正弦定理(第一课时)教学设计
正弦定理第一课时(教学设计)
《正弦定理》§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计）一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点和难点重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用难点：正弦定理的实际应用三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：六、教学设计1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。
设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。
（2）观察证明—形成定理① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又=sin 1C , A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理Ⅰ、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
《正弦定理》第一课时教学设计
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2、探究新知
通过引导学生进行自主探究和合作交流，发现正弦定理的结论并掌握其证明 方法。首先让学生观察任意三角形ABC的三边之比与角A、B、C的对边之比之间的 关系，引导学生猜想正弦定理的结论；然后让学生通过作图、测量、计算等方式 进行探究，证明正弦定理的结论；最后让学生通过实例演示正弦定理的应用。
(二)过程与方法
通过用不同方法证明正弦定理，体会从特殊到一般的思想、数形结合思想以 及比较的思想方法。
(三)情感、态度与价值观
培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，并激发学生学习兴趣。
二、教学重点
正弦定理的推导方法及用正弦定 理解决简单的解三角形问题。
三、教学难点
正弦定理的证明及运用正弦定理 求外接圆半径。
(2)图2中木匠在拉大锯子时，手移动的距离有何变化？随着手移动距离的变 化，所拉的锯子的长度有何变化？由此你能得到什么结论？(随着手移动距离的 增大，所拉的锯子的长度增大)
(3)图3中长方形ABCD绕着AB边旋转一周后所得几何体的主视图是什么图形？ 该图形的高与长方形的什么有关？低与长方形的什么有关？由此你能得到什么结 论？(长方形ABCD绕着AB边旋转一周后所得几何体的主视图是圆锥，该图形的高 与长方形的AB边有关，低与长方形的BC边有关。由此得到： BC2=AB2+BC2=2AB·BC)
三、学法指导
本节课需要学生掌握正弦定理的证明方法和应用，因此需要学生认真听讲、 积极思考、自主探究、合作交流，并尝试解决一些实际问题。同时，在教学过程 中，教师可以通过问题引导、探究活动等方式，引导学生进行思考和探究，帮助 学生掌握正弦定理的证明方法和应用。
四、教学过程分析
1、导入新课
通过创设问题情境，引导学生思考任意三角形中角与边之间的关系，引出本 节课的主题——正弦定理。
正弦定理(第一课时)教学设计
正弦定理（第一课时）教学设计§1.1.1正弦定理（第一课时）一、教学背景分析1教材现状分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。
《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。
正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。
2.学生现实分析（1）在初中阶段，学生们学习了一些关于直角三角形的知识：① 毕达哥拉斯定理② 三角函数公式(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：A.BC①②大边对大角，小边对小角③ 双方之和大于第三方，双方之差小于第三方(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）（4）学生具有初步的数学建模能力，能够从简单的实际问题中抽象出数学模型。
3教学目标分析知识目标：(1)正弦定理的发现（2）证明正弦定理的几何方法和向量方法（3）正弦定理的简单应用能力目标：(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力（2）通过向量建立三角形边长与三角函数的关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识能力和情感目标：(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣(2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题（3）通过共同分析和讨论问题，促进师生合作意识，加强相互评价和自我反思。
第二，分析教学1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理，并用几何方法和向量方法证明正弦定理。
正弦定理是三角形边角关系中两个最常见、最重要的定理之一。
它准确地反映了三角形的每条边与其对角线的正弦之间的关系。
正弦定理
正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。
本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。
解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。
本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。
教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。
二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。
因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。
若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。
三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
111正弦定理(第一课时)教案
●课题1.1.1 正弦定理 (一) 知识要点: 正弦定理. (二)能力目标1.了解向量知识应用；2.掌握正弦定理推导过程；3.会利用正弦定理证明简单三角形问题；4.会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；5.能利用计算器进行运算. 典型例题：［例1］在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b (保留两个有效数字).分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边a ，若求边b ，则需通过三角形内角和为180°，求出角B ，再利用正弦定理求出边b .解：∵B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°，B b sin ＝Ccsin ， ∴b ＝︒︒⨯=⋅30sin 105sin 10sin sin C B c ≈19 评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.［例2］在△ABC 中，已知a ＝20，b ＝28，A ＝40°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：结合幻灯片§5.9.1 C ，此例题属于b sin A ＜a ＜b 的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.解：∵sin B ＝a Ab sin ＝2040sin 28︒＝0.8999， ∴B 1＝64°，B 2＝116°当B 1＝64°时，C 1＝180°－(B 1＋A ) ＝180°－(64°＋40°)＝76°，∴c 1＝︒︒=40sin 76sin 20sin sin 1A C a ≈30. 当B 2＝116°时，C 2＝180°－(B 2＋A )＝180°－(116°＋40°)＝24°， ∴c 2＝︒︒=40sin 24sin 20sin sin 2A C a ≈13. 评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.［例3］在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：结合幻灯片§5.9.1 C ，此例题属于a ≥b 这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知b ＜a ，所以B ＜A ，因此B 也是锐角.∵sin B ＝6038sin 50sin ︒=a Ab ＝0.5131， ∴B ＝31°∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(38°＋31°)＝111° ∴c ＝︒︒=38sin 111sin 60sin sin A C a ≈91. 评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B 所受限制而求出角B 的两个解，进而求出边c 两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.［例4］在△ABC 中，已知a ＝28，b ＝20，A ＝120°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：结合幻灯片§5.9.1 C ，此例题属于A 为钝角且a ＞b 的情形，有一解.也可应用正弦定理求解角B 后，利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角情形.解：∵sin B ＝a Ab sin ＝28120sin 20︒＝0.6187 ∴B 1＝38°，B 2＝142°(舍)∴C ＝180°－(A ＋B )＝22° ∴c ＝︒︒=120sin 22sin 20sin sin A C a ≈8.7 评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解. ［师］为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习. 1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对解析：选C.sin B ＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12，于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，交对边BC 于D ，求证：BD DC ＝ABAC.证明：如图所示，设∠ADB ＝θ， 则∠ADC ＝π－θ.在△ABD 中，由正弦定理得：BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A 2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，∴CDAC ＝sin A 2sin θ.② 由①②得BD AB ＝CDAC，∴BD DC ＝AB AC. 作业练习 能力基础题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝ac ，又由正弦定理a c ＝sin Asin C.∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223C ．－63 D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.解析：AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.答案：255．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a .解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c2R ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415＝8.能力提升提5.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c＝( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.7．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A ．两解 B ．一解 C ．无解 D ．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解． 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 39．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6.∴a ＝b ＝1. 答案：110．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝5×322＝534＞1.所以A 不存在，即此三角形无解．法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．11．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，判断△ABC 的形状．解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得： 2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．12.在△ABC 中(结果保留两个有效数字). (1)已知c ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求b ； (2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a . 解：(1)∵C ＝180°－(A ＋B ) ＝180°－(45°＋60°)＝75°B b sin ＝Ccsin ∴b ＝︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6(2)∵BbA a sin sin =∴a ＝︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9 评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.13.根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)： (1)b ＝11，a ＝20，B ＝30°； (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°； (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°； (4)a ＝20，b ＝28，A ＝120°.解：(1)∵BbA a sin sin =∴sin A ＝1130sin 20sin ︒=b B a ＝0.9091 ∴A 1＝65°，A 2＝115°当A 1＝65°时，C 1＝180°－(B ＋A 1) ＝180°－(30°＋65°)＝85° ∴c 1＝︒︒=30sin 85sin 11sin sin 1B C b ≈22.当A 2＝115°时，C 2＝180°－(B ＋A 2)＝180°－(30°＋115°)＝35°∴c 2＝︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13.(2)∵sin B ＝2845sin 20sin ︒=a A b ＝0.5051∴B 1＝30°，B 2＝150°由于A ＋B 2＝45°＋150°＞180°，故B 2＝150°应舍去(或者由b ＜a 知B ＜A ，故B 应为锐角)∴C ＝180°－(45°＋30°)＝105°∴c ＝︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38 (3)∵Cc B b sin sin =∴sin B ＝54115sin 39sin ︒⋅=c C b ∴B 1＝41°，B 2＝139°由于b ＜c 故B ＜C ∴B 2＝139°应舍去∴B ＝41°，A ＝180°－(41°＋115°)＝24°a ＝︒︒=41sin 24sin 39sin sin B A b ≈24. (4)∵sin B ＝20120sin 28sin ︒=a Ab ＝1.212＞1∴本题无解评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.。
正弦定理教案
正弦定理教案正弦定理教案「篇一」教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体，学生准备计算器，直尺，量角器。
教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？生：当然熟悉。
师：那大家知道科技楼有多高吗？学生不知道。
激起学生兴趣！师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思考片刻，教师引导。
生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。
师：方法可行吗？生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。
师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D。
师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设正弦定理教学设计，正弦定理教学设计 ,CD=10,那么我们能计算出AB吗？生3：由正弦定理教学设计求出AB。
师：很好，我们可否换个角度，在正弦定理教学设计中，能求出AD,也就求出了AB。
第一课时正弦定理教案
1.1.1正弦定理教案一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
[能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==,!则sin sin sin abcc ABC===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=！（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点A 作单位向量j AC ⊥，由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA CC A BB CA同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C ，从而sin sin a b A B =sin c C= 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abA B =sin cC =等价于sin sin abA B=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
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《正弦定理》（第一课时）教学设计
点明课题
本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。
下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：
一、教学背景分析⎪⎩
⎪
⎨⎧教学目标分析学生现实分析教材地位分析.3.2.1
二、教学展开分析⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧教学过程实施教学媒体选择教学策略与学法指导
教学重点、难点分析.4.3.2.1
三、教学结果分析
一、教学背景分析
1.教材地位分析
《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。
《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。
正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。
2.学生现实分析
(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：
c
a
A =
sin c
b A =
cos
①勾股定理： ②三角函数式，如：
(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：
① ②大边对大角，小边对小角
③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）
(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型
3.教学目标分析 知识目标： (1)正弦定理的发现
(2)证明正弦定理的几何法和向量法 (3)正弦定理的简单应用 能力目标：
(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力
(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力 情感目标：
(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题
(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思
二、教学展开分析
1.教学重点与难点分析
教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。
正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。
π=++C B A 2
22c b a =+
教学难点是用向量法证明正弦定理。
虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。
突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。
用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。
2.教学策略与学法指导
教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与、全过程参与。
通过启发、调整、激励来体现主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
3.教学媒体选择与应用
使用多媒体平台（包括电脑和投影仪）辅助教学，让学生自己动手进行实验，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，既突出了知识的产生过程，遵循了学生的认知规律，让学生形成体验性认识，体会成功的愉悦，同时又可以增加课堂的趣味性，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
4.教学过程实施
本节课采用“发现学习”的模式，因而教学过程实施分为五个部分：
(1)结合实例提出问题
(2)观察特例提出猜想
(3)数学实验深入探究
(4)证明猜想得出定理
(5)运用定理解决问题
(1)结合实例提出问题
C
A B
教学过程设计意图
设置问题情境
从“海湾大桥”这一学生喜闻乐见的重大实际工程提出问题,营造宽松、和谐、主动积极的探究氛围，激发学习兴趣.
学生
自主探讨
可能很多学生会这样考虑：选择某地C点，构造Rt△ABC，测出∠C
与AC的长，即可算出AB的长
挖掘学生的
原有认知，在
原有知识和
学习目标之
间搭建平台.
教
师提问
如果构造出Rt△ABC时，发现点C在海上（或者由于地形、建筑等
因素），无法测出∠C与AC的长，那怎么办
实际问题要
考虑实际情
况，锻炼学生
的发散思维，
培养学生解
决实际问题
的能力.
师生共①不能构造出Rt△，那只能构造一般的三角形ABC
②这时，我们能够测出哪些量
学生分析讨论后得出：可以测出
通过师生互
动、生生互动
的教学活动
D
(2)观察特例提出猜想
(3)数学实验深入探究
(4) 证明猜想得出定理
(5) 运用定理解决问题
解决情境中的实例题目：在△ABC中，已知C＝º， A
＝º， AC＝2620m，
求AB.(精确到1米)
解：B＝180º－A－C＝ 180º－º－º＝º
让学生用正
弦定理重新
解题，感觉比
原来的方法
简便多了,使
学生认为艰
辛的付出有
了回报,感受
收获的喜悦,
体验成功的
乐趣.
欣赏规划设计的海湾大桥图片
将漂亮的大桥图片展现给学生，从感观上刺激学生，使学生从内心深处体验成功的喜悦，也促使学生对美好事务的向往，对未来的憧憬；把课堂气氛推向高潮.
定理反①我们刚才已经用正弦定理解决三角形中的一类什么问题
——已知任意两个角和一边，可以求出另一角和另两边
②用正弦定理还可以解决三角形中的什么问题
通过总结与
思考，领悟思
想方法，把握得
由
C
c
B
b
sin
sin
=3982
56
.
29
sin
57
.
48
sin
2620
sin
sin
=
⨯
=
=
B
C
b
c
C
A
B
三、教学结果分析
通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果：
1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。
2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。
3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。
对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。
设计说明
1、强调向量的工具性作用，加强学生应用向量来解决问题的意识。
本课例从引入到应用，遵循数学源于生活又应用于生活的特征。
学生通过经历“发现学习”的过程，提高数学的思考问题、解决问题的能力，贯彻研究性学习方法。
2、教学设计本着学生心理和发展特点原则，尽量符合学生的认知规律，时时关注学生的兴趣、体验、困惑、疑难等，有效地发挥教师的组织、引导、激励作用，尽可能使学生在多方面得到发展。
3、教无定法，贵在得法。
“教”、“学”不是教师单方面的操作，所以在教学中要抓住由师生、生生间的思维的碰撞而产生的教学生长点，把调动学生的内驱力放在首位。
同时，教师要尊重学生的需要，如：探究的需要、获得新体验的需要、获得认可和欣赏的需要等等，努力营造一个宽松、可接纳的课堂环境，让学生在民主愉悦的氛围中放飞思维，潜心探究，收回快乐。
4、注重教师的主导作用和学生的主体地位。
本节课采用“发现学习”教学模式，我经过两年的教学实践认为：此教学模式重在通过教师创设恰当的问题情境，诱发学生的学习动机，激发学生主动探究问题的欲望，充分体验学习的全过程，真正实施“再创造”式的有意义学习；使数学教学真正成为数学活动的教学，长期下去，可以使学生养成主动思考、善于发现与提出问题的良好学习习惯，从而提升数学课堂教学成为促进学生发展的教育价值。
【板书设计】。