立体几何训练及答案

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立体几何练习题多套(含答案)

立几测001试一、选择题：1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（）A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ．19 Ｂ．2345 254．已知平面α⊥平面β，m 是α内的一直线，n 是β内的一直线，且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。

这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( )Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）( ) A.R π42 B. R 3π C. R 2π D. 3R7. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题(1)m l ⊥⇒βα// (2)m l //⇒⊥βα (3)βα⊥⇒m l // (4)βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是( )A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 60πα<< B.46παπ<< C.34παπ<< D.23παπ<<9．ABC ∆中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=︒，ABC ∆所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45︒的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )Ａ．30︒ Ｂ．45︒ Ｃ．60︒ Ｄ．90︒11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF;③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )A. 24πcm 2B. 48πcm 2C. 144πcm 2D. 288πcm 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值是46，则AB 与β所成角大小为__________。

立体几何练习题及答案

立体几何练习题及答案在学习立体几何的过程中，练习题对于巩固知识、提高应用能力起着至关重要的作用。

本文将为大家提供一些立体几何的练习题，并给出详细的答案解析，以帮助读者更好地理解和掌握立体几何的知识。

一、球的表面积和体积1. 某个球的半径为3cm，求其表面积和体积。

解析：球的表面积公式为S = 4πr²，体积公式为V = (4/3)πr³。

将半径r代入公式进行计算即可。

表面积：S = 4π(3)² = 4π(9) ≈ 113.04cm²体积：V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27)≈ 113.04cm³因此，该球的表面积约为113.04cm²，体积约为113.04cm³。

二、立方体的表面积和体积2. 一个立方体的边长为5cm，求其表面积和体积。

解析：立方体的表面积公式为S = 6a²，体积公式为V = a³。

将边长a代入公式进行计算即可。

表面积：S = 6(5)² = 6(25) = 150cm²体积：V = (5)³ = 5(5)(5) = 125cm³因此，该立方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。

三、圆柱的表面积和体积3. 一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm，求其表面积和体积。

解析：圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，体积公式为V = πr²h。

将底面半径r和高度h代入公式进行计算即可。

表面积：S = 2π(4)² + 2π(4)(10) = 2π(16) + 2π(40) ≈ 321.2cm²体积：V = π(4)²(10) = π(16)(10) ≈ 502.4cm³因此，该圆柱的表面积约为321.2cm²，体积约为502.4cm³。

高中数学立体几何专项练习题及答案

高中数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是描述柱体的特点？A. 体积恒定B. 底面形状不限C. 侧面是矩形D. 顶面和底面平行答案：A2. 如果一个四面体的一个顶点的对边垂直于底面，那么这个四面体是什么类型？A. 正方形四面体B. 倒立四面体C. 锥体D. 正方锥体答案：C3. 以下哪个选项正确描述了一个正方体的特点？A. 全部面都是正方形B. 12 条棱长度相同C. 8 个顶点D. 6 个面都是正方形答案：D4. 若长方体的高度是 6cm，底面积是 5cm²，底面对角线长为 a cm，那么 a 的值为多少？A. √11B. √29C. √31D. √41答案：C二、填空题1. 一个正方体的棱长为 4cm，它的体积是多少？答案：64cm³2. 一个球的表面积是100π cm²，那么它的半径是多少？答案：5cm3. 一个圆柱体的底面半径为 3cm，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：72π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 6cm，高度为 10cm，它的体积是多少？答案：120π cm³三、计算题1. 一个四棱锥的底面是边长为 5cm 的正方形，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：5cm * 5cm = 25cm²再计算体积：25cm² * 8cm / 3 = 200cm³2. 一个圆柱体的底面直径为 12cm，高度为 15cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面半径：12cm / 2 = 6cm再计算底面积：π * 6cm * 6cm = 36π cm²最后计算体积：36π cm² * 15cm = 540π cm³3. 一个球的直径为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算半径：8cm / 2 = 4cm再计算体积：4/3 * π * 4cm * 4cm * 4cm = 268.08π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 10cm，高度为 20cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：π * 10cm * 10cm = 100π cm²最后计算体积：100π cm² * 20cm / 3 = 2000π cm³四、解答题1. 若一个长方体的长度、宽度、高度分别为 a、b、c，它的表面积为多少？答案：单位为 cm²，计算过程如下：首先计算侧面积：2 * (a * b + a * c + b * c)再计算底面积：a * b最后计算表面积：2 * (a * b + a * c + b * c) + a * b2. 一个四棱锥的底面为边长为 a 的正三角形，高度为 h，求这个四棱锥的体积。

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C 【解析】试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C。

立体几何练习题及解答

立体几何练习题及解答《立体几何练习题及解答》练习一：体积计算题目：一个正方体箱子的边长为3cm，请计算该正方体箱子的体积。

解答：正方体的体积计算公式为边长的立方，即V = a³，其中a为正方体的边长。

代入已知条件，正方体箱子的边长a = 3cm。

则体积V = 3³ = 27cm³。

所以该正方体箱子的体积为27cm³。

练习二：表面积计算题目：一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为4cm，请计算该长方体的表面积。

解答：长方体的表面积计算公式为2ab + 2bc + 2ac，其中a、b、c分别为长方体的三个边长。

代入已知条件，长方体的长a = 5cm，宽b = 3cm，高c = 4cm。

则表面积S = 2(5×3) + 2(3×4) + 2(5×4) = 30 + 24 + 40 = 94cm²。

所以该长方体的表面积为94cm²。

练习三：棱柱的体积计算题目：一个棱柱的底面为边长为5cm的正方形，高为8cm，请计算该棱柱的体积。

解答：棱柱的体积计算公式为底面积乘以高，即V = S × h，其中S为底面积，h为高度。

代入已知条件，棱柱的底面为正方形，边长a = 5cm，高度h = 8cm。

底面积S = a² = 5×5 = 25cm²。

则体积V = S × h = 25 × 8 = 200cm³。

所以该棱柱的体积为200cm³。

练习四：金字塔的体积计算题目：一个金字塔的底边是边长为6cm的正方形，高为10cm，请计算该金字塔的体积。

解答：金字塔的体积计算公式为底面积乘以高再除以3，即V = S ×h ÷ 3，其中S为底面积，h为高度。

代入已知条件，金字塔的底边为正方形，边长a = 6cm，高度h =10cm。

底面积S = a² = 6×6 = 36cm²。

立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（1）线段的中点为，线段的中点为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）取的中点为，连,,则,面/面, .............. 分5（2）先证出面，.............. 分8为直线与平面所成角，................ 分11................ 分142、己知多面体ABCDE中，DE平面ACD,, AC=AD=CD=DE=2 AB =1, O 为CD 的中点.（1）求证：AO平面CDE（2）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值3、如图，在△中，，，点在上，交于，交于•沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△ ，使平面平面．（ 1 ）求证：平面；（2 ）若，求二面角的平面角的正切值.解：（1）因为，平面，所以平面.因为平面平面，且，所以平面. …2分同理，平面，所以，从而平面. …4分所以平面平面，从而平面.2)因为，，所以，，，．过E作，垂足为M，连结.由( 1)知，可得，所以，所以.所以即为所求二面角的平面角，可记为.在Rt△中，求得，所以. …4、如图，平面ABC,平面BCD, DE=DA=AB=AC,. M(1) 求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；(2) P为线段DM上一点，且DM，求证：AP//DE. (12)分15 分为BC中点.解：(1) 平面,为在平面上的射影,为与平面所成角. …分2平面,, 设,又,. 在△中，，，又为中点，， ,.…5分在△中，，．……………………分 (7)2),为中点, ．又平面, ,平面．又平面,,分11 …分9又，平面. .............. 分13又平面，. .............. 分145、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF丄平面ABCD, CE// AF,(1)证明：BD丄EF;(2)若AF= 1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为,求的值.解：(1)连结BD、AC,交点为O. •/ ABCD是正方形/• BD丄AC ……2分•/ AF丄平面ABCD A AF丄BD ……4分••• BD丄平面ACEF (6)A BD丄EF ……7分(2)连结0E,由(1)知，BD丄平面ACEF所以/ BEO即为直线BE与平面ACE所成的角. ……10分•/ AF丄平面ABCD, CE// AF , • CE丄平面ABCD, CE1 BC,•/ BC =1 , AF= 1 ,贝U CE= , BE= , B0=,• RtA BEO 中，，…1盼因为解得. …… 15分6、如图在几何体中平面ABC分别是的中点.(1) 求证：平面CDE；(2) 求二面角的平面角的正切值.解：(1)连接ACR1R交EC于点F ,由题意知四边形ACCR1RE是矩形,贝U F是ACR1R的中连接DF, •/ D是AB的中点，•ABCR1R勺中位线，a BCR1R//DF， 4 分•/ BCR1RF面EDC DF平面EDC,• BCR1R//平面CDE. 7 分(2)作AH丄直线CD,垂足为H ,连接HE,•/ AAR1R丄平面ABC, • AAR1RL DC,CD丄平面AHE,CD丄EH ,••• AHE是二面角E -CD -A的平面角. 11分•/ D是AB的中点，• AH等于点B到CD的距离，在厶BCD中，求得：AH=, 在厶AEH中，即所求二面角的正切值为.7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且,( 1 )求证：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值.解：(1)证明：过点作于点，•••平面丄平面，•平面……2分又•••丄平面•- 〃 , ......... 分又•••平面• 〃平面 ......... 分(2) •••平面•,又•/••………………分8•点是的中点，连结，则•平面•//,•四边形是矩形………………分10设得：，又•••，•，从而，过作于点，则：•是与平面所成角…………………………………………分…… •，• 与平面所成角的正弦值为…………………………分14&如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，侧棱AA仁2, D, E分别为点，点E在平面ABD上的射影是的重心.(1) 求证：DE// 平面ACB；(2) 求A1B与平面ABD所成角的正弦值.12CC1 与A1B 的中9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1中，底面△ ABC为等腰直角三角形，/ B=90°D为棱BB1的中点。

立体几何基础题题库(360道附详细答案)

S P
S
SS
S
PP
P
R
RR
Pபைடு நூலகம்
Q
R Q
QR
R
P
QR P PQ
Q
R
P
R
Q
QS
R
SS
Q
R
S
SQ R
Q
Q
RP
Q
P
R
S SQ R
P S
R Q
（A）
（B）
（C）
（D）
D
解析： A 项： PS 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形
D'
P
A'
S
C'
B'
R
D
A
B 项：如图
Q
C B
C 项：是个平行四边形
EG2 FH 2 =2 (EF 2 FG2 ) = 1 ( AC2 BD2 ) 1 (a2 2b)
2
2
27. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90º， AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB，点，AB⊥MC，求异面直 MC 与 PB 间的距离.
M 是 PA 的中
四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线．
26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD
= a ，AC BD =b，求 EG2 FH 2 . A
解析：四边形 EFGH 是平行四边形，…………（4 分）
E H
B F
D
G C
得 OX2+OY2+OZ2=37，OP= 37 ．

立体几何练习题(含答案)

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空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错；对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错；对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错；对于④，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错．【答案】 A2．(2013·青岛质检)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图7－1－11所示，则该几何体的侧视图为()图7－1－11【解析】如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.【答案】 D3．如图7－1－12所示正三棱柱ABC—A1B1C1的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为()图7－1－12A．16 B．2 3C．4 3 D．8 3【解析】由主视图知，正三棱柱底面边长为4，侧棱长为4，则正三棱柱的侧视图是高为4，底边长为23的矩形，从而侧视图的面积为S＝4×23＝侧8 3.【答案】 D4．(2013·武汉模拟)如图7－1－13是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()图7－1－13【解析】由几何体知，边界线AM可视，DC1不可视，且点M在正方体后侧面上的射影是边的中点，故选B.【答案】 B5．(2013·郑州模拟)已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如图7－1－14所示，其中VA＝4，AC＝23，则该三棱锥的左视图的面积为()图7－1－14A．9 B．6C．3 3 D.39【解析】由主视图和俯视图知，正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为4，由俯视图知，正三棱锥的左视图是以BC为底边的等腰三角形，其高为正三棱锥的高，因为正三棱锥的高h＝23，故左视图的面积S左＝12×23×23＝6.【答案】 B6．对于长和宽分别相等的两个矩形，给出下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图7－1－15所示；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图7－1－15所示；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图7－1－15所示．其中真命题的个数是()图7－1－15A．3 B．2C．1 D．0【解析】只要把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题．【答案】 A二、填空题7．如图7－1－16，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P—ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．图7－1－16【解析】三棱锥P—ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.【答案】 18．已知△ABC是边长为a的等边三角形，则其直观图△A′B′C′的面积为________．【解析】如图所示，设△A′B′C′为△ABC的直观图，O′为A′B′的中点．由直观图的画法知A′B′＝a，O′C′＝12·3a2＝3a4，∴S△A′B′C′＝12·A′B′·(O′C′·sin 45°)＝12·a·(3a4×22)＝616a2.即边长为a的等边三角形的直观图的面积为6a2 16.【答案】6a2 169．(2013·长春模拟)已知一几何体的三视图如图7－1－17所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．图7－1－17①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．【答案】①③④⑤三、解答题10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．图7－1－18【解】图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．图7－1－19(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；【解】 (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)． 12．如图7－1－20是一个几何体的正视图和俯视图．图7－1－20(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．【解】 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(侧视图)的面积为 S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.课后作业(四十一) 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．(2012·课标全国卷)如图7－2－11，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )图7－2－11A ．6B ．9C ．12D ．18【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h ＝3，相应底面面积为S ＝12×6×3＝9，∴V ＝13Sh ＝13×9×3＝9.【答案】 B2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72πB ．56πC ．14πD ．64π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2bc ＝3ac ＝6，得⎩⎨⎧a ＝2b ＝1，c ＝3令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14， ∴R 2＝72，∴S 球＝4πR 2＝14π. 【答案】 C3．如图7－2－12所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )图7－2－12A.312B.34C.612D.64【解析】在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为32，又S △BB 1C 1＝12，∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝13×32×12＝312. 【答案】 A4．(2013·西安八校联考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7－2－13所示，其顶点都在一个球面上，则球的表面积为( )图7－2－13A.43πB.163πC.19π3D.19π12【解析】如图所示，F 、H 是正三棱柱上下底面的中心，则球心O 是FH 的中点，由三视图知AB ＝2，FH ＝1，则AE ＝3， AF ＝233，OF ＝12， ∴OA ＝(12)2＋(233)2＝1912，∴球的表面积S 球＝4πOA 2＝19π3. 【答案】 C5．(2013·潍坊模拟)如图7－2－14为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为( )图7－2－14A ．16＋4πB ．12＋4πC ．16＋8πD ．12＋8π【解析】易知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4π＋6＋10＝16＋4π.【答案】 A6．(2013·广州模拟)如图7－2－15，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )图7－2－15A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2【解析】由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB ＝23，菱形BCDE 中BE ＝EC ＝2.∴BO ＝22－12＝3，则AO ＝AB 2－BO 2＝3，因此V A —BCDE ＝13·AO ·S 四边形BCDE ＝13×3×2×232＝2 3. 【答案】 C 二、填空题7．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－16所示，则该几何体的表面积为________．图7－2－16【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.【答案】 388．圆锥的全面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________cm 3.【解析】设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr )a ＝πra .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πra ＋πr 2＝15ππra ＝16πa 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝157a 2＝36×157，故圆锥的高h ＝a 2－r 2＝53，所以体积为V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π(cm 3)．【答案】 2573π9．一个几何体的三视图如图7－2－17，该几何体的表面积为________．图7－2－17【解析】该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，∴S ＝S 侧＋S 表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360. 【答案】 360 三、解答题10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【解】在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，∴BE ＝6，在Rt △BEE 1中， BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23， ∴2R ＝23，则R ＝3，∴球的体积V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π. 11．如图7－2－18，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．图7－2－18(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．12．如图7－2－19，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F —ABCD 的体积．图7－2－19(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2 ＝23－(x 2－2)2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.课后作业(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题阿1．(2013·台州模拟)以下四个命题中 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则点A 、B 、C 、D 、E 共面；③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①中显然是正确的；②中若A 、B 、C 三点共线则A 、B 、C 、D 、E 五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b 、c 异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】 B2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定() A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】 C3．如图7－3－8所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()图7－3－8A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．【答案】 A4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )【解析】在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面．如图，在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面； D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D. 【答案】 D5．(2013·青岛质检)如图7－3－9，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )图7－3－9A.55B.255C.12D ．2【解析】如图，取AC 中点G ，连FG 、EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25＝255.【答案】 B6．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是() A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC【解析】由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC ⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】 C二、填空题7．(2013·合肥质检)如图7－3－10是正四面体的平面展开图，G、H、M、N 分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，图7－3－10①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④8．(2013·杭州模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．【答案】①9．如图7－3－11所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．图7－3－11【解析】取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，因为D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ， AD 1＝14a 2＋2a 2＝32a .所以cos ∠AB 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12，所以∠AB 1D 1＝60°. 【答案】 60° 三、解答题10．如图7－3－12所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．图7－3－12【解】在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ， ∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．11．如图7－3－13所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．图7－3－13【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1F，∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB＝C1G，∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1是菱形．12．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．【证明】(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．课后作业(四十三) 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．(2013·威海模拟)设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2【解析】m∥l1，且n∥l2⇒α∥β，但α∥βD/⇒m∥l1且n∥l2，∴“m∥l1，且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．【答案】 D2．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是() A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定【解析】如图，由AEEB＝CFFB得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.【答案】 A3．(2013·西安模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解析】对于①，由线面平行的性质及线面垂直的定义可知正确；对于②，由α∥β，β∥γ知α∥γ，由m⊥α知m⊥γ，故②正确；对于③，m与n可能平行，相交或异面，故③错；对于④，α与β可能相交，故④错．【答案】 A4．(2013·石家庄模拟)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．③中⎭⎬⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．【答案】 C5．如图7－4－10所示，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的．．．．是()图7－4－10A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台【解析】 ∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥B 1C 1， ∴EH ∥平面BB 1C 1C .由线面平行性质，EH ∥FG . 同理EF ∥GH .且B 1C 1⊥面EB 1F .由直棱柱定义知几何体B 1EF —C 1HG 为直三棱柱， ∴四边形EFGH 为矩形，Ω为五棱柱．故选D. 【答案】 D6．在三棱锥P —ABC 中，点D 在P A 上，且PD ＝12DA ，过点D 作平行于底面ABC 的平面，交PB ，PC 于点E ，F ，若△ABC 的面积为9，则△DEF 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D.94【解析】由于平面DEF ∥底面ABC ，因此DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF ∥BC ，所以DE AB ＝DF AC ＝EFBC ，所以△DEF ∽△ABC ，所以S △DEF S △ABC ＝(13)2，而S △ABC ＝9，所以S △DEF ＝1，故选A.【答案】 A 二、填空题7．在四面体A —BCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．【解析】如图，取CD 的中点E .则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB .所以MN ∥面ABD ，MN ∥面ABC . 【答案】面ABD 与面ABC8．如图7－4－11所示，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________．图7－4－11【解析】设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD ，∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.【答案】 19．(2013·徐州模拟)如图7－4－12所示，在四面体ABCD中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的为________．图7－4－12(1)AC⊥BD；(2)AC∥截面PQMN；(3)AC＝BD；(4)异面直线PM与BD所成的角为45°.【解析】∵PQMN是正方形，∴MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥平面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故(1)(2)正确．又∵BD∥MQ，∴异面直线PM与BD所成的角即为∠PMQ＝45°，故(4)正确．【答案】(3)三、解答题10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF＝12BC.求证：FO∥平面CDE.图7－4－13 【证明】取CD中点M，连接OM，EM，在矩形ABCD中，OM∥BC且OM＝12BC，又EF∥BC且EF＝12BC，则EF∥OM且EF＝OM.所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM.又因为FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，所以FO∥平面CDE.11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．图7－4－14(1)求证：MN∥平面A1CD；(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCD—A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．【解】(1)证明取AD的中点P，A1D的中点E，连接NE、EC.又∵N是AA1的中点，∴NE 綊AP 綊MC ，∴四边形NECM 为平行四边形， ∴MN ∥EC ，又∵EC ⊂平面A 1CD ， MN ⊄平面A 1CD ， ∴MN ∥平面A 1CD .(2)取BB 1的中点Q ，连接NQ 、CQ 、ND ，因为点N 是AA 1的中点，所以NQ ∥AB . 因为AB ∥CD ，所以NQ ∥CD ，所以过N 、C 、D 三点的平面NQCD 把长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC —NAD ，另一部分几何体为直四棱柱B 1QCC 1—A 1NDD 1.所以S △QBC ＝12QB ·BC ＝12×1×1＝12. 所以直三棱柱QBC —NAD 的体积 V 1＝S △QBC ·AB ＝12.因为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积V ＝1×1×2＝2. 所以直四棱柱B 1QCC 1—A 1NDD 1的体积 V 2＝V －V 1＝32，所以V 1V 2＝1232＝13.所以所截成的两部分几何体的体积的比值为13.12．如图7－4－15所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB和CD .图7－4－15(1)判断截面的形状；(2)试问截面在什么位置时其截面面积最大．【解】 (1)∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ，∴截面EFGH 是平行四边形． (2)设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α.又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BGBC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )≤ab sin α4. ∵x ＞0，a －x ＞0，且x ＋(a －x )＝a 为定值． ∴当且仅当x ＝a －x ， x ＝a 2时，S ▱EFGH 最大为ab sin α4.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时，截面面积最大．课后作业(四十四) 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．(2013·宝鸡模拟)α、β、γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是()A．n⊥α，n⊥β，m⊥αB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l【解析】由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，但当m⊥β时，n⊥α，n⊥β不一定成立，故选A.【答案】 A2．(2013·深圳模拟)设a，b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确命题的个数是()①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.A．1 B．2C．3 D．4【解析】由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确．【答案】 D3．如图7－5－9，P A⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是()图7－5－9A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．P A⊥BD【解析】由CB⊥BA，CB⊥P A，P A∩BA＝A，知CB⊥平面P AB，故CB ⊥PB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确，故选C.【答案】 C4．(2013·银川模拟)如图7－5－10正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论中错误的是()图7－5－10A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解析】连接BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，从而A、B、C正确．因为点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以△AEF与△BEF的面积不相等，故选D.【答案】 D5．如图7－5－11所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()图7－5－11A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】 D6．(2013·杭州模拟)如图7－5－12，正三角形P AD所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为()图7－5－12【解析】取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD，从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC、AB的中点F、G，连接DF、DG、FG，由PD＝DC知DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，∴DG⊥PC，DF∩DG＝D，∴PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，因此线段DG上的点满足MP＝MC，故选A.【答案】 A二、填空题7．(2012·江苏高考)如图7－5－13，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD ＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.图7－5－13【解析】关键是求出四棱锥A－BB1D1D的高．连接AC 交BD 于O ，在长方体中，∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD .又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又DB ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA －BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D ·AO ＝13×62×322＝6(cm 3)．【答案】 68．如图7－5－14所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．图7－5－14【解析】由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC 时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD .∴平面MBD ⊥平面PCD .【答案】 DM ⊥PC (答案不唯一)9．如图7－5－15所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：图7－5－15①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．【答案】①②③三、解答题10．(2012·江苏高考)如图7－5－16，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．图7－5－16求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.【证明】(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .11．(2013·济南模拟)如图7－5－17，在四棱锥S —ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点．图7－5－17(1)求证：CD ⊥平面SAD ；(2)求证：PQ ∥平面SCD ；(3)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．【解】 (1)证明因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD .又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面SAD .(2)证明取SC 的中点R ，连接QR ，DR .由题意知：PD ∥BC 且PD ＝12BC .在△SBC 中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点，所以QR ∥BC 且QR ＝12BC .所以QR ∥PD 且QR ＝PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形，所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD .(3)存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD .连接PC 、DM 交于点O ，连接PM 、SP 、NM 、ND 、NO ，因为PD ∥CM ，且PD ＝CM ，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.12．(2012·江西高考)如图7－5－18所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.图7－5－18(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．【解】(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形．由GD＝5，DE＝4，得GE＝GD2－DE2＝3.由GC＝42，CF＝4，得FG＝GC2－CF2＝4，所以EF＝5.在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝EG·GFEF＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.。