半导体光电子学第3章_平板介质光波导理论

Ey(z,t) Acost z
(3.1 - 20)
•
将式(3.1 量Hx为
–
20)代入式(3.1
–
5b)可求出与Ey相垂直的磁场分
Hz z,t r0A cost z (3.1 - 21)
• 根据波传播的概念，式(3.1 – 20)和式(3.1 – 21)还可分别表示为
Ey(z,t)
A cos
E1l = E2l (3.2 – 5) H1l = H2l (3.2 – 6) 即电场和磁场的切向分量在 界面上必须是连续的
(3.2 – 2) (3.2 – 3)
(3.2 – 4)
2．偶阶TE模式的本征值方程
Ey(x, z,t) Ey(x)exp jt z (3.2 – l)
Ey(x) Ae cosx Ao sin x
E
B t
0
H t
H
J
D t
r 0
E t
(3,1 －5a ) (3.1 - 5b )
可以得出：Hy = Ex = 0 因此，只有y方向电场存在
利用分离变量法对波动方程(3.1 – 13)求解，便可得到平板
介质波导的场模表示式为
Ey(x, z,t) Ey(x)exp jt z
(3.2 – l)
• Ey在z方向以角频率 = 2发生 周期变化，
• 因为只在z方向有空间变化，故 有/x = /y = 0
• 由式(3.1 – 13)可以得到以z和t作 为函数的Ey：
Ey(z,t) Ey(z)exp jt
(3.1 - 15)
• 将式(3.1 – 15)代入式(3.1 – 13)得到
2Ey z 2
3.1 光波的电磁场理论
• 一、基本的电磁场理论 • 麦克斯韦方程组
E
B
t
H
J
D
t
B 0
D
(3,1 －1a )
(3.1 - 1b ) (3.1 - 1c ) (3.1 - 1d )
• 设介质是均匀且各向同性的，且假设在低场强下不足以 产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在 的色散效应，而认为和与光波的频率无关。
第三章 平板介质光波导理论
引言 3.1 光波的电磁场理论 3.2 光在平板介质波导中的传输特性
引言
• 从理论上说，平板介质光波导是一种最简单的光波导形式， 可以运用电磁场的基本理论，将平板介质波导处理为边界 条件，从而得到数学上简单、物理上容易理解的基本光波 导的有关方程。一旦熟悉了这种介质光波导的一般方法， 就不难从数学上深入认识圆形光波导（如光纤）和其它形 状的光波导．
0 r0 2Ey
(3.1 - 16)
令 2 0 r0 2
2Ey z 2
2Ey
• 故波动方程(3.1 – 13)的解为
(3.1 - 17) (3.1 - 18)
Ey(z,t) Aexp jz B exp jzexp jt
(3.1 - 19)
• 如果只取正z方向传播的波，则其三角函数的行波表达式为
2
(3.1 - 24)
3.2 光在平板介质波导中的传输特性
• 一、平板介质波导的波分析方法
1 ．光在对称三层介质板波 导中传播
在 z = 0 处是半导体与空气 的界面， x = 0 处是有源层的中线。 设波导沿y方向是无穷的， 故有/y = 0 。 对于TE模，有Ez = 0
利用/y = 0 及
E和H的方程可以分别分解为三个独立的标量波动方程
2Ex
0 r 0
2Ex t 2
2Ey
0 r 0
2Ey t 2
2Ez
0 r0
2Ez t 2
(3.1 - 12) (3.1 - 13)
(3.1 - 14)
• 最简单的情况是设光波的电矢量 沿y方向偏振、沿z方向传播的平 面电磁波，即有
•
E = Ey、Ex = Ez = 0。
• 分析介质波导的一般方法是根据介质波导的边界条件求解 麦克斯韦方程，得出有关光场传播模式的表示式；
• 传播模式可以分为偶阶的和奇阶的横电波（ TE ）和横磁 波 ( TM ) ；
• 由传播模式的本征方程或特征方程得出与模有关的传播常 数。然后求出传输模的截止条件、相位延迟等与波导有关 的参数，
• 分析平板介质波导的实际意义在于，许多半导体光电子器 件和集成光学是以平板介质波导作为工作基础的。如，异 质结半导体激光器和发光二极管正是利用异质结所形成的 光波导效应将光场限制在有源区内并使其在输出方向上传 播。
D E
(3.1 - 3a )
B H
J E
(3.1 - 3b ) (3.1 - 4)
在非铁磁性的半导体中，在可见与红外波段范围内，可以认 为相对导磁率r = 1。同时，电磁波在时间上是交变的， 在交变电磁场下，可以认为电阻率为无穷大，因而可忽略 传导电流密度J 。基于上述简化的假设，麦克斯韦方程组 可简化为
E
B t
0
H t
H
J
D t
r 0
E t
H 0
E 0
(3,1 －5a ) (3.1 - 5b )
(3.1 - 5c ) (3.1 - 5d )
二、光学常数与电学常数之间的关系
2E
0 r 0
2E t 2
2H
0 r 0
2H t 2
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
(3.1 - 8) (3.1 - 9) (3.1 - 10)
2
t
z
H z z,t r0A
cos
2
t
z
(3.1 - 22) (3.1 - 23)
• 式中为光波波长，2(t – z/)称为位相。 • 由于式(3.1 – 22)和式(3.1 – 23)中不出现坐标x与y，因此与
z轴相垂直的某一平面内各点具有相同的位相。 • 等相位面为平面的光波称为平面光波。 • 将式(3.1 – 20)与式(3.1 – 22)比较，就可得出传播常数为
(3.2 – 3)
在 x < d/2 的有源区 内，偶阶TE模式为
Ey(x, z,t) Ae cos(x)exp jt z
(3.2 – 7)
由 2 n 2k02 2 给出
其中Ey(x)及模传播常数满足
2Ey
x 2
n 2k02 Байду номын сангаас 2
Ey
0
(3.2 – 2)
2Ey
x 2
n 2k02 2
Ey
0
该方程的解为 Ey(x) Ae cosx Ao sin x
式中Ae和Ao为常数
表示为
2 n 2k02 2
的物理意义： Ey在x方向的传播常数．
将麦克斯韦方程组应用到厚 度为、长为dl的一个界面面 积元ds = dl内，就得到电场 或磁场的边界条件：