固体物理补充习题
固体物理补充习题05
固体物理补充习题（十四系用）1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方（sc ）、体心立方（bcc ）和面心立方（fcc ）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球，试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。
提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，可填充小刚球的大小也各不相同。
2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为a 1 = a ia 2 = -12a i +32a j(1)求出其倒格子基矢b 1 和b 2 , 证明倒格子仍为二维密排格子； (2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。
3. 由N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积V 可以写为V ＝Nv = N βr 3，其中v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构 (4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。
4.设两原子间的相互作用能可表示为()mnu r rrαβ=-+其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n 和m 均为大于零的常数。
证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。
5. 设晶体的总相互作用能可表示为()mnA B U r rr=-+其中，A 、B 、m 和n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。
根据平衡条件求： (1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0；(2)设晶体的体积可表为V ＝N γr 3，其中N 为晶体的原子总数，γ为体积因子。
若平衡时 晶体的体积为V 0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K 为009m n U K V =。
6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式：式中，λ和ρ为参数；R 为最近邻离子间距。
固体物理补充习题07.docx
固体物理补充习题（十四系用）1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方（sc ）、体心立方（bcc ）和面心立方（fcc ）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球，试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。
提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。
2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为1a =a i212a =-+ a i j(1)求出其倒格子基矢1 b 和2b , 证明倒格子仍为二维密排格子； (2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。
3. 由N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积V 可以写为V ＝Nv = N βr 3，其中v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构 (4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。
4. 设两原子间的相互作用能可表示为()mn u r r rαβ=-+ 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n 和m 均为大于零的常数。
证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。
5. 设晶体的总相互作用能可表示为)m n A BU r r r=-+其中，A 、B 、m 和n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。
根据平衡条件求： (1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0；(2)设晶体的体积可表为V ＝N γr 3，其中N 为晶体的原子总数，γ为体积因子。
若平衡时 晶体的体积为V 0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K 为9mn U K V =6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式：式中，λ和ρ为参数；R 为最近邻离子间距。
固体物理补充习题
23. 设有某种简单立方晶体，熔点为 800C，由熔点结晶后，晶粒大小为 L＝1 m 的立方体，晶格常数 a = 410 –10 m。求结晶后每个晶粒中的空位数，已 知空位的形成能为 1 eV。若晶体在高温形成的空位，降到室温后聚集到一 个晶面上，形成一个空位园片，以致引起晶体内部的崩塌，结果将转变为何
,
其中 m 为电子质量。
29. 在低温下，金属钾摩尔热容量的实验结果可表为
C = ( 2.08T+2.57T3 ) ×10 –3 J/mol.K ,
试求： (1)钾的 Debye 温度 D ； (2)Fermi 温度 TF； (3)在 Fermi 面上一摩尔金属的电子能态密度 N(EF0)。
30. 已知 Cu 的电子密度为 n = 8.45×1022 cm –3，Debye 温度 D = 315 K。
21. 若晶体中原子的总数为 N，间隙位置的总数为 N’，形成一个 Frenkel 缺陷 所需的能量为 uf 。在一定的温度下，平衡时晶体中有 nf 个 Frenkel 缺陷，
试由 N’ 。
= 0 导出平衡时 Frenkel 缺陷数目的表达式，设 nf = N，
22. 已知 1100C 时，碳在Fe 中的扩散系数 D＝6.7×10 –7 cm2/s。若保持表 面处碳的浓度不变，要得到 d = 1 mm 厚的渗碳层（碳的浓度为表面处的一 半），问在此温度下需要扩散多长时间？（erf(0.500) = 0.52050， erf(0.477) = 0.50005）
2. 格常数为 a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为
(1)求出其倒格子基矢 和 , 证明倒格子仍为二维密排格子；
(2)求出其倒格子原胞的面积 b 。
3. 由 N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积 V 可以写为 V＝Nv = Nr3，其 中 v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间 的距离， 是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的 值:
(整理)固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理学习题课-1
1.12 利用转动对称操作，证 明六角晶系介电常数矩阵为. 解：若 A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数 满足 = AT A.， 对六角晶系，绕x（即a）轴旋转180o和绕z（即c）轴旋转120o都 是对称操作，坐标变换矩阵分别为
假 设 六 角晶系统的介电常数为 x= Ax' Ax得
可见 即有
=
00 0 0
00 0 0
00
0
=
0
= Az' Az得
可见
,=
于是得到六角晶系的介电常数
=
１．１２ 比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Ｎ ａｃｌ晶格 的晶系、布拉伐格子、点群、空间群。
补充习题 01 做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心 立方晶格的维格纳 — 塞茨原胞 (Wingner-Seitz)
体心立方
面心立方
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面(111)面与(110)面的交线的晶 向
(111)面与(100)面的交线的AB
—— AB平移，A与O点重合
B点位矢 ⇀
⇀⇀
(111)面与(100)面的交线的晶向 ⇀ ⇀ —— 晶向指数
(111)面与(110)面的交线的AB
—— 将AB平移，A与原点O重合，B点位矢
⇀
⇀⇀
(111)面与(110)面的交线的晶向 ⇀⇀
—— 晶向指数 110
１．１０ 找出立方体中保持ｘ 轴不变的所有对称操作，并指出他们中 任意两个操作乘积的结果 解：立方体中保持x轴不变，可有绕x轴转 , , ,加上不动 C1，所有对称操作构成群C4=（C1 C2 C3 C4），群中任意两 元素乘积仍是群中元。
a
3 2 –( )2= ( )2
(完整word版)物理-选修3-3-教师用书-补充习题-第9章-固体液体物态变化
选修3-3 第九章《固体、液体、物态变化》教师教学用书五补充习题A组1．判断物质是晶体还是非晶体，比较可靠的方法是（）A．从外形上判断B．从导电性能来判断C．从各向异性或各向同性来判断D．从有无确定的熔点来判断2．下列各组物质全部为晶体的是（）A．石英、雪花、玻璃B．食盐、橡胶、沥青C．食盐、雪花、金刚石D．雪花、橡胶、石英3．关于液体表面的收缩趋势，正确的说法是：（）A．因为液体表面分子分布比内部密，所以有收缩趋势B．液体表面分子分布和内部相同，所以有收缩趋势C．因为液体表面分子受到内部分子的作用，分布比内部稀，所以有收缩趋势D．液体表面分子受到与其接触的气体分子的斥力作用，使液体表面有收缩趋势4．（多选）关于浸润和不浸润现象，下列说法中正确的是( )A．水与任何固体均是浸润的B．在内径小的容器里，如果液体能浸润器壁，液面成凸形C．如果附着层分子受到固体分子的作用力小于液体内部分子的作用力，该液体与物体之间是不浸润的D．鸭的羽毛上有一层很薄的脂肪，使羽毛不被水浸润5．下列现象中哪个不是由于表面张力引起的（）A、布伞有孔，但不漏水B、小船浮在水中C、硬币浮在水面上D、玻璃细杆顶端被烧熔后变钝6．一个玻璃瓶中装有半瓶液体，拧紧瓶盖后，放置一段时间，则（）A．不再有液体分子飞出液面B．不再有气体分子进入液面C．液体分子和气体分子停止运动，达到平衡D．在相同时间内从液体里飞出的分子数等于返回液体的分子数，液体和汽达到了动态平衡7．（多选）关于干湿泡湿度计，下列说法正确的是（）A．湿泡所显示的温度都高于干泡所显示的温度B．干泡所显示的温度都高于湿泡所显示的温度C．在同等温度下，干湿泡温度差别越大，说明该环境越干燥D．在同等温度下，干湿泡温度差别越大，说明该环境越潮湿8．当空气水蒸气的压强是1.38×103Pa，气温是20°C时，空气的相对湿度是（）（20°C水蒸气饱和汽压是2.30×103Pa）A．1.38×103Pa B．0.92×103Pa C．60% D．40%9．已知液态氧的沸点是－183℃，液态氮的沸点是—196℃，液态氦的沸点是—268℃，利用液态空气提取这些气体，随温度升高而先后分离出来的次序是（）A．氧、氦、氮B．氧、氮、氦C．氦、氧、氮D．氦、氮、氧10．有一句民间说法叫做“水缸‘穿裙子’，老天要下雨”。
固体物理+胡安版+部分习题答案
[
]
p 是 (k + l ), (l + h ), (h + k ) 的最大公约数。 的最大公约数。
可得到元胞坐标系下的晶面指数： 已知晶面密勒指数 ( hlk )，可得到元胞坐标系下的晶面指数：
( h 1 h 2 h 3 ) == 1 p
{(k
+ l )(l + h
)(h
+ k
)}
补充习题2 补充习题2
A=0
出现消光 4、hkl 中有两个指数分量为奇数，其余为偶数时， 中有两个指数分量为奇数，其余为偶数时，
A=0
出现消光
补充习题1 补充习题1
a 晶胞基矢： 晶胞基矢： = ai , b = aj , c = ak
a =b =c
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢： 与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
2π 2π 2π i ,b∗ = j,c∗ = k a a a a a1 = ( j + k ) 2 a a 2 = (i + k ) a1 = a2 = a3 元胞基矢 2 a a3 = (i + j ) 2 a∗ =
2 2
∗
⋅c∗ )
(a )
∗ 2
4 2π , b∗ = 3 a
2
( )
2
( 2π ) 4 2π ∗ 2 = , (c ) = 3 a c2
(a
(
∗
⋅b∗
)
)
2 2π = 3 a
2
b∗ ⋅c∗ = 0
a∗ ⋅ c ∗ ) = 0 (
4 2π 2 4 2π 2 2π 2 4 2π = h + k + l + hk 3 a 3 a c 3 a
固体化学补充习题物理系用
固体化学补充习题（物理系用，2006.9.）1.写出下列点缺陷符号（1）Ca5(PO4)F中，Mn2+取代Ca2+，Sb3+取代Ca2+, OH-取代F-。
（2）Li+进入ZnO的晶格间隙。
2.写出下列非计量氧化物中的点缺陷，说明各化合物中电荷补偿的形式，写出类化学方程式。
Fe1-δO, Co1-δO, Zn1+δO, ZrO2-δ3.下述晶体中具有哪些主要缺陷？写出缺陷符号。
（1）MgCl2掺杂的NaCl；（2）Y2O3掺杂的ZrO2；（3）在还原气氛中加热的WO3 ( W为可变价态: +5或+6 )。
MnO3是钙钛矿型反铁磁绝缘体，用适量Sr2+取代其中的La3+并在高氧压下退火可形成具有导电性和巨磁阻效应的La1-x Sr x MnO3+δ，写出所形成的缺陷符号，表示出Mn3+→Mn4+离子的数目。
(注: 实验证明在该材料中有“O i”存在)5.分析Eu3+不易掺入ZnS中的原因。
6.YF3掺入CaF2形成固溶体，其电荷补偿形式可能是（a）阳离子空位；（b）阴离子间隙。
求以上两模型的密度与组成的关系。
CaF2晶格常数a0=5.4626A，设形成固溶体时a0不变。
7.分析下列平衡体系的组分数，相数和自由度数。
（1）NH4Cl(g)部分分解为NH3(g)和HCl(g)；（2）在(1)中加入少量NH3(g)；（3）NH4HS(s)和任意量的NH3(g)和H2S(g)平衡；（4）C(s)、CO(g)、CO2(g)、O2(g)在1000℃达到平衡。
8.Na2CO3(s) 和H2O(l) 可形成三种水合物：Na2CO3•H2O(s)；Na2CO3•7H2O(s)；和Na2CO3•10H2O(s)。
问（1）在1atm下与Na2CO3水溶液及冰平衡共存的含水盐最多可有几种？（2）在25℃时，与水蒸汽平衡共存的含水盐最多可有几种？9.已知S（单斜）→S（斜方）的ΔV＝－0.548cm3·mol-1，转变温度为95.5℃，ΔH＝-417.50J/mol，求上述晶型转变温度随压力的变化率。
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固体物理补充习题（十四系用）1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方（sc ）、体心立方（bcc ）和面心立方（fcc ）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球，试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。
提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。
2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为 1a =G a i2122a a =−+G a i j (1)求出其倒格子基矢1G b 和2G b , 证明倒格子仍为二维密排格子；(2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。
3. 由N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积V 可以写为V ＝Nv = N βr 3，其中v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构(4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。
4. 设两原子间的相互作用能可表示为()m nu r r r αβ=−+ 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n 和m 均为大于零的常数。
证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。
5. 设晶体的总相互作用能可表示为()m n A B U r r r=−+ 其中，A 、B 、m 和n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。
根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0；(2)设晶体的体积可表为V ＝N γr 3，其中N 为晶体的原子总数，γ为体积因子。
若平衡时 晶体的体积为V 0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K 为 009mn U K V = 。
6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式： 式中，λ和ρ为参数；R 为最近邻离子间距。
若晶体的Madelung 常数为α，最近邻的离子数为Z ，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。
7. 由N 个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为()cos n x A t naq ω=−，若其端点固定，(1)证明所形成的格波具有驻波性质，格波方程可表为()sin sin n x A naq t ω′=； （最近邻间）（最近邻以外）±e r 2 λρee R R −−/2()u r =(2)利用边界条件x N = 0，求q 的分布密度和波数的总数；(3)将所得结果与周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之。
8. 由2N 个（设N 很大）带电荷±q 的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥能为B/R n ，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为()20002ln 2114Nq U R R n πε⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠； (2)若晶体被压缩，使()001R R δ→−，设δ 1，证明在晶体被压缩过程中，外力对 每一个离子所做的功的主项平均为212c δ，其中，()2001ln 24n q c R πε−=。
9. 由N 个原子组成的一维单原子链，近邻原子间的相互作用能可表为()1264u r x x σσε⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦， 其中x 为近邻原子间距。
试求(1)平衡时的近邻原子间距x 0与相互作用能u 0； (2)若只考虑近邻原子间的相互作用，求原子链的弹性模量K 。
10. 若一维单原子链的格波方程取为()n x Acon t naq ω=−，证明：(1)格波的总能量为()22111E m 22n n n n ndx x x dt +⎛⎞=+β−⎜⎟⎝⎠∑∑，这里m 为原子质量，β为恢复力系数，求和指标n 遍及所有原子；(2)每个原子的时间平均总能量22112E m A ω= 。
11. 质量分别为M 和m （设M > m ）的两种原子以a 和13a 相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为β， (1)写出每种原子的动力学方程式；(2)写出格波方程式； (3)导出色散关系式。
12. 在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形。
13. 由N 个原子组成的一维(链长为L)、二维(面积为S)和三维(体积为V)简单晶格晶体，设格波的平均传播速度为c ，应用Debye 模型分别计算：(1)晶格振动的模式密度g(ω)；(2)截止频率ωm ；(3)Debye 温度ΘD ；(4)晶格热容C V ；(5)晶体的零点振动能E 0 (用N 和ωm 表示)。
14. 由N 个质量为m 的原子组成的一维单原子链，近邻原子间距为a ，相互作用的力常数为β，用格波模型求：(1)晶格振动的模式密度g(ω)；(2)晶体的零点能E 0；a 31 M μn-1 νn-1 μn νn μn+1 νn+1(3)晶格的热容量C V ；15. 在高温下（k B T =ωm ），试用Debye 模型求三维简单晶格频率从0到ωm 中总的平均声子数 (已知晶体体积为V ，格波的传播速度为c )。
16. 在高温下（T ΘD ），根据Debye 理论证明由N 个原子组成的d 维晶体的晶格热容为 (1)一维: C V = Nk B 11362−⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ΘD T ; (2)二维: C V = 2Nk B 11242−⎛⎝⎜⎞⎠⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ΘD T ; (3)三维: C V = 3Nk B 11202−⎛⎝⎜⎞⎠⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ΘD T 。
17. Grüneisen 常数(1)证明频率为ωi 的声子模式的自由能为ln 22i B B k T sh k T ω⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦=； (2)以Δ表示体积相对改变，那么单位体积晶体的自由能可以表为()21E ,ln 222i B i B T B k T sh k T ω⎡⎤⎛⎞Δ=Δ+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑= 其中B 为体积弹性模量。
假设ωi (q)与体积的依赖关系为δω/ω = − γΔ，其中γ为Grüneisen 常数。
如果将γ看作与模式无关，证明当122i i i B B cth k T ωγω⎛⎞Δ=⎜⎟⎝⎠∑==时，F 相对于Δ为极小。
18. 已知三维晶体在q ≈ 0附近一支光学波的色散关系为()()2220x x y y z z q A q A q A q ωω=−++其中A x 、A y 、A z 为大于零的常数，试求这支光学波的模式密度g(ω)的表达式。
19. 在Debye 近似下证明T ＝0时，三维晶体中一个原子的均方位移为222338D R c ωπρ== 其中ρ为晶体的质量密度，c 为声速，ωD 为Debye 截止频率。
提示：一个格波的平均能量可参考补充题10(2)及T ＝0时一个格波的能量()12E ωω== 。
20. 对于Cu ，形成一个Schottky 空位所需的能量为1.2 eV ，形成一个间隙原子的能量为4 eV 。
在接近熔点时(1300 K)，试估算晶体中空位的浓度和间隙原子的浓度，并比较这两种浓度的数量级差。
21. 若晶体中原子的总数为N ，间隙位置的总数为N’，形成一个Frenkel 缺陷所需的能量为u f 。
在一定的温度下，平衡时晶体中有n f 个Frenkel 缺陷，试由∂∂F n f T ⎛⎝⎜⎞⎠⎟= 0 导出平衡时Frenkel 缺陷数目的表达式，设n f N ，N’ 。
22. 已知1100°C 时，碳在γ−Fe 中的扩散系数D ＝6.7×10 –7 cm 2/s 。
若保持表面处碳的浓度不变，要得到d = 1 mm 厚的渗碳层（碳的浓度为表面处的一半），问在此温度下需要扩散多长时间？（erf (0.500) = 0.52050，erf (0.477) = 0.50005）23. 设有某种简单立方晶体，熔点为800°C ，由熔点结晶后，晶粒大小为L ＝1 μm 的立方体，晶格常数a = 4×10 –10 m 。
求结晶后每个晶粒中的空位数，已知空位的形成能为1 eV 。
若晶体在高温形成的空位，降到室温后聚集到一个晶面上，形成一个空位园片，以致引起晶体内部的崩塌，结果将转变为何种形式的晶格缺陷？求出此时每个晶粒中的位错密度。
24. 证明在T ＝0 K 时，金属中自由电子气的状态方程为 PV 5/3＝ const . , 这里P 为电子气的压强，V 为金属的体积。
已知Cu 的电子密度n = 8.45×1022 cm –3，计算Cu 中电子气的压强为多少个大气压。
（提示：利用热力学第一定律）25. 证明T ＝0时自由电子气的体积弹性模量 109U K V=，这里U 为自由电子的总能量，V 为金属的体积。
若已知钾的电子密度为1.4×1022 cm –3，求钾的体积弹性模量。
26. 在长为L 的一维金属链中共有N 个自由电子，在T ＝0 K 时，求：(1)电子的能态密度N(E)；(2)晶体链的费米能级E F 0；(3)一个电子的平均能量E 。
27. 假设每个铜原子贡献一个自由电子，试计算室温（300 K ）下电子气体的热容量，并将所得结果与铜的总热容量24 J/mol ·K 的数值进行比较。
已知铜的原子量为63.5，密度为8.9 g/cm 3。
28. 证明电子密度为n 的二维自由电子气的化学势可由下式给出()μπT k T n m k T B B =⎛⎝⎜⎞⎠⎟−⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥l n exp =21 ,其中m 为电子质量。
29. 在低温下，金属钾摩尔热容量的实验结果可表为C = ( 2.08T+2.57T 3 ) ×10 –3 J/mol.K ,试求：(1)钾的Debye 温度ΘD ；(2)Fermi 温度T F ；(3)在Fermi 面上一摩尔金属的电子能态密度N(E F 0)。
30. 已知Cu 的电子密度为n = 8.45×1022 cm –3，Debye 温度ΘD = 315 K 。
(1)求当T 为何值时，电子热容等于晶格热容？(2)计算T ＝300 K 时一摩尔Cu 的电子顺磁磁化率χ 。
31. 利用Sommerfeld 展开式证明，在k B T E F 0时一个自由电子的平均动能近似为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=220125153F F T T E E π 。
32. 已知Na 为bcc 结构，晶格常数为a = 4.28×10 –10 m ，(1)用自由电子模型计算其Hall 系数R H ；(2)设有一长方形Na 晶片，长为A ，宽为5 mm ，厚为1 mm 。