一类不定方程的解集判别70026
自主招生专题——一类不定方程问题
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自主招生专题——一类不定方程问题
作者：任念兵
来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期
如火如荼的高校自主招生考试越来越受到广大学生和家长的重视，对自主招生试题的研究也成为一线数学教师日常教学研究的重要内容数论问题虽然在高考中要求较低，但却是自主招生的热点，其中有一类不定方程问题频繁出现在各名牌大学自主招生考试中，本文试以朴素的不等式估值来统一处理这类问题.
对于这类形如∑ni=11xi=C的不定方程的正整数解问题，可以考虑将未知数xi排序，再利用简单的不等式估计每个式子的值，从而缩小xi的取值范围，最终得到符合要求的正整数解
无独有偶，2年上海交通大学也考过此题，而此题的各种变形形式则屡屡出现在各名牌大学自主招生考试题中.
例1（211年复旦大学）设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和，则这样的n
的个数是（）.
作者简介任念兵（1981—），男，安徽安庆人，中学一级教师，从事高中数学教学与研究，曾获全国高中数学青年教师教学评优一等奖，发表教学文章4余篇.。
原题: 不等式的判别式
原题: 不等式的判别式不等式的判别式不等式是数学中常见的一种表达形式，它描述了数值之间的大小关系。
在解决不等式问题时，我们常常需要确定不等式的判别式，以确定不等式的解集。
不等式的判别式取决于不等式的形式。
以下是常见的不等式形式及其判别式：1. 一元一次不等式：一元一次不等式可以写成形如 ax + b > 0的形式，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。
这种不等式的判别式为Δ =b^2 - 4ac，其中 c = 0。
如果Δ > 0，则不等式存在两个实根，解集为 (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)，其中 x1 和 x2 是不等式的两个实根。
如果Δ = 0，则不等式存在一个实根，解集为 (-∞, x) ∪ (x, +∞)，其中 x是不等式的实根。
如果Δ < 0，则不等式无实根，解集为空集。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式可以写成形如 ax^2 + bx +c > 0 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
这种不等式的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
同样地，如果Δ > 0，则不等式存在两个实根，解集为 (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)，其中 x1 和 x2 是不等式的两个实根。
如果Δ = 0，则不等式存在一个实根，解集为 (-∞, x) ∪ (x, +∞)，其中x 是不等式的实根。
如果Δ < 0，则不等式无实根，解集为空集。
3. 绝对值不等式：绝对值不等式可以写成形如 |ax + b| > c 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
这种不等式的判别式为Δ =b^2 - 4ac。
同样地，如果Δ > 0，则不等式存在两个实根，解集为 (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)，其中 x1 和 x2 是不等式的两个实根。
如果Δ = 0，则不等式存在一个实根，解集为 (-∞, x) ∪ (x, +∞)，其中 x 是不等式的实根。
必备小升初数学知识点：不定方程
必备2019小升初数学知识点：不定方程?要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
下面为大家分享小升初数学知识点不定方程，供大家参考学习！不定方程知识点一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;常规方法：观察法、试验法、枚举法;多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数。
例1.一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22人，结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车?有多少旅客?答：起初有24辆汽车，有旅客22x+1=529(名).课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
不定方程的常用解法---汪老师
不定方程的常用解法
汪老师所谓不定方程，就是未知数的个数多于方程的个数，一般我们在求解的时候主要是讨论未知数的取值可能性。
下面根据一道具体的题来介绍一下不定方程的的解法。
现商店有7分，4分铅笔，现花6角钱各买若干只，问两种铅笔各买几只？
根据题意，我们很容易得出7x+4y=60，下面我们来讨论解法
第一种解法：直接尝试法（从系数大的开始讨论）
很容易发现：如果讨论x，我们只要讨论从1～8总共8种可能取值；如果讨论y，我们要讨论从1～14总共14种可能取值，所以我们选择未知数前面系数大的开始讨论。
第二种解法：奇偶性分析法
很容易发现：60是个偶数，4y也是个偶数，这样我们就要求7x也必须是个偶数，所以x只能取偶数，这样我们只要讨论x取2、4、6、8四种取值。
第三种解法：倍数限定法
我们容易发现，方程中有三个常数60、4、7，这样我们发现60是4的倍数，4y是4的倍数，这样7x=60-4y=4（15-y）肯定也是4的倍数，所以x也只能是4的倍数，所以x只能取4、8。
解决不定方程还有一种方法：末位数字锁定法
下面我们再来看： 9x+5y=73
5y的尾数只有0、5，
如果5y尾数为0，那么9x的尾数只能是3，所以x=7，
如果5y尾数为5，那么9x的尾数只能是8，所以x=2。
不定方程没有统一的解法，但从上面的例题中我们可以发现方法得当可以大大减少计算时间，所以在解不定方程时最好不要盲目去凑数。
要根据方程的特点和题中的相关条件，缩小未知数的范围，然后再进行尝试求解。
建议学生多加练习，才能提高解题速度。
竞赛讲座 不定方程
竞不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例1 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例2 (第14届美国数学邀请赛题)证明方程无整数解证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例3 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例4 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例5 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≥3,∴≤1，∴＜1.∴a＜b.例6（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例7求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例8 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≥0，解得≤y≤.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例9 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例9（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26·31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x 是完全平方数.∵x＜1984，∵1≤t≤7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≤x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习1.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.2．求的整数解.3．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.4.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习1.不妨设x≤y≤z,则,故x≤3.又有故x≥2.若x=2,则,故y≤6.又有,故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z都不能是整数.2.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得3.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≥0及y为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).4.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.。
不定方程问题的常见类型及其常用策略
不定方程问题的常见类型及其常用策略
不定方程是数学中一类特殊的方程，由于它没有明确的解，因此在解决它的过程中需要经过一定的策略。
下面我们来看看不定方程问题的常见类型及其常用策略。
首先，不定方程可以分为两类：一类是一元不定方程，即只有一个未知数的不定方程；另一类是多元不定方程，即有多个未知数的不定方程。
对于一元不定方程，可以采用求根法、变量分解法、伴随系数法等策略来解决。
而对于多元不定方程，可以采用消元法、逐步求解法、变量分解法等策略来解决。
此外，还可以采用解析法来解决不定方程，即利用函数的性质，将不定方程转化为可解的方程，从而求出解。
最后，还可以采用数值法来解决不定方程，即利用数值迭代法，通过迭代求出不定方程的解。
不定方程问题的常见类型及其常用策略有求根法、变量分解法、消元法、逐步求解法、解析法和数值法等，可以根据实际情况选择不同的策略来解决不定方程。
第十六讲 一次不定方程
第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。
3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。
例如，方程2x+4y=5没有整数解。
（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。
例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。
定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。
二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。
(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。
（1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。
不定方程
不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
不定方程的解法
解 方程 体验思路 体验过程
5x
3
y
z 3
100
（x,y,z
均
是正 整
数。）
x y z 100
将 z 作为已知数;解出 x,y.根据 x,y 的正整数特性，将 z 换元，并求出新
元的 范 围。 根 据新 元 的范 围 ，解 出 未知 数 。
5x
3y
z 3
100
x y z 100
“ 超 级 学 习 笔 记 ”
□不定方程 的解法
y 200 7 z =200-7t≥0 3
解得，25≤t ≤ 28 4 7
t=25 时，x=0,y=25,z=75, t=26 时，x=4,y=18, z=78 t=27 时，x=8,y=11,z=81 t=28 时,x=12,y=4,z=84 共有 四 组解 ：
∵17 ｘ＋8 ｙ＝158
∴ y 158 17 x 19 2x 6 x ①
8
8
∵ ｘ、 ｙ 都是 整 数
∴ 6 x 必须是整数 8
令 6 x ＝ｔ，则ｘ＝6－8 ｔ②. 8
把②代入①，得ｙ＝7 ＋17ｔ
x y
6 7
8t 17t
∴（
ｔ
为整 数
）
显然，只有当ｔ＝0 时，ｘ、ｙ是非负整数解.
翁 、鸡母、鸡雏各几何？（注：鸡翁指公鸡，鸡母指母鸡，鸡雏指小鸡）
实践题 1
在长为 158 米的地段铺设水管，用的是长 17 米和长 8 米的两种水管，问两种长度的 水管 各 用多 少 根（ 不 截断 ），正 好 铺足 整 个地 段 ？
实践题 2
旅游团一行 50 人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其 中三人间的每人每天 20 元，二人间的每人每天 30 元，单人间的每天 50 元，如果旅游团共 住满了 20 间客房，问三种客房各住几间？
关于几类不定方程的整数解
关于几类不定方程的整数解
1 关于不定方程的概念
不定方程是数学中最常见的一类方程，它可以定义为一个关于未知量的恒等式，该恒等式中含有未知量的一次或多次幂。
不定方程有一类特殊的整数解，这就是有限定义的整数解。
2 有限定义的整数解
有限定义的整数解是指对某个不定方程而言，它可以满足一定条件，使整数解有限，也就是可以找到有限数量的整数解。
有限定义的整数解也可以被认为是不定方程的特殊解。
3 特殊的方法求解有限定义的解
特殊的方法求解这种有限定义的不定方程的解，一种是采用取模方法，也就是取余数；另一种就是采用贝祖定理求解，即将不定方程转换为定向函数求解。
4 取模方法求解不定方程
取模方法求解不定方程时，首先需要从不定方程中得知有限定义的整数解的取值范围，然后可以根据取值范围将所有的可能的有限定义的整数解列出来，然后将每个可能的整数解代入不定方程，如果满足条件则可以证明该整数解即为方程的有限定义的整数解。
5 贝祖定理求解不定方程
贝祖定理是指将不定方程转换为定向函数求解，即将不定方程改写来形成定向函数和定向变量，然后用贝祖定理将其转换为定向函数求解。
贝祖定理的用法十分容易，使用贝祖定理求解不定方程不仅可以找出有限定义的整数解，也可以获得无限多的解，只要满足参数的条件即可。
6 总结
有限定义的整数解是指某个不定方程的特殊解，这些特殊的整数解可以用取模方法或贝祖定理进行求解，其中取模方法是一种重复性操作的简单方法，而且易于理解；而贝祖定理的用法十分简单，只要满足参数的条件，就可以获得不定方程的解，但不一定是有限定义的整数解。
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一类不定方程的解集判别70026
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文对一类不定方程的正整数解作出判断。
关键词：自然数不定方程正整数解
定理1：关于x,y的不定方程
X10+1=11y426不存在正整数解.
定理2：关于x,y的不定方程
X10+1=121y426不存在正整数解.
参考文献：
[1]张祖华等.解无约束优化的一种新的xx，数学进展，已录用。
[2]张祖华.一元高次方程根的若干xx(W2017060347599), 数学进展，已录用。
[3]张祖华.第四类超越方程解的可计数性(W2017052145671), 数学进展，已录用。
[4]张祖华.第五类高次不定方程的无穷解(W2017041439231), 数学进展，已录用。