2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第一章 1.4 全称量词与存在量词 Word版含解析

[课时作业]
[A组基础巩固]
1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，“∃”改为“∀”，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.
答案：A
2．下列语句是真命题的是()
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：Δ<0，x2－3x＋6>0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.
答案：A
3．下列四个命题中的真命题为()
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．∀x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．∃x0∈Z，使1<4x0<3
解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题；B显然是真命题；
C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得1 4
<x<3
4，故不存在这样的x∈Z，故D项为假命题．
答案：B
4．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；
③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N ＋，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．4
解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题； 对于③，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故③为真命题； 对于④，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，所以④为真命题． 答案：C
5．下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1>0，则命题綈p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0
C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题
D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
解析：选项A ，否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”；选项B ，命题綈p ：“∀x ∈R ， x 2－2x －1≤0”；选项D ，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故选C.
答案：C
6．“存在一个实数x 0，使sin x 0>cos x 0”的否定为________．
答案：∀x ∈R ，sin x ≤cos x
7．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x >a ”是真命题，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知当x >3，有x >a 恒成立，则a ≤3.
答案：(－∞，3]
8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
解析：原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的
最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的
最小值为1.
答案：1
9．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．
解析：(1)∃f (x )∈{二次函数}，f (x )的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，∃l ∈{直线}，l 不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)∀x ∈{四边形}，x 不存在外接圆．它是假命题．
(4)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．
解析：法一 由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.
整理得a >－3或a >－2.
即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解，
令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2a ＋2－a ≤0，
4＋4a ＋2－a ≤0.
解得a ≤－3.
故命题p 中，a >－3.
即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
[B 组 能力提升]
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数x ，使1x >2
解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；
D 中对于任一个负数x ，都有1x <0，所以D 是假命题．
答案：B
2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝2，
则下列判断正确的是( )
A ．p 是真命题
B ．q 是假命题
C ．綈p 是假命题
D ．綈q 是假命题 解析：p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122≥0， ∴p 为假命题，綈p 为真命题．
q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0－π4， ∴x 0＝34π时成立．
故而q 为真，而綈q 为假命题．
答案：D
3．若命题∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则a 的取值范围是________． 解析：只需(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只需
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，Δ＝16－4(a －1)(a ＋2)≤0，
解得a ≥2.
答案：[2，＋∞)
4．已知命题p ：对∀x ∈R ，∃m 0∈R ，使4x ＋2x m 0＋1＝0.若命题綈p 是假命题，则实数m 0的取值范围是________．
解析：由题意m 0＝－4x ＋12x ≤－2·2x
2x ＝－2(x ∈R)．
答案：(－∞，－2]
5．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解析：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．
p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，
所以命题p ：a ≤1；
q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x ∈R 使f (x )＝0，
只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，
即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2.
所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤1
a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2， ∴实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.
6．q ：函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．
解析：綈q ：已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上不存在一个实数c ，使得f (c )>0，即∀c ∈[－1,1]，f (c )≤0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，
f (1)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2p 2－p －1≥0，2p 2＋3p －9≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤－12或p ≥1，
p ≤－3或p ≥32， 即p ≤－3或p ≥32.
故q 为真时的p 的取值范围是－3<p <32.。