坐标法解立体几何习题及解析
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。
在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。
本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。
通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。
同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。
正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。
结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。
1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。
通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。
希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。
2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。
在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。
在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。
解说立体几何中的“坐标法”
解说立体几何中的“坐标法”江苏省姜堰中学张圣官（225500）空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容，在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示，然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度，或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。
利用“坐标法”解（证）立体几何题，所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少，且思路简单明了，更易于程序化来解题。
用“坐标法”解题是数与形结合的典范，它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形（如正方体等）。
下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤。
一、如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数对(x,y,z)，其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。
要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值。
1．点的坐标的符号判断点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则符号为负。
如点位于x轴正方向，则横坐标为正；点位于z轴负方向，则竖坐标为负。
2．点的坐标的绝对值确定过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点的绝对值。
如这条垂线段平行于y轴且长度为a，则点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a，则点的竖坐标的绝对值是a 。
二、常见特殊点的坐标特点1．坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如（a，0，0）；②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如（0，a，0）；③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如（0，0，a）。
2．坐标平面上点的坐标的特点①XOY平面上所有点的竖坐标是0，形如（a，b，0）；②YOZ平面上所有点的横坐标是0，形如（0，a，b）；③ZOX平面上所有点的纵坐标是0，形如（a，0，b）。
三、利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤第一步，建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；第二步，表示点的坐标将题中相关点（即在问题中出现的且要求的点）用坐标表示，这一步是解（证）题的关键；第三步，表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用向量终点的坐标减去起点的坐标；第四步，求出问题的解将点或向量的坐标代入公式（如两向量的夹角公式等）；第五步，作出结论根据上一步所求得的结果，作出问题的正确结论。
(完整版)立体直角坐标系常见题型
(完整版)立体直角坐标系常见题型立体直角坐标系常见题型（完整版）本文档将介绍立体直角坐标系中常见的题型及解答方法。
一、点的坐标计算1. 已知点P在立体直角坐标系中的坐标为(x₁, y₁, z₁)，则点P'关于y轴的对称点的坐标为(x₁, -y₁, z₁)。
2. 已知点P、Q在立体直角坐标系中的坐标分别为(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)，则线段PQ的中点的坐标为((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。
3. 若点P在立体直角坐标系中的坐标为(x₁, y₁, z₁)，则点P关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-x₁, y₁, z₁)、(x₁, -y₁, z₁)、(x₁, y₁, -z₁)。
二、直线与平面1. 已知直线L过点P(x₁, y₁, z₁)且与向量a = (a₁, a₂, a₃)平行，则直线L的参数方程可表示为：x = x₁ + a₁ty = y₁ + a₂tz = z₁ + a₃t2. 已知平面π过点P(x₁, y₁, z₁)且法向量为n = (n₁, n₂, n₃)，则平面π的方程可表示为：n₁(x - x₁) + n₂(y - y₁) + n₃(z - z₁) = 0三、向量运算1. 向量a = (a₁, a₂, a₃)的模长计算公式为：|a| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²)2. 向量a与向量b的点积计算公式为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃3. 向量a与向量b的叉积计算公式为：a ×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)四、空间中的图形1. 球的方程：已知球心为C(x₁, y₁, z₁)且半径为r，则球的方程为：(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)² = r²2. 锥面的方程：已知顶点为V(x₁, y₁, z₁)且开口方向为向量a = (a₁, a₂, a₃)，则锥面的方程可表示为：((x - x₁)/a₁)² + ((y - y₁)/a₂)² + ((z - z₁)/a₃)² = 0以上为立体直角坐标系常见题型及解答方法的简要介绍。
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交【答案】D【解析】由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．故为D。
【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。
点评：对两平面空间的位置要做出多种推测。
2.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定【答案】A【解析】若AB∥CD，易得EF与α、β均平行若AB与CD相交，则EF与α、β均平行若AB与CD异面，则设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示：且使G，F，H在一直线上．因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以EF∥AG∥CH，CH在平面β内，故EF∥β．同理EF∥β故选A。
【考点】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系。
点评：由于AB，CD的位置关系不确定，故要进行分类讨论。
将空间问题转化为平面问题的转化思想也是处理空间问题最常用的思路。
3.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是A．三个平面共线；B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D．三个平面两两相交。
【答案】C【解析】①若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；②若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；③若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；④若三个平面其中两个平行和第三个相交，则把空间分成6部分；故选C．【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。
立体几何练习题(答案)解析
∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.
（1）证明平面BDE∥AO；
（2）求二面角A-EB-D的大小；
（3）求三棱锥O-AA1D体积.
立测试001
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案
一．选择题：(每题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10．在一个 的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角 ，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,
沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作
D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;
由 ， ， ， ，
易得 ， ， ，
，
所以
18．解：（1） 在平面 上的射影 在 上， 面 。
故斜线 在平面 上的射影为 。
又 ， ，又 ，
面
（2）过 作 ，交 于 。
面 ， ， 面 故 的长就是点 到平面 的距离
， 面
在 中， ；
在 中，
在 中，由面积关系，得
（3）连结 ， 面 ， 是 在平面 的射影
其中所有真命题的序号是_______________。
三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）
17．(本小题满分10分)
如图，已知直棱柱 中，
， ， ， ， 是 的中点。
求证：
18．（本小题满分12分）
如图，在矩形 中， ， ，沿对角线 将 折起，使点 移到 点，且 在平面 上的射影 恰好在 上。
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案 (1)
一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1]在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2]长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。
2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。
3.在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝P A2－OA2＝?2a?2－?2a?2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3]在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由P A⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC －A 1B 1C 1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1，根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且|OA |＝32×2＝3， 以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1．(2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0．(3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1⇔a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1．(5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2．(6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．3. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB→，b ＝AC→. (1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB→，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)． (1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2. 题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM ∥平面BDE ；(2) AM ⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)， A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM.∵ NE 平面BDE ，AM平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)， ∴ AM→·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM ⊥BF. 又DF ∩BF ＝F ，∴ AM ⊥平面BDF.题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值；(2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD→＝(0，－2，2)． 设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0. 令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32. 设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC ⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值；(3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD ⊥平面BDC ，又∵ AB ⊥BD ，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB ⊥DC ，又∵ ∠C ＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC ⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC ⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF→|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24. (3) 由(2)知 FE ⊥平面ABC, 又∵ BE 平面ABC ，AE 平面ABC ，∴ FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17. 课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB. (1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值．(1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF.因为DF 平面A1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC ⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63. 3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB. (1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD.以O 为坐标原点，OB→、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA ⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3. (2) 由(1)知AD→＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18. 故二面角B-AF-D 的正弦值为378. 4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SD DB为何值时，CD ⊥AB ； (2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD→＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD→＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB→＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23. 故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小；(2) 求证：直线BF ∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED 1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)， AE→＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC→＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)． 设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG .又D1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ，∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF ∥平面AD 1E.∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF ∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF ∥平面AD 1E ，亦可)6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)．A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565. ∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565. 7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255. 解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3. (2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx ＋2y －λy ＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx ，y ＝0. 故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1，0，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P 为棱B 1C 1中点，其坐标为P(1，3，2)． 近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE ；(3)求二面角A-BE-D 的大小．【答案】设AC 与BD 交与点G 。
第34讲 利用坐标法解决立体几何的角度与距离问题(解析版)
第34讲 利用坐标法解决立体几何的角度与距离问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•南岗区校级期中）如图，三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=︒，1AB AD AC ===，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角余弦值为( )A ．16B C D ．56【解答】解：三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=︒，建立空间直角坐标系， 如图所示：由于1AB AD AC ===，M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以(0A ，0，0)，11(0,,)22M ，(0D ，0，1)，11(,22N ，0)，则11(0,,)22AM =，11(,,1)22DN =-，所以异面直线AM 与DN 所成角余弦值3cos ||||||AM DN AM DN θ== 故选：B ．二．解答题（共21小题）2．（2021•凉山州模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC ，PB 的中点．（1）求证：PB DM ⊥；（2）求二面角A MD C --的正弦值．【解答】解：（1）证明：PA ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，AD PA ∴⊥， 90BAD ∠=︒，AD AB ∴⊥， PAAB A =，PA ，AB ⊂面PAB ，AD ∴⊥面PAB ，PB ⊂面PAB ，AD PB ∴⊥，又PAB ∆中，AP AB =，N 为PB 的中点，AN PB ∴⊥， ANAD A =，AN ，AD ⊂平面AND ，PB ∴⊥面AND ，又N ，M 分别为PB ，PC 的中点， //MN BC ∴，//BC AD ，//MN AD ∴，N ∈面AND ，M ∴∈面AND ，MN ∴⊂面AND ，PB DM ∴⊥．（2）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设22PA AD AB BC ====，则(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，(2C ，1，0)，(0D ，2，0)，(1M ，12，1)， 设面AMD 的法向量(m x =，y ，)z ， (0AD =，0，2)，(1AM =，12，1)， 20102AD m y AM m x y z ⎧==⎪⎨=++=⎪⎩，取1x =，得(1m =，0，1)-， 设面CMD 的法向量(n x =，y ，)z ，(2DC =，1-，0)，(1DM =，32-，1)，20302DC n x y DM n x y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，2，2)， cos ,||||32m n m n m n <>==-∴二面角A MD C --．3．（2021•荔湾区校级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=︒，E 为线段AB 的中点，将ADE ∆沿在直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C ''的中点．（1）求证：//BF 平面A DE '．（2）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的大小． （3）若2BC =，求三棱锥A DEF '-的体积．【解答】解：（1）证明：取CD 中点G ，连结GF ，BG ， 在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=︒，E 为线段AB 的中点，将ADE ∆沿在直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，//GF A D ∴'，//BGDE， GFBG G =，A DDE D '=，∴平面//A DE '平面BGF ，BF BGF ⊂，//BF ∴平面A DE '．（2）解：取CD 中点G ，连结EG 、AG 、DE ，A M '， 设2BC =，则四边形AEGD 是边长为2的菱形，且60DAE ∠=︒，MA ME ∴⊥，由平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C ''的中点．A M ∴'⊥平面AEGD ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MA '为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0M ，0，0)，(0A '，0，(0D ，1-，0)，(C -，1，0)，(F ，12，(3FM =，12-，，平面A DE '的法向量(1m =，0，0)，设直线FM 与平面A DE '所成角为θ， 则||3sin ||||FM n FM n θ==，60θ∴=︒． ∴直线FM 与平面A DE '所成角的大小为60︒．（3）解：2BC =，∴由（2）得(F 12，平面A DE '的法向量(1m =，0，0)，1(2MF =-，∴点F 到平面A DE '的距离||3||MF m d m ==． 122A DES'=⨯∴三棱锥A DEF '-的体积：113A DEF F A DE V V '--'===．4．（2021•和平区校级月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，222PC AD DC CB ====，E 为PD 的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE与平面PAB间的距离．【解答】（1）证明：取PA的中点M，连接BM、EM，E为PD的中点，//EM AD∴，12EM AD BC==，∴四边形BCEM为平行四边形，//CE BM∴，CE⊂/平面PAB，BM⊂平面PAB，//CE∴平面PAB．（2）解：//CE平面PAB，∴点E到平面PAB的距离即为所求．222PC AD DC CB====，取AD的中点N，连接BN、PN，则四边形BCDN为矩形，1BN CD==PAD∆是以AD为斜边的等腰直角三角形，PN AD∴⊥，112PN AD==，BN AD⊥，PN BN N=，PN、BN⊂平面PNB，AD∴⊥平面PNB，//BC AD，BC∴⊥平面PNB，BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，BC、BN分别为x、y轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0B，0，0)，(1A，1-，0)，(1D，1，0)BC⊥平面PNB，BC PB∴⊥，在Rt PBC∆中，PB===1BN PN==，120PNB∴∠=︒，∴点3(2P ，0，5(4E ，12， ∴3(2BP =，0，(1BA =，1-，0)，5(4BE =，12， 设平面PAB 的法向量为(n x =，y ，)z ，则00n BP n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 令1x =，则1y =，z =∴(1n =，1，，∴点E 到平面PAB的距离514||||||n BE d n +⋅==， 故直线CE 与平面PAB． 5．（2021•沙坪坝区校级月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，PC 222AD DC CB ===，E 为PD 上一点． （1）若E 为PD 的中点，证明：//CE 平面PAB ； （2）若直线CE 与底面ABCD ，求二面角P AB E --的正弦值．【解答】（1）证明：取线段PA 的中点M ，连结EM ，BM ，因为线段PD 的中点为E ，线段PA 的中点为M ，所以//EM AD 且12EM AD =， 又四边形ABCD 中，//BC AD ，2AD BC =，所以//EM BC ，EM BC =， 所以四边形BCEM 为平行四边形，所以//CE BM ， 因为BM ⊂平面PAB ，CE⊂/平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ；（2）解：已知PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，2AD =， 所以PD 1PC CD ==，所以222PC PD CD =+， 由勾股定理的逆定理可得，CD PD ⊥，又CD AD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，OB ，则PO AD ⊥，又PO ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，//BC AD ，2AD BC =，所以四边形BCDO 是平行四边形，所以//BO CD ，BO CD =，所以BO AD ⊥，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，所以(0A ，1-，0)，(1B ，0，0)，(1C ，1，0)，(0D ，1，0)，(0P ，0，1)， 则(0,1,1),(1,0,0)DP CD =-=-， 设(0,,),(0,1)DE DP λλλλ==-∈， 所以(1,,)CE CD DE λλ=+=--， 平面ABCD 的法向量可取(0,0,1)n =， 因为直线CE 与底面ABCD，||||||CE n CEn ⋅=，解得13λ=， 所以11(1,,)33CE =--，则21(0,,)33E ，所以51(0,,),(1,1,0)33AE AB ==，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =， 所以00m AE m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以51033y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 令1y =，则1x =-，5z =-，所以(1,1,5)m =--， 又(0,1,1)AP =，设平面PAB 的法向量为(,,)p a b c =， 则有00p AP p AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00b c a b +=⎧⎨+=⎩，令1b =，则1c =-，1a =-，所以(1,1,1)p =--， 所以7cos ,||||9m p m p m p ⋅<>==，所以242sin ,1,m p cos m p <>=-<>=，所以二面角P AB E --．6．（2021•江苏一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点． （1）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值；（2）设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并请证明你的结论．【解答】解：（1）取AD 中点O ，连接OP 、OC ，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，所以OP AD ⊥，1OP OA OD ===，因为//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，所以四边形ABCO 为边长为1的正方形，所以OC AD ⊥，又因为PC =，所以222PC OP OC =+，所以PO OC ⊥， 所以OA 、OC 、OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，平面PAC 的法向量为(1n =，1，1)，(1PB =，1，1)-， 所以直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为||13||||3PB n PB n ⋅==⋅⋅．（2）连接AF ，(1D -，0，0)，1(2E -，0，1)2，1(4F ，12，1)4，3(4AF =-，12，1)4，点F到平面PAC的距离为||||3AF nn⋅==，所以点F在平面PAC内．7．（2021•房山区一模）如图，四棱锥P ABCD-中，PAD∆是以AD为斜边的等腰直角三角形，PD CD==2PC=，//12BC AD=，CD AD⊥．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若E为PD中点，求CE与面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）由顶点C沿棱锥侧面经过棱PD到顶点A的最短路线与PD的交点记为F．求该最短路线的长及PFFD的值．【解答】（Ⅰ）证明：PD CD=2PC=，222CD PD PC∴+=，CD PD∴⊥，又CD AD⊥，PD AD D=，CD∴⊥平面PAD．（Ⅱ）解：取AD的中点O，连接OP，OB，PA PD=，PO AD∴⊥．CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，PO CD∴⊥，又AD CD D=，PO∴⊥平面ABCD，//12BC AD =，CD AD ⊥．∴四边形BCDO 是矩形，OB OD ∴⊥．以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示则C ，(0P ，0，1)，(0D ，1，0)，B ，(0E ，12，1)2， ∴11(,)22CE =--，(2,0,1),(0,1,0)PB BC =-=，设面PBC 的法向量(,,)n x y z =，则0n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z y -==⎪⎩，令1x =可得(1n=，0．22cos ,||||5CE nCE n CE n -⋅∴<>===⋅设CE 与面PBC 所成角为θ，∴15sin |cos ,|CE n θ=<>=．（Ⅲ）解：CD ⊥平面PCD ，PD ⊂面PAD ， CD PD ∴⊥，PDC ∴∆为等腰直角三角形，作出平面APD 和平面PCD 的侧面展开图，如图所示：连接AC 交PD 于F ，则AC 为最短路线，90APD PDC '∠=∠=︒，//AP DC '∴=，∴四边形ADC P '为平行四边形，F ∴与E 重合，∴最短路线长为22AF ==，此时1PF FD=．8．（2021春•湖北期末）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，4AB BC ==，2CD SD ==． （1）求证：SD AB ⊥；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥， 侧面SAB 为等边三角形，4AB BC ==，2CD SD ==．AD ∴=4SA AB ==，222SA SD AD ∴+=，SD SA ∴⊥，同理得SD SB ⊥， SASB S =，SD ∴⊥平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，SD AB ∴⊥．（2）解：以D 为原点，在平面ABCD 内过D 作DC 的垂线为x 轴，DC 为y 轴， 过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，(4A ，2-，0)，(4B ，2，0)，(0C ，2，0)，(1S ，0，，(4CB =，0，0)，(1CS =，2-，(0AB =，4，0)，设平面SBC 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则4020n CB x n CS x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2z =，得(0n =2)，设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则||4sin ||||7n AB n AB θ⋅===⋅．AB ∴与平面SBC ．9．（2021•天山区校级期末）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，12AB BC PA ==，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：//OD 平面PAB ；（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）点O ，D 分别是AC ，PC 的中点， //OD PA ∴又OD ⊂/平面PAB ，PA ⊂平面PAB //OD ∴平面PAB ；（2）连接OB ，AB BC =，点O 是AC 的中点， OB AC ∴⊥又OP ⊥底面ABC ．故可以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 令112AB BC PA ===，AB BC ⊥，则2OA OB OC ===，2OP =则(0O ，0，0)，B 0，0)，(0C ，0)，(0P ，0，(0D∴(0OD =，(BC =-，0)，(0PC =，设(m x =，y ，)z 是平面PBC 的一个法向量 则00m BC m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y y ⎧+=⎪⎪-=令1z =，则(7m =，1) 直线OD 与平面PBC 所成角θ满足： ||210sin ||||m OD m OD θ== 故直线OD 与平面PBC10．（2012秋•小店区校级月考）如图，四边形ABCD 中（图1)，E 是BC 的中点，2DB =，1DC =，BC ，AB AD ==1)沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为60︒（如图2)（1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离．【解答】解：（1）如图1取BD 中点M，连接AM，ME．因AB AD==AM BD∴⊥（3）⋯（1分）因2DB=，1DC=，BC=满足：222DB DC BC+=，所以BCD∆是BC为斜边的直角三角形，BD DC⊥，因E是BC的中点，所以ME为BCD∆的中位线1//2ME CD，ME BD ∴⊥，12ME=⋯（2分）AME∴∠是二面角A BD C--的平面角，60AME∴∠=︒⋯（3分）AM BD⊥，ME BD⊥且AM、ME是平面AME内两相交于M 的直线BD∴⊥平面AEM AE⊂平面AEM，BD AE∴⊥⋯（4分）因AB AD==，2DB=，ABD∴∆为等腰直角三角形，∴112AM BD==，22212cos124AE AM ME AM ME AME=+-∠=+-⨯2221AE ME AM∴+==，AE ME∴⊥⋯（6分）BD M E∴，BD⊂面BDC，ME⊂面BDC，AE∴⊥平面BDC⋯（7分）（2）如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，（8分）则由（1）及已知条件可知(1B ，0，0)，1(0,,0)2E ，1(0,2A ，(1D -，0，0)，(1C -，1，0)， 13(1,,),(0,1,0)2AB CD =--=-，⋯（9分）设异面直线AB 与CD 所成角为θ， 则cos ||||||AB CDAB CD θ=⋯（10分）1==⋯（11分）（3）由13(1,,),(0,1,0)2AD CD =---=-，可知(3,0,2)n =-满足，0,0n AD n CD ==，n 是平面ACD 的一个法向量，⋯（12分） 记点B 到平面ACD 的距离d ， 则AB 在法向量n 方向上的投影绝对值为d 则||||AB nd n =⋯（13分）， 所以7d ==（14分）11．（2010•浙江）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，243AE EB AF FD ====．沿直线EF 将AEF ∆翻折成△A EF '，使平面A EF '⊥平面BEF ．（Ⅰ）求二面角A FD C '--的余弦值；（Ⅱ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A '重合，求线段FM 的长．【解答】解：（Ⅰ）取线段EF 的中点H ，连接A H '，因为A E A F '='及H 是EF 的中点，所以A H EF '⊥，又因为平面A EF '⊥平面BEF ． 如图建立空间直角坐标系A xyz -则(2A '，2，，(10C ，8，0)， (4F ，0，0)，(10D ，0，0)．故(2FA '=-，2，，(6FD =，0，0)． 设(n x =，y ，)z 为平面A FD '的一个法向量，22060x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取z =，则(0,n =-． 又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =， 故3cos ,||||n m n m n m ⋅〈>==⋅．（Ⅱ）设FM a =，则(4M a +，0，0)， 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM A M ='，故，222222(6)80(2)2a a -++=--++，得214a =， 经检验，此时点N 在线段BC 上， 所以214FM =． 方法二：（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连接A G '，A H '，GH ． 因为A E A F '='及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥又因为平面A EF '⊥平面BEF ， 所以A H '⊥平面BEF ， 又AF ⊂平面BEF ， 故A H AF '⊥，又因为G 、H 是AF 、EF 的中点， 易知//GH AB ， 所以GH AF ⊥， 于是AF ⊥面A GH '，所以A GH ∠'为二面角A DH C '--的平面角，在Rt △A GH '中，A H '=，2GH =，A G '=所以cos A GH '∠=．故二面角A DF C '--． （Ⅱ）解：设FM x =， 因为翻折后，C 与A '重合， 所以CM A M ='，而222228(6)CM DC DM x =+=+-，222222222(2)2A M A H MH A H MG GH x '='+='++=+++，故222222(6)80(2)2x x -++=--++ 得214x =，经检验，此时点N 在线段BC 上， 所以214FM =．12．（2021•五莲县期中）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，//BE CF ，90BCF CEF ∠=∠=︒．AD =2EF =．（1）求证：//AE 平面DCF ；（2）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60︒．【解答】证明：（1）过E 作EG CF ⊥于G ，连接DG ，则四边形BCGE 为矩形． 又ABCD 为矩形，AD ∴平行且等于EG ，∴四边形ADGE 为平行四边形，//AE DG ∴，AE ⊂/平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，//AE ∴平面DCF ．解：（2）分别以直线BE 、BC 、BA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，依题意可得：(0B ，0，0)，(0C 0)，(3E ，0，0)，(4F 0)， 设AB m =，则(0A ，0，)m ．(3AE =，0，)m -，(1EF =0)，平面CEF 的法向量(0m =，0，1)． 设平面AEF 的法向量(n x =，y ，)z ，则30n AE x mz n EF x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取9z =，得(3n m =，，9)（8分） 二面角A EF C --的大小为60︒， ||cos60||||12n m n m m ⋅∴︒==⋅92m =． ∴当92AB =时，二面角A EF C --的大小为60︒．（12分）13．（2014秋•成都校级月考）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（Ⅰ） 求证：CM EM ⊥；（Ⅱ） 求CM 与平面CAE 所成角的大小；（Ⅲ） 求平面ABC 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -设AE a =，则(M a ，a -，0)，(0E ，2a -，)a ， 所以(CM a =，a -，0)，(EM a =，a ，)a -，∴()0()0CM EM a a a a a =⨯+-⨯+⨯-=，CM EM ∴⊥．解：（2）平面CAE 的法向量(1n =，0，0)，(CM a =，a -，0)， 设CM 与平面CAE 所成角为θ，则||sin ||||2CM n CM n aθ===，45θ=︒，∴直线CM 与平面CAE 所成的角为45︒．（3）(2D a ，0，2)a ，(2CD a =，0，2)a ，(0CE =，2a -，)a ， 设平面CDE 的法向量(m x =，y ，)z ，则20220m CE ay az m CD ax az ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，令1y =，得(2m =-，1，2)，平面ABC 的法向量(0p =，0，1)， 设平面ABC 与平面CDE 所成锐二面角为θ， 则||2cos ||||3m p m p θ==．∴平面ABC 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为23．14．（2021•天津二模）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，24AC BC EB DC ====，90ACB ∠=︒，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）证明：//PQ 平面ACD ．（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； （3）求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：P 、Q 分别是AE 、AB 的中点， //PQ BE ∴，12PQ BE =， 又//DC BE ，12DC BE =， //PQ DC ∴，PQ ⊂/平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， //PQ ∴平面ACD ；（2）解：DC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，以点C 为坐标原点，分别以CD ，CA ，CB 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则(0C ，0，0)，(0A ，4，0)，(0B ，0，4)，(2D ，0，0)，(4E ，0，4)， (0,4,4)AB =-，(2,0,4)DE =，10cos ,||||AB DE AB DE AB DE ∴<>==，∴异面直线AB 与DE ； （3）解：由（Ⅱ）可知(0,4,4)AB =-，(4,4,4)AE =-， 设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =．则4404440n AB y z n AE x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1z =，得(0,1,1)n =． 由已知可得平面ACD 的法向量为(0CB =，0，4)， 2cos ,||||n CB n CB n CB ∴<>== 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45︒．15．（2011•浙江）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD = （Ⅰ）证明：AP BC ⊥；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：以O 为原点，以AD 方向为Y 轴正方向，以射线OP 的方向为Z 轴正方向，建立空间坐标系，则(0O ，0，0)，(0A ，3-，0)，(4B ，2，0)，(4C -，2，0)，(0P ，0，4) ()I 则(0AP =，3，4)，(8BC =-，0，0)由此可得0AP BC ⋅=∴AP BC ⊥即AP BC ⊥()II 设PM PA λ=，1λ≠，则(0PM λ=，3-，4)- (4BM BP PM BP PA λ=+=+=-，2-，4)(0λ+，3-，4)- (4AC =-，5，0)，(8BC =-，0，0)设平面BMC 的法向量(a a =，b ，)c 则00BM a BC a ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 4(23)(44)080a b c a λλ--++-=⎧⎨-=⎩令1b =，则(0a =，1，23)44λλ+- 平面APC 的法向量(b x =，y ，)z 则00AP b AC b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即340450y z x y +=⎧⎨-+=⎩令5x =则(5b =，4，3)- 由0a b ⋅= 得2343044λλ+-⋅=- 解得25λ=故3AM =综上所述，存在点M 符合题意，此时3AM =16．（2015秋•江西月考）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，111AA A B AC ===． （1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ；（2）在线段1BB 上是否存在点E ，使得二面角1E AC B --？若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）设BC 的中点为O ，11A B A C ==，BC = 1AO BC ∴⊥，且12A O =， 又90BAC ∠=︒，2AB AC ==，AO BC ∴⊥，且AO =，2221124AO AO AA ∴+=+=， 1AO AO ∴⊥，1AO ∴⊥面ABC ，又1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC ．解：（Ⅱ）如图，以OA ，OB ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A ，(0B0)，(0C，0)，1(0A ，0，2)， 平面1A BC 的法向量(1m =，0，0)， 设11BE BB AA λλ==，(01)λ，则(BE =-，0，2)λ，点E 的坐标为(，2)λ， 设平面1EAC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 由1n CA ⊥，n CE ⊥，得2020z x z λ+=++=⎪⎩，取1z =，得22(n =-+1)，10|cos ,|m n <>=，∴=解得1λ=，∴在线段1BB 上存在点E ，使得二面角1E AC B --，且点E 与点1B 重合．17．（2021春•东湖区校级期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．【解答】（1）证明：2AB AC ==，D 是11B C 的中点．111A D B C ∴⊥，11//BC B C ，1A D BC ∴⊥，1A O ⊥面ABC ，1//A D AO ，1AO AO ∴⊥，1AO BC ⊥ BCAO O =，11AO A D ⊥，1A D BC ⊥ 1A D ∴⊥平面1A BC（2）解，如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、1OA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则1BC AO =易知1(A B C ，1(0,A D B ，1(0,A D =，(BD =-设平面1A BD 的法向量为(,,)m x y z =，由，100m A D m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取1z =，得(7,0,1)m =又平面11A DB 的法向量为(0,0,1)n =，cos ,412m n ∴<>==⨯∴二面角11A BD B --18．（2021•舒城县校级开学）如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===． （1）证明：111AB AC ⊥；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：以A 为原点，AC ，1AA 所在直线分别为y ，z 轴，在平面ABC 内作Ax AC ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，1(1B 2)，1(0A ，0，4)，1(0C ，1)，∴1(1AB =2)，11(0A C =，3)-，∴11132(3)0AB A C ⋅=⨯⨯-=，即111AB AC ⊥．（2）解：由（1）可知，1(0AC =，1)，(1AB =0)，1(1AB =2)， 设平面1ABB 的法向量为(n x =，y ，)z ，则100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，则x =0z =，∴(3n =-，1，0)， 设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则sin |cos n θ=<，111||||||||2n AC AC n AC ⋅>===⋅⨯， 故直线1AC 与平面1ABB ． 19．（2021•滁州期末）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，1222DC DD AD AB ====（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ．（2）求1BC 与平面1A BD 所成的角的余弦值； （3）求二面角11A DB C --的正弦值．【解答】证明：（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(1B ，0，0)，1(0C ，2，2)，(0C ，2，0)， (1DB =，1，0)，(1BC =-，1，0)，1(0BB =，0，2)， 1100DB BC =-++=，BD BC ∴⊥，10DB BB =，1BD BB ∴⊥， 1BB BC B =，DB ∴⊥平面11B BCC ．解：（2）设(n x =，y ，)z 为平面1A BD 的一个法向量， 1(1DA =，0，2)，(1DB =，1，0)，则1200n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(2n =-，2，1)， 又1(1BC =-，1，2)，设1BC 与平面1A BD 所面1A BD 所成角为θ， 则11||6sin ||||n BC n BC θ== 1BC ∴与平面1A BD ． （3）由（2）知平面1A BD 的一个法向量为(2n =-，2，1)， 设(m x =，y ，)z 为平面1C BD 的一个法向量， 1(1BC =-，1，2)，(1DB =，1，0)，则1200n BC x y z n DB x y ⎧=-++=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =-，得(1m =，1-，1)， 设二面角11A DB C --的平面角为θ， 则|cos |||||||33m n m n θ===，sin θ∴==． ∴二面角11A DB C --．20．（2015秋•辽宁校级月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==PA ，G 为线段PC 上的点，120ABC ∠=︒（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ； （Ⅱ）求PC 与面PBD 所成的角； （Ⅲ）若G 满足PC ⊥面GBD ，求PGGC的值．【解答】解：（1）设ACBD O =，2AB BC ==，AD CD =ABD CBD ∴∆≅∆，ABD CBD ∴∠=∠，ABO CBO ∴∆≅∆，BD AC ∴⊥，PA ⊥面ABCD ，PA BD ∴⊥，PAAC A =，BD ∴⊥面PAC ．解：（2）以O 为坐标原点，以OC 和OD 所在直线为x 轴和y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，(P 0，(0B ，1-，0)，(0D ，2，0)，C 0，0)，设面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则(3,1,PB =-，(0,3,0)BD =，(23,0,PC =， n PBn BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩由，得030y y -==⎪⎩，取1x =，得(1,0,1)n =， ∴10cos ,10||||PC n PC n PC n 〈〉==，∴10sin |cos ,|PC n θ=〈〉=， 即PC 与面PBD所成角为， （3）设(G x ，y ，)z ，CG CP λ=，得(,)(x y z λ=-得0x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即)G ， ∴(3)BG =由BG PC ⊥，得25λ=，即32PG GC =．21．（2021•龙岗区校级期中）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =．（1）证明：BC BD ⊥；（2）求二面角F CD B --的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过点D 作DO AC ⊥，交AC 与点O ，连接OB ， 由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥，所以CD =，由平面ACFD ⊥平面ABC ，平面ACFD ⋂平面ABC AC =，DO ⊂平面ACFD ， 故DO ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ， 所以DO BC ⊥，由45ACB ∠=︒，12BC CD ==，则BO BC ⊥， 又DOBO O =，DO ，BO ⊂平面BDO ，所以BC ⊥平面BDO ， 又DB ⊂平面BDO ， 故BC DB ⊥；（2）解：以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设2CD BC ==则(0O ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)，(0D ，0，2)， 所以(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==-=-，(0,2,0)OD =， 设平面BCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，则1y z ==，故(1,1,1)n =，设平面FCOD 的法向量为(,,)m a b c =，则00m OC m OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020c b =⎧⎨=⎩， 令1x =，则(1,0,0)m =，所以|||cos ,|||||13m n m n m n ⋅<>===⨯故二面角F CD B --=．22．（2021•新疆模拟）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC =（1）求证：DB ⊥平面ABC ； （2）求平面ABE 与平面ADC 所成二面角大小的余弦值．【解答】证明：（1）以D 为原点，DE 为x 轴，DC 为y 轴，在过D 作平面BCDE 垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(1B ，1，0)，(0A ，2，(0C ，2，0)，(1DB =，1，0)，(0CA =，0，(1CB =，1-，0)， 0DB CA =，0DB CB =，DB CA ∴⊥，DB CB ⊥，CA CB C =，DB ∴⊥平面ABC ．解：（2）平面ADC 的法向量(1n =，0，0)，(1E ，0，0)，(1EA =-，2，(0EB =，1，0)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ，则200m EA x y m EB y ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩，取1z =，得(2,0,1)m =， 设平面ABE 与平面ADC 所成二面角大小为θ，则||2cos ||||3m n m n θ===．∴平面ABE 与平面ADC ．。
解答立体几何问题的常用方法
备考指南立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象、逻辑推理以及运算能力.求解立体几何问题的常用方法主要有几何法和向量法.掌握并合理运用这两种解题方法，有利于迅速找到解题的思路.下面结合实例，谈一谈解答立体几何问题的常用方法.一、几何法几何法是解答立体几何问题的常用方法，也是比较重要的方法.在运用几何法求解立体几何问题时，要根据空间中点、线、面之间的位置关系，寻找平行、垂直关系，灵活运用立体几何中的定义、公理、判定定理和性质定理来分析、解答问题.例1.如图1所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的菱形，PD=3,PA=PC=23，点Q是PD的中点.（1）求证：直线PB∥平面ACQ；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明：（1）连接BD交AC于点O，连接OQ，根据菱形ABCD的性质可知O为BD的中点，因为Q是PD的中点，所以OQ是ΔPBD的中位线，可得OQ∥PB.又OQ⊂平面ACQ，PB⊄平面ACQ，由线面平行的判定定理得PB∥平面ACQ.（2）在ΔPAD中，PD2+DA2=32+(3)2=12=(23)2 =PA2，所以PD⊥DA.同理可证PD⊥DC.因为DA⋂DC=D，由线面垂直的判定定理得PD⊥平面ABCD.因为PD⊂平面PAD，所以由面面垂直的判定定理得平面PAD⊥平面ABCD.在解答立体几何中有关线线、线面、面面平行和垂直的问题时，往往需要首先根据图形理清点、线、面之间的位置关系，然后运用线线、线面、面面平行和垂直的定义、判定定理、性质定理来解题.对于第一个问题，需首先想到运用线面平行的判定定理；对于第二个问题，要证明面面垂直，往往需先想到运用面面垂直的判定定理，则需根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，只需根据勾股定理证明线线垂直.二、向量法1.基底法基底法是指根据向量的基本定理，将各个向量用基底表示出来，通过向量运算来解题.运用基底法解题，需先根据立体几何图形的特点和位置关系，选择一组合适的向量，将其作为基底，再根据向量的基本定理，将各个向量用基底表示出来，利用向量的数量积公式、模的公式、共线定理等进行求解.例2.已知正四面体ABCD的各条棱长均为1，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE∙CF=（）. A.0 B.12 C.1 D.-12解：如图2所示，设向量AB=a ,AC=b , AD=c ，因为正四面体的各条棱长均为1，所以a ∙b =a ∙c =b ∙c =1×1×cos60°=12，且||||b 2=1.因为点E、F分别是BC、AD的中点，所以AE=a +b 2， CF=-b +c 2，所以AE∙CF=æèçöø÷a +b 2∙æèçöø÷-b +c 2=-12a ∙b +14a ∙c -12||||b 2+14b ∙c=-12×12+14×12-12×1+14×12=-12.故本题选D.以AB=a 、AC=b 、 AD=c 为基底，并用这些基底将AE、CF表示出来，即可根据向量的数量积公式，求得AE∙CF的表达式及值.运用基底法解题的关键在于根据题意和图形的特点，选取合适的基底.图1图2552.坐标法有些立体几何问题中的图形为特殊图形，如正方体、直棱柱、长方体、正棱锥、圆锥、圆柱等，此时可采用坐标法求解.首先要根据这些图形的特点，找到两条或三条垂直且交于一点的直线，将其作为坐标轴，建立空间直角坐标系；然后求得相关点的坐标、直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量的坐标运算求得问题的答案.若用a 、b 表示直线a 、b 的方向向量，用m 、n 表示平面α、β的法向量，则（1）直线a 、b 所成角的余弦值为：cos θ=||||||cos a ,b =||||||||||a ∙b ||a ||||b ；（2）直线a 与平面α所成角的正弦值为：sin θ=||cos a,m =||||||||a∙m ||a ||m ；（3）平面α、β的二面角的余弦值为：cos θ=cos m ,n =m ∙n ||m ||n 或cos θ=-cos m ,n =-m ∙n ||m ||n （依平面角与法向量夹角的大小而定）；（4）若A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面α的距离为：d =|||||||| AP ∙n ||n.例3.据《九章算术》中的记载可知，堑堵是底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体.如图3，在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC .（Ⅰ）求证：四棱锥B -A 1ACC 1为阳马，并判断四面体A 1-CBC 1是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（只写出结论）；（Ⅱ）若A 1A =AB =2，当阳马B -A 1ACC 1的体积最大时，求二面角C -A 1B -C 1的余弦值.图3解：(Ⅰ)由堑堵ABC -A 1B 1C 1的定义知A 1A ⊥底面ABC ，所以BC ⊥A 1A ，因为BC ⊥AC ，A 1A ⋂AC =A ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1.由堑堵ABC -A 1B 1C 1的定义知，四边形A 1ACC 1为矩形，因此四棱锥B -A 1ACC 1为阳马.易知四面体A 1-CBC 1为鳖臑，四个面的直角分别是∠A 1CB ,∠A 1C 1C ,∠BCC 1,∠A 1C 1B .（Ⅱ）因为A 1A =AB =2，由（Ⅰ）知阳马B -A 1ACC 1的体积为V =13S 矩形A 1ACC 1∙BC =13×A 1A ×AC ×BC =23AC ×BC≤13(AC 2+BC 2)=13×AB 2=43，所以当AC =BC =2时，V max =43，此时直线CA ,CB ,CC 1两两互相垂直，可建立如图4所示的空间直角坐标系C -xyz .易知点C (0,0,0),B (0,2,0),A 1(2,0,2),C 1(0,0,2)，所以 CA 1=(2,0,2),CB =(0,2,0),BA 1=(2,-2,2)，BC 1=(0,-2,2).设平面CA 1B 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíîn ∙CA 1=0，n ∙ CB =0，可得ìíî2x +2z =0，2y =0，令x =2，则z =-1,y =0，则n =(2,0,-1)；同理可得平面C 1A 1B 的一个法向量m =(0,2,1).所以cos <n ,m >=n ∙m ||n ||m =-13×3=-13.由图4知，二面角C -A 1B -C 1为锐二面角，故二面角C -A 1B -C 1的余弦值为13.利用坐标法求解有关夹角或距离问题，关键是建立合适的空间直角坐标系.通常要使更多的点落在坐标轴上，这样便于计算.有时可通过添加辅助线来画出其中的一条坐标轴.相比较而言，几何法和基底法的适用范围较广，对于大部分的题目，都可以采用几何法和基底法求解；而坐标法的适用范围较窄，只适用于求解方便建立空间直角坐标系的题目.但运用坐标法求解立体几何问题较为便捷，只需通过简单的向量运算即可.（作者单位：安徽省宁国市宁国中学）备考指南图456。
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坐标法解立体几何1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则222123||a a a a a a =⋅=++，222123||b b b b b b =⋅=++．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a ba b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++．异面直线所成的夹角：6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-7、法向量①直线的法向量：在直线L 上取一个定向量，则与垂直的非零向量叫直线L 的法向量②平面的法向量：与平面α垂直的非零向量叫平面α的法向量．构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定. 一、平面的法向量例1 已知AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），求平面ABC 的法向量解：设面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则n ⊥AB 且n ⊥，即n ·AB =0，且n ·=0，即2x +2y +z=0且4x +5y +3z=0，解得1,2,x z y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴n =z （21，－1，1）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。
二、空间里的垂直关系1、 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 证明AD ⊥D 1F ；解：取D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A （2，0，0）、A 1（2，0，2）、D 1（0，0，2）、E （2，2，1）、F （0，1，0）∵DA ·1D F =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD ⊥D 1F2、 如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点.在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；解：以1AA AC 、分别为y 轴、z 轴，垂直于1AA AC 、的Ax 为x 轴建立空间直角坐标系xyz A -，设a CN =||，则有、)0,0,0(A ),1,0()0,43,43()2,21,23(1a N M B 、、. 得由MN AB AB a MN ⊥=-=11),2,21,23(),,41,43(810281830)2,21,23(),41,43(01=⇒=++-⇒=⋅-⇒=⋅a a a AB MN 3、在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB=√2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BDF ⊥平面ABCD.证明：∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥AB ，∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴BC ⊥面AEB ，以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系O —xyz ，则A(0，－1，0)， B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,－1,2), E(1，0,0)，∵F 为CE 上的点，EC =(－1,1,2),∴设EF =EC λ=(-λ,λ，2λ)， ∴F （1-λ，λ，2λ）， ∴BF =(1-λ,1λ-,2λ),AC =(0,2,2),AE =( 1,1,0), ∵BF ⊥平面ACE ， ∴BF AC •=2(1)4λλ-+=0且BF AE •=20(1)1x λλ-+-=0, 解得，0x =1，λ=13， ∴E （1,0,0），F(23，13，23)，（Ⅰ）AE =（1,1,0），BE =（－1,1，0）, ∴AE BE •=0, ∴AE ⊥BE,∵BC ⊥面AEB, ∴BC ⊥AE, ∴AE ⊥平面BCE;（Ⅱ）面ABCD 的法向量为OE =（1，0,0），设面BFD 的法向量为m =（x ，y ，z ），BF =(23,－23,23),BD =（0，－2，2）， ∴BF •m =222333x y z -+=0且BD •m =22y z -+=0，取z =1，则y =1，x =0，ABCDA 1B 1C 1D 1EF xzyABCMN1A 1B 1C yzx∴m=(0，1，1)，∴OE•m=0，∴平面BDF⊥平面ABCD5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且,21aADAF==G是EF的中点，求证平面AGC⊥平面BGC；解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）证明：(,,0),(0,2,2)AG a a AC a a==(,,0),(0,0,2)BG a a BC a=-=设平面AGC的法向量为111(,,1)n x y=，111111101(1,1,1)2201ax ay xAG nnay a yAC n⎧+==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩设平面BGC的法向量为222(1,,)n y z=，2222222001(1,1,0)201BG n a ay ynaz zBC n⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨==-⋅=⎩⎩⎪⎩∴12n n⋅=即12n n⊥∴平面AGC⊥平面BGC；三、空间里的平行关系1、在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB11111ABCD A B C D-1DD 11C D1B F1A BE1A1B BE1BA1BEA m x y z BE•m22x y z-++1BA•m22x z+xA BCDEFGxzyz y32m 3211C D 1B F 1A BE 0x 0x BF 02x -BF •m 031(2)2(1)22x ⨯-+⨯+-⨯0x 11C D 1B F 1A BE 四、空间的角1、直三棱柱111C B A ABC -中，若︒=∠90BAC ，1AA AC AB ==，求异面直线1BA 与1AC 所成的角。
如图建立空间坐标系，设异面直线1BA 与1AC 所成的角为θ，则||||cos 1111AC BA AC BA =θ，设AB=a ，易求点B 坐标：（0，a ，)0，点1A 坐标：0(，0，a ），点A 坐标：（0，0，0），点1C 坐标：a (，0，a ），所以0(1=BA ，a -，a ），=1AC a (，0，a ）2120)(0|00|cos 22222222==+++-+⨯+⨯-⨯=aa a a a a a a a a θ ∴︒=60θ2、在四棱锥P ABCD 中，AD AB ，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，2ABAD=，直线PA 与底面ABCD 成60°角，点,M N 分别是PA 、PB 的中点. （1）求异面直线DN 与BC 的夹角的余弦值； （2）求直线PA 与面PBC 所成的角正弦值； （3）求二面角P －NC-D 的大小的余弦值.解析：以D 为原点，向量DA ,DC ,DP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立坐标系，设AD=1，则AB=2AD =2，∵PD ⊥底面ABCD ，∴∠PAD 为直线PA 与面ABCD 所成的角，∴∠PAD=060， ∴PD=3， ∴D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0, 3),M(12,0,3),N(12,1, 32)，(1)DN =( 12，1，3)，BC =(－1,0，0)，∴异面直线DN 与BC 的夹角的余弦值为|cos ,|DN BC =||||||DN BC DN BC ••=24.（2）PA =(1，0，－3)，PB =(1，2，－3)，设面PBC 的法向量为m =（1x ，1y ，1z ），直线PA 与面PBC 所成的角为θ，则PB •m =11123x y z +-=0且BC •m =－1x =0,取1z =2，则1x =0，1y =3， ∴m =(0,2, 3)， ∴sin θ=|||PA PA ••|m |m |=217.(3)由（2）知面PBC 的法向量为m =(0,2, 3)，设面CDN 的法向量为n =（2x ,2y ,2z ）,∵DN =(12，1，3),DC =(0,2,0)，DP =（0，0，3）,∴DN •n =222132x y z ++=0且DC •n =22y =0，取2z =1，则2x =－3，2y =0，则n =(－3，0，1)，∴cos m,n =|••m n |m |n |=2114，又∵DP •m =3＞0, DP •n =3＞0, ∴二面角P －NC-D 的大小的余弦值为2114. 【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m 、n ，在求出m 、n 的夹角，设两异面直线的夹角θ，利用cos θ=|cos |m,n 求出异面直线的夹角，注意：异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角l αβ--的大小问题，先求出平面α、β的法向量m 、n ，再求出m 、n 的夹角，在α内取一点A ，在β内取一点B ，设二面角l αβ--大小为θ，若AB •n 与AB •m 同号，则θ=m,n ，若AB •n 与AB •m 异号，则θ=π-m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系.（3）对于线面夹角问题，求出线面夹角问题中，求出直线的方向向量m 和平面法向量n ，设线面角为θ，则直线方向向量m 在平面法向量n 方向上的投影的长度|•|m n |n |与直线方向向量m 的模之|m |比||•|m n |m |n |就是线面夹角的正弦值，即sin θ=||•|m n |m |n |.3、如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.解：如图建立空间坐标系，设直线AM 与平面BCD 所成的角的大小为θ， ∵AB ⊥平面BCD ∴BA 是平面BCD 的一个法向量故||||sin BA AM BA AM =θ 点A 坐标：（0，0，32）点B 坐标：（0，0，0）点M 坐标：（23，23，3）（注明：先作MO ⊥CD 于O ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CG ⊥y 轴于G ，过点O 作OF ⊥BD 于F ，OH ⊥y 轴于H ，再利用坐标定义求出点M 坐标）于是AM 23(=，23，3-)，BA =（0，0，32）∴222222)32(00)3()23()23(|323023023|sin ++-++⨯-⨯+⨯=θ 1266= 22= ∴︒=45θ（2）易知平面BCD 的一个法向量为1n =（0，0，1） 设平面ACM 的法向量x n (2=，y ，z ），由2n ⊥AC ，2n ⊥AM 可得2n ·AC =0，2n ·AM =0，而A （0，0，32），M （23，23，3），C 1(，3，0）AM 23(=，23，3-)3(23=，1，2- )AC 1(=，3，32-) 所以⎩⎨⎧=-+=-+0323023z y x z y x 消x ，得z y 2=取1=z ，得2=y ，0=x∴0(2=n ，2，1） ∴1cos n <，>2n =5551112000=⨯⨯+⨯+⨯ ∴平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为552。