垂线，过点作，则为抛物线的准线，所以，所以点的横坐标为，设,在中，，即，解得.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点的横坐标为，再根据在中，得出是解答的关键.15. 已知p：x＞1或x＜﹣3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是参考答案：338【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】把充分性问题，转化为集合的关系求解．【解答】解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q?P即a∈+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．【点评】本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．16.参考答案：答案：解析：，,又因为与不共线,所以,所以17. 直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．参考答案：﹣2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届安徽省阜阳市太和县高三上学期10月质量诊断考试数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省阜阳市太和县高三上学期10月质量诊断考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4A =，{}1,3,4B =，则()A B =ðU （）A.{}1,2,5,6B.{}5,6C.{}2,3,5,6D.{}1,2,3,4【答案】A【解析】结合集合补集和交集运算的定义，可得答案． 【详解】{}2,3,4A =,{}1,3,4B =，{}3,4A B ∴=，又{}1,2,3,4,5,6U =，(){}1,2,5,6U A B ∴=ð，故选A .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题． 2．“()04,2x ∃∈--，使得20030x x +=”的否定是（）A.()04,2x ∃∈--，使得20030x x +≠B.()04,2x ∃∉--，使得20030x x +≠C.()4,2x ∀∈--，230x x +≠D.()4,2x ∀∉--，230x x +≠ 【答案】C【解析】此命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题解答。
【详解】“()04,2x ∃∈--，使得20030x x +=”的否定是“()4,2x ∀∈--，230x x +≠”.故选C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题。
3．已知在等差数列{}n a 中，1910a a +=，21a =-，则1n n a a +-=（） A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】由题意构造关于1,a d 的方程组，即可得出答案。
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1128101a d a d +=⎧⎨+=-⎩，132a d =-⎧∴⎨=⎩12n n a a +∴-=.故选B . 【点睛】本题考查基本量法求等差数列的通项公式，根据题意构造方程组，即可得，属于基础题。
4．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（） A.45B.5C.12D.45或5 【答案】D【解析】由扇形的面积公式12S lr =构造关于r ，l 的方程组，解出方程，由圆心角lr α=即可算出圆心角大小的弧度数。
2019-2020学年安徽省阜阳市太和中学高三(上)10月质检数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省阜阳市太和中学高三（上）10月质检数学试卷（理科）一、选择题1. 已知全集U＝{x∈N|−2<x<6}，若A＝{2, 4}，B＝{1, 3, 4}，则(∁U A)∩B＝（）A.{1, 3}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3, 5}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合U，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】∵U＝{0, 1, 2, 3, 4, 5}，A＝{2, 4}，B＝{1, 3, 4}，∴∁U A＝{0, 1, 3, 5}，∴(∁U A)∩B＝{1, 3}．2. “∃x∈(2, +∞)，使得x2+2x>0”的否定是（）A.∃x0∈(−∞, 2]，使得x02−2x0≤0B.∀x∈(2, +∞)，使得x2+2x≤0C.∃x0∈(2, +∞)，使得x02−2x0≤0D.∀x∈(−∞, 2]，使得x2+2x>0【答案】B【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为全称命题，则“∃x∈(2, +∞)，使得x2+2x>0”的否定是∀x∈(2, +∞)，使得x2+2x≤0，3. 已知在等差数列{a n}中，a1+a9＝10，a2＝−1，则a n+1−a n＝（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】将求a n+1−a n的问题转化为求等差数列的公差d的问题即可．【解答】依题意，设等差数列{a n}的公差为d，则a1+a9＝2a1+8d＝10①，a2＝a1+d＝−1②，联立①②得，d＝2，故a n+1−a n＝d＝2，4. 已知某扇形的面积为2.5cm 2，若该扇形的半径r ，弧长l 满足2r +l =7cm ，则该扇形圆心角大小的弧度数是( ) A.45B.5C.12D.45或 5【答案】 D【考点】 扇形面积公式 弧长公式 【解析】由已知利用扇形的面积公式可求半径和弧长，利用弧长公式可求扇形圆心角大小的弧度数． 【解答】解：由题意可得{l +2r =7，12lr =2.5，解得{r =52，l =2，或{r =1，l =5，可得lr=45或5．故选D .5. 函数f(x)＝x 3−x 2−4x 的一个零点所在区间为（ ） A.(−2, 0) B.(−1, 0) C.(0, 1)D.(1, 2)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理 【解析】f(x)＝x 3−x 2−4x ＝x(x 2−x −4)，令g(x)＝x 2−x −4，利用函数的解析式求出g(0)，g(−2)的值，利用零点判定定理得出结论． 【解答】f(x)＝x 3−x 2−4x ＝x(x 2−x −4)，令g(x)＝x 2−x −4， ∵ g(0)＝−4<0，g(−2)＝2>0，利用零点判定定理得出f(x)＝x 3−x 2−4x 的一个零点所在区间为(−2, 0)．6. 如图，若OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（ ）A.c →=23b →−16a →B.c →=43b →+13a →C.c →=43b →−13a →D.c →=23b →+16a →C【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量数乘的运算及其几何意义 【解析】根据平面向量的线性表示与运算法则，用OA →、OB →表示OC →即可． 【解答】OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →， 则OC →=OB →+BC →=OB →+13AB →=OB →+13(OB →−OA →)=43OB →−13OA → =43b →−13a →．7. 若cos θ=−45，且θ为第三象限角，则tan (θ+π4)的值等于（ ）A.17B.−17C.−7D.7【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tan θ的值，再利用两角和的正切公式，求得tan (θ+π4)的值．【解答】若cos θ=−45，且θ为第三象限角，则sin θ=−√1−cos 2θ=−35，∴ tan θ=sin θcos θ=34，tan (θ+π4)=tan θ+11−tan θ=7，8. 已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为3√22，则线段AB 的长是（ ） A.9 B.4C.92D.8【答案】 C抛物线的性质 【解析】设过焦点的直线方程联立抛物线方程 可得纵坐标之和及之积，进而得面积，与已知联立可得参数的值，过焦点的弦长转化为到准线的距离，即可得出结果． 【解答】如图所示：由题意可得：F(1, 0)，显然直线AB 的斜率不为零， 设直线AB 的方程：x ＝my +1，设A(x, y)，B(x ′, y ′)，联立抛物线的方程整理得：y 2−4my −4＝0，y +y ′＝4m ，yy ′＝−4，∴ S △OAB =12⋅|OF|⋅|y −y ′|=12⋅1⋅√(y +y ′)2−4yy ′=12√16m 2+16=2√1+m 2． 由题意：2√1+m 2=3√22，∴ m 2=18，∴ |AB|＝x +x ′+p ＝m(y +y ′)+2+2＝4m 2+4=92， 故选：C ．9. 已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE →⋅DF →=( ) A.8B.10C.12D.14【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解． 【解答】由题可得：DA →⊥DC →，AE →⊥CF →； DA →⋅DC →=AE →⋅CF →=0；∴ DE →⋅DF →=(DA →+AE →)⋅(DC →+CF →)=DA →⋅DC →+DA →⋅CF →+AE →⋅DC →+AE →⋅CF →=0+2×1×cos 0+2×4×cos 0+0＝10．则△ABC外接圆的面积为（）A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】B【考点】余弦定理【解析】由已知利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可得a的值，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可解得R，即可得解△ABC外接圆的面积．【解答】∵A=π3，b＝2，S△ABC=2√3=12bc sin A=12×2×c×√32，∴解得：c＝4，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2−2bc cos A＝4+16−2×2×4×12，解得：a＝2√3，∵设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得：2R=asin A =√3√32=4，解得R＝2，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π．11. 一艘轮船从A出发，沿南偏东70∘的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35∘的方向航行了40√2海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）A.北偏东80∘，20(√6+√2)B.北偏东65∘，20(√3+2)C.北偏东65∘，20(√6+√2)D.北偏东80∘，20(√3+2)【答案】C【考点】解三角形【解析】在△ABC中，∠ABC＝70∘+35∘＝105∘，AB＝40，BC＝40√2，故可由余弦定理求出边AC的长度，在△ABC中，可由正弦定理建立方程BCsin∠CAB =ACsin105，求出∠CAB．【解答】由题意，在△ABC中，∠ABC＝70∘+35∘＝105∘，AB＝40，BC＝40√2根据余弦定理得AC2＝AB2+BC2−2AB×BC×cos∠ABC＝402+(40√2)2−2×40×40√2×√2−√64= 3200+1600√3，∴AC＝20(√6+√2)．根据正弦定理BCsin∠CAB =ACsin105，∴∠CAB＝45∘，∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65∘、20(√6+√2)．12. 若函数f(x)＝|log3x|+6x2−x3−9x+4−a在区间(0, 3]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用 【解析】首先对函数的零点和方程的根进行转换，进一步引入新函数，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步利用函数的最值求出参数的取值范围． 【解答】根据题意，得到关于x 的方程|log 3x|＝−(6x 2−x 3−9x +4−a)在区间(0, 3]上有两个不同的交点，引入函数G(x)＝−(6x 2−x 3−9x +4−a)， 所以G′(x)＝3x 2−12x +9，当1<x <3时，G′(x)<0，所以函数G(x)在(1, 3)上单调递减． 当0<x <1时，G′(x)>0，所以函数G(x)在(0, 1)上单调递增． 所以函数G(x)在x ＝1时取得最大值．即G(x)max ＝a ．由于关于x 的方程|log 3x|+6x 2−x 3−9x +4−a 在区间(0, 3]上有两个不同的实根， 所以a >0，且33−6⋅32+3⋅9+a ≤1+4， 解得a ≤5． 故0<a ≤5． 二、填空题已知平面向量a →=(4, −3)，b →=(−x, 2)，若a →⊥b →，则实数x ＝________． 【答案】−32【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】根据a →⊥b →可得出a →⋅b →=0，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值． 【解答】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=−4x −6=0，解得x =−32．二项式(√xx 2)10的二项展开式中的常数项是________．【答案】 45【考点】二项式定理的应用 【解析】利用二项式的通项公式即可得出x 的指数幂为0，即可得出r 的值，就能够求解常数项． 【解答】令20−5r2=0=0，解得r=8．∴常数项为T8=C108×(−1)2=45. 故答案为：45．化简：sin(θ−3π2)cos(π−θ)sin(θ+π)cos(θ−π2)=________．【答案】cot2θ【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】sin(θ−3π2)cos(π−θ)sin(θ+π)cos(θ−π2)=−sin(3π2−θ)⋅(−cosθ)−sinθ⋅sinθ=cosθ⋅(−cosθ)−sin2θ=cos2θsin2θ=cot2θ．已知奇函数f(x)在定义域(−∞, +∞)上单调递增，若f(sin x+cos2x)+f(sin x+m)≥0对任意的x∈(−∞, +∞)成立，则实数m的最小值为________．【答案】3【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，可转化不等式，然后结合恒成立问题与最值的相互转化，结合二次函数的性质即可得到结论．【解答】∵f(sin x+cos2x)+f(sin x+m)≥0对任意的x∈(−∞, +∞)成立，且f(x)为奇函数，∴f(sin x+cos2x)≥−f(sin x+m)＝f(−sin x−m)对任意的x∈(−∞, +∞)成立，函数f(x)在(−∞, +∞)上是增函数，则不等式等价为2sin x+cos2x≥−m，令g(x)＝2sin x+cos2x＝−2sin2x+2sin x+1，∵−1≤sin x≤1，结合二次函数的性质可知，当sin x＝−1时，g(x)取得最小值−3，故−m≤−3，∴m≥3，即m的最小值3．三、解答题已知tanθ1−tanθ=1，求下列各式的值：（1）sinθ−cosθsinθ+cosθ；（2）sin(π−θ)cos(π+θ)−cos2(θ+π2)−2．【答案】∴sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=12−112+1=−13；sin(π−θ)cos(π+θ)−cos2(θ+π2)−2＝−sinθcosθ−sin2θ−2＝−[sin2θ+sinθcosθ+2(cos2θ+sin2θ)]=−3sin2θ+sinθcosθ+2cos2θsin2θ+cos2θ=−3tan2θ+tanθ+2 tan2θ+1=−3×14+12+214+1=−135．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）由已知求得tanθ，然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】∵tanθ1−tanθ=1，∴tanθ=12，∴sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=12−112+1=−13；sin(π−θ)cos(π+θ)−cos2(θ+π2)−2＝−sinθcosθ−sin2θ−2＝−[sin2θ+sinθcosθ+2(cos2θ+sin2θ)]=−3sin2θ+sinθcosθ+2cos2θsin2θ+cos2θ=−3tan2θ+tanθ+2 tan2θ+1=−3×14+12+214+1=−135．已知函数f(x)＝2x3−3x2+4．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）当x∈[−1, 2]时，求函数f(x)的最小值．【答案】由题意f(x)＝2x3−3x2+4，f′(x)＝6x(x−1)，当x∈(−∞, 0)时，f′(x)>0；当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0．所以，函数f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)和(1, +∞)． 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所以，当x ＝−1，y min ＝2(−1)3−3(−1)2+4＝−1． 当x ∈[−1, 2]时，函数f(x)的最小值为−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）先求导函数，利用导数大于0，可得函数的单调增区间；导数小于0，可得函数的单调增区间；（2）令导数等于0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值． 【解答】由题意f(x)＝2x 3−3x 2+4，f′(x)＝6x(x −1)， 当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)>0； 当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0； 当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0．所以，函数f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)和(1, +∞)． 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所以，当x ＝−1，y min ＝2(−1)3−3(−1)2+4＝−1． 当x ∈[−1, 2]时，函数f(x)的最小值为−1．已知平面向量m →=(sin (x −π6)，12)，n →=(cos x, 12)．（1）若m →∥n →，x ∈[0, π2]，求实数x 的值；（2）求函数f(x)=m →⋅n →的单调递减区间． 【答案】∵ m →∥n →，m →=(sin (x −π6)，12)，n →=(cos x, 12)． ∴ 12sin (x −π6)−12cos x ＝0． 即sin x =√3cos x ． ∴ tan x =√3；ππ由题得：f(x)=m →⋅n →=sin (x −π6)⋅cos x +14=(√32sin x −12cos x)cos x +14=(√32sin x ⋅cos x −12cos 2x)+14=12sin (2x −π6)． 令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ (k ∈Z)；∴ π3+kπ≤x ≤5π6+kπ (k ∈Z)；函数f(x)=m →⋅n →的单调递减区间为：[π3+kπ, 5π6+kπ](k ∈Z)．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）直接根据向量共线的结论即可求解；（2）先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论． 【解答】∵ m →∥n →，m →=(sin (x −π6)，12)，n →=(cos x, 12)． ∴ 12sin (x −π6)−12cos x ＝0．即sin x =√3cos x ． ∴ tan x =√3；∵ x ∈[0, π2]，∴ x =π3．由题得：f(x)=m →⋅n →=sin (x −π6)⋅cos x +14=(√32sin x −12cos x)cos x +14=(√32sin x ⋅cos x −12cos 2x)+14=12sin (2x −π6)． 令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ (k ∈Z)；∴ π3+kπ≤x ≤5π6+kπ (k ∈Z)；函数f(x)=m →⋅n →的单调递减区间为：[π3+kπ, 5π6+kπ](k ∈Z)．已知函数f(x)=sin ωx cos ωx −√3sin 2ωx +√32(ω>0)图象两条相邻的对称轴间的距离为π4．（1）求ω的值；（2）将函数f(x)的图象沿z 轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(2019π)的值． 【答案】2√3=12sin2ωx−√3−√3cos2ωx2+√32，＝sin(2ωx+π3)．由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为π4，所以2×π4=2π2ω，解得ω＝2．由（1）得f(x)＝sin(4x+π3)．函数f(x)的图象沿z轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象，所以g(2019π)=cos(2×2019π+π3)=12．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】函数f(x)=sinωx cosωx−√3sin2ωx+√32(ω>0)=12sin2ωx−√3−√3cos2ωx2+√32，＝sin(2ωx+π3)．由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为π4，所以2×π4=2π2ω，解得ω＝2．由（1）得f(x)＝sin(4x+π3)．函数f(x)的图象沿z轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象，所以g(2019π)=cos(2×2019π+π3)=12．已知函数f(x)=a⋅2x−x2−43a(a∈R)（1）若函数f(x)是偶函数，求实数a的值；（2）若函数g(x)=4x+12x−x2，关于x的方程f(x)＝g(x)有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．【答案】因为f(x)＝a⋅2x−x2−43a(a∉R)是偶函数，所以f(−x)＝f(x)对任意x∈R成立所以a⋅2−x−(−x)2−43a＝a⋅2x−x2−43a对任意的x∈R成立，所以a⋅(2−x−2x)＝0对任意x∈R成立，所以a＝0；因为g(x)=4x+12x−x2，f(x)＝g(x)，所以a⋅2x−x2−43a=4x+12x−x2所以{a⋅2x−43a>04x+1 2x =a⋅2x−43a，设t＝2x(t>0)，则有关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0，若a−1>0，即a>1时，则需关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个大于43的实数根，设ℎ(t)＝(a−1)t2−43at−1，则ℎ(43)<0，所以(a−1)×(43)2−43a×43−1<0，所以−25<0成立，所以a>1满足题意；若a−1＝0，即a＝1时，解得t=−34，不满足题意；若a−1<0，即a<1时，(−43a)2+4(a−1)＝0，且−−43a2(a−1)>0，所以a＝−3，当a＝−3时，关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个实数根12，12<43，不满足题意，综上，所求实数a的取值范围是{a|a>1}．【考点】函数与方程的综合运用函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）因为f(x)＝a⋅2x−x2−43a(a∉R)是偶函数，所以f(−x)＝f(x)对任意x∈R成立，所以a⋅(2−x−2x)＝0对任意x∈R成立，进而求解；（2）因为g(x)=4x+12x−x2，f(x)＝g(x)，所以{a⋅2x−43a>04x+12x=a⋅2x−43a，设t＝2x(t>0)，则有关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0，进而求解．【解答】因为f(x)＝a⋅2x−x2−43a(a∉R)是偶函数，所以f(−x)＝f(x)对任意x∈R成立所以a⋅2−x−(−x)2−43a＝a⋅2x−x2−43a对任意的x∈R成立，所以a⋅(2−x−2x)＝0对任意x∈R成立，所以a＝0；因为g(x)=4x+12−x2，f(x)＝g(x)，所以a⋅2x−x2−43a=4x+12x−x2所以{a⋅2x−43a>04x+1 2x =a⋅2x−43a，设t＝2x(t>0)，则有关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0，若a−1>0，即a>1时，则需关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个大于43的实数根，设ℎ(t)＝(a−1)t2−43at−1，则ℎ(43)<0，所以(a−1)×(43)2−43a×43−1<0，所以−25<0成立，所以a>1满足题意；若a−1＝0，即a＝1时，解得t=−34，不满足题意；若a−1<0，即a<1时，(−43a)2+4(a−1)＝0，且−−43a2(a−1)>0，所以a＝−3，当a＝−3时，关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个实数根12，12<43，不满足题意，综上，所求实数a的取值范围是{a|a>1}．已知函数f(x)＝x ln x．（1）求函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处切线的方程；（2）讨论函数g(x)＝f(x)+32x2−4x的极值；（3）若f(x)≤m(x2−1)对任意的x∈[1, +∞)成立，求实数m的取值范围．【答案】求导函数，可得f′(x)＝1+ln x，∴f′(1)＝1，f(1)＝0，∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程y−0＝1×(x−1)即y＝x−1．函数g(x)＝x ln x+32x2−4x，∴g′(x)＝1+ln x+3x−4＝ln x+3(x−1)，令g(x)＝0，解得x＝1，当g′(x)>0时，解得x>1，函数f(x)在(1, +∞)单调递增，由g′(x)<0，解得0<x<1，函数f(x)在(0, 1)单调递减，故函数f(x)在(1, +∞)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，当x＝1时，函数有极小值，极小值为g(1)=−52，无极大值，∵∀x≥1，f(x)≤m(x2−1)成立，即ln x≤m(x−1x)，令ℎ(x)＝ln x−m(x−1x)(x≥1)，ℎ′(x)=1x −m(1+1x)=−mx2+x−mx，当m≤0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[1, +∞)单调递增，又ℎ(1)＝0，所以ℎ(x)>0，这与ℎ(x)≤0对任意的x∈[1, +∞)恒成立矛盾，当m>0，y＝−mx2+x−m，△＝1−4m2，若△≤0，即m≥12，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，又ℎ(1)＝0，所以当x≥1时，ℎ(x)≤0，满足题意，若△>0，解得0<m<12，此时对应方程−mx2+x−m＝0，有两个实数根x1=1−√1−4m22m ,x2=1+√1−4m22m，其中x1<1，x2>1，又分析知，函数ℎ(x)在区间(x1, x2)上单调递增，ℎ(1)＝0，所以当x∈(1, x2)时，ℎ(x)>0，不符合题意，综上，m的取值范围为[12,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程；（2）先求导函数，再根据导数和函数单调性关系即可求出单调区间和极值；（3）构造函数ℎ(x)，对m分类讨论，判断m的范围．【解答】求导函数，可得f′(x)＝1+ln x，∴f′(1)＝1，f(1)＝0，∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程y−0＝1×(x−1)即y＝x−1．函数g(x)＝x ln x+32x2−4x，∴g′(x)＝1+ln x+3x−4＝ln x+3(x−1)，令g(x)＝0，解得x＝1，当g′(x)>0时，解得x>1，函数f(x)在(1, +∞)单调递增，由g′(x)<0，解得0<x<1，函数f(x)在(0, 1)单调递减，故函数f(x)在(1, +∞)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，当x＝1时，函数有极小值，极小值为g(1)=−52，无极大值，∵∀x≥1，f(x)≤m(x2−1)成立，即ln x≤m(x−1x)，令ℎ(x)＝ln x−m(x−1x)(x≥1)，ℎ′(x)=1x −m(1+1x)=−mx2+x−mx，当m≤0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[1, +∞)单调递增，又ℎ(1)＝0，所以ℎ(x)>0，这与ℎ(x)≤0对任意的x∈[1, +∞)恒成立矛盾，当m>0，y＝−mx2+x−m，△＝1−4m2，若△≤0，即m≥12，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，又ℎ(1)＝0，所以当x≥1时，ℎ(x)≤0，满足题意，若△>0，解得0<m<12，此时对应方程−mx2+x−m＝0，有两个实数根x1=1−√1−4m22m ,x2=1+√1−4m22m，其中x1<1，x2>1，又分析知，函数ℎ(x)在区间(x1, x2)上单调递增，ℎ(1)＝0，所以当x∈(1, x2)时，ℎ(x)>0，不符合题意，综上，m的取值范围为[12,+∞)．。
(全优试卷)安徽省高三上学期10月阶段联考检测数学理试题 Word版含答案
【考试时间：2016年10月6日15：00~17：00】安徽省2017届高三阶段联考能力检测理科数学试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．已知集合{}R x x x y A ∈--=,122，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈+==0,1x R x x x y y B 且，则=⋂A B C R )( A ．]2,2(--B ．[)2,2-C ．),2[+∞-D ．)2,2(-2．在复平面内，复数iiz 212-=(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列推理过程是演绎推理的是 （ ） A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高三（1）班有55人，高三（2）班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若∠A 与∠B 是两条平行的同位角，则∠A ＝∠BD ．在数列{}n a 中，21=a ，)2(12≥+=n a a n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式4．设2018log ,2016log ,2014log 100910081007===c b a ，则（ ）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．b c a ＞＞D ．c b a ＞＞5．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）A ．100B ．80C ．70D ．506．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且*++∈===N m b a b a m m m m ,,1644，则下列大小关系正确的是 （ ）A ．21++m m a a ＜B ． 21++m m b a ＞C ． 22++m m a b ＜D ． 21++m m b b ＞7．已知函数x a x y cos sin +=的图像关于3π=x 对称，则函数x x a y cos sin +=的图像的一条对称轴是A ．65π=x B ．32π=x C ．3π=xD ．6π=x8．在整数Z 中，被7除所得余数为r 的所有整数组成的一个“类”，记作][r ，即{}Z k r k r ∈+=7][，其中6,...2,1,0=r .给出如下五个结论：①]1[2016∈ ②]4[3∈-；③=⋂]6[]3[Ø； ④]6[]5[]4[]3[]2[]1[]0[⋃⋃⋃⋃⋃⋃=z⑤“整数b a ,属于同一“类””的充要条件是“]0[∈-b a 。
安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
太和一中2019-2020学年度第一学期第一次学情调研一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的）.1.下列说法错误．．的是( )A. 在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大【答案】B【解析】【分析】平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据．【详解】对于A：总体：考察对象的全体，故A对；对于C：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C对．∵平均数不大于最大值，不小于最小值．比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B不对；∵从方差角度看，方差最小，数据较稳定，方差越大，波动性越大．故D正确．故选B．2.有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率A.110B.310C.12D.710【答案】B 【解析】【详解】从五条线段中任取三条共有种可能，其中能构成三角形的有，，三种可能，故所取三条线段能构成一个三角形的概率为, 故选B由题意知本题是一个古典概型.3.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为()A. 7B. 279C. 16D. 23【答案】D 【解析】 【分析】根据当型循环结构，逐次算出k,S 的值，即可得解. 【详解】1241222S =+++23=.【点睛】本题考查了当型循环结构,属基础题.4.某工厂某产品产量x (千件)与单位成本y (元)满足回归直线方程77.36 1.82y x =-,则以下说法中正确的是( )A. 产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元B. 产量每减少1000件,单位成本约下降1.82元C. 当产量为1千件时,单位成本为75.54元D. 当产量为2千件时,单位成本为73.72元【答案】A 【解析】 【分析】()77.36 1.82f x x =-,用(1)()f x f x +-可得.【详解】令()77.36 1.82f x x =-,因为(1)()77.36 1.82(1)77.36 1.82 1.82f x f x x x +-=-+-+=-, 所以产量每增加1000件,单位成本约下降1.82元. 【点睛】本题考查了线性回归分析.属基础题.5.下列命题错误是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. 命题“∀R ∈，2 20x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，2 20x x -+>”C. 若p 且q 为真命题，则p q ，均为真命题D. “1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义判断A ；根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”判断B ；的根据且命题的性质判断C ；根据“2430x x ++>”等价于“1x >-或3x <-”，结合充分条件与必要条件的定义判断D .【详解】根据逆否命题的定义可知，命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命題是:“若3x ≠ ,则2430x x -+≠，故A 正确；根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”可得命题“∀R ∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，220x x -+≤”，故B 不正确；根据且命题的性质可得，若p 且q 为真命题，则p q ，均为真命题，故C 正确；因为“2430x x ++>”等价于“1x >-或3x <-”，所以“1x >-”是“2430x x ++>”充分不必要条件，故D 正确，故选B.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义、全称命题的否定、且命题的性质、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( ) A. a b αβαβ⊂⊥，， B. a b αβαβ⊥⊥，，C. a b αβαβ⊥⊥，，D. a b αβαβ⊂⊥，，【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中，直线、平面平行与垂直的判定与性质，结合充分条件的定义去判断 【详解】对A ，b b a b a βαβαα⊥∴⊥⊂∴⊥，，，，； 对B ，a b a b αβαβ⊥⊥∴，，，；对C 和D ，a b ，关系均不确定；故选A ．【点睛】利用充分条件的定义判断充分条件，首先要分清条件p 与结论q ，若p q ⇒，则p 是q 的充分条的件.7.在区间[-1，1]上任取两个数x 、y ，则满足2214x y +<的概率是（ ） A.16π B.8π C. 4πD.2π 【答案】A 【解析】依题意可得，满足2214x y +<的点(,)x y 如下图阴影部分：根据几何概型可得满足2214x y +<的概率为221()2216ππ⋅=，故选A8.方程()2210x y xy +=<表示的曲线是()A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】因为0xy <,所以图像在二,四象限, 结合221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解. 【详解】因为221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆, 又0xy <,说明图像在二,四象限,故选D. 【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.9.如果椭圆22142x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 230x y +-=D. 230x y ++=【答案】A 【解析】设过点(1,1)A 的直线与椭圆相交于两点1122(,),(,)E x y F x y ， 由中点坐标公式可得12121,122x x y y ++==， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()044x x x x y y y y +-+-+=， 所以121212y y x x -=--，所以直线EF 的斜率121212y y k x x -==--， 所以直线EF 的方程为11(1)2y x -=--，整理得230x y +-=，故选A ．10.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（） A. 至少有一个黒球与都是黒球 B. 至少有一个黒球与恰有1个黒球 C. 至少有一个黒球与至少有1个红球D. 恰有1个黒球与恰有2个黒球【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.【详解】”至少有一个黒球与都是黒球”有公共事件:两个黑球,既不互斥,也不对立; “至少有一个黒球与恰有1个黒球”有公共事件:一个红球,一个黑球,既不互斥,也不对立; “至少有一个黒球与至少有1个红球”有公共事件:一个红球,一个黑球”,既不互斥,也不对立; “恰有1个黒球与恰有2个黒球”是互斥事件,但不是对立事件,因为有可能是两个红球. 故选D.【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,属基础题.11.若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为()A. 1B. 17或1C. 17D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先根据1910PF =<,推出点P 在双曲线的左支上,再根据双曲线的定义列等式可解得. 【详解】因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, 所以根据双曲线的定义可得:212248PF PF a -==⨯=, 又19PF =,所以298PF -=, 解得:217PF =, 故选C.【点睛】本题考查了双曲线的定义,注意先判断出点P 在双曲线的左支上.属基础题.12.不等式组133x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D ,有下面四个命题:()1:,,282p x y D x y ∀∈-≥；()2:,,282p x y D x y ∃∈-< ()3:,,281p x y D x y ∀∈-≥-()4:,,281p x y D x y ∃∈-<-其中的真命题是( ) A. 23,p p B. 24,p pC. 12,p pD. 13,p p【答案】A 【解析】 【分析】令,3x y a x y b -=+=,则73282a bx y --=,利用1,3a b ≥≤可求得281x y -≥-. 【详解】令,3x y a x y b -=+=,则34a b x += ,4b ay -= ,3282844a b b a x y +-∴-=⨯-⨯732a b-=,1,3a b ≥≤ ,737133(,),28122a b x y D x y -⨯-⨯∴∀∈-=≥=- ,当且仅当1,3a b ==,即31,22x y == 时,等号成立.(),,281x y D x y ∴∀∈-≥-,故3p 是真命题,命题4p 是假命题.因为存在31,22x y ==时,2812x y -=-<,说明命题1p 是假命题,命题2p 是真命题; 所以命题23,p p 都是真命题. 故选A .【点睛】本题考查了不等式性质,换元法.全称量词,特称量词,属中档题.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、20条、40条、40条、20条,现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的青鱼与鲤鱼共有______条． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出抽样比,再用样本容量乘以抽样比可得.【详解】总体容量为:8020404020200++++=,抽样比为:20403802040402010+=++++,所以青鱼与鲤鱼共有:32010⨯6=, 故答案为:6.【点睛】本题考查了分层抽样,属基础题.14.双曲线2239x y -=的焦距为__________【答案】【解析】 【分析】将双曲线方程化成标准方程,所以223,9a b ==,根据222c a b =+可得.【详解】由2239x y -=得:22139x y -=,所以223,9a b ==,所以2223912c a b =+=+=,所以c =,所以焦距2c =【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.15.已知样本数据1x ,2x ,…n x 的方差为4,则数据123x +,223x +,…23n x +的标准差是 【答案】4 【解析】 【分析】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为2x +3，然后利用方差的公式计算即可． 【详解】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为2x +3，则其方差为1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]＝4， 则新数据的方差为：1n[（2x 1+3﹣2x ﹣3）2+（2x 2+3﹣2x ﹣3）2+…+（2x n +3﹣2x ﹣3）2]＝4×1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]＝16．故新数据的标准差是4． 故答案为：4．【点睛】本题考查了方差和标准差的定义的应用，属于基础题．16.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．-【解析】 【分析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,进一步得到三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '==,求出x ,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,即可求出2e ,则答案可求.【详解】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '== ,则4x x a ++=,解得(4x a =-,2)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以29e e =-=,故答案-.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求： ()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35 【解析】【分析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得.【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D , ()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种.所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种, 则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.18.已知:p 方程22240x y y m +-+=表示圆;:q 方程2213x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若“p q ∧”为假,“p q ∨”为真,求实数m 的取值范围.【答案】（1）22m -<<（2）2023m m -<≤≤<或【解析】【分析】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=-，根据240m ->，即可求解；（2）根据椭圆的标准方程，求得q 为真时，03m <<，再根据,p q 一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】（1）整理圆的方程：()22224x y m +-=-若p 为真，则22m -<<（2）若q 为真，则03m <<由题可知，,p q 一真一假故“p 真q 假”时，2203m m m -<<⎧⎨≤≥⎩或则20m -<≤“q 真p 假”时，2203m m m ≤-≥⎧⎨<<⎩或 则23m ≤<综上，2023m m -<≤≤<或【点睛】本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题,p q ，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y b x a =+；(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?参考公式：()1122211()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪⎨--⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】(1) y =0.7x +0.35；(2) 19.65吨．【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令100x =，求得改造后的能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数.【详解】（1）由对照数据，计算得2441186,66.5i i i i i x x y ====∑∑，x =4.5，y =3.5， ∴回归方程的系数为^266.54 4.5 3.5864 4.5b -⨯⨯=-⨯=0.7，^^a y b x =-=3.5-0.7×4.5=0.35， ∴所求线性回归方程为y =0.7x +0.35；（2）由（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），由90-70.35=19.65，∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.20.某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.【答案】（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人【解析】【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=,解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.21.如图所示,已知()3,0,,A B C -两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为延长线BC 上一点,并且满足AB BP ⊥,12BC CP =,试求动点P 轨迹方程.【答案】24y x =【解析】【分析】设出点P 的坐标(,)x y ,然后根据12BC CP =,用P 的坐标表示,B C 的坐标,最后利用AB BP ⊥列式可求得动点P 的轨迹方程. 【详解】设()()(),,0,,,0P x y B y C x '',则(),BC x y ''=-,(),CP x x y '=-. 由12BC CP =,得()()1,,2x y x x y '''=-,即,32x y x y ''==-, 故0,,,023y x B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()30A -,,3,2y AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,3,2BP x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由AB BP ⊥,得0AB BP =, 故24303x y -=,得24y x =, 即为动点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查了坐标转移法求动点的轨迹方程,属中档题.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交的于,M N 两点，且2MNF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线m 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2PQF ∆面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）由2MNF ∆的周长为8，可知48a =,结合离心率为12，可求出2a =，1c =，23b =，从而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线m 的斜率不为0，设直线m 的方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于k 的一元二次方程，由三角形的面积公式可知2121212PQF S F F y y ∆=-，结合根与系数关系可得到2PQF S ∆的表达式，求出最大值即可。
2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中高三(上)第一次反馈数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中高三（上）第一次反馈数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≥3}，集合B ={x|x 2−3x −10≤0}，则A ∩B =( )A. ⌀B. [3,5]C. [−2,3]D. (3,5)2. 已知a <0，b >0，那么下列不等式中一定成立的是( )A. b −a <0B. |a|>|b|C. a 2<abD. 1a <1b3. 已知命题p ：函数f(x)=(a −2)x 为增函数，命题q ：对任意的x ∈[12,1]，不等式ax −1>0恒成立，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，若m −n =5，则a m −a n =( )A. 2B. 5C. −5D. 105. 在R 上定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，若不等式∣∣∣x −1a −2a +1x ∣∣∣≥1对任意实数x 恒成立，实数a 的最大值为( )A. −12B. −32C. 13D. 326. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=4，S 10=110，则S n +64a n的最小值为( )A. 7B. 8C. 152D. 1727. 在△ABC 中，cosAcosB >sinAsinB ，则△ABC 为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定8. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则ω，φ的值为( )A. ω=3，φ=π4 B. ω=3，φ=−π4 C. ω=6，φ=−π2D. ω=6，φ=π29. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位10. 设实数x ，y 满足约束条件{x +2y −3≤02x +y −1≥03x −4y ≤0，则z =x+2y+4x+2的最大值为( )A. 85B. 165C. 215D. 13511. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +2y 的最小值为( ) A. 2 B. 13C. 3+2√23D. 3412. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在三角形ABC 中，cos2A =−12，则角A =______．14. 若函数f(x)在R 上可导，f(x)=x 3+x 2f′(1)，则∫f 20(x)dx =______．15. 已知f(x)={x 2−4x +3,x ≤0−x 2−2x +3,x >0，不等式f(x +a)>f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立，则a 的取值范围是______．16.给出下列命题：①函数y=cos(23x+π2)是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x=π8是函数y=sin(2x+5π4)的一条对称轴；⑤函数y=sin(2x+π3)的图象关于点(π12,0)成中心对称．其中正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=x2−x−6．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若对于一切x>1，均有f(x)≥(m+3)x−m−10成立，求实数m的取值范围18.数列{a n}满足：a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，n∈N∗．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n ，数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n>920的最小正整数n．19.已知函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx．(1)将函数f(2x)的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，若x∈[π12,π2]，求函数g(x)的值域；(2)已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f(A)=√2+1,√3a=2bsinA，求△ABC的面积．20.已知函数f(x)=e x−x−1(e是自然对数的底数)．(1)求证：e x≥x+1；(2)若不等式f(x)>ax−1在x∈[12,2]上恒成立，求正数a的取值范围．21.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx−2cosx,sinx)，令f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及f(x)=12的解集；(Ⅱ)锐角△ABC中，f(A2−π8)=2−√64，边BC=√3，求△ABC周长最大值．22.已知函数f(x)=axlnx+2x+a+1(a∈R)．(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)若对∀x∈(1,+∞)，f(x)+x2>0恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B ={x|x 2−3x −10≤0}={x|−2≤x ≤5}， 又集合A ={x|x ≥3}， 所以A ∩B ={x|3≤x ≤5}． 故选：B ．先利用一元二次不等式的解法求出集合B ，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若a <0，b >0，则−a >0， 则b −a >0，故A 错误， |a|>|b|不一定成立， a 2>ab ，则C 不成立，1a<0，1b >0，则1a <1b ，成立，故D 正确， 故选：D ．根据a ，b 飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】A【解析】解：命题p ：函数f(x)=(a −2)x 为增函数，故a −2>1， 从而命题p 为真时，a >3，命题q ：对任意的x ∈[12,1]，不等式ax −1>0恒成立， 有{12a −1>0a −1>0， 即a >2．因为(3,+∞)⊊(2,+∞) ∴p 是q 的充分不必要条件，分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件必要条件的判断，根据函数的性质和恒成立问题分别求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：由S n=n2+2n，得a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1．验证a1=3适合上式，∴a n=2n+1．又∵m−n=5，则m=n+5，∴a m−a n=a n+5−a n=2(n+5)+1−2n−1=10．故选：D．由已知数列的前n项和，求出数列的通项公式，结合m−n=5，可求出a m−a n的值．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵不等式∣∣∣x−1a−2a+1x∣∣∣≥1对任意实数x恒成立，∴(x−1)x−(a+1)(a−2)≥1，即x2−x−a2+a+1≥0恒成立，∴△=1+4a2−4a−4=4a2−4a−3≤0，∴−12≤a≤32，∴实数a的最大值为32．故选：D．由行列式展开式法则得到x2−x−a2+a+1≥0恒成立，由此能求出实数a的最大值．本题考查实数的最大值的求法，考查行列式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【分析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及基本不等式求最值，属基础题． 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知易得a n 和S n ，代入可得n2+32n+12，由基本不等式可求． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 2=a 1+d =4S 10=10a 1+10×92d =110，解得{a 1=2d =2故a n =2+2(n −1)=2n ，S n =2n +n(n−1)2×2=n 2+n所以S n +64a n =n 2+n+642n =n 2+32n+12≥2√n 2⋅32n +12=172，当且仅当n2=32n，即n =8时取等号，故选：D ．7.【答案】C【解析】解：依题意可知cosAcosB −sinAsinB =cos(A +B)>0，−cosC >O ，cosC <O ， ∴C 为钝角 故选C利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos(A +B)>0进而判断出cosC <O ，进而断定C 为钝角．本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值．在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．8.【答案】A【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的图象， 可得A =1，14⋅2πω=5π12−π4，求得ω=3．再根据五点法作图可得3⋅π4+φ=π，求得φ=π4， 故选：A ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵y =cos(2x +π3)=sin(2x +5π6)=sin2(x +5π12)，只需将函数y =sin2x 的图象向左平移5π12个单位得到函数y =cos(2x +π3)的图象． 故选：A ．先根据诱导公式将函数y =cos(2x +π3)化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．10.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +2y −3=02x +y −1=0，解得A(−13,53)，z =x+2y+4x+2=x+2+2(y+1)x+2=1+2⋅y+1x+2，其几何意义为可行域内动点与定点P(−2,−1)连线的斜率，∵k PA =53+1−13+2=85， ∴z 的最大值为1+2×85=215．故选：C ．由约束条件作出可行域，把目标函数变形，结合两点连线的斜率求解． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】C【解析】解：∵M ，N ，G 三点共线， ∴MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λGN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))， ∴{13−x =−13λ13=λy −13λ，解得，(3x −1)(3y −1)=1； 结合图象可知12≤x ≤1，12≤y ≤1；令3x −1=m ，3y −1=n ，(12≤m ≤2,12≤n ≤2)； 故mn =1，x =1+m 3，y =1+n 3；故x +2y =1+m 3+2×1+n 3=m 3+2n 3+1≥13⋅2√2+1，(当且仅当m3=2n3，即m =√2，n =√22时，等号成立)， 故x +2y 的最小值为13⋅2√2+1=3+2√23； 故选：C ．由题意可得MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λGN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而化简可得13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))，从而可得(3x −1)(3y −1)=1，换元3x −1=m ，3y −1=n ，从而可得x +2y =1+m 3+2×1+n3=m3+2n3+1，从而利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．12.【答案】D【解析】解：由题意可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2−2x，求其导数可得y′=2x−2，因为x≤0，故y′≤−2，故直线l的斜率为−2，故只需直线y=ax的斜率a介于−2与0之间即可，即a∈[−2,0]故选：D．由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y= ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．13.【答案】π3或2π3【解析】解：因为cos2A=2cos2A−1=−12，解得cos2A=14，可得cosA=±12，因为A∈(0,π)，所以A=π3或2π3．故答案为：π3或2π3．由已知利用二倍角的余弦公式可求得cos A 的值，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值． 本题主要考查了二倍角的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】−4【解析】解：∵f(x)=x 3+x 2f′(1)， ∴f′(x)=3x 2+2xf′(1)， ∴f′(1)=3+2f′(1)， ∴f′(1)=−3， ∴f(x)=x 3−3x 2，∴∫f 20(x)dx =(14x 4−x 3)|02=4−8=−4，故答案为：−4．先根据导数的运算法则求导，再求出f′(1)=−3，再根据定积分的计算法计算即可． 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题．15.【答案】(−∞,−2)【解析】解：作出分段函数f(x)={x 2−4x +3,x ≤0−x 2−2x +3,x >0的图象如图，要使不等式f(x +a)>f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立， 则x +a <2a −x 在x ∈[a,a +1]上恒成立， 即a >2x 在x ∈[a,a +1]上恒成立， ∴a >2(a +1)，解得：a <−2．故答案为：(−∞,−2)．作出分段函数的图象，由图象得到函数f(x)的单调性，然后把不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a,a+1]上恒成立转化为不等式a>2(a+1)求解．本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．16.【答案】①④【解析】解：①函数y=cos(23x+π2)=−sin23x，而y=−sin23x是奇函数，故函数y=cos(23x+π2)是奇函数，故①正确；②因为sin x，cos x不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令α=π3，β=13π6，则tanα=√3，tanβ=tan13π6=tanπ6=√33，tanα>tanβ，故③不成立．④把x=π8代入函数y=sin(2x+5π4)，得y=−1，为函数的最小值，故x=π8是函数y=sin(2x+5π4)的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin(2x+π3)图象的对称中心在图象上，而点(π12,0)不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴x2−x−6<0，∴(x+2)(x−3)<0，∴f(x)<0的解集为(−2,3)；(2)∵f(x)=x2−x−6，∴当对于一切x>1，均有x2−x−6≥(m+3)x−m−10成立∴x2−4x+4≥m(x−1)，∴对一切x>1均有m≤x2−4x+4x−1成立，又x2−4x+4x−1=(x−1)+1x−1−2≥2−2=0，当且仅当x=2时，等号成立．∴实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)直接解一元二次不等式即可；(2)将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到m的取值范围．本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，当n≥2时，a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1，两式相减得，a nn+1=2n，即a n=2n(n+1)(n≥2)．当n=1时，a1=4也符合，∴a n=2n(n+1)；(Ⅱ)b n=1a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴S n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．由S n=n2(n+1)>920，解得n>9．∴满足S n>920的最小正整数n=10．【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1(n≥2)，与原递推式作差可得{a n}的通项公式；(Ⅱ)把{a n}的通项公式代入b n=1a n，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n，再求解不等式得答案．本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】解：函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx=cos2x+(1−cos2x)+2sinx= 1+2sinx，(1)函数f(2x)=1+2sin2x的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)=1+2sin2(x−π6).∴g(x)=2sin(2x−π3)+1，∵x∈[π12,π2 ]，∴2x−π3∈[−π6,2π3]，当x=π12时，g(x)min=0；当x=512π时，g(x)max=3∴函数g(x)的值域为[0,3]．(2)由已知√3a=2bsinA及正弦定理得：√3sinA=2sinBsinA，∴sinB=√32，∵0<B<π2，∴B=π3，由f(A)=√2+1可得sinA=√22，从而A=π4由正弦定理得：a=2√63，∴S△ABC=12absinC=12×2√63×2×√6+√24=3+√33．【解析】(1)先利用二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，根据三角函数平移变换的规律，求解出g(x)，x∈[π12,π2]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的取值最大和最小值，即得到f(x)的值域．(2)利用f(A)=√2+1,√3a=2bsinA，b=2，求出角A和a的大小，可得求△ABC的面积．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简和平移变换是解决本题的关键．同时考查了正弦定理的运用．属于中档题．20.【答案】(1)证明：由题意知，要证e x≥x+1，只需证f(x)=e x−x−1≥0，求导得f′(x)=e x−1，当x∈(0,+∞)时，f′(x)=e x−1>0，当x∈(−∞,0)时，f′(x)=e x−1<0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，在(−∞,0)上是减函数，即f(x)在x=0处取得极小值，这个极小值也为最小值，即f(x)min=f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0，即f(x)=e x −x −1≥0， ∴e x ≥x +1；(2)解：不等式f(x)>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立， 即e x −x −1>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立， 亦即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立， 令g(x)=e x −x x ，x ∈[12,2]，则g′(x)=e x (x−1)x 2，所以当x ∈[12,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x ∈(1,2]时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)在x =1处取得最小值为g(1)=e −1， ∴正数a 的取值范围是(0,e −1)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值，考查了不等式的恒成立问题，属于中档题．(1)要证e x ≥x +1，只需证f(x)=e x −x −1≥0，求导得f ′(x)=e x −1，利用导数求出函数的最值，即可证明e x ≥x +1；(2)不等式f(x)>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立，令g(x)=e x −x x，x ∈[12,2]，利用导数求出g(x)=e x −x x在x ∈[12,2]上的最小值，由此能求出正数a 的取值范围．21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =sin 2x −2sinxcosx +sinxcosx =12−√22sin(2x +π4)，∴T =π，∵f(x)=12， ∴sin(2x +π4)=0，∴x =k 2π−π8，k ∈Z ，∴f(x)=12的解集是{x|x =k2π−π8,k ∈Z}．(Ⅱ)f(A2−π8)=2−√64，∴sinA =√32，∴A =π3，∵asinA =b sinB =csinC =2，∴a +b +c =√3+2sinB +2sinC =√3+2sinB +2sin(2π3−B)=√3+2√3sin(B +π6)，∵锐角三角形且角A=π3，∴B∈(π6,π2)，当B=π3时，a+b+c最大为3√3，∴△ABC周长最大值为3√3．【解析】(Ⅰ)先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．(Ⅱ)先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=alnx+a+2，依题意得，对∀x∈[1,+∞)，f′(x)≥0恒成立，①a≥0时，∵x∈[1,+∞)，∴lnx≥0，∴f′(x)≥0恒成立，满足题意，②a<0时，取x=e−2a∈(1,+∞)，∵f′(x0)=a<0，∴f′(x)≥0在[1,+∞)上不能恒成立，不满足题意，综上所述，a的取值范围是[0,+∞)，(2)f(x)+x2=axlnx+x2+2x+a+1(x>1)，∵x>0，f(x)+x2>0⇔alnx+a+1x+x+2>0，设g(x)=alnx+a+1x+x+2(x>1)，则g′(x)=ax −a+1x2+1=x2+ax−(a+1)x2=(x−1)(x+a+1)x2，①当a≥−2时，∵x+a+1>1−2+1=0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，依题意得g(x)>g(1)=a+1+1+2≥2>0，满足题意，②当a<−2时，当1<x<−a−1时，g′(x)<0，当x>−a−1时，g′(x)>0，∴g(x)在(1,−a−1)上单调递减，在(−a−1,+∞)上单调递增，∴[g(x)]min=g(−a−1)=aln(−a−1)+a+1−a−1−a−1+2=aln(−a−1)−a，依题意得[g(x)]min=aln(−a−1)−a>0，解得−e−1<a<−2，综上所述，a的取值范围是(−e−1,+∞)．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性及不等式恒成立问题的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．(1)先对函数求导，由题意可可得，对∀x∈[1,+∞)，f′(x)≥0恒成立，对a进行分类讨论即可求解；+x+2>0在x>1上恒成立，结合导数研究其性(2)由已知可转化为g(x)=alnx+a+1x质，可求．。
安徽省阜阳市太和县2020-2021学年高三上学期10月质量诊断考试数学(文)试题
安徽省阜阳市太和县2020-2021学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4A =，{}1,3,4B =，则()A B =U（）A ．{}1,2,5,6B ．5,6C ．{}2,3,5,6D ．{}1,2,3,42．“()04,2x ∃∈--，使得20030x x +=”的否定是（） A ．()04,2x ∃∈--，使得20030x x +≠B ．()04,2x ∃∉--，使得20030x x +≠C ．()4,2x ∀∈--，230x x +≠D ．()4,2x ∀∉--，230x x +≠3．已知在等差数列{}n a 中，1910a a +=，21a =-，则1n n a a +-=（） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（） A ．45B ．5C ．12D ．45或5 5．下列既是偶函数，又在区间()0,∞+上为单调递增的函数是（） A ．2yx B ．ln y x =C ．cos y x =D ．3x y =6．如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（ ）A ．2136c b a =-B ．4133c b a =+C ．4133c b a =-D ．2136c b a =+7．若角α是第四象限的角，且cos α=，则()()πsin πcos 23πsin cos 2π2αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）ABC．14+ D．149．已知在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．8B ．10C ．12D ．1410．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，2b =，ABC ∆的面积等于ABC ∆外接圆的面积为（） A ．16πB ．8πC ．6πD ．4π11．若函数()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π，则当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的取值范围是（）A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．已知函数()22,04,23,46,4x x x f x x ⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩若[)10,4x ∈，[]24,6x ∈，且()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围是（）A ．[)0,1B ．[]4,6C ．[]1,6D ．[]1,4二、填空题13．若29x =，28log 3y =，则2x y +=__________． 14．已知平面向量()4,3a =-，(),2b x =-，若a b ⊥，则实数x =__________．15．若24cos 30x -≥，则函数sin y x =的值域是__________． 16．已知奇函数()f x 在定义域(),-∞+∞上单调递增，若()()sin cos2sin 0f x x f x m +++≥对任意的(),x ∈-∞+∞成立，则实数m 的最小值为__________．三、解答题 17．已知tan 11tan θθ=-，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos θθθθ-+；（2）()()2πsin πcos πcos 22θθθ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭. 18．已知函数()32234f x x x =-+．()1求函数()f x 的单调递增区间；()2当[]1,2x ∈-时，求函数()f x 的最小值．19．已知平面向量1sin ,62m x π⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）若m n ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求实数x 的值；（2）求函数()f x m n =⋅的单调递增区间.20．已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，且tan ϕ=（1）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 21．已知函数()()2423xf x a x a a R =⋅--∈. （1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若函数()2412x xg x x +=-，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数根，求实数a 的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x m =--，()1g x mx =-，m R ∈. （1）若1m =，求函数()()()h x f x g x =-的最小值；（2）求证：2222ln1ln 2ln 3ln 111112323n n n ⎛⎫++++≤++++ ⎪⎝⎭()*222111123n n ⎛⎫-++++∈ ⎪⎝⎭N .参考答案1．A 【解析】 【分析】结合集合补集和交集运算的定义，可得答案． 【详解】{}2,3,4A =,{}1,3,4B =，{}3,4A B ∴=，又{}1,2,3,4,5,6U =，(){}1,2,5,6UA B ∴=，故选A .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题． 2．C 【分析】此命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题解答． 【详解】“()04,2x ∃∈--，使得20030x x +=”的否定是“()4,2x ∀∈--，230x x +≠”.故选C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题． 3．B 【分析】由题意构造关于1,a d 的方程组，即可得出答案。
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2020届阜阳市太和县2017级高三上学期10月诊断考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题
1.已知全集{}26U x N x =∈-<<,若{}2,4A =,{}1,3,4B =,则()U A B =I ð（ ）
A. {}1,3
B. {}1,5
C. {}3,5
D. {}1,3,5
【答案】A
【解析】
【分析】
化简U ,根据A 求出U C A ,再求出()U A B ⋂ð.
【详解】Q 全集{}{}260,1,2,3,4,5U x x =∈-<<=N ,{}2,4A =, {}0,1
,3,5U A ∴=ð.又{}1,3,4B =Q , (){
}1,3U A B ∴=I ð. 故选A.
2.“()2,x ∃∈+∞,使得220x x +>”的
否定是（ ）
A. (]0,2x ∃∈-∞,使得20020x x -≤
B. ()2,x ∀∈+∞,使得220x x +≤
C. ()02,x ∃∈+∞,20020x x -≤
D. (],2x ∀∈-∞,220x x +>
【答案】B
【解析】
【分析】
将存在量词改为全称量词,再否定结论,即可得到.
【详解】“()2,x ∃∈+∞,使得220x x +>”的否定是“()2,x ∀∈+∞,使得
220x x +≤”.
故选B.
3.已知在等差数列{}n a 中,1910a a +=,21a =-,则1n n a a +-=（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意构造关于1,a d 的方程组,即可得出答案． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则1128101
a d a d +=⎧⎨+=-⎩,132a d =-⎧∴⎨=⎩12n n a a +∴-=.故选B .
4.已知某扇形的面积为22.5cm ,若该扇形的半径r ,弧长l 满足27cm r l +=,则该扇形圆心角大小的弧度数是（） A. 45 B. 5 C. 12 D. 45
或5 【答案】D
【解析】
【分析】 由扇形的面积公式12
S lr =构造关于r ,l 的方程组,解出方程,由圆心角l r α=即可算出圆心角大小的弧度数．
【详解】据题意,得27,1 2.5,2l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得5,22r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩
或1,5,r l =⎧⎨=⎩所以45l r =或5.故选D . 【点睛】本题考查扇形的面积公式12
S lr =以及弧长公式l r α=,方程思想,牢记公式是解答本题的关键．
5.函数()324f x x x x =--的一个零点所在区间为（ ）
A. ()2,0-
B. ()1,0-
C. ()0,1
D. ()1,2。