基于Serret-Frenet坐标系的翼伞系统轨迹跟踪控制
frenet坐标系与cartesian坐标系的转换公式简单推导
frenet坐标系与cartesian坐标系的转换公式简单推导1. 引言1.1 概述在多个领域中，如计算机图形学、机器人技术和车辆控制等，经常需要描述和处理曲线或路径。
而对于曲线的描述方法有很多种，其中Frenet坐标系与Cartesian坐标系是两种常用的描述方法。
本文将介绍Frenet坐标系与Cartesian坐标系之间的关系及转换公式的推导过程。
1.2 文章结构本文将分为五个部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将对文章进行概述并介绍文章的结构安排。
接下来，在第二部分中，我们将简要介绍Frenet坐标系和Cartesian坐标系，并概述它们之间的转换关系。
然后，在第三部分中，我们将详细推导Frenet坐标系到Cartesian坐标系的转换公式。
紧接着，在第四部分中，我们将推导Cartesian坐标系到Frenet坐标系的转换公式。
最后，在结论部分，我们将总结本文所得出的结果以及对于Frenet坐标系与Cartesian坐标系转换的一些应用和展望。
1.3 目的本文旨在通过推导Frenet坐标系与Cartesian坐标系之间的转换公式，帮助读者更好地理解它们之间的关系和应用。
同时，本文也将为那些需要在实际问题中使用Frenet坐标系和Cartesian坐标系进行描述与处理的研究者提供一个参考和指导。
2. Frenet坐标系与Cartesian坐标系的关系2.1 Frenet坐标系简介Frenet坐标系是一种常用于描述曲线路径的数学工具，它基于曲线上某一点处的曲率和切向量进行定义。
在Frenet坐标系中，曲线上的点可以由两个参数表示：弧长参数（s）和偏航角（θ）。
弧长参数是从曲线起点到所考虑点的路径长度，而偏航角则指示切向量相对于固定方向（通常为x轴正方向）的旋转角度。
2.2 Cartesian坐标系简介Cartesian坐标系是我们最熟悉的平面直角坐标系，其中每个点都可以由其在水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）上的位置表示。
基于Nussbaum增益方法的UUV路径跟踪控制
基于Nussbaum增益方法的UUV路径跟踪控制齐雪;才治军【摘要】研究有界控制输入下欠驱动水下机器人（ UUV）路径跟踪问题。
UUV 的水下运动通常靠推进器来实现，推进器所产生的推力大小受推进器形状、电力、水流情况以及UUV外形所决定，并且推力大小有一定的变化范围，这就要求对UUV进行控制器设计时要考虑控制的有界性这一限制。
本实验以UUV路径跟踪为控制目标，引入一个辅助系统和Nussbaum增益函数来解决控制输入有界约束问题，其中辅助系统用来实现有界输入控制设计问题，Nussbaum增益用来估计控制器未知参数。
通过Lyapunov稳定理论和仿真分析表明，所设计的控制器在保证闭环系统稳定的同时能使系统的控制输入增益始终保持在实际约束的范围内。
%Path following control problem of underactuated underwater vehicle( UUV)with bounded control input is studied in this paper. The underwater movement of UUV is usually achieved by the propeller. The thrust gen-erated by the propeller is determined by the shape,power,water flow and UUV shape,and there is a certain ex-tent of the thrust force,which is required to be considered in the UUV controller designing process. In this pa-per,based on the UUV path following control target,an auxiliary system and Nussbaum gain functions are pro-posed to overcome the problem of input constraint. Based on Lyapunov stability theorem and simulation analysis, the designed controller can keep the closed-loop system stable and make the system control input gain always stay within the scope of the actual constraints as well.【期刊名称】《安徽科技学院学报》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】8页(P51-58)【关键词】欠驱动水下机器人;路径跟踪;有界控制;Nussbaum增益【作者】齐雪;才治军【作者单位】安徽科技学院信息与网络工程学院，安徽凤阳 233100;安徽科技学院财经学院，安徽凤阳 233100【正文语种】中文【中图分类】TP242.6欠驱动水下机器人(UUV)动力学系统中各自由度相互耦合，水动力系数受UUV自身运动和外界环境的影响而发生变化，所以UUV动态系统是一个复杂的非线性控制系统，对于此系统控制问题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
欠驱动自主水下航行器空间曲线路径跟踪控制研究
欠驱动自主水下航行器空间曲线路径跟踪控制研究苗建明;王少萍;范磊;李元【摘要】针对具有模型不确定性和输入饱和的欠驱动自主水下航行器(AUV),提出一种基于改进反步法的简单实用三维空间曲线路径跟踪鲁棒控制器.在Serret-Frenet坐标系下建立了空间曲线路径跟踪误差模型,结合视线角制导和虚拟向导法,设计了基于李雅普诺夫理论和改进反步法的运动学和动力学控制器.不同于传统的积分器反步法,该方法在控制器设计中采用跟踪误差的积分来增加控制器的鲁棒性,不会增加系统的状态变量和计算量;针对设计的运动学控制器存在非因果现象的问题,借助动力学模型求解出运动学控制器表达式;针对传统反步法存在的“微分爆炸”现象及动力学控制器过于复杂的问题,采用非线性跟踪微分器对控制器进行简化.仿真结果表明:采用所设计的基于改进反步法的控制器能够实现欠驱动AUV在模型参数不确定性和输入饱和作用下的三维空间曲线路径跟踪控制,控制精度和鲁棒性明显优于常规反步法.%Based on the modified back-stepping technique,a simple and robust spatial curvilinear path following controller for the underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) with model uncertainties and input saturation is presented.A path following error dynamics model is constructed in a moving Serret-Frenet frame,and the kinematic controller and dynamic controller are developed based on line-ofsight (LOS) guidance algorithm and virtual moving targetmethod.Differing from the traditional integrator backstepping technique,the proposed method is to introduce the integral tracking errors into the controller design to improve the robustness against the uncertainties.The dynamic model is used to solve the non-causal formcaused by the coupled underactuated degrees.The nonlinear tracking differentiators (NTDs) are employed to construct the numerical solution of differential virtual control commands to tackle the problem of "explosion of terms" in the traditional back-stepping process,and the dynamic controller expressions are simplified.Simulations demonstrate that the designed controller realizes the spatial curvilinear path following control of underactuated AUV with model parameter uncertainties and input saturation,and its accuracy and robustness are more excellent than those of the traditional back-stepping control.【期刊名称】《兵工学报》【年(卷),期】2017(038)009【总页数】11页(P1786-1796)【关键词】控制科学与技术;欠驱动AUV;空间曲线路径跟踪;反步;李雅普诺夫理论【作者】苗建明;王少萍;范磊;李元【作者单位】北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083;中国船舶重工集团公司第710研究所,湖北宜昌443003;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083;61267部队第41分队,北京101114;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TP242.3Abstract: Based on the modified back-stepping technique, a simple and robust spatial curvilinear path following controller for the underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) with model uncertainties and input saturation is presented. A path following error dynamics model is constructed in a moving Serret-Frenet frame, and the kinematic controller and dynamic controller are developed based on line-of-sight (LOS) guidance algorithm and virtual moving target method. Differing from the traditional integrator backstepping technique, the proposed method is to introduce the integral tracking errors into the controller design to improve the robustness against the uncertainties. The dynamic model is used to solve the non-causal form caused by the coupled underactuated degrees. The nonlinear tracking differentiators (NTDs) are employed to construct the numerical solution of differential virtual control commands to tackle the problem of “explosion of terms” in the traditional back-stepping process, and the dynamic controller expressions are simplified. Simulations demonstrate that the designed controller realizes the spatial curvilinear path following control of underactuated AUV with model parameter uncertainties and input saturation, and its accuracy and robustness are more excellent than those of the traditional back-stepping control.Key words: control science and technology; underactuated AUV; spatial curvilinear path following; back-stepping; Lyapunov’s theory随着自主式水下航行器(AUV)在海洋研究和开发领域的应用越来越广泛，路径跟踪控制已经成为AUV运动控制的重要技术之一[1-3]。
一种基于Frenet坐标系的优化轨迹动作规划方法
一种基于Frenet坐标系的优化轨迹动作规划方法动作规划动作在无人车规划模块的最底层，它负责根据当前配置和目标配置生成一序列的动作。
本文介绍一种基于Frenet坐标系的优化轨迹动作规划方法，该方法在高速情况下的高级车道保持和无人驾驶都具有很强的实用性，是目前普遍采用的一种动作规划算法。
基于Frenet 坐标系的动作规划方法由于是由BMW 的Moritz Werling 提出的，为了简便，我们在后文中也会使用Werling 方法简称。
在讨论基于Frenet 坐标系的动作规划方法之前，我们首先得定义什么是最优的动作序列：对于横向控制而言，假定由于车辆因为之前躲避障碍物或者变道或者其他制动原因而偏离了期望的车道线，那么此时最优的动作序列（或者说轨迹）是在车辆制动能力的限制下，相对最安全，舒适，简单和高效的轨迹。
同样的，纵向的最优轨迹也可以这么定义：如果车辆此时过快，或者太接近前方车辆，那么就必须做减速，具体什么是“舒适而又简单的”减速呢？我们可以使用 Jerk 这个物理量来描述，Jerk 即加速度的变化率，也即加速度，通常来说，过高的加速度会引起乘坐者的不适，所以，从乘坐舒适性而言，应当优化Jerk 这个量，同时，引入轨迹的制动周期 T, 即一个制动的操作时间：▌为什么使用Frenet 坐标系在Frenet 坐标系中，我们使用道路的中心线作为参考线，使用参考线的切线向量 t 和法线向量 n 建立一个坐标系，如下图的右图所示，这个坐标系即为Frenet 坐标系，它以车辆自身为原点，坐标轴相互垂直，分为 s 方向（即沿着参考线的方向，通常被称为纵向，Longitudinal）和 d 方向（即参考线当前的法向，被称为横向，Lateral），相比于笛卡尔坐标系（下图的作图），Frenet 坐标系明显地简化了问题，因为在公路行驶中，我们总是能够简单的找到道路的参考线（即道路的中心线），那么基于参考线的位置的表示就可以简单的使用纵向距离（即沿着道路方向的距离）和横向距离（即偏离参考线的距离）来描述，同样的，两个方向的速度（和）的计算也相对简单。
01-水面船舶的航迹跟踪问题建模
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式中：纵荡力 u1 和艏摇力矩 u2 是可用的控制输入；mii (i 1,2,3) 是惯性参数矩阵中 的相应参数，由于船舶惯性和附加质量的影响，参数 mii 0 ，具体内容详见文献 [1]；dii (i 1,2,3) 阻尼参数矩阵中的相应参数，由于水动力阻尼的影响，参数 dii 0 ， 具体内容详见文献[1]。
在航迹跟踪研究中使用最广泛的船舶降阶模型有如下形式：
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u
m22 m11
vr
d11 m11
u
1 m11
u1
v m11 ur d22 v
m22
m22
r
m11 m22 m33
uv
d33 m33
r
1 m33
u2 ,
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（5） （6） （7）
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（8） （9）
式中：a11, a12 , a21, a22 和 b2 是常数。这个二自由度的线性模型(8)~(9)是从非线性的三
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在图 1 中，T 和 N 分别是表示过{SF}的原点曲线 C 的切线和垂线方向。航
迹跟踪问题的控制目标是消除 e 并使 为零。当环境干扰（如风力、海浪和海流）
存在时，横向轨迹跟踪误差 e 和航向误差 往往不能同时消除。在这种情况下，
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基于光电传感器的智能汽车系统的跟踪控制算法
2009年第四届国际会议计算机科学与教育的报告基于光电传感器的智能汽车系统的跟踪控制算法作者：郝先伟厦门大学自动化系厦门，中国孙鸿飞厦门大学自动化系厦门，中国摘要—本文对目标识别和轨迹技术进行了分析。
在光电传感器的基础上，人们提出了跟踪控制算法。
该算法利用了地点的误差和路线的信号作为输入的参数，来规范舵机输出角。
这种智能车系统包括直线的轨迹控制算法，弯曲的轨迹控制算法和S型根据不同特征的轨迹式的轨迹控制算法。
实验表明，利用该算法，智能车可以沿着直线轨迹顺利地移动，弯曲的轨迹和S 型轨迹的准确性令人感到满意。
索引术语—光电传感器，黑色轨迹，智能车1.导言一个智能车系统是由电源模块，传感器模块，直流（DC）驱动电机模块，路径识别模块，通讯和调试模块和单片机模块组成[4].。
为了使智能车以合理的速度沿着轨道移动，路径的信息检测，直流伺服电机控制和驱动电机控制必须连接在一个单片机上。
如果传感器的数据是不正确地采集和识别，并且转向伺服电机控制有一个错误的操作，智能车将严重地摇动或者甚至偏离跑道。
如果直流驱动电机控制是无效的，它也可能导致智能车在直线运行时速度较慢或者在弯道处速度较快。
从图1，我们可以看到的智能车的运行系统图1. 智能车的总控制程序对于一个智能车来说，跟踪控制就是意味着设计一个算法来识别黑色条状的标示线以至于智能车可以沿着规定的轨迹顺利移动。
对于智能车的跟踪控制算法已经得到了很多的关注。
有些方法已经在一些参考文献中得到采用，例如，电荷耦合器件（CCD）图像处理，模糊控制和视觉模糊控制方法[1，2，3]。
CCD图像处理方法的优点是像素密集和高精度。
它的缺点是信号的采集和数据处理周期长。
CCD图像处理方法容易受到周围环境的光线干扰。
视觉模糊控制方法的优点是控制规则的自由，对象明确的模型有完全的独立性，适应性强和较强的鲁棒性[3]。
其缺点是精度低，适应能力不足和高频振荡。
在本文中，我们采用光电传感器来检测智能车参考轨迹信息的跟踪。
基于反步法的无人翼伞航迹跟踪控制
基于反步法的无人翼伞航迹跟踪控制张昊;陈自力;蔚建斌;程欣【摘要】In order to implement the planar trajectory tracking control for Unmanned Parafoil Vehicle (UPV),a backtepping tracking method is proposed. A variable-gain backstepping tracking controller is designed against trajectory tracking error model based on simulation object, which improved system tracking accuracy while ensuring stability. In addition,the controller is applied to UPV planar trajectory tracking control. The simulation experiment illustrates the good robustness of the proposed controller,and accurate tracking ability in trajectory tracking.%为实现无人翼伞飞行器的直线航迹跟踪控制,提出了一种基于模拟对象的可变增益反步跟踪控制方法.基于模拟对象方法得到翼伞飞行器的航迹跟踪误差模型,并针对该模型设计了可变增益反步跟踪控制律,在保证稳定性的同时提高了系统的跟踪精度.将控制器应用于无人翼伞飞行器平面航迹跟踪控制中,仿真实验表明,所设计的控制器可以实现航迹的精确跟踪,且具有很好的鲁棒性.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2017(042)009【总页数】5页(P88-92)【关键词】无人翼伞飞行器;航迹跟踪;模拟对象;反步法【作者】张昊;陈自力;蔚建斌;程欣【作者单位】解放军69250部队,乌鲁木齐 830000;军械工程学院,石家庄 050003;军械工程学院,石家庄 050003;北方自动控制技术研究所,太原 030006【正文语种】中文【中图分类】TP273;TJ760.6Abstract：In order to implement the planar trajectory tracking control for Unmanned Parafoil Vehicle （UPV），a backtepping tracking method is proposed.A variable-gain backstepping tracking controller is designed against trajectory tracking error model based on simulation object，which improved system tracking accuracy while ensuring stability.In addition，the controller is applied to UPV planar trajectory tracking control.The simulation experiment illustrates the good robustness of the proposed controller，and accurate tracking ability in trajectory tracking.Key words：unmanned parafoil vehicle，trajectory tracking，simulative object，backstepping无人翼伞飞行器（Unmanned Parafoil Vehicle，UPV），是一种柔性翼悬挂滑翔飞行系统。
UUV的全局路径跟踪控制
x¢p
(
s)
=
dxp ds
,
y¢p
(
s)
=
dy p ds
,
x¢p¢
(
s)
=
d2 xp ds 2
,
y¢p¢
(
s)
=
d2 yp ds 2
于是, 参考点P ( xp , yp ,0) 沿曲线运动的速度可以
表示为
U p = x¢p2 (s) + y¢p2 ( s)s&
(3)
特 别 的 , 当 s 为 弧 长 参 数 时 , x¢p2 (s) + y¢p2 ( s) = 1 ,
Abstract：The horizontal nonlinear path following control problem is studied. The Serret-Frenet coordinate originating at the free reference point on the path is used to describe the path following errors and their dynamic model, solving the singularity problem in the classic method. The yaw angle is treated as the control input of path following errors, and the stabilization function is designed. The path following errors is proved to be globally asymptotically stable with properly choosing the rate of the path curve parameter. The simulation studies with the linear and circular reference pathes demonstrate the effectiveness of the proposed path following controller. Key Words：Unmanned Underwater Vehicle, Global Path Following, Serret-Frenet Coordinates, Underactuated
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基于Serret-Frenet坐标系的翼伞系统轨迹跟踪控制
熊菁;程文科;秦子增
【期刊名称】《动力学与控制学报》
【年(卷),期】2005(003)002
【摘要】基于翼伞系统归航轨迹的特点,采用Serret-Frenet坐标系表示距离"平衡"轨迹的偏差,得到线性时不变的误差运动方程.由此误差方程可以得到控制量与轨迹偏差之间的传递函数,直接进行轨迹控制器的设计.对于控制器输入所需的轨迹偏差和偏差率可以采用解析的方法近似求解,极大地简化了计算.整个设计流程简单明了,采用PD控制器进行轨迹跟踪的算例表明此套方法的有效性.
【总页数】5页(P87-91)
【作者】熊菁;程文科;秦子增
【作者单位】国防科大航天与材料工程学院,长沙,410073;国防科大航天与材料工程学院,长沙,410073;国防科大航天与材料工程学院,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】O313
【相关文献】
1.自抗扰技术在动力翼伞轨迹跟踪控制中的应用 [J], 檀盼龙;孙青林;陈增强
2.基于LADRC的翼伞系统轨迹跟踪控制 [J], 陶金;孙青林;陈增强;贺应平
3.基于Serret-Frenet坐标系的多AUV编队路径跟踪控制 [J], 赵宁宁;徐德民;高剑;张秦南
4.基于模糊控制与预测控制切换的翼伞系统航迹跟踪控制 [J], 李永新;陈增强;孙青
林
5.复杂扰动下的动力翼伞轨迹跟踪控制 [J], 孙青林;陈赛;孙昊;陈增强;孙明玮;檀盼龙
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