六年级~9容斥原理
六年级数学专题详解 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
容斥原理问题公式
容斥原理问题公式嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理问题公式。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多复杂问题的谜团呢！你想想看，生活中好多情况不就像一团乱麻嘛。
比如你去参加一个聚会，有的人喜欢吃蛋糕，有的人喜欢喝饮料，还有的人既喜欢吃蛋糕又喜欢喝饮料。
那怎么才能清楚知道到底有多少人有不同的喜好呢？这时候容斥原理问题公式就派上用场啦！它就好像是一个超级整理大师，能把那些重叠的、交叉的部分都给理清楚。
就好比整理一个杂乱的房间，把相同的东西放在一起，不同的东西区分开来。
咱说个具体的例子哈。
假设有一群小朋友，有的喜欢画画，有的喜欢唱歌，还有的既喜欢画画又喜欢唱歌。
如果我们只简单地把喜欢画画的人数和喜欢唱歌的人数加起来，那不就重复计算了那些既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友嘛。
这时候，容斥原理问题公式就能帮我们准确地算出真正的人数啦！它是不是很厉害？就像一个聪明的小助手，默默地帮我们把事情都处理得妥妥当当。
再比如，在一个班级里，有同学擅长数学，有同学擅长语文，还有同学两门都擅长。
我们要是想知道到底有多少同学在这两门学科上有特长，不用容斥原理问题公式可不行哦！不然可就糊涂啦。
这容斥原理问题公式啊，真的是无处不在呢。
它就像是我们生活中的小秘密武器，能让我们在面对各种复杂情况时都能游刃有余。
你说，要是没有它，我们得多头疼啊！好多问题都会变得像一团解不开的毛线球。
但有了它，就像找到了线头，能一点点把问题都解开。
容斥原理问题公式不就是这么神奇嘛！它让我们能更清楚地看到事物的本质，把那些看似混乱的局面变得清晰明了。
它真的是我们解决问题的好帮手啊！所以啊，大家可一定要好好掌握这个神奇的公式哦！。
六年级容斥原理求阴影部分面积
六年级容斥原理求阴影部分面积容斥原理是数学中一种常用的计数方法，可以用于解决一些重叠问题。
在六年级数学课程中，容斥原理也被引入，用来求解一些具体问题。
本文将着重介绍如何利用容斥原理来求解阴影部分的面积问题。
问题描述我们考虑一个简化的问题：一个正方形A和一个圆形B被放置在坐标系中，如图所示。
我们需要求解阴影部分的面积。
________| 正方形A ||________|___| || B ||___|已知正方形A的边长为2，圆形B的半径为1。
我们需要计算出阴影部分的面积。
解决思路利用容斥原理容斥原理可以帮助我们解决一些重叠问题。
在这个问题中，我们可以利用容斥原理来求解阴影部分的面积。
容斥原理的基本思想是，我们可以通过求解各个部分的面积，再进行一些相应的加减运算，来得到最后的结果。
分解问题首先，我们可以将问题分解为两个简单的部分：正方形A的面积和圆形B的面积。
然后，我们再分别求解这两部分的面积。
求解正方形A的面积正方形A的边长为2，那么它的面积就是2乘以2，即4平方单位。
求解圆形B的面积圆形的面积公式为：面积= π * 半径的平方。
圆形B的半径为1，那么它的面积就是π * 1的平方，即π平方单位。
求解阴影部分的面积接下来，我们需要求解阴影部分的面积。
根据容斥原理，我们可以通过以下公式求解：阴影部分的面积 = 正方形A的面积 - 圆形B的面积将之前计算得到的数值代入公式，我们可以得到：阴影部分的面积 = 4 - π平方单位这就是阴影部分的面积的具体数值。
结论根据我们之前的计算，阴影部分的面积为4 - π平方单位。
以上就是利用容斥原理来求解阴影部分面积的具体步骤。
通过将问题分解为一些简单的部分、计算各个部分的面积，并利用容斥原理进行加减运算，我们可以得到最后的结果。
在这个例子中，我们通过容斥原理求解了一个简单的阴影面积问题，但容斥原理在更复杂的问题中也同样有着广泛的应用。
希望本文对你理解容斥原理的求解过程有所帮助！。
容斥原理公式及运用
容斥原理公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1 ：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B 两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→ A，语文得满分人数→ B，数学、语文都是满分人数→ A∩B，至少有一门得满分人数→ A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23 人至少有一门得满分。
二、容斥原理 2 ：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了 1 次，三个集合公共部分被重复计算了 2 次。
如下图所示，灰色部分A∩ B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C 都被重复计算了 1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了 2 次，因此总数A∪B∪C=A+B+C- (A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】某班有学生45 人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25 人，参加排球队的有22 人，参加游泳队的有24 人，足球、排球都参加的有12 人，足球、游泳都参加的有9 人，排球、游泳都参加的有8 人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→ A，参加排球队→ B，参加游泳队→ C，足球、排球都参加的→ A∩B，足球、游泳都参加的→ C∩A，排球、游泳都参加的→ B∩C，三项都参加的→ A∩B ∩C。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
小升初容斥原理
小升初容斥原理
容斥原理是指通过排除重叠的部分，计算出两个或多个集合的并集的方法。
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决集合与运算的问题。
例如，假设A和B是两个集合，我们要求A和B的并集中元
素的个数。
容斥原理告诉我们，可以通过计算A的元素个数
加上B的元素个数，然后减去A和B的交集中元素的个数来
得到并集中元素的个数。
用数学公式表示就是：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
在小升初数学中，容斥原理常常用于解决排列组合类问题。
通过应用容斥原理，可以将一个复杂的问题转化为更简单的子问题，从而简化解题过程。
需要注意的是，在应用容斥原理时，需要注意重叠部分的计算。
有时候，重叠部分需要进行递推计算，或者使用其他方法来求解。
总之，容斥原理是小升初数学中常用的一个解题方法，通过排除重叠部分，可以简化解题过程，提高解题效率。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
1、例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
2、例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
3、例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
4、例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
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(一) 容斥原理
包含与排除问题也叫重叠问题，它实际上是一种集合方面的问题。
解答这类问题的主要根据是容斥原理
1.容斥原理一：
设A 、B 是两类有重叠部分的量（如图）. 如果A 对应的量为a , B 对应的量为b , A 与B 重叠部分对应的量为ab,那么这两类量 的总量可以用下面的公式计算：总量=a +b —ab.
2.容斥原理二：
设A,B,C 是三类有重叠的部分的量，
如果A 对应的量为a ，B 对应的量为b ,C 对应的量为c , A 与B 重叠部分对应的量为ab. B 与C 重叠部分对应的置为bc,C 与A 重叠部分对应的量为ca,A 、B 、C 三部分重叠部分对应的量为abc,那么，这三类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc
例1:在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的 数共有多少个？
例2：六年级一班有45名同学，每人都参加体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，游泳、篮球都报者有12人。
问三项都报者有多少人？
例3：某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加；语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组 的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
例4某班同学参加升学考试.得满分人数如下:数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多是多少人？最少是多少人？
例5：向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的5
3，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外 对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的3
1多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例6 李老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对， 第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人？
(2)两题都不対的有几人？
【练习】
1.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽 毛球的有7人。
不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
问，仅会打羽毛球 的有多少人？
2.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2个频道，有34个人看过8个频道，11人两个频道都看过。
问：两个频道都没有看过的有多少人？
3. —次数学小测验只有两道题.结果全班有10人全对，第一题有25 人作对.第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？
4.育才学校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都參加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的有多少人？
5.在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？z
6.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没有划船也没有爬山，他们游览了长廊。
问：既爬山又划船的同学有多少人？
应用经验归纳法
有些数学竞赛题直接解答有困难，我们可以从该竞赛的几个简单而特殊的情况入手去分析、归纳出一般规律、
并在这一规律的指导下解决问题。
这种解题方法叫经验归纳法。
例1：在操场上划50条直线，他们最多会有多少个交点？
例2：求两个多位数99……9×99……9乘积的各位数字之和。
1994个9 1994个9
练习
1.111…1×999…..9上面这个算式的乘积里有多少个奇数？
20个1 20个9
2.甲、乙、丙三个杯子中各装了一些水，乙杯中的水量等于甲、丙杯中的水量的平均数。
如果给丙杯中增加15毫升的水，那么，甲杯中的水量等于乙、丙两杯中的平均数。
问：甲、乙两杯中的水量哪一个多呢？多多少毫升呢？。