二次函数图表信息归类
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结(含答案)(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax Arraya 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2y a x h=-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数基础知识二次函数的概念是指形如22y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数。
其中，a、b、c是常数。
与一元二次方程类似，二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的结构特征是等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二次函数的各种形式之间可以通过变换相互转化。
例如，用配方法可将二次函数y=ax^2+bx+c化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中h=(-b/2a)，k=(4ac-b^2)/4a。
二次函数的解析式可以表示为一般式、顶点式或两根式。
其中，一般式是2y=ax^2+bx+c，顶点式是y=a(x-h)^2+k，两根式是y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数的图象可以用五点绘图法画出。
首先将二次函数化为顶点式，然后确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，最后在对称轴两侧左右对称地描点画图。
二次函数y=ax^2的性质与a的符号有关。
当a>0时，开口向上，顶点坐标为(0,0)；当a<0时，开口向下，顶点坐标为(0,0)。
顶点坐标为b/2ac−b2/4a以上是二次函数的基本性质，其中y轴和对称轴是直线，顶点是一个点，开口方向和最值是由a的符号决定的。
在具体应用中，可以利用这些性质来帮助我们解决问题。
例如，求函数的最值、确定函数的图像等等。
顶点决定抛物线的位置。
对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向和大小完全相同，只是顶点位置不同。
在二次函数2y=ax^2+bx+c中，a、b、c 与函数图像的关系是：抛物线。
二次项系数a在函数中起着决定性的作用。
当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。
因此，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数图表总结
二次函数图表总结二次函数图表总结y＝ax图象2a>0ay＝ax+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(x-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=ax2+k上下平移y=a(xh)2+k上下平移y=a(xh)2左右平移y=ax2一般地,抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2的形状相同,位置不同。
2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读：二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一、知识网络二次函数的定义yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函数的图像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函数二次函数的性质开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积、利润等二、知识要点分布1.二次函数的定义：形如yax2bxc(a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。
任何一个二次函数的表达式都可以化为yax2bxc的形式，这就是二次函数的一般形式。
2.二次函数表达式的几种形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。
y=a(x+h)2+k；3.二次函数表达式的形式及对称轴、顶点坐标。
（1）一般式：yaxbxc(a、b、c为常数，a0），其对称轴为直线x=-2b，顶点2ab4ac-b2坐标为-,。
2a4a（2）顶点式：y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，a0），其对称轴为直线x=-h，顶点坐标为-h,k。
（3）交点式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的两个根。
4.二次函数图像之间的平移关系1向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a对称轴顶点坐标直线x=-b2a直线x=-b2ab4ac-b2-,2a4a当x-小；当x-大；b4ac-b2-,2a4a 当x-大；性质增减性b时，y随x的增大而减2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而减2a当x-小；最值当x=-b时，y有最小值，2a当x=-b时，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具体了。
二次函数的图像及性质ppt课件
同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
二次函数的图像和性质表格
配方法
将二次函数通过配方转化为顶点式$y=a(xh)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。根据 $a$的正负和顶点坐标可求得最值。
公式法
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$ ，其最值可通过公式$-frac{b}{2a}$求得对 称轴，再代入原函数求得最值。
04 典型二次函数图 像举例
对称轴与顶点坐标
对称轴
对于一般形式$y=ax^2+bx+c$的二次函 数，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$。
VS
顶点坐标
顶点的横坐标为对称轴与抛物线的交点， 即$x=-frac{b}{2a}$，纵坐标为$cfrac{b^2}{4a}$。
与坐标轴交点情况
与$x$轴交点
解方程$ax^2+bx+c=0$，若$Delta=b^2-4ac>0$，则有两个不相等的实数根，即抛物线与$x$轴 有两个交点；若$Delta=0$，则有两个相等的实数根，即抛物线与$x$轴有一个交点；若$Delta<0$ ，则无实数根，即抛物线与$x$轴无交点。
与$y$轴交点
抛物线与$y$轴的交点为点$(0,c)$。
03 二次函数性质分 析
奇偶性判断方法
观察法
通过观察二次函数的表达式，判断其是否满足$f(-x)=f(x)$或$f(-x)=-f(x)$，若满足则函数为偶函数或奇函数。
代数法
将$-x$代入二次函数的表达式，化简后与原函数比较，若相等则为偶函数，若互为相反数则为奇函数。
二次函数表达式
一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数知识归纳与总结
二次函数知识归纳与总结二次函数是数学中的重要内容，具有广泛的运用。
下面对二次函数的知识进行归纳与总结。
一、定义与特点二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像呈现抛物线状，开口方向由a的正负决定。
二次函数有以下特点：1.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.抛物线的对称轴：对称轴的方程为x=-b/2a，对称轴平分抛物线，并且抛物线上的任意点关于对称轴对称。
3.抛物线的顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(-b/2a)是抛物线上的最值（最大值或最小值）。
4.解析式中的系数：a决定了抛物线的开口方向和抛物线的坡度；b决定了对称轴的位置；c决定了抛物线与y轴的交点。
二、图像与性质1.抛物线的图像：当a>0时，抛物线的图像开口向上，顶点位于y轴上方；当a<0时，抛物线的图像开口向下，顶点位于y轴下方。
2.抛物线的最值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。
3. 零点与交点：抛物线与x轴的交点称为零点，即解方程ax²+bx+c=0的解；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)。
4.纵轴交点：设抛物线与y轴交于点A，若点A的纵坐标为c>0，则a>0；若点A的纵坐标为c<0，则a<0。
三、解析式的变形与性质1.完全平方：二次函数的解析式中，可通过完全平方的方法将二次项变形为平方项。
例如，x²+4x=0可变形为(x+2)²-4=0。
2. 方程与不等式的解：二次方程ax²+bx+c=0的解可通过因式分解、配方法、求根公式等方法求得。
二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的解可通过图像法分析得到。
3. 判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次方程的根的情况。
二次函数的图像和性质PPT课件
所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛
物线的表达式，即
解得
a b 6 3， 4a 2b 6 6.
a 3， b 6.
所以该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
例. 通过配方，写出下列抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标．
画二次函数的图像取点时先确定顶 点，再在顶点的两旁对称地取相同 数量的点，一般取5－7个点即可.
函数y=ax²+bx+c的图像和性质：
顶点坐标：（-2ba ，4a4ca-b2）对称轴： 直线x=-2ba
与y轴交点：（0，c） 与x轴交点（：-b± b2-4ac
2a
，0）
开口 增减性
最值
向 a>0 上
-
b2 4a
+c
=
a( x
+
b )2 2a
+
4ac 4a
b2
1、函数y= ax2+bx+c的图像 的顶点坐标:
(- b , 2a
4ac - b2 ) 4a
对称轴:直线
x
=
-
b 2a
函数y= ax2+bx+c Ⅰ、当a＞0时:
当
x
=
-
b 2a
最小值=
4ac - b2 4a
函数y= ax2+bx+c
二次函数的图像和性质
课件
1、抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质：
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线x=h； 3.顶点坐标是 (h，k.)
2、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与 y=ax2的 形状 相同，位置 不同
二次函数二次函数y=axbxc的图象课件
二次函数y＝axbxc的图象课件pptxx年xx月xx日•引言•二次函数的图象和性质•绘制二次函数的图象目录•分析和解释图象•实际应用案例•总结与展望01引言理解二次函数图像的形状和特点学习如何利用二次函数解析式绘制图像通过可视化方法增强对二次函数性质的理解目的和背景定义和公式解释a、b、c三个参数的含义和作用说明二次函数图像的开口方向、顶点位置、对称轴等特征介绍二次函数的一般形式：y =ax^2 + bx + c课程目标和意义通过图像分析二次函数的性质和变化规律掌握二次函数图像的基本绘制方法为后续学习复杂函数图像和分析打下基础学习如何利用二次函数解决实际问题02二次函数的图象和性质二次函数的图象$y = ax^2 + bx + c$表达式根据$a$的正负来判断，$a>0$时，开口向上；$a<0$时，开口向下开口方向$x = -\frac{b}{2a}$对称轴$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$顶点坐标决定二次函数的增减性，开口向上时，函数在对称轴左侧单调递减；开口向下时，函数在对称轴左侧单调递增开口方向根据开口方向和对称轴位置来判断，如开口向上，则在对称轴左侧递减；如开口向下，则在对称轴左侧递增单调性开口方向与单调性顶点坐标二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$，该点也是函数的最大值或最小值点对称轴二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，根据此公式可以快速找到函数图像的对称轴顶点与对称轴03绘制二次函数的图象MatlabMatlab是一个强大的数学软件，可以轻松绘制各种函数图象，包括二次函数。
在Matlab中，只需输入二次函数的解析式，即可快速得到对应的图象。
使用数学软件绘制图象MathematicaMathematica是一个功能强大的科学计算软件，也可以用来绘制二次函数图象。
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A．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）
B．（1，﹣1）
D．（1，1）
考点： 二次函数图象与系数的关系．
4. 若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的 1 图象与x轴只有一个交点，那么 m 的值为 2 （ D ） A．0 B． 0或2 C．2或﹣2 D． 0，2或﹣2 考点： 抛物线与x轴的交点．
4. （2014•山东威海）已知二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下 列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1； ③当x=1时，y=2a； ④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ C ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
作业：
《试题解读》62页
1．（2014•甘肃兰州,第6题4分） 抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是 （ C ） A．y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
3、（2014•江苏苏州,第8题3分） 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经 过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值 为（ ） B A．﹣3 B．﹣1 C．2 D ．5
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象如图 所示，下列说法 ① 2a+b=0②当-1≤x≤3 时，y <0， ③若（x1 ，y1 ）、（ x2，y2 ）在函数图象上， 当x1<x2 时， y1<y2，④9a+3b+c=0 ， 其中正确的是（ B ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
2.
3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象 的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a ④若（﹣3，y1），（3，y2）是抛物线上两点， 则y1＞y2， 其中正确的是（ B ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0； ④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大． 其中正确的结论有（ B ） A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
3、（2015•山东日照
）如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶 点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0）， 直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点， 下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程 ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴 的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有 y2＜y1， 其中正确的是（ C ） A. ①②③ B. ①③④ C.①③⑤ D. ②④⑤
解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确； 该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；当 x=1时，y=2a+b+c，∵对称轴是直线x=﹣1，∴， b=2a，又∵c=0，∴y=4a，故③错误；x=m对应的函 数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为 y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜ am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a， ∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．故选： C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关 系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线 开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴 交点的个数确定．
解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0， 所以①正确； ∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0， 而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a， ∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x=2， ∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的 增大而减小，所以④错误．故选B．
2
2
（如图2）
0 个交点。 （如图3） b 4ac ＜0↔抛物线与x轴有___ （即没有交点）
即时训练：
0 y ax bx c a 1、已知二次函数 （ 的图象如图所示，有下列四个结论：
2
）
①b 0②c 0③b 4ac 0
2
④
a bc 0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0 ）中， b2-4ac决定抛物线的什么？
知识点一
控制图像的“幕后高手” ---a、b、c
(1). a决定开口方向和大小：
向上 a＞0↔开口_______ ；（如图1） 向下 a＜0↔开口_______ ；（如图2）
（图1）
a
a
相同，抛物线的形状_____ 相同 ；
其中正确的个数有（ C ）
2. m+1的 图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 （ D ） A．0 B． 0或2 C．2或﹣2 D． 0，2或﹣2 考点： 抛物线与x轴的交点．
若函数y=mx2+（m+2）x+
1 2
自学指导： 二、综合应用：
1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c； ③4a+2b+c＞0； ④b2﹣4ac＞0 其中正确结论的有（ B ）
小 。 越大，抛物线开口越____
（图2）
(2). a、b决定对称轴的位置：
b=0↔对称轴是_______ ；（如图1） y轴
a、b同号↔对称轴在y轴的___ 左 侧；（如图2）
a、b异号↔对称轴在y轴的___ 右 侧。（如图3）
规律：左同右异
规律：左同右异
当对称轴x=1时， b 1 ，则 2a+b=0 或 b= -2a 即
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ C ）
A．
B．
C．
D．
3．（2014•甘肃兰州,第6题4分） 抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是 （ C ） A．y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
感悟与收获 这堂课你收获了什么？
方法指导：
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由 抛物线图象的开口方向、对称轴、抛物线与 y轴的交点确定。 2、会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如： x=1时,y=a+b+c， x=-1时,y=a-b+c， x=2时,y=4a+2b+c， x=-2时,y=4a-2b+c， 然后根据图象判断其值正负． 3、抛物线与x轴交点的个数由 b2-4ac 确定。
当x= 1时， y= a+b+c 当x=-1时， y= a-b+c 当x= 2时， y= 4a+2b+c 当x=-2时， y= 4a-2b+c
知识点三
b2 4ac 决定抛物线与x轴的交点个数：
b 4ac =0↔抛物线与x轴只有___ 一 个交点 ；（如图1）
2
b 4ac ＞0↔抛物线与x轴有___ 两 个交点；
达标检测
1、（2014•甘肃兰州）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， 对称轴是直线x=1，则下列四个结论 错误的是（ D ）
A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a-b+c＞0
2、（2014•山东烟台，第11题3分）
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如 图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线 x=2，下列结论：
4、 ( 2014年河南9) 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两 点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线 的对称轴为直线x=2．则线段AB的长 为 . 答案：8. 解析：根据点A到对称轴x=2的距离是 4，又点A、点B关于x=2对称， ∴AB=8.
知识点二
二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0 ）中，
方法指导：
1、二次函数图象与二次函数系数之间的关系，
（1）. a决定开口方向和大小：a＞0↔开口向上；a ＜0↔开口向下； a 相同，抛物线的形状_____； a 越大，抛物线开口越____。 （2）a、b决定对称轴的位置：规律：左同右异中为零 (3) c决定抛物线与y轴的交点： c=0↔抛物线经过原点； c＞0↔抛物线交于y轴的正半轴； c＜0↔抛物线交于y轴的负半轴。
考点：次函数图象上点的坐标特征．
2、 ( 2014年河南9) 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两 点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线 的对称轴为直线x=2．则线段AB的长 为 . 答案：8. 解析：根据点A到对称轴x=2的距离是 4，又点A、点B关于x=2对称， ∴AB=8.
二次函数 信息归类专题
3. （2014•四川巴中）已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正 确的是（ B ）