数学北师大版九年级上册韦达定理
北师大版九年级上册数学韦达其人
韦达其人一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理一般被认为是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈。
他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。
韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。
他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作。
是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。
因此，他获得了“代数学之父”之称。
他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著。
韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容。
只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播。
在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版。
韦达1603年卒于巴黎，享年63岁。
下面是关于韦达的两则趣事：一、与罗门的较量比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。
法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。
答案公布，震惊了数学界。
韦达又回敬了罗门一个问题。
罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。
二、韦达的“魔法”在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。
可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。
原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。
另外，韦达还设计并改进了历法。
所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。
数学韦达定理知识点
数学韦达定理知识点
数学韦达定理知识点
同学们还记得韦达定理吗，下面我们来学习。
韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a
也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用
关于韦达定理的知识点，希望同学们能很好的记住，相信同学们对数学的学习是充满信心的。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的`数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成
对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
【数学韦达定理知识点】。
北师大版初中九年级上册数学：韦达定理
求：(1) x13x2 x1x23 (2) x1 x2
(3) 1 1 x1 x2
方法： 配方，展开，通分，平方（根号），因式分解 ......
目的： 把所给代数式转化成 x1 x2 和 x1x2 的形式。
5、已知两根符号求字母系数的取值范围 一正根，一负根 两个正根 两个负根
{△＞0 X1X2＜0
{ { △≥0 X1X2＞0
△≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
X1+X2＜0
5、已知两跟符号求字母系数的取值范围
关于x的一元二次方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0 m 1 x1x2 m 0
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
（3、已知方程一根，求另一根。）
例1：已知方程5x²+kx-6=0的一根是2，求
它的另一根及k的值。
解： ∵ 2是方
的根
∴
∴
∴
（4、可以求其它有关式子的值：）
例2：x1, x2 是方程2x²+4x-5=0的两根
则 x12+x2 =
2
(x1+1)(x2+1) =____
拓展、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥0)
(1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且
（x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。
思考题：已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0 有两个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围；
北师大版九年级数学一元二次方程根与系数的关系辅导讲义
第三讲 一元二次方程之韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么说明：（1）定理成立的条件（2）注意公式重的负号与b的符号的区别2.韦达定理的逆定理给定一个一元二次方程。
如果有两个数，它们的和等于该方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，它们的积又等于该方程的常数项除以二次项系数，那么它们就是该方程的两根。
设关于的一元二次方程为，且，，、必定是一元二次方程的两个根。
3.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．佳题新题品味例已知△ABC的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值.热身例题13、（2010·珠海中考）已知x=－1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2【典型例题】例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．例2 已知是一元二次方程的两个实数根．(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使的值为整数的实数的整数值．例3 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时, 方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时, 方程的两个根都是正数;(3)m为何值时, 方程的两个根一个大于1,另一个小于1.根与系数的关系（韦达定理）提升练习1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值．韦达定理中考题练习1、（2010·玉溪中考）一元二次方程x2－5x+6=0 的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于（）A. 5B. 6C. －5D. －62、（2008·枣庄中考）已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．3、（2008·中山中考）已知关于x的方程．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．4、(2009•鄂州中考)关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围。
北师大版九年级上第二章一元二次方程复习课素材韦达定理
一元n次方程根与系数的关系
数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着
非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深
刻的认识。
很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一
员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大
学法律系的毕业生。
毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终
是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。
由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。
1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。
其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
如果一元n次方程a
n x n+a
n-1
x n-1+…+a1x+a0=0的n个根是x
1
, x
2
, …, x
n
, 那么
人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
北师大版初三数学上册根的判别式与韦达定理
一元二次方程根与系数的关系（2）一、知识导航1．如果21x x 、是一个一元二次方程的两根，那么当方程二次项系数为1时，方程应该表示为（构造一个适合的方程） ．2．根的分布情况：如果21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，则 (1)0,021>>x x 时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥∆0002121a c x x a b x x (2)0,021<<x x 时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥∆0002121a c x x a b x x (3)0,021<>x x 时，有021<=⋅ac x x (特别注意：利用根的分布时要注意别漏掉考虑根的判别式，只有有根才谈得上考虑根的正负)3．特殊根的表示方法：当x =1时，a+b+c=0，当x=-1时，a-b+c=0，当x =0时，c=0．二、预习反馈1．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正一负根，且负根的绝对值更大，那么（ ）(A) a ，b 同号，且a ，c 同号(B) a ，b 同号，且a ，c 异号(C) a ，b 异号，且a ，c 同号(D) a ，b 异号，且a ，c 异号2．已知一元二次方程012=-+x x 的两根21x x 、 为，则(12x x +－1)(21x x ⋅+2014)= ．3．已知一元二次方程02)2(2=--+x k x 的两根互为相反数，则k 的取值范围是 ．4．写出一个一元二次方程，使它的两根分别是1,2--，方程为 ． 三、例题精析例1、已知关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围．例2、当n ＞0时，关于x 的一元二次方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n的值．四、课堂过手A 级1．二次函数352+-=x x y 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为（ ）（A ）13 （B ）213 （C ）132 （D ）2133 2．以方程3 x 2＋2x －6＝0的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（ ）（A ）6 x 2－2x ＋1＝0 （B ）6 x 2＋2x ＋3＝0（C ）6 x 2＋2x ＋1＝0 （D ）6 x 2＋2x －3＝03． 已知关于x 的方程02)12(22=-+++k x k x 的两实数根的平方和等于11，则k 的值为 ．4．已知21x x 、是方程)53()2(22+++--k k x k x =0的两个实数根（其中k 为实数），则2221x x +的最大值是__________．(不等式0161632≤++x x 解集为344-≤≤-x ) 5．已知一元二次方程01032=+-m x x 有两个正根，求m 的取值范围．B 级6．若a 、b 为方程012682=+++m mx x 的两实数根，且122=+b a ，求m 的值．五、能力提升当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂．那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性．这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解．根据分析解答下列题目:7．若方程03422=-+-a ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围．。
数学北师大版九年级上册韦达定理
1.能说出根与系数的关系；2.会利用根与系数的关系解有关的问题.价值观 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.教学重难重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；难点：对根与系数这一性质进行应用.一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0. 让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.二、探究归纳方程1x2x21x x +21x x ∙x 2－2x ＝0 0 2 2 0 x 2＋3x －4＝0 1-4-3-4x 2－5x ＋6＝02 3 56 可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q 一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0），试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.方程 1x2x21x x +21x x ∙qqp p q p p x x pqp p q p p x x q p p x q p p x q p p aac b b x q p ac b q c p b a q px x =---∙-+-=∙-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.三、实践应用例 1 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有．q p q p q p q p 03030)3()3(00022=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得解法二：由q x x p x x =∙-=+2121，，方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得．q p q p 03)3(0)3(0=-==-⨯，即得＝－－＋例2 写出下列方程的两根和与两根积：5)4(032)3(02114)2(017)1(2222=-+-=-+=-+=+-n nx xx xx x x x5)4(2321)3(2114)2(17)1(2121212*********-=∙=+=∙-=+=∙-=+=∙=+n x x nx x x x x x x x x x x x x x ，－，－，，解四、交流反思1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.五、布置作业。
数学北师大版九年级上册第11课根的判别式和韦达定理
请观看视频
学生先思考2 分钟，然后 观看微视频， 看后学生独 立完善此题 的解题过程。
即时练习3 1 若n 0,关于x的方程x -（m 2n ) x mn 0 4 m 有两个相等的正实数根，求 的值。
2
n
学生思考2分 钟，组内交 流2分钟，请 某组交流解 法。
5.反思小结
学生抢答
5. 已知关于x的方程x 2 -（ 2 k 1)x k 2 2k 1 0..(1) (1)求证：对于任意实数k，方程(1)总有两个不相等的实数根。 (2)如果a是关于y的方程y2 (x 1 x 2 2k )y (x 1 k )(x 2 k ) 0 ..(2) 的根,其中x 1，x 2 是方程（1）的两个实数根， 4 a2 1 求代数式( ) 的值 a a 1 a 1 a 1
2.韦达定理
如果ax bx c 0(a 0) 的两根分别是x1和x 2 ,
2
b 那么x1x 2 = a
3.求根公式
当b 4ac 0时，x1,2
2
b
b 4ac 2a
2
例1，k为何值时，方程3x 2 -（ 2 3k 1)x 3k 2 1 0
3. 在等腰三角形ABC中，A , B , C的对边分别是a,b,c,已知 1 2 a=3,b和c是关于x的方程x +mx 2 m 0的两个实数根 2 求ABC的周长
4. 已知关于x的方程x 2 +（ 2 2-m) x 3 6m 0 (1) 求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。 （2）如果方程的两个实数根分别为x 1，x 2，满足x 1 =3x 2 求m的值
2
解：由
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1.能说出根与系数的关系；
2.会利用根与系数的关系解有关的问题.
价值观 1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；
2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
教学重难
重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；
难点：对根与系数这一性质进行应用.
一、创设情境
1．请说出解一元二次方程的四种解法.
2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2
－5x ＋6＝0. 让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.
二、探究归纳
方程
1x
2x
21x x +
21x x ∙
x 2－2x ＝0 0 2 2 0 x 2＋3x －4＝0 1
-4
-3
-4
x 2－5x ＋6＝0
2 3 5
6 可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.
一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2
－4q 一般
地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2
－4q ≥0），试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.
方程 1x
2x
21x x +
21x x ∙
q
q
p p q p p x x p
q
p p q p p x x q p p x q p p x q p p a
ac b b x q p ac b q c p b a q px x =--
-∙
-+
-=
∙-=--
-+
-+-=+--
-=
-+
-=
-±-=
-±-=≥-=-====++2
42
42
42
42
42
4242404410
22212221222122222，，，
结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.
三、实践应用
例 1 已知关于x 的方程x 2
－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.
解法一：因为关于x 的方程x 2
－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有
．
q p q p q p q p 03
03
0)3()3(00022=-=⎩⎨
⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得
解法二：由q x x p x x =∙-=+2121，，
方程x 2
－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得
．
q p q p 03
)3(0)3(0=-==-⨯，
即得
＝－－＋
例2 写出下列方程的两根和与两根积：
5)4(032)3(02114)2(017)1(2
2
22=-+-=-+=-+=+-n nx x
x x
x x x x
5
)4(2
32
1
)3(2114)2(1
7)1(2
121212*********-=∙=+=∙-=+=∙-=+=∙=+n x x n
x x x x x x x x x x x x x x ，－，－，，解
四、交流反思
1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；
2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.
五、布置作业。