概率论和数理统计 估计量的评选标准和区间估计

故
E(S 2 )

1 n1

n(

2

2)
2
n( n


2
)



2
2
说明：
若用样本二阶中心矩 B2作2 的估计量，是有偏估计。这是因为
E(M2 )

E(
n n
1
S2)
n 1 E(S2) n 1 2
n
n
所以，
一般总取
S2

1 n1
n
作( X为i X2)的2 估计量。
13
4、应用举例
请准备好练习本
例2 已知样本值为(3.3,-0.3,-0.6,-0.9)，求
(1) 当=3时，正态总体均值的95置信区间； (2) 当未知时，正态总体均值的95置信区间。
解： 由样本值计算可得 x 0.375, s 1.965
(1) 当=3时， 因为 U X / n
含有由2（P而{不12含 有(n其 它1) 未 (n
知参数）的样2 本函数
1)S
2
2


2
(n

1)}

1


2
2 (n 1) 1 2
可得2的(1-)置信区间为
(n 1)S 2


2
(n

1)
,
2

(n 1)S 2

2 1
2
析：要判断两工厂生产质量水平的差异，首先需要比较两总体的均值
的大小，以反映平均质量水平的高低；其次还可以比较总体方差的大 小，以反映质量水平波动的程度。
先估计总体均值差1-2的大小：
虽然未知方差是否相等，但因样本容量较大，故近似地有
( X 1 X 2 ) ( 1 2) ~ N (0,1)
故 P{ Z 0.05 U Z 0.05 } 0.95
2
2
~ N(0,1) P{1.96 X 1.96} 0.95 3/2
P{ X 2.94 X 2.94} 0.95
所以，均值的95置信区间为 ( X 2.94, X 2.94) 代入样本值可得 (2.565, 3.315)
i 1
解： E[c n1 ( X i1 X i )2 ]
？ n1
c 2 E[( X i1 X i )2 ]
？
c
n1
[E(
X
i1

X
i
)]2
i 1
i 1
n1
i 1
0
D(Y ) E(Y 2 ) E 2(Y )
c {D( X i1 X i ) [E( X i1 X i )]2
两个总体的情形：
12、22都已知,估计1-2
12、22都未知但大样本时， 可用S12、S22代替它们，近
似的服从N(0,1).
用 ( X Y ) ( 1 2) ~ N (0,1)

2 1


2 2
n1 n2
12
❖ 12、22都未知,但12=22=2，估计1-2
n
, 而 D(Xi)=2， 故随着n 的增大，
X 较单一的Xi 有效得多。
5
3、相合性
若n→∞时，


依概，率就称
是相合ˆ 估计量。
例如 可以证明，样本的k阶矩是总体k阶矩的相合估计量，等等。
通常，人们首先考虑的往往是无偏性和有效性，只有 在n 很大时，才考虑相合性.
仅基于以上常用的评选标准，也可以发现不同的估计法所 构造出的统计量，各有自己的特点。
F

S12
2 2
S22
2 1
~
F (n1
1, n2
1)
知
P{F
1

(n1

1,
n2

1)

F

F
(n1
1, n2
1)}

1

2
2
由此可得12/22的置信区间：
(
S12 S22
F (n1
1 1, n2
, 1)
S12 S22
1 F1 (n1 1, n2
) 1)
(
n

1)

2

2
(n

1)
2
11
3、正态总体均值与方差的置信区间：
单个总体的情形：
(§5 )
2已知,估计
用 U X ~ N(0,1) / n
❖ 2未知,估计
用 V ( X ) n ~ t(n 1).
S
估计2
用
Y

n1
2
S2
~
2 (n 1);
请您注意学习解题过程的写法！
14
(2)当未知时，
由 V ( X ) n ~ t(n 1).
S
知 P{t 0.05 V t 0.05 } 0.95
2
2
查表可得 t 0.05 (4 1) t0.025 (3) 3.182
2
P{3.182 X 3.182} 0.95
i 1
n1
ED( XXii11XXi i))cED[(D(XX(iXi1)i1)1)ED(DX((i )XXi i)0]) i 1
2 2 (n 1)c
n1
要 使 E[c ( X i1 X i )2 ] 2 i 1
应取
c 1 2(n 1)
§2 估计量的评选标准
针对总体的同一个参数，可以用各种不同方法对之 进行估计；根据实际应用的需要，对于这些不同的估计 量，有着不同的选择标准，其中较为基本的评选标准为： 无偏、有效和相合。
1
1、无偏性 设 ˆ ˆ(X1, X2, , Xn ) 为未知参数 的估计量，
若E(ˆ) ， 则 称ˆ 是 的 无 偏 估 计 量.
S12 S22 n1 n2
由此可得1-2置信区间：
(X 1 X 2 Z
2
S12 S22 , n1 n2
X 1 X 2 Z
2
S12 S22 ) n1 n2
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代入样本值可得： (0.034, 0.766 )
这一结果说明什么？
再估计总体方差比12/22的大小：
由
4
2、有效性
若参数 同时有若干个无偏估计量，什么样的会更为理想呢？
当然是取值较为集中的一个更为理想了！
设 均ˆ1为,ˆ2参数 的无偏估计量，


若 D( 1 ) ，D(则 2称) 较 有ˆ1效。ˆ2
如: X 与 Xi (i=1,2,…,n) 都是 的无偏估计量，
但
2
D( X )
2>. 应当尽量选择最有效的（也即长度最短的）。 ---- 故而多用双侧分位点。
9
2、求 的(1-)置信区间的步骤：
回顾引例的分析思路：
从 XN(,0.42)出发，导出
U X
0.4 / 10
~ N (0,1)
一个完全已 知的分布
然后基于U一个N含(0有,1)待，估得参出数的P{ Z 2
这样的当然应该是 不唯一的！
10
例1 已知总体 XN(,2), 与2都未知，样本(X1,X2,…,Xn)，求方差2的
(1-)置信区间。
分析： 若估计，则仍可考虑用 U X ~ N (0,1)
/ n
估计2用；
此时，可用
Y

n1
2
S
2
~
2 (n 1);
2



使得 P( 1 2 ) 1 则称随机区间 ( 1, 2 )
为参数 的置信度为100(1-)的置信区间；
(1-)称为置信度（又称置信水平）。
例如：上例所求得的区间(1,2)，就是总体均值 的一个置信度为
95的置信区间。
对于给定的样本数据(x1,x2,…,x10),如若 x =2.26 ,则可得总体均
显然,参数的无偏估计量的取值以参数真值为中心左右微小摆动的.
例1:试证样本均值X和样本方差S2分别是总体X的期望和方差2
的无偏估计量。
析：需要证明的是： E( X ) 和 E(S 2 ) 2
也即
E( 1 n
n i 1
Xi
)


和
E( 1 n1
n i 1
(Xi

X
)2 )
值 的一个置信度为95的置信区间: (2.012,2.508)
8
几点说明 ▪置信区间与置信度的含义：
可以理解为：在多次重复抽样时，每次抽样的观察值按此统计 量都能求得一个区间；在这众多的区间中，包含真值的约占
100(1-),而不包含真值的约占100。 ▪ 置信区间的不唯一性； 1>. 结合引例不难看出，对于相同的置信度1-，置信区间并不唯一！


2
E(S2)

E

n
1
1
n i 1
(Xi

X
)2



1 n1
E
n i 1
Xi2

nX
2

1 n1

n i 1
E( X i 2 )

nEX 2 ) n D( X ) E 2( X ) n1

X
0.4 / 10

Z