北师大版八年级下册数学《第一章复习》教案
第一章三角形的证明
①等腰三角形的两底角相等。
（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。
（2）判定：
①有两边相等的三角形是等腰三角形.
②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
考点2等边三角形的性质
1．边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为
________．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且C G ＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．
【归纳总结】
（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）性质：
①三个内角都等于60度，三条边都相等
②具有等腰三角形的一切性质。
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
考点3 直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD 的长是()
A．20 B．10 C．5 D.
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝_____．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()
A．3.5 B．4.2
C．5.8 D．7
【归纳总结】
（1）性质:直角三角形的两锐角互余。
(2)定理：直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半.
（3）判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形
考点4 勾股定理及其逆定理
2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()
A．3，4，5 B．6，8，10
C.，2，D．5，12，13
【归纳总结】
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
考点5 角平分线的性质和判定
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD ＝4，则点D到AB的距离是________．
2．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的()
A．垂直平分线B．角平分线
C．高D．中线
【归纳总结】
（1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等。
（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点6 垂直平分线的性质和判定
2、如图，在△ABC中∠B=30°
，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A.10 B.8 C.5 D2.5
2、如图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=_________．
【归纳总结】
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
（2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
考点7命题及逆命题
1、下列命题的逆命题是真命题的是（）
A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0
B．直角都相等
C．两直线平行,同位角相等
D．若a=6,则|a|=|b|
【归纳总结】
命题和逆命题：
命题：由条件和结论组成
逆命题：由结论和条件组成
考点7反证法
1、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．
【归纳总结】
反证法：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果
考点8三角形的全等
1.如图,△ABC,△CDE是等边三角形(1)求证:AE=BD
(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,求证:CM=CN
(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系.并加以证明
2、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F（1）求证：BF=AC；（2）求证：
【归纳总结】
全等三角形
（1）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
（2）判定：“SAS”、SSS 、AAS 、ASA 、HL(直角三角形) 。
作业设计
第3、4、5、6、7、8题；
A
B C
D
E。
北师大版八年级下册第一章三角形的证明章末复习教案
在本次《三角形的证明》章节的教学中，我发现学生们对于三角形全等判定方法的掌握程度参差不齐。有的同学能够熟练运用SSS、SAS等判定方法，而有的同学则在应用时感到困惑。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，针对性地进行指导。
在教学过程中，我尝试通过引入生活实例和实际操作，让学生感受三角形证明在生活中的应用。这种做法在一定程度上激发了学生的学习兴趣，但我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题中时，仍然存在一定难度。因此，我考虑在后续的教学中，增加一些更具挑战性的问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
（4）直角三角形的判定：熟练运用勾股定理及其逆定理，了解直角三角形的性质。
举例：运用勾股定理解决直角三角形中未知边长的问题，掌握逆定理在直角三角形判定中的应用。
（5）三角形的应用：结合实际情境，运用所学知识解决三角形相关问题。
举例：在实际问题中，能够将三角形知识与生活实际相结合，建立数学模型，解决问题。
2.培养学生的空间观念，通过探讨三角形的几何性质，使学生能够形成对空间图形的认识，发展空间想象力。
3.培养学生的数据分析与解决问题的能力，让学生在实际情境中运用三角形知识，学会分析问题、解决问题的方法。
4.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、互助学习等形式，使学生学会倾听、表达、沟通与合作，共同提高。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等判定方法和等腰三角形性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和对比来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示勾股定理在直角三角形中的应用。
2017-2018学年北师大版八年级数学下册教案：第一章小结与复习
此外，实践活动中的实验操作环节，虽然同学们积极参与，但在操作过程中，我发现部分同学对几何体积计算公式的运用还不够熟练。针对这一问题，我打算在课后布置一些相关的习题，帮助同学们巩固这一知识点。
2017-2018学年北师大版八年级数学下册教案：第一章小结与复习
一、教学内容
2017-2018学年北师大版八年级数学下册教案：第一章小结与复习
本章复习内容包括：
1.平面向量的概念及其运算；
-向量的定义、表示方法；
-向量的和、差、数乘、共线、垂直；
-向量的坐标表示。
2.平行四边形的性质与判定；
-平行四边形的定义、性质；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾平面向量、平行四边形和梯形的基本概念。向量是描述方向和大小的数学工具，它在解决几何问题时起着关键作用。平行四边形和梯形则是我们研究平面几何图形的重要内容，它们的性质和判定方法在几何证明和计算中有着广泛应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际问题的解决过程，展示向量、平行四边形和梯形在解决面积和体积计算问题中的应用。
2.教学难点
（1）向量的坐标表示：理解向量的坐标表示方法，以及如何利用坐标进行向量的运算。例如，向量加法、减法的坐标运算规则。
（2）平行四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分、互相垂直的性质，以及这些性质在几何证明中的应用。
（3）梯形面积的求解：掌握梯形面积的公式，以及如何将梯形转化为平行四边形或矩形求解。
八年级下册数学北师大版第一单元复习 教学设计 教案
第1单元三角形的证明复习教案【知识与技能】回顾与思考，建立本章的知识框架图.【过程与方法】进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义.【情感态度】经历探索、猜想、证明使学生掌握解决问题的方法.【教学重点】建立本章的知识框架图.【教学难点】本章知识的综合性应用.一.知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二.释疑解惑，加深理解1.你能说说作为证明基础的几条公理吗？①两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;②两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）⑤三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）⑥全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；②反证法．3.与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．4.与直角三角形有关的结论：①勾股定理的逆定理；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)5.命题的逆命题及其真假①互逆命题；②互逆定理.6.本章所证明的命题①等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；②线段垂直平分线的性质定理及判定定理；③角平分线的性质定理及判定定理；④三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等；⑤三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.7.尺规作图.①线段的垂直平分线;②角的平分线．【教学说明】在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明、证明的思路和方法、尺规作图等.三.典例精析，复习新知1.使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等解：A.一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；B.两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；C.一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；D.两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．故选D.2.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）A. 顶角、一腰对应相等B. 底边、一腰对应相等C. 两腰对应相等D. 一底角、底边对应相等答案：C.3.下列说法错误的是（）A. 任何命题都有逆命题B. 定理都有逆定理C. 命题的逆命题不一定是正确的D. 定理的逆定理一定是正确的答案：B4.已知，如图，O是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E.若BC=10cm，求△ODE的周长.答案：△DOE的周长为10cm.（提示：证OD=BD，OE=EC）5.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2. 求AB与BC的长.分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系．答案：AB=5，BC=3.【教学说明】通过例题讲解，进一步掌握本章知识，结合相关习题进一步发展学生的推理证明意识和能力.四.复习训练，巩固提高1.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°答案：B.2.等腰三角形底角15°，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是、 .答案：150°，75°.3.如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段 BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC则△ABC为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（）.A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）答案：C4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.解：（1）先证DE=EB，再求DB=42cm,∴AC=(4+42)cm.（2）证明△ACD≌△AED，即得AC=AE，∴AB=AC+CD.5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.求证：AD垂直平分EF.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.∴DE=DF.∴D在EF的垂直平分线上，在Rt△ADE与Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD.∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴AE=AF.∴A在EF的垂直平分线上.∴AD垂直平分EF.【教学说明】利用习题巩固本章知识点，体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.五.师生互动，课堂小结通过对本章知识点的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？请与同伴、老师交流.布置作业:教材“复习题”中第4、6、7、10题.通过本节课的复习，归纳三角形的证明的相关性质、判定，使学生体验事物之间的联系与区别，从而加强对新知识的应用与理解.通过复习，大部分学生对本章知识掌握的较好，会对三角形进行相关的证明，应注意的问题是证明过程不够严密，逻辑性不强.。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课教学设计
-三角形证明方法的掌握，尤其是几何证明和代数证明的综合运用。
-能够运用三角形的相关定理解决实际问题，如计算面积、求解角度等。
2.教学难点：
-理解并灵活运用三角形证明中的逻辑推理过程。
-将实际问题转化为数学模型，运用三角形知识进行解决。
-对不同类型题目中三角形性质的识别和应用。
-布置一次家庭作业，让学生在家中寻找含有三角形的物体，并运用所学知识进行分析和解释，培养学生的观察能力和实践能力。
5.反思与总结：
-要求学生针对本次作业的完成情况，进行自我反思，总结在三角形证明方面的优点和不足，为后续学习制定合理的计划。
-教师对学生的作业进行批改和评价，给予针对性的指导和建议，帮助学生提高。
-逐步引导学生掌握三角形的判定方法，并运用到具体题目中。
-介绍三角形证明方法，结合具体例题，讲解证明步骤和技巧。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成小组，每组选择一个三角形证明的例题进行讨论。
-学生在讨论过程中，互相分享解题思路，共同探讨证明方法。
2.教学目标：
-培养学生的合作意识和团队精神，提高交流表达能力。
-让学生通过讨论，加深对三角形证明方法的理解，提高解题能力。
（四）课堂练习
1.教学内容：
-设计不同难度和类型的三角形证明题目，让学生在课堂上进行练习。
-针对学生的解答，给予及时的反馈和指导，帮助学生纠正错误，巩固知识点。
2.教学过程：
-学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程。
-对典型错误进行剖析，引导学生找出错误原因，提高解题技巧。
-完成课后拓展阅读，了解三角形在数学竞赛中的应用，拓宽知识视野。
北师大版八年级下册数学《第一章复习》教学设计
北师大版八年级下册数学《第一章复习》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《第一章复习》主要是对八年级上册的知识进行复习，包括实数、不等式、函数、几何等知识点。
本章的目的是使学生对已学的知识有一个全面、深入的理解，并为后续的学习打下坚实的基础。
教材通过大量的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、不等式、函数、几何等知识点，对数学有了一定的认识和理解。
但是，由于学习时间的推移，部分学生可能对一些知识点的理解和掌握有所遗忘。
因此，在复习过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生对实数、不等式、函数、几何等知识点有一个全面、深入的理解，提高解题能力。
2.过程与方法：通过复习，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.实数的性质和运算2.不等式的解法和应用3.函数的性质和图像4.几何图形的性质和计算五. 教学方法采用讲练结合的教学方法，通过讲解、示范、练习、讨论等方式，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.教材和教学参考书2.PPT和教学课件3.练习题和测试题4.板书和教学工具七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，了解学生对已学知识的掌握情况。
然后，教师简要介绍本章的复习内容，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师利用PPT和教学课件，呈现本章的主要知识点，包括实数的性质和运算、不等式的解法和应用、函数的性质和图像、几何图形的性质和计算。
在呈现过程中，教师引导学生积极参与，提出问题和观点。
3.操练（20分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
然后，教师选取部分学生的作业进行讲解和示范，引导学生掌握解题方法和技巧。
对于学生的错误，教师要及时指出并给予纠正。
4.巩固（10分钟）教师给出一些测试题，让学生在规定时间内完成。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课(教案)
（4）综合应用能力的培养：学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用三角形的知识进行分析和解决。
突破方法：设计一些与实际生活相关的题目，让学生学会将实际问题转化为三角形问题，培养学生的数据分析观念和创新能力。
四、教学流程
举例：分析不同题目中给出的条件，判断哪些条件可以应用哪种全等三角形的判定方法。
（3）等腰三角形的性质与判定：重点掌握等腰三角形的底角相等、底边中线、高、角平分线重合的性质，并能应用于解决问题。
举例：通过实际图形，让学生找出等腰三角形的性质，并利用这些性质解决相关问题。
（4）相似三角形的判定与性质：掌握相似三角形的判定方法，了解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS等判定方法和相似三角形的性质。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来演示全等和相似三角形的性质。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况？”比如，在制作家具或搭建模型时，我们经常需要确定两个三角形的全等关系。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要复习三角形全等和相似的基本概念。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形，而相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的两个三角形。这些概念在解决几何问题时至关重要。
八年级下册北师大版数学全册教案
八年级下册北师大版数学全册教案第一章：二次根式1.1 二次根式的概念与性质教学目标：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质及运算方法。
教学内容：介绍二次根式的定义，探索二次根式的性质，如平方、乘除、加减等运算方法。
教学方法：通过实际例子引导学生理解二次根式的概念，通过练习题巩固二次根式的性质及运算方法。
1.2 二次根式的乘除法教学目标：掌握二次根式的乘除法运算规则。
教学内容：介绍二次根式的乘除法运算方法，如乘法、除法的规则及注意事项。
教学方法：通过实际例子讲解二次根式的乘除法运算方法，通过练习题巩固学生的理解。
第二章：角的度量2.1 角的概念与分类教学目标：理解角的概念，掌握角的分类及度量方法。
教学内容：介绍角的概念，如锐角、直角、钝角等，学习角的度量方法，如度、分、秒的换算。
教学方法：通过实际例子引导学生理解角的概念，通过练习题巩固角的分类及度量方法。
2.2 量角器的使用教学目标：掌握量角器的使用方法，能够准确测量角的大小。
教学内容：介绍量角器的结构及使用方法，如量角器的摆放、读数等。
教学方法：通过实际操作讲解量角器的使用方法，通过练习题巩固学生的掌握程度。
第三章：平行线的性质3.1 平行线的定义与性质教学目标：理解平行线的定义，掌握平行线的性质及推论。
教学内容：介绍平行线的定义，探索平行线的性质，如同位角相等、内错角相等等。
教学方法：通过实际例子引导学生理解平行线的定义，通过练习题巩固平行线的性质及推论。
3.2 平行线的判定教学目标：掌握平行线的判定方法，能够正确判断两条直线是否平行。
教学内容：介绍平行线的判定方法，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
教学方法：通过实际例子讲解平行线的判定方法，通过练习题巩固学生的理解。
第四章：几何图形的对称性4.1 对称性的概念与性质教学目标：理解对称性的概念，掌握对称性的性质及应用。
教学内容：介绍对称性的概念，探索对称性的性质，如轴对称、中心对称等。
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是（L/4）²≤25，即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是π（L/2π）²＞100即 L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5，此时还是圆的面积大。
教师得出结论（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即L²/4π＞L²/16。
三、随堂练习1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系（1）a是非负数；（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2 不等式的基本性质一、教学目标（1）探索并掌握不等式的基本性质；（2）理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、教学内容我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 1.不等式基本性质的推导例∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 例：3＜4 3×3＜4×3 3×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. 三、课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式. （1）x －1＞2 （2）－x ＜65解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3 （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x ＞－65 2.已知x ＞y ,下列不等式一定成立吗？（1）x －6＜y －6; （2）3x ＜3y ; （3）－2x ＜－2y .解：（1）∵x ＞y ,∴x －6＞y －6. ∴不等式不成立；（2）∵x ＞y ,∴3x ＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x ＞y ,∴－2x ＜－2y ∴不等式一定成立.4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1; （3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 5.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b ;（4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0; （7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0. 参考答案：4.（1）x ＜5;（2）x ＜－1;（3）x ＞10;（4）x ＜－43. 5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.1.3 不等式的解集一、教学目标1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3.会在数轴上表示不等式的解集. 二、教学过程1.现实生活中的不等式.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？分析：人转移到安全区域需要的时间最少为410秒，导火线燃烧的时间为10002.0⨯x 秒，要使人转移到安全地带，必须有：10002.0⨯x ＞410.解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得10002.0 x ＞410∴x ＞5. 2.想一想（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值吗？答：（1）x =5不能使x ＞5成立，x =6,8能使不等式x ＞5成立. （2）x =9,10,11…等比5大的数都能使不等式x ＞5成立. 3.例题讲解根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x －2≥－4;（2）2x ≤8 （3）－2x －2＞－10解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x ≥－2 在数轴上表示为：（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x ≤4 在数轴上表示为：（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x ＞－8 根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜4 在数轴上表示为：三、课堂练习1.判断正误：（1）不等式x －1＞0有无数个解； （2）不等式2x －3≤0的解集为x ≥32. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x ＞4;（2）x ≤－1; （3）x ≥－2;（4）x ≤6. 1.解：（1）∵x －1＞0,∴x ＞1∴x －1＞0有无数个解.∴正确. （2）∵2x －3≤0,∴2x ≤3, ∴x ≤23,∴结论错误. 2.解：1.4 一元一次不等式一、教学目标1.知道什么是一元一次不等式？2.会解一元一次不等式. 二、一元一次不等式的定义.下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x －2.5≥15;（2）5+3x ＞240; （3）x ＜－4;（4）x1＞1. 答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. （4）为什么不是呢？ 因为x 在分母中，x1不是整式. 不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）.2.一元一次不等式的解法.例1 解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解：两边都加上x ，得 3－x +x ＜2x +6+x 合并同类项，得 3＜3x +6两边都加上－6,得 3－6＜3x +6－6 合并同类项，得 －3＜3x两边都除以3，得－1＜x 即x ＞－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. ［例2］解不等式22-x ≥37x-，并把它的解集在数轴上表示出来. ［生］解：去分母，得3（x －2）≥2（7－x ） 去括号，得3x －6≥14－2x 移项，合并同类项，得5x ≥20 两边都除以5，得x ≥4.这个不等式的解集在数轴上表示如下：三、课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x ＞－10;（2）－3x +12≤0;（3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .解：（1）两边同时除以5，得x ＞－2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2）移项，得－3x ≤－12,两边都除以－3，得x ≥4,这个不等式的解集在数轴上表示为：（3）去分母，得3（x －1）＜2（4x －5）, 去括号，得3x －3＜8x －10, 移项、合并同类项，得5x ＞7, 两边都除以5，得x ＞57, 不等式的解集在数轴上表示为：（4）去分母，得x +7－2＜3x +2, 移项、合并同类项，得2x ＞3, 两边都除以2，得x ＞23, 不等式的解集在数轴上表示如下：1.5 一元一次不等式与一次函数一、教学目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. 二、教学过程1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y =2x －5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x －5=0?（2）x 取哪些值时，2x －5＞0?（3）x 取哪些值时，2x －5＜0?（4）x 取哪些值时，2x －5＞3?（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0.（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0;（4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.三、课堂练习1.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2你是怎样做的与同伴交流.解：如图1－24所示：当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2. 2.作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.解：图象如下：分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.［解］（1）当x ＞2时，2x －4＞0;（2）当x ＜4时，－2x +8＞0;（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立.（4）由2x －4=0,得x =2;由－2x +8=0,得x =4所以AB =4－2=2由⎩⎨⎧+-=-=8242x y x y 得交点C （3，2）所以三角形ABC 中AB 边上的高为2.所以S =21×2×2=2. 3.分别解不等式5x －1＞3（x +1）,21x －1＜7－23x 所得的两个解集的公共部分是什么？解：解不等式5x －1＞3（x +1）,得x ＞2 解不等式21x －1＜7－23 x ，得x ＜4, 所以两个解集的公共部分是2＜x ＜4.4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场计划投入资金为x 元，在月初出售，到月末共获利y 1元；在月末一次性出售获利y 2元，根据题意，得y 1=15%x +（x +15%x ）·10%=0.265x ,y 2=30%x －700=0.3x －700.（1）当y 1＞y 2,即0.265x ＞0.3x －700时，x ＜20000;（2）当y 1=y 2,即0.265x =0.3x －700时，x =20000;（3）当y 1＜y 2，即0.265x ＜0.3x －700时，x ＞20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？解：（1）当x ≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y 1=k 1x ,把（2，6）代入得，k 1=3∴y 1=3x .当x ≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.设y 2=k 2x +b ,则有⎩⎨⎧=+=+3106222b k b k 得k 2=－83,b =427 ∴y 2=－83x +427 （2）过y 轴上的4点作平行于x 轴的一条直线，于y 1,y 2的图象交于两点，过这两点向x 轴作垂线,对应x 轴上的34和322，即在322－34=6小时间是有效的.1.6 一元一次不等式组一、教学目标总结解一元一次不等式组的步骤及情形.二、教学过程某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。
数学北师大版八年级下册第一章三角形专题复习教案
4.加强对三角形面积计算公式的复习巩固，确保学生熟练掌握。
b.对于相似三角形的判定，难点在于让学生理解“相似不等于全等”，并能够正确运用判定方法，如AA、SSS、SAS等。
c.在三角形面积计算方面，难点在于让学生熟练运用海伦公式解决不规则三角形的面积问题，并能够将结果表示为最简分数。
d.在实际应用问题中，难点在于培养学生从复杂问题中抽象出三角形模型，并运用所学知识解决问题的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形面积或判断三角形是否全等的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
其次，我发现学生在讨ห้องสมุดไป่ตู้三角形在实际生活中的应用时，思路相对狭窄，很难将所学知识与生活实际联系起来。这说明我在教学中还需要加强对学生数学应用意识的培养，引导他们从生活场景中发现数学问题，运用所学知识解决问题。
此外，在实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的积极性较高，但成果展示环节却显得有些紧张和不自信。为了提高学生的表达能力和自信心，我计划在今后的教学中，多组织一些类似的活动，鼓励学生大胆展示自己的成果，增强他们的自信心。
-三角形面积计算：熟练运用底乘高除以二和海伦公式计算三角形面积。
-实际应用：将三角形知识应用于解决实际问题。
举例：在全等三角形判定中，重点强调SAS判定法，即两个三角形中两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等。
2.教学难点
-全等三角形判定：学生容易混淆五种判定方法，难以判断哪些条件可以用来证明两个三角形全等。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课优秀教学案例
3.通过设计具有挑战性的练习题和小组讨论活动，让学生在实践中探索和发现三角形证明的规律和技巧，提高他们的问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的团队合作意识和沟通能力，通过小组讨论活动，让他们学会与他人合作，共同解决问题。
3.问题导向教学：我设计了具有思考性和探索性的练习题，让学生独立思考并进行小组讨论，共同解决问题。这种问题导向的教学方法激发了学生的思维活力，培养他们的逻辑思维和推理能力。
4.教学内容的总结归纳：在课程的最后，我让学生总结本节课所学的三角形证明的方法和步骤，以及如何运用这些方法和步骤解决实际问题。然后，我对学生的总结进行了补充和强调，突出三角形证明的重要性和应用价值。这种总结归纳的方式有助于学生巩固所学知识，提高他们的学习效果。
2.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，让他们感受到数学的乐趣和魅力，激发他们继续学习的动力。
3.培养学生对待数学问题的积极态度和克服困难的勇气，让他们学会面对挑战，不断追求卓越。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活实际问题引入：以一个实际问题为背景，让学生思考和讨论如何用三角形的性质来解决这个问题，激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质和判定方法的基础上进行的。在本节课中，我旨在帮助学生巩固和提高对三角形证明的理解和应用能力，培养他们的逻辑思维和推理能力。
在教学过程中，我注意到学生们在之前的学习中，对于三角形的证明方法的理解存在一定的模糊性，应用起来也缺乏灵活性。因此，我决定通过设计一系列具有针对性和实践性的教学活动，引导学生深入理解三角形的证明原理，提高他们在实际问题中运用三角形证明的能力。