2013年上海高考数学第三轮基础知识疏理(理科)

第三轮疏理数学目录第一部分：集合与函数―――――――――――――――1 第二部分：不等式―――――――――――――――――8 第三部分：三角函数――――――――――――――――11 第四部分：复数――――――――――――――――――16 第五部分：数列与极限―――――――――――――――17 第六部分：排列组合与概率―――――――――――――23 第七部分：向量――――――――――――――――――24 第八部分：空间图形――――――――――――――――28 第九部分：直线与圆锥曲线―――――――――――――35 第十部分：解题技巧与应试心理―――――――――――50上海市七宝中学数学组前言有人说，数学是科学之母；有人说，数学是人类社会活动的工具；有人说，数学是思维的体操；有人说，数学是上帝用来书写宇宙的文字……。

不少爱好数学的人说：数学是一种充满智慧的“游戏”，他从破解数学问题的过程中享受到独有的乐趣。

他把数学中的概念、定理、法则、运算规律等看作是这种“游戏”的规则，数学问题的解决就要遵循这些“游戏规则”，而解决数学问题的方法则是对这些规则的深刻理解与灵活运用。

为了使同学们经过两轮系统复习后在高考前对“数学游戏”的规则有一个更为系统的掌握与规范而灵活地运用，因此有了这本《第三轮疏理――数学》。

《第三轮疏理――数学》不是知识的简单梳理，而是对高中数学中的主要知识点进行了“疏通”与“整理”，对同学们平时考试中容易出错的地方进行了点评与剖析，对容易混淆的概念与相近公式进行了鉴别，在解题方法与技巧上给予指导。

配制的例题都给出了分析与解题过程，可减少读者的阅读难度。

《第三轮疏理――数学》由朱兆和老师策划并执笔编写，在成书过程中得到了许多同志的帮助与支持。

孙晔、蔡青、李世廷、王国伟、俞志钢、朱逸、林星芳、葛赪、胡琼、陈莉、姚勤等老师参加了校对工作，我校专家视导室的特级教师孙兆桂、柴志洪、刘汉标老师对本书提出了宝贵意见。

特别是柴志洪老师对本书作了全面审核，在此一并致谢。

本书的许多问题与方法累积于我们的教学实践，具有一定的可读性。

由于时间仓促，所以书中难免会有不足之处，欢迎读者使用过程中给予指正。

上海市格致中学数学组2012年4月第一部分 集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例1]已知集},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x ∈==∈==，求Q P .分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与x y 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .[举例2]函数⎩⎨⎧∈-∈=)()()(M x x P x x x f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定：(){|(),},(){|(),}F P y y f x x P F M y y f x x M ==∈==∈.给出下列四个判断：（1）若∅=M P ，则()()F P F M =∅ ；（2）若∅≠M P ，则()()F P F M ≠∅ ；（3）若,R M P = 则()()F P F M R = ；（4）若,R M P ≠ 则()()F P F M R ≠ . 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（ ）A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个.分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.()F P 是函数)(P x x y ∈=的值域，()F M 是函数)(M x x y ∈-=的值域.取),0[+∞=P ，)0,(-∞=M 可知（1）、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以若∅≠M P ，只能是}0{=M P ，此时()(){0}F P F M ⊇ ，（2）正确.对于命题（4）：设,a P M ∉ 则a P ∉且a M ∉，若0a =，显然有0()F P ∉且0()F M ∉，所以有()()F P F M R ≠ ；若0a ≠，由a P ∉则()a F P ∉，由a M ∉，则()a F M -∉.若有()a F M ∉，则a M -∉，所以a P -∉，则()a F P -∉，所以()()a F P F M -∉ ，则()()F P F M R ≠ .同理可证，若()a F P -∈，则有()()a F P F M ∉ .（4）也正确，选B.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若B A ⊆，则∈x A 是∈x B 的充分条件；若B A ⊇，则∈x A 是∈x B 的必要条件；若B A ⊆且B A ⊇即B A =，则∈x A 是∈x B 的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合}2|),{(},2|),{(22>-=>+=x y y x N y x y x M ，则点M P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件是点N P ∈；点M P ∈是点N P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件.分析：集合M 是圆222=+y x 外的所有点的集合，N 是直线2+=x y 上方的点的集合.显然有M N ⊆.（充分不必要、必要不充分）4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.5、若函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则有)()(x a f x a f +=-或)()2(x f x a f =-等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(x f y =的图像关于直线a x =的对称曲线是函数)2(x a f y -=的图像，函数)(x f y =的图像关于点),(b a 的对称曲线是函数)2(2x a f b y --=的图像.[举例1]若函数)1(-=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.分析：由)1(-=x f y 是偶函数，则有)1()1(-=--x f x f ，即)1()1(x f x f +-=--，所以函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.或函数)1(-=x f y 的图像是由函数)(x f y =的图像向右平移一个单位而得到的，)1(-=x f y 的图像关于y 轴对称，故函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.[举例2]若函数)(x f y =满足对于任意的R x ∈有)2()2(x f x f -=+，且当2≥x 时x x x f +=2)(，则当2<x 时=)(x f ＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由)2()2(x f x f -=+知，函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，因而有)4()(x f x f -=成立.2<x ，则24>-x ，所以)4()4()4()(2x x x f x f -+-=-=.即2<x时209)(2+-=x x x f .6、若函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a a x f a x f 则)(x f 是以a 2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a x f a x f 则)(x f 是以a 2为周期的函数.（注意：若函数)(x f 满足)(1)(x f a x f ±=+，则)(x f 也是周期函数） ［举例］已知函数)(x f y =满足：对于任意的R x ∈有)()1(x f x f -=+成立，且当)2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则=++++)2006()3()2()1(f f f f ＿＿＿＿＿＿.分析：由)()1(x f x f -=+知：)()1(]1)1[()2(x f x f x f x f =+-=++=+，所以函数)(x f y =是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(-=====f f f f ，1)1()3()2003()2005(=====f f f f ，故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意x 满足0)()(=+-x f x f ；偶函数对定义域内的任意x 满足0)()(=--x f x f .注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x 的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y 轴对称；若函数)(x f y =是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(x f y =是奇函数且)0(f 存在，则0)0(=f ；反之不然.［举例1］若函数a x f x -+=121)(是奇函数，则实数=a ＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到)0(f 有意义，必有0)0(=f ，代入得21=a .这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.[举例2]若函数3)2()(2+-+=x b ax x f 是定义在区间]2,12[a a --上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有0)2()12(=-+-a a ，得1-=a ；又由()y f x =是偶函数，因而2=b .即]3,3[(3)(2-∈+-=x x x f ，所以此函数的值域为]3,6[-.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］若函数)(x f y =是定义在区间]3,3[-上的偶函数，且在]0,3[-上单调递增，若实数a 满足：)()12(2a f a f <-，求a 的取值范围.分析：因为)(x f y =是偶函数，)()12(2a f a f <-等价于不等式)(|)12(|2a f a f <-，又此函数在]0,3[-上递增，则在]3,0[递减.所以2|12|3a a >-≥，解得211+-<≤-a .9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像.［举例］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像是由函数x y 2log =的图像经过下列变换得到的：先将函数x y 2log =的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（或将函数x y 2log =的图像向上平移1个单位）得到函数x y 2log 2=的图像，再将函数x y 2log 2=的图像作关于y 轴对称得到函数|2|log 2x y =的图像，再将函数|2|lo g 2x y =的图像向右平移21个单位，得到函数|12|lo g 2-=x y 的图像，再将函数|12|log 2-=x y 的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log 2--=x y ，最后将函数1|12|log 2--=x y 的图像在x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x 轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[-与),23[+∞. 需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(a x f y x f y x f y -=⇒=⇒=与变化过程：|)(|)()(a x f y a x f y x f y -=⇒-=⇒=不同.前者是先作关于y 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线a x =对称.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例1］已知函数1)(,12)(+=-=ax x g x x f ，若不等式)()(x g x f >的解集不为空集，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：不等式)()(x g x f >的解集不为空集，亦即函数)(x f y =的图像上有点在函数)(x g y =的图像的上方. 函数12)(-=x x f 的图像是x 轴上方的半支抛物线，函数1)(+=ax x g 的图像是过点 )1,0(斜率为a 的直线.当1a =虚线也满足题义）[举例2]若曲线1||2+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，则b k ,应当满足的条件是 .分析：曲线1||2+=x y 是由)0(12≥+=x x y 与)0(12<+-=x x y 组成，它们与y 轴的交点为)1,0(和)1,0(-，图像如图（实线部分）.可以看出若直线b kx y +=曲线1||2+=x y 的图像没有公共点，此直线必与x 轴平行，所以0=k ，11<<-b .11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y 轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？ ［举例］函数12)(2+-=ax x x f ，（]4,3[]1,0[ ∈x ），若此函数存在反函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x 轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数12)(2+-=ax x x f 图像的对称轴为直线a x =知：0≤a 或4≥a 必存在反函数，10<<a 或43<<a 必不存在反函数.当]3,1[∈a 时如何讨论？注意到函数在区间]1,0[上递减，在]4,3[上递增，所以只要)1()4(f f <或)0()3(f f >即可.亦即325≤<a 或231<≤a .综上知，实数a 的取值范围是 ]0,(-∞ ),4[]3,25()23,1[+∞ . 12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x 的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.［举例］函数])2,((),22(log )(22--∞∈++=x x x x f 的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：令)22(log 22++=x x y ，则12)1(22222-=+⇒=++y y x x x .因为2-≤x ，所以11-≤+x ，则121--=+y x ，121---=y x .又原函数的值域为),1[+∞，所以原函数的反函数为)1(121)(1≥---=-x x f x .（若是从反函数表达式得012≥-x 求得0≥x 就不是反函数的定义域）.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线x y =对称；若函数)(x f y =的定义域为A ，值域为C ，C b A a ∈∈,,则有a a f f b b f f ==--))((,))((11.)()(1b f a a f b -=⇔=.需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如)2(x f y =反函数不是)2(1x f y -=.［举例1］已知函数)(x f y =的反函数是)(1x f y -=，则函数)43(21+=-x f y 的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y 表示,x 然后将y x ,互换即得反函数的表达式.由)43(21+=-x f y 可得]4)2([31)2(432)43(1-=⇒=+⇒=+-y f x y f x y x f .所以函数)43(21+=-x f y 的反函数为]4)2([31-=x f y . [举例2]已知⎩⎨⎧<<--≥=02,)(log 0,2)(2x x x x f x ，若3)(1=-a f ，则=a ＿＿＿＿.分析：由3)(1=-a f 得)3(f a =，所以8=a .14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,(,>+=b a xb ax y 的单调性. [举例]已知函数)0(1)(>+=a xax x f 在),1[+∞∈x 上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 分析：函数)0,(,>+=b a x b ax y 称为“耐克”函数，由基本不等式知：当0>x 时，函数的最小值是ab 2，当a b x =时等号成立.],0(a b x ∈时，函数递减；),[+∞∈ab x 时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数)0(1)(>+=a x ax x f 在),1[+∞上递增，则11≤a，得1≥a .但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证. 任设),,1[,21+∞∈x x 且21x x <.)1)(()()(212121x x a x x x f x f --=-，由函数)(x f 是单调增函数，则0)()(21<-x f x f ，而021<-x x ，则0121>-x x a .所以211x x a >对于),,1[,21+∞∈x x 且21x x <恒成立，因1121<x x ，故1≥a . 需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.［举例］求函数12)(2+-=ax x x f 在区间]3,1[-的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.⎩⎨⎧>+≤-=)1(22)1(610)(max a a a a x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=)1(610)31(1)1(22)(2min a a a a a a x f .16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.[举例1]已知关于x 的不等式5|3|≤+ax 的解集是]4,1[-，则实数a 的值为 .分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值4,1-是方程5|3|=+ax 的根.则⎩⎨⎧=+=+-5|34|5|3|a a 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21282或或a a ，知2-=a . ［举例2］解关于x 的不等式：)(0122R a ax ax ∈>++.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当0=a 时，此不等式是恒成立的，则其解集为R .当0≠a 时，才是二次不等式.与其对应的方程为0122=++ax ax ，根判别式a a 442-=∆.当0>∆，即1>a 或0<a 时，方程两根为aa a a x -±-=22,1；当0=∆，即1=a 时，方程有等根1-=x ；当0<∆，即10<<a 时，方程无实根.结合二次函数的图像知：1>a 时不等式的解集为),(),(22+∞-+-----∞aa a a a a a a ；当1=a 时，不等式的解集为),1()1,(+∞---∞ ；当10<≤a 时，不等式的解集为R ；当0<a 时，不等式的解集为),(22aa a a a a a a ----+-.第二部分 不等式17、基本不等式2)2(,2b a ab ab b a +≤≥+要记住等号成立的条件与b a ,的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.［举例］已知正数b a ,满足32=+b a ，则ba 11+的最小值为＿＿＿＿＿＿. 分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由)223(31)23(31)22(3111+≥++=+++=+b a a b b b a a b a b a ，当且仅当b a a b =2等号成立，此时223,123+=+=b a .18、学会运用基本不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-.［举例1］若关于x 的不等式a x x <---|2||1|的解集是R ，则实数a 的取值范围是＿＿； 分析：由不等式的解集为R ，则a 大于|2||1|---x x 的最大值.由绝对值不等式的性质知：1|)2()1(||2||1|=---≤---x x x x ，所以1>a .[举例2]若关于x 的不等式a x x <-+-|2||1|的解集不是空集，则实数a 的取值范围是＿. 分析：1|)2()1(||2||1|=---≥-+-x x x x ，知1>a .19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.［举例］解关于x 的不等式：)0(12)1(>>--a x x a . 分析：原不等式化为：0)]2()1)[(2(02)2()1(>----⇒>----a x a x x a x a .注意到此不等式二次项系数含有变量，故要讨论.（1）当1=a 时，不等式的解集为}2|{>x x ；（2）当10<<a 时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根12,221--==a a x x ，而211112>-+=--a a a ，此时不等式的解集为)12,2(--a a ；（3）当1>a 时，同样可得不等式的解集为),2()12,(+∞---∞ a a . 20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数)0(,>+=a xa x y 的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.［举例1］已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时，81)(≥x f ，求实数a 的值. 分析：6)3(23)(22a a x x f +--=，则161622≤⇒≤a a ，又此二次函数开口向下，则有181)21(81)41(≥⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥a f f .知1=a .注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值. [举例2]求函数1363)(2+++=x x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值. 分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设t x =+3，则t t t t x f 414)(2+=+=，]5,1[∈t .当2=t 时，tt 4+取最小值4；当5=t 时，t t 4+取最大值529.所以函数)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为41，最小值为295.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法. 21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数),(x a f y =的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：xx a 222+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22=x 时等号成立.所以有22<a . （2）注意到0224>+⋅-xx a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设)24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .第三部分 三角函数22、若)2,0(πα∈，则αααtan sin <<；角的终边越“靠近”y 轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”x 轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.［举例1］已知],0[πα∈，若0|cos |sin >-αα，则α的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.分析：由0|cos |sin >-αα且],0[πα∈，即|cos ||sin |αα>知其角的终边应“靠近”y 轴，所以)43,4(ππα∈.［举例2］方程sin x x =的解的个数为＿＿＿＿个.分析：在平面直角坐标系中作出函数sin y x =与y x =的图像，由函数sin ,y x y x ==都是奇函数，而当1x >时sin x x >恒成立.在(0,)2x π∈时，sin x x <，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点），即方程sin x x =只有一个解. 同样：当(,)22x ππ∈-时，方程tgx x =只有唯一解0x =. 23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由βαtg tg >未必有βα>；由βα>同样未必有βαtg tg >；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如βαsin sin =；则βπα+=k 2；或Z k k ∈-+=,2βππα；若βαcos cos =，则Z k k ∈±=,2βπα；若βαtg tg =，则Z k k ∈+=,βπα.［举例1］已知βα,都是第一象限的角，则“βα<”是“βαsin sin <”的――（ ）A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.分析：βα,都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如613,3ππ都是第一象限的角，6133ππ<但613sin 3sin ππ>.选D. ［举例2］已知0,0,αβαβπ>>+<，则“βα<”是“βαsin sin <”的―――（ ）A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件. 分析：注意到由),0(,,πβαβα∈+，则βα,可以看作是一三角形的两内角.选C.24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由αtg 的值求ααcos ,sin 的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.［举例1］已知α是第二象限的角，且a =αcos ，利用a 表示=αtg ＿＿＿＿＿；分析：由α是第二象限的角，a =αcos 知21sin a -=α，a a tg 21cos sin -==ααα. ［举例2］已知),2(,0cos 2cos sin sin 622ππααααα∈=-+，求)32sin(πα+的值.分析：由0cos 2cos sin sin 622=-+αααα得：0262=-+ααtg tg ，则21=αtg 或32-=αtg .又),2(ππα∈，所以32-=αtg .由万能公式得1312122sin 2-=+=αααtg tg ，135112cos 22=+-=αααtg tg .知261235)32sin(-=+πα. 25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：)2cos 1(21cos ),2cos 1(21sin 22x x x x +=-=；引入辅助角（特别注意3π，6π经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为B x A y ++=)sin(ϕω的形式.函数|)sin(|ϕω+=x A y 的周期是函数)sin(ϕω+=x A y 周期的一半.［举例］函数1cos sin 32cos 2)(2--=x x x x f 的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在区间]2,0[π上，方程1)(=x f 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由1cos sin 32cos 2)(2--=x x x x f )652sin(22sin 32cos π+=-=x x x .所以函数)(x f 的最小正周期为π；最大值为2；单调递增区间满足22[652πππ-∈+k x ，)](22Z k k ∈+ππ，即)](6,32[Z k k k ∈--ππππ；由1)(=x f ，则21)652s i n (=+πx ，62652πππ+=+k x 或652652πππ+=+k x 得3ππ-=k x 或)(Z k k x ∈=π，又由]2,0[π∈x 得解集为}2,,0,35,32{ππππ. 注意：辅助角ϕ的应用：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a .其中a b tg =ϕ，且角ϕ所在的象限与点),(b a 所在象限一致.26、当自变量x 的取值受限制时，求函数)sin(ϕω+=x A y 的值域，应先确定ϕω+x 的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定)sin(ϕω+x 的取值范围，并注意A 的正负；千万不能把x 取值范围的两端点代入表达式求得.［举例］已知函数],0[),cos (sin sin 2)(π∈+=x x x x x f ，求)(x f 的最大值与最小值. 分析：函数1)4sin(22sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+-=+=πx x x x x x x f .由],0[π∈x ，则]43,4[4πππ-∈-x ，]1,22[)4sin(-∈-πx ，所以函数)(x f 的最大 、最小值分别为12+与0. 27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关c b a ,,的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC 三边c b a ,,平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为2sin sin sin a b c R A B C ===（其中R 是△ABC 外接圆半径.［举例］在△ABC 中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,对边的长.已知c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22，求A ∠的大小及c B b sin 的值. 分析：由c b a ,,成等比数列得ac b =2，则bc ac c a -=-22化成bc a c b =-+222，由余弦定理得212c o s 222=-+=bc a c b A ，3π=∠A .由ac b =2得b a c b =，所以c B b sin =233sin sin sin ===πA b B a . 28、在△ABC 中：B A B A b a sin sin >⇔>⇔>；A C B sin )sin(=+，=+)cos(C B A cos -，2sin 2cos A C B =+，2cos 2sin A C B =+等常用的结论须记住.三角形三内角A 、B 、C 成等差数列，当且仅当3π=B .［举例1］（1）已知△ABC 三边c b a ,,成等差数列，求B 的范围；（2）已知△ABC 三边c b a ,,成等比数列，求角B 的取值范围.分析：（1）由△ABC 的三边c b a ,,成等差数列，则c a b +=2，222cos 2a c b B ac+-=，消去b 化得223()1611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=.所以]3,0(π∈B . （2）同样可以求得]3,0(π∈B . ［举例2］在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=，则△ABC 的形状一定是――――（ ）A 、等腰直角三角形；B 、直角三角形；C 、等腰三角形；D 、等边三角形.分析：在三角形ABC 中：A B B A B A B A C sin cos 2sin cos cos sin )sin(sin =+=+=，则B A B A B A B A =⇒=-⇒=-0)sin(0sin cos cos sin .所以△ABC 是等腰三角形. ［举例3］△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知c b a ,,成等比数列，且43cos =B . （1）求ctgC ctgA +的值；（2）设23=⋅，求c a +的值. 分析：（1）先切化弦：CA B C A C A C C A A ctgC ctgA sin sin sin sin sin )sin(sin cos sin cos =+=+=+.由c b a ,,成等比，C A B ac b sin sin sin 22=⇒=，所以B ctgC ctgA sin 1=+.由43cos =B 得47sin =B ，则774=+ctgC ctgA . （2）注意到2343cos ===⋅ac B ac ，所以2=ac ，则22=b .又由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，得522=+c a ，92)(222=++=+c ac a c a ，所以3=+c a .29、x x x x x x cos sin ,cos sin ,cos sin -+这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.［举例1］已知关于x 的方程02)cos (sin 2sin =+++x x a x 有实数根，求实数a 的取值范围.分析：由x x x x x x x 2sin 1cos cos sin 2sin )cos (sin 222+=++=+，令t x x =+cos sin ，则12sin 2-=t x ，其中]2,2[-∈t .则关于t 的方程012=++at t 在]2,2[-∈t 上有解.注意到方程012=++at t 两根之积为1，若有实根必有一根在]1,1[-内，只要△0≥即可，得2≥a 或2-≤a .［举例2］已知),,0(πα∈且51cos sin -=+αα，则=αtg ＿＿＿＿＿. 分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由51cos sin -=+αα平方得02524cos sin 2<-=αα，又由),0(πα∈知),2(ππα∈.则有0c o s ,0s i n <>αα.2549cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα，得57c o s s i n =-αα.有54cos ,53sin -==αα，所以43-=αtg . 30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y 轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.函数ctgx y tgx y ==,的图像没有对称轴，它们的对称中心为Z k k ∈),0,2(π.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.［举例1］已知函数x x f 2sin )(=，且)(t x f +是偶函数，则满足条件的最小正数=t ＿＿； 分析：)22sin()(t x t x f +=+是偶函数，则0=x 是它图像的一条对称轴.0=x 时，函数取最大（小）值.12sin ±=t ，)(22Z k k t ∈+=ππ.所以满足条件的最小正数4π=t .［举例2］若函数x x a x f cos sin )(+=的图像关于点)0,3(π-成中心对称，则=a ＿＿＿.分析：由x x a x f cos sin )(+=的图像关于点)0,3(π-成中心对称知0)3(=-πf ，33=a . 第四部分 复数31、复数问题实数化时，设复数bi a z +=，不要忘记条件R b a ∈,.两复数bi a z +=1，),,,(,2R d c b a di c z ∈+=，21z z =的条件是d b c a ==,.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.［举例］若复数z 满足：ii i z z z z +-=++⋅23)(，则=z ＿＿＿＿＿. 分析：设),(R b a bi a z ∈+=，原式化为i ai b a -=++1222，得⎩⎨⎧-==+12122a b a ，求得i z 2321±-=.。