2015年安徽省数学竞赛初始试题含详细解答

2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数R ∈++++=-x x x x f x ，e 31)(的最小值是 ．2. 设24211111≥+-==--n x x x x n n n ，．数列}{n x 的通项公式是=n x ．3. 设平面向量βα,满足3|||,||,|1≤+≤βαβα，则βα∙的取值范围是．4. 设)(x f 是定义域为R 的具有周期π2的奇函数，并且0)4()3(==f f ，则)(x f 在]10,0[中至少有 个零点．5. 设a 为实数，且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根，则a 的取值范围是.6. 给定定点)1,0(P ，动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切，则Q 的轨迹方程是 ． 7. 设z x yi =+为复数，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是．8. 设n 是正整数．把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9. 设正实数b a ,满足1=+b a ．求证：31122≥+++bb a a ．10. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知CFBE AD ,,都与平面ABC 垂直．设c CF b BE a AD ===，，，1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积（用c b a ,,表示）．11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。

证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。

12.已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1. 当3-≤x 时，,e 42)(x x x f -+--=0e 2)(<--='-x x f , 因此)(x f 单调减；当13-≤≤-x 时，,e 2)(x x f -+= 0e )(<-='-x x f ，此时)(x f 亦单调减；当1-≥x 时，x x x f -++=e 42)(，x x f --='e 2)(. 令0)(='x f 得.2ln -=x 因此)(x f 在2ln -=x 处取得最小值6-2ln2．2. 设x a v x a u sin cos -=+=，．方程有实根⇔双曲线1=uv 与圆1)()(22=-+-a v a u 有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线x y =之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为2/21-或2/21+.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为2/21--或2/21+-.因此，a 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---∈221,221221,221 a ．3. 由4213111++=+--n n n x x x 和421221211++=+--n n n x x x ，可得2112312123121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=++n n n n n x x x x ．故222223232-----⋅-=n n n n n x ． 4. ()217299121222-=--≥--+=∙βαβαβα．()494122≤--+=∙βαβαβα．以上等号均可取到．故βα∙的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-49,217．5. 由题设可知)()()(x f x f x f --=+-=+πππ。

令x=0得0=)(πf 。

另一方面，0.)4()4()42(=-=-=-f f f π 类似地，03)-f(2=π 因此，)(x f 在]10,0[中的零点一定包含34,3,32,44,2,4,32,,3,420-+---ππππππππ,这11个零点．6. 设PQ 的垂直平分线l 与抛物线2x y =相切于),(2t t ，切向为)2,1(t . 则l 的方程为2)(2t t x t y +-=．设),(y x Q ，由PQ 与l 垂直且PQ 中点在l 上，可得⎩⎨⎧-=+=-+②①221)1(0)1(2t tx y y t x ． 由①解得yxt 22-=，代入②得Q 的轨迹方程为 0)1)(1(2)12(22=-++-y y x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,1y ．7. 0)1()1()1(i 1i )1(Re 1i Re22≥+----=---+=--yx yy x x y x y x z z 等价于 21221221)()(≤-+-y x . 又由于0≥y，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为823+π．8. 从3n 名男选手中选取2n 人作为男双选手有23n n C 种选法，把他们配成n 对男双选手有(2)!2!n n n 种配对方式。

女选手类似。

把n 个男选手和n 个女选手配成n 对混双有n!种配对方式。

因此，配对方式总数是n n n nn n n n n n C C 2322232)!()!3(!2!=⎪⎭⎫ ⎝⎛．二、 解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）9. 证明：对任意)1,0(∈a ，由均值不等式有 .414214=⨯≥+aa aa ----------------------------------（5分）因此，a a a aa a a a a -=+-≥++-=+2441441222．------------（15分）同理，对于任意)1,0(∈b ，.212b bb -≥+因此，3221122=-+-≥+++b a bb a a ．---------------------（20分）10. 设H CE BF G BD AE == ，，则四面体BEGH 是ABCE 与BDEF 的公共部分．-----------------------------------------------------（5分） 易计算得：G 到直线AB 的距离ba abd +=1，---------------------------------（10分） G 到平面BCFE 的距离ad d 2312=， ------------------------------------------（15分） H 到直线BC 的距离c b bc d +=3，23d b S BEH -=∆．----------------（20分） 因此，))((123332c b b a bd S V BEH BEGH ++==∆．---------------------（22分）11. 不妨设ABCD 是凸四边形，其面积为S ．记DA d CD c BC b AB a ====，，，。

由Dcd d c B ab b a AC D cd B ab S cos 2cos 2，sin 21sin 2122222-+=-+=+=， 可得Dcd B ab d c b a D cd B ab S cos cos 2/)(，sin sin 22222-=--++=，--------------（8分）两遍平方和得．))()()((41)(41)()(41)cos(2)()(422222222222222d c b a c d b a b d c a a d c b d c b a cd ab d c b a D B abcd cd ab S -++-++-++-++=--+-+≤--+-+-+= 等号成立当且仅当π=+D B ，即D C B A ,,,四点共圆--------------------（16分）现根据假设d c b a ,,,为四个连续整数).1(3,2,1,≥+++n n n n n 由此)3)(2)(1(+++=n n n n S . 显然 .13322++<<+n n S n n 因此，S 不是整数。

----------------------------------------------------（22分）12. 证明：设S 是所有试题的集合，i S 是第i 位学生解出的试题的集合，i i S S T \=．题目即证存在j i ≠使得5≥j i S S ．--------------------------------（5分）不妨设i T S i i ∀==，，4 6．S 共有120310=C 个三元子集，每个i T 恰包含4个三元子集．因此，存在j i ≠使得j i T T ,包含相同的三元子集，3≥j i T T ．---（15分）从而，52≥+=-+=j i j i j i j i T T S S S S S S ．-----------------（22分）。