(最新)2019高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第一周)文
每周一测2019年高考数学(文)一轮复习Word版含解析(2)
学霸推荐1．要得到函数()sin2f x x =的图象，只需要将函数()cos2g x x =的图象A ．向左平移12个周期 B ．向右平移12个周期 C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期2．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（π0,0,02A ωϕ>><<）的周期为π，若()1f α=，则3π2f α⎛⎫+=⎪⎝⎭ A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，ππ22ϕ-<<）在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数，则 A ．π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()f x 的周期为π2C ．ω的最大值为4D ．3π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭4．关于函数()3sin(2)13f x x π=-+（x ∈R ），下列命题正确的是 A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍 B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y x π=++ C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称 D ．()y f x =的图象关于直线34x =π对称 5．将函数()223cos 2sin cos 3f x x x x =--的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为A ．2π3 B ．π3 C ．π2 D ．π66．已知a b c ，，分别为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，若()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，则A ∠=A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π37．在ABC △中，若22tan tan A a B b =，则ABC △的形状是 A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．不能确定D ．等腰三角形8．在ABC △中，D 为边AB 上一点，且DA DC =，π3B =，2BC =，BCD △的面积为3，则边AC 的长是 A ．2 B ．23 C ．4D ．439．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．10．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B AB C +-=，则a b +的取值范围是__________．11．在ABC △中，已知445,cos 5A B ==.（1）求sin C 的值；（2）若BC =10，求ABC △的面积.12．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知2223()32b c a bc +=+.（1）求sin A ； （2）若32a =，ABC △的面积S ＝22，且b >c ，求b ，c ．13．已知函数()sin()(0,0π)f x x b ωϕωϕ=+-><<的图象的两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数()g x 为奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的图象的对称轴及()f x 的单调区间． 14．已知0π3x =是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0ω>）的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π. （1）求m 的值和()f x 的单调递增区间；（2）设角,,A B C 为ABC △的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =，3b =，求2c a -的取值范围.1．【答案】D【名师点睛】本题考查了三角函数图象的平移，运用诱导公式化简成同名函数，然后运用平移变换规律求出结果，本题较为基础. 2．【答案】B【解析】由题意得2ππ2ωω=⇒=，()sin 21,A αϕ+=所以3πsin(23π)sin(2)12f A A ααϕαϕ⎛⎫+=++=-+=- ⎪⎝⎭，选B. 3．【答案】C【解析】因为该函数的最小正周期是2πT ω=，故由题设可得区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭的长度ππ1242T -≤，即ππ44ωω≤⇒≤，所以选项C 正确；又因为区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭的端点都取不到，所以选项A ，D 都是错误的，应选C. 4．【答案】C【解析】令()3sin(2)113f x x π=-+=，23x k π-=π，k ∈Z ，因此12,2k x x k π-=∈Z ，所以选项A 错误；33(0)12f =-，但0x =时，333cos(2)11(0)62x f π++=+≠，所以选项B 错误，事实上cos(2)cos(2)sin(2)6323x x x ππππ+=-+=--；2,3x k k π-=π∈Z ，,26k x k ππ=+∈Z ，0k =时，6x π=，因此(,1)6π是其对称中心，所以选项C 正确；2,32x k k ππ-=π+∈Z ，5,212k x k ππ=+∈Z ，不含34x π=，所以选项D 错误． 故选C ． 5．【答案】D6．【答案】C【解析】利用正弦定理将()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-的角化为边可得222b c a bc +-=,由余弦定理可得2222cos b c a bc A +-=,则1cos 2A =，所以π3A ∠=.本题选择C 选项. 7．【答案】A【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B =，因为sin 0A >，故化简可得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z .因为()(),0,π,0,πA B A B ∈+∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A.【名师点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 8．【答案】B【解析】依题意有1π32sin ,223BD BD =⋅⋅⋅=，故三角形BCD 为等边三角形， 所以2,120DA DC ADC ==∠=，所以由余弦定理得2222222cos12023AC =+-⨯⨯︒=. 9．【答案】()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】根据函数图象知函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35ππ,π4123T T ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=， 将点5π212（，）代入，得：5π22sin 212ϕ=⨯+（），结合π2ϕ<，可得π3ϕ=-， 所以()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题给出了函数y =A sin （ωx +φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y =A sin （ωx +φ）的图象与性质的知识点，属于中档题． 10．【答案】(2,4]【解析】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得()2221cos ,0,π,22a b c C C ab +-==∈所以π3C =. 由正弦定理得()43432ππsin sin sin sin 4sin 3336a b A B A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2πππ5ππ10,,,,sin ,1366662A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以(]2,4a b +∈.故填(2,4]. 【名师点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域. 11．【答案】（1）7210；（2）42. 【解析】（1）4cos ,5B =∵且(0,180)B ∈, 23sin 1cos 5B B =-=∴.2423sin sin(180)sin(135)sin135cos cos135sin =()2525C A B B B B =--=-=-⨯--⨯ 72=.10（2）由正弦定理，得,sin sin BC AB A C =即10=272210AB，解得AB =14.所以ABC △的面积113sin 141042.225S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯= 【解题必备】（1）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求量尽量放在同一个三角形中. （2）在三角形的面积公式中111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 12．【答案】（1）223；（2）3,12b c ==.【解析】（1）∵2223()32b c a bc +=+，∴222123b c a bc +-=. ∴cos A ＝13. 又A 是三角形内角， ∴sin A ＝223.13．【答案】（1）π()sin(2)33f x x =+-；（2）()f x 的图象的对称轴为ππ122k x =+，k ∈Z .()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ；()f x 的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z .【解析】（1）2ππ22ω=⨯，2ω∴=，()sin(2)f x x b ϕ=+-， 又π()sin[2()]36g x x b ϕ=-+-+为奇函数，且0πϕ<<，则π3ϕ=，3b =， 故π()sin(2)33f x x =+-. （2）令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，得ππ122k x =+，k ∈Z . 故()f x 的图象的对称轴为ππ122k x =+，k ∈Z . 令ππ2π2π()2π232k k x k -≤≤+∈+Z ，解得5ππππ()1212k x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ； 令ππ3π2π2π()2322k k k x +≤≤+∈+Z ，解得π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z . 注：()f x 的单调区间也可以写为开区间的形式. 14．【答案】（1）3m =，πππ,π()63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）3,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（2）()ππππ2sin 2226623f B B B B ⎛⎫=-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭， 由正弦定理得22sin sin sin b a c R B A C====，R 为ABC △外接圆半径， 所以π33π2sin sin sin cos 3sin 23226c a A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴3,322c a ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭.。
【最新】2019版高考数学二轮专题复习小题提速练五文
【最新】2019版高考数学二轮专题复习小题提速练五文一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝( ) A．{0，1} B．{－1，0，1}C．∅D．{－1}解析：选D.∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，∴∁UA＝{－1}，故选D.2．已知复数z＝－2i(其中i是虚数单位)，则|z|＝( )A．2 B．22C．3 D．33解析：选C.复数z＝3－i－2i＝3－3i，则|z|＝3，故选C.3．已知命题p，q，则“¬p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若¬p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则¬p为假命题．所以“¬p为假命题”是“p∧q 是真命题”的必要而不充分条件，故选B.4．已知正方形ABCD的中心为O且其边长为1，则(－)·(＋)＝( )A. B．12C ．2D ．1解析：选D.(－)·(＋)＝·＝1××cos 45°＝1.5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面ABCD 是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD)中，点P 是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( )A.B ．1C ．2D ．54 解析：选A.由题易知，其正视图面积为×1×2＝1.当顶点P 在底面ABCD 上的投影在△BCD 内部或其边上时，俯视图的面积最小，最小值为S△BCD＝×1×1＝，所以三棱锥PBCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1＋＝，故选A.6．点P(x ，y)为不等式组所表示的平面区域内的动点，则m ＝x－y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．0解析：选D.如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域为图中阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝x －m 经过点B 时，m 取得最小值．由可得故B(2，2)．将点B(2，2)代入目标函数m ＝x －y ，得m ＝0.故选D.7．执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x 的值为( )。
【精品】2019高考数学二轮复习每日一题规范练第一周理
每日一题规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差d＞0，其前n项和为S n，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝1a2n－1·a2n＋1＋n，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)因为a2＋a4＝8，及等差数列性质，所以a3＝4，即a1＋2d＝4.①因为a3，a5，a8为等比数列，则a25＝a3a8.所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得a1＝2d.②联立①和②得a1＝2，d＝1.所以a n＝n＋1.(2)因为b n＝1a2n－1·a2n＋1＋n＝12n（2n＋2）＋n＝14(1n－1n＋1)＋n.所以T n＝1411－12＋1＋[14(12－13)＋2]＋[1413－14＋3]＋…＋141n－1n＋1＋n＝14[(11－12)＋12－13＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＋(1＋2＋3＋…＋n)＝14(11－1n＋1)＋n（n＋1）2＝n4（n＋1）＋n（n＋1）2.[题目2] (本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋3sin(π－x)cos(π＋x)－1 2 .(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，b sin C＝a sin A，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝cos2x－3sin x cos x－12＝1＋cos 2x2－32sin 2x－12＝－sin2x－π6，令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，又x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，π3和5π6，π.(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π6，所以f(A)＝－sin2A－π6＝－1，因为△ABC为锐角三角形，所以0＜A＜π2，所以－π6＜2A－π6＜5π6，所以2A－π6＝π2，即A＝π3.又b sin C＝a sin A，所以bc＝a2＝4，所以S△ABC＝12bc sin A＝ 3.[题目3] (本小题满分12分)某校高三200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)．数学成绩的频率分布直方图如下：(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．(附参考公式)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96.解：(1)数学成绩的平均分为[0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95]×10＝65.9.根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．(2)语文成绩优秀的概率为p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×12＝0.02，数学成绩优秀的概率为p2＝(0.006×12＋0.002)×10＝0.05，语文成绩优秀人数为200×0.02＝4人，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10人．(3)语文和数学两科都优秀的共有4人，则单科优秀的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C310＝130.X的分布列为X 012 3P 1612310130数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.[题目4] (本小题满分12分)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C ⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1-A1C-C1的正弦值．(1)证明：如图1，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，图1因为C1C＝A1A＝A1C，所以CD⊥A1C1，因为底面△ABC是边长为2的正三角形，所以AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，所以B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，CD?平面B1CD，B1D?平面B1CD，所以A1C1⊥平面B1CD，所以A1C1⊥B1C.(2)解：法一如图1，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，所以侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以B1D⊥平面A1CC1，所以B1E⊥A1C，所以∠B1ED为所求二面角的平面角，因为A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝2，所以B 1D ＝3，又ED ＝12CC 1＝22，所以tan ∠B 1ED ＝B 1DED＝322＝6，所以二面角B 1-A 1C -C 1的正弦值为427. 法二如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OA1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(3，1，1)，C (0，1，0) 所以A 1B 1→＝(3，1，0)，A 1C →＝(0，1，－1)，设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的一个法向量，所以m·A 1B 1→＝3x ＋y ＝0，m ·A 1C →＝y －z ＝0，令y ＝3，得m ＝(－1，3，3)，又OB →＝(3，0，0)，易证OB →⊥平面A 1CC1，可以作为平面A 1CC1的一个法向量．所以cos 〈m ，OB →〉＝m ·OB→|m ||OB →|＝－77，由图易知所求二面角为锐角，所以二面角B 1-A 1C -C 1的正弦值为427. [题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝x 12，y 1，n ＝x 22，y 2，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0，因为m·n＝0，所以x1x24＋y1y2＝0，所以k1·k2＝y1y2x1x2＝－14.(2)解：①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由y1y2x1x2＝－14，得x214－y21＝0，(*)又由P(x1，y1)在椭圆上，得x214＋y21＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x1|＝2，|y1|＝2 2 .所以S△POQ＝12|x1|·｜y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由y＝kx＋b，x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)＞0，x1＋x2＝－8kb4k2＋1，x1x2＝4b2－44k2＋1.因为x1x24＋y1y2＝0，所以x1x24＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ＞0.所以S△POQ＝12·|b|1＋k2·｜PQ|＝12|b|（x1＋x2）2－4x1x2＝2|b|·4k2＋1－b2 4k2＋1＝2|b|·b22b2＝1.综上可知，△POQ的面积S为定值．[题目6] (本小题满分12分)已知函数g(x)＝ax－a－ln x，f(x)＝xg(x)，且g(x)≥0.(1)求实数a的值；(2)证明：存在x0，f′（x0)＝0且0＜x0＜1时，f(x)≤f(x0)．(1)解：g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g′（x)＝a－1x，x＞0.因为g(x)≥0，且g(1)＝0，故只需g′(1)＝0. 又g′(1)＝a－1，则a－1＝0，所以a＝1.若a＝1，则g′（x)＝1－1x，显然当0＜x＜1时，g′（x)＜0，此时g(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1，g′（x)＞0，此时g(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以x＝1是g(x)的唯一的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，所求a的值为 1.(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x，f′（x)＝2x－2－ln x.设h(x)＝2x－2－ln x，则h′（x)＝2－1 x ，当x∈0，12时，h′（x)＜0；当x∈12，＋∞时，h′（x)＞0，所以h(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增．又h(e－2)＞0，h 12＜0，h(1)＝0，所以h(x)在0，12有唯一零点x0，在12，＋∞有唯一零点 1.当x∈(0，x0)时，h(x)＞0；当x∈(x0，1)时，h(x)＜0.因为f′（x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．则x＝x0是f(x)在(1，1)的最大值点，所以f(x)≤f(x0)成立．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为x＝a＋22t，y＝1＋22t(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|＝8，求实数a的值．解：(1)因为曲线C1的参数方程为x＝a＋22t，y＝1＋22t(t为参数)，所以曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.因为曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y2＝4x，x＝a＋22t，y＝1＋22t得t2－22t＋2－8a＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a)＞0，即a＞0，t1＋t2＝22，t1t2＝2－8a，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝8－8（1－4a）＝32a＝8，所以a＝2.2．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)＜1.(1)解：因为f(x)＜|x|＋1，所以|2x－1|＜|x|＋1，则x≥12，2x－1＜x＋1或0＜x＜12，1－2x＜x＋1或x≤0，1－2x＜－x＋1，得12≤x＜2或0＜x＜12或无解．故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1| ＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56＜1.所以，对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，f(x)＜1成立．。
2019高考数学第二轮按章节编排练习(学生版)
2019高考数学第二轮按章节编排练习（学生版）第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1、A ＝{1,2}，B ＝{x |x ∈A }，那么集合A 与B 的关系为________、2、假设∅{x |x 2≤a ，a ∈R }，那么实数a 的取值范围是________、3、集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，那么集合A 与B 的关系是________、4、(2017年高考广东卷改编)全集U ＝R ，那么正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________、是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是________、6、(原创题)m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？B 组1、设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________、2、集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}、假设B ⊆A ，那么实数m ＝________.3、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，假设P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，那么P ＋Q 中元素的个数是________个、4、集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，假设N M ，那么a 的值是________、5、满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个、6、集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，那么A 、B 、C 之间的关系是________、7、集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，那么“A ⊆B ”是“a >5”的________条件、8、(2017年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，那么M 中所有元素的和为________、9、(2017年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”、给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个、10、A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值、11、集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)假设B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)假设A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)假设A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围、12、集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}、(1)假设A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)假设B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)假设A ＝B ，求a 的取值范围、第二节集合的基本运算A 组1、(2017年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，那么A ∩∁U B ＝________.2、(2017年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，那么集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个、3、集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，那么集合M ∩N ＝________.4、(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，那么A ⓐB ＝________.5、(2017年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________、6、(2017年浙江嘉兴质检)集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}、(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)假设B ⊆A ，求m 的取值范围、B 组1、假设集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，那么M ∩N ＝________.2、全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，那么(∁U A )∩B ＝________.3、(2017年济南市高三模拟)假设全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，那么M ∩(∁U N )＝________.4、集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，假设A ∩B ＝{2}，那么A ∪B ＝________.5、(2017年高考江西卷改编)全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素、假设A ∩B 非空，那么A ∩B 的元素个数为________、6、(2017年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，那么∁U (A ∪B )＝________.7、定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B }、设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，那么集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________、8、假设集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，那么b ＝________.9、设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，那么集合M 的所有子集是________、10、设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}、(1)假设A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)假设A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围、11、函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)假设A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值、12、集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}、(1)假设A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)假设A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}、第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1、(2017年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________、2、(2017年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f (1f (3))的值等于________、3、(2017年高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≤1，－x ，x >1.假设f (x )＝2，那么x ＝________.4、(2017年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个、5、(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，那么f (2,1，－1)＝________.6、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)假设f (a )＝32，求a .B 组1、(2017年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________、2、(2017年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，那么f (f (f (32)＋5))＝________.3、定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，那么f (x )的解析式为________、4、设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，那么函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是_____个。
2019高考数学二轮复习三大题分层规范特训一基础得分天天练规范练2理
规范练(二)(时间：45分钟 满分：46分)1．(12分)设函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－12.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若f (B )＝1，b ＝2，且b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，求△ABC 的面积．[规范解答及评分标准] (1)函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－12＝32sin2x ＋1－cos2x 2－12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(3分)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(6分)(2)因为f (B )＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1， 所以2B －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以B ＝k π＋π3(k ∈Z )．因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(8分)又因为b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，所以由正弦定理，得sin B (2－cos A )＝sin A (cos B ＋1)，所以2sin B ＝sin A ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin C ，所以2b ＝a ＋c .因为b ＝2，B ＝π3，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ，所以ac ＝b 2＝4.(10分) 所以S ＝12ac sin B ＝12×4×sin π3＝2×32＝ 3.故△ABC 的面积为 3.(12分)2．(12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：根据表中数据，试求线性回归方程y ＝b x ＋a ，并预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. [规范解答及评分标准] (1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况． 由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99，得a <8，(2分)∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为810＝45.(4分)(2)由表中数据，计算得x －＝35，y －＝3.5，(6分)b ^＝∑i ＝14x i y i －4x － y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝525－4×35×3.55400－4×352＝7100， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－7100×35＝2120.(8分)∴y ^＝7100x ＋2120.(10分)当x ＝50时，y ^＝4.55.即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时．(12分)3．(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，DE ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求AF 与平面AEC 所成角的正弦值．[规范解答及评分标准] (1)证明：在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD ，∴sin ∠ADB ＝AB ·sinπ6AD＝1，∴∠ADB ＝π2，即BD ⊥AD .(2分)∵DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BD .(4分) 又AD ∩DE ＝D ，∴BD ⊥平面ADE .∵BD ⊂平面BDEF ，∴平面BDEF ⊥平面ADE .(6分)(2)由(1)可知，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD .设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.以D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)，∴AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)，AF →＝(－1，3，3)．(8分)设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝2.∴平面AEC 的一个法向量为n ＝(3，2,1)．(9分) ∴|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n |·|AF →|＝4214.(11分)∴直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214.(12分) 选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．[规范解答及评分标准] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ，消去t 得y ＝2x .把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝2x ，得ρsin θ＝2ρcos θ，∴直线l 的极坐标方程为sin θ＝2cos θ.(5分) (2)∵ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的方程可化为x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆C 的圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝55. ∴|AB |＝24－d 2＝2955.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ， ∴3x －1<－x 或3x －1>x ， 解得x <14或x >12.(4分)(2)当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1a，－a x ＋1，x <1a，要使函数f (x )的图象与x 轴没有交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1>0，－a ，即1≤a <2.当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点．当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1a，－ax ＋1，x >1a.要使函数f (x )的图象与x 轴没有交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a－1<0，－a ，此时a 无解．综上所述，当1≤a <2时，函数f (x )的图象与x 轴没有交点．(10分)“。
高中数学高考复习每日一题(整理)
高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
2019年高考数学(文科)二轮专题复习大题规范练一(含答案)
大题规范练(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)当f (x )＝2时，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值； (2)若g (x )＝f (2x )，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：(1)依题意，sin x ＋cos x ＝2⇒(sin x ＋cos x )2＝2⇒sin 2x ＝1， ∴cos 2x ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝12.(2)g (x )＝f (2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－1，2]．2．(本题满分12分)A 药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A 药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件，以抽取的10件中药材的质量(单位：克)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A 药店根据中药材的质量的稳定性选择药厂．(1)根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)(2)若将抽取的样本分布近似看成总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：(ⅰ)估计A (ⅱ)若A 药店所购买的100件中药材的总费用不超过7 000元，求a 的最大值． 解：(1)A 药店应选择乙药厂购买中药材．(2)(ⅰ)从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为x －＝110×(7＋9＋11＋12＋12＋17＋18＋21＋21＋22)＝15(克)，故A 药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15＝1 500(克)．(ⅱ)由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n <15的概率为510＝0.5，15≤n ≤20的概率为210＝0.2，n >20的概率为310＝0.3，则A 药店所购买的100件中药材的总费用为100×(50×0.5＋0.2a ＋100×0.3)． 依题意得100×(50×0.5＋0.2a ＋100×0.3)≤7 000， 解得a ≤75， 所以a 的最大值为75.3．(本题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN 的高．解：(1)在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝ （AB －CD ）2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥BC .又AC ∩PC ＝C ，故BC ⊥平面PAC . (2)取N 为PB 的中点(图略)．因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2.又AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面， 所以点N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点．因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面PAC 的距离d ＝12BC ＝ 2.又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2，所以V N ACM ＝13×2×2＝23.由题意可知，在直角三角形PCA 中，PA ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3， 在直角三角形PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝ 2. 设三棱锥A CMN 的高为h ，V N ACM ＝V A CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A CMN 的高为 2.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22，曲线C 1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，tan θ1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝255，tan θ1＝2.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧2ρ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2cos π4＋cos θ2sin π4＝22，tan θ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝253，tan θ2＝2.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4515，所以线段PQ 的长为4515.5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)求不等式f (x )＋|x ＋1|＜2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为a ，且m ＋n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求4m ＋1n的最小值．解：(1)f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12. 当x ≤－1时，－3x ＜2，得x ＞－23，无解；当－1＜x ＜12时，－x ＋2＜2，得x ＞0，即0＜x ＜12；当x ≥12时，3x ＜2，得x ＜23，即12≤x ＜23.综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.(2)由条件得g (x )＝|2x －1|＋|2x －3|≥|(2x －1)－(2x －3)|＝2，当且仅当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32时，其最小值a ＝2，即m ＋n ＝2.又4m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋24n m ×m n ＝92， 所以4m ＋1n 的最小值为92，当且仅当m ＝43，n ＝23时等号成立．大题规范练(二)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{a n }的前5项和为55，且a 2，a 6＋a 7，a 4－9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（a n －6）（a n －4），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜12.解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝55，（a 1＋5d ＋a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋3d －9）⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝0(舍去)． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝7＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋5. (2)证明：由a n ＝2n ＋5，得b n ＝1（a n －6）（a n －4）＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12.2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒， 需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1， 需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2， 需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3， 需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25， 需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元， 所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600， 当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x ＜160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得160＞x ≥140. 当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元． 所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点，连接MN .(1)证明：直线MN ∥平面PCD ；(2)若点Q 为PC 中点，∠BAD ＝120°，PA ＝3，AB ＝1，求三棱锥A QCD 的体积．解：(1)取PD 中点R ，连接MR ，RC (图略)，∵MR ∥AD ，NC ∥AD ，MR ＝12AD ，NC ＝12AD ，∴MR ∥NC ，MR ＝NC ，∴四边形MNCR 为平行四边形，∴MN ∥RC ，又RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴直线MN ∥平面PCD .(2)由已知条件得AC ＝AD ＝CD ＝1，∴S △ACD ＝34， ∴V A QCD ＝V Q ACD ＝13×S △ACD ×12PA ＝18.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0； 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4可得点P 的直角坐标为(2，－2)．曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)，代入y ＝x 2得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数，则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ＞9.综上，原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}． (2)∵|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |.由(1)知f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，所以2|a |≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34.。
高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练
大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。
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每日一题 规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝a 2a 9，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧（7＋d ）2＝（7－d ）（7＋6d ），a 1＋2d ＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)由(1)得b n ＝a n ·a n ＋1＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，S n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. [题目2] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，又T ＝π，所以ω＝2， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，其单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤3π8，π2.[题目3] (本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解：(1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，所以从年龄在[7，20)抽取的人数为118×18＝1，从年龄在[20，40)抽取的人数为118×54＝3，从年龄在[40，80]抽取的人数为118×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2. (2)设从[7，20)中抽取的1人为a ，从[20，40)中抽取的3人分别为b ，c ，d ，从[40，80]中抽取的2人为e ，f .从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件A 为“2人来自同一年龄组”，包含(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(e ，f )，共4个基本事件，则P (A )＝415，故2人来自同一年龄组的概率为415.[题目4] (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ， 所以AP ⊥CD ， 因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .[题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． (1)证明：因为k 1，k 2存在，所以x 1x 2≠0， 因为m ·n ＝0，所以x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)解：①当直线PQ 的斜率不存在， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0，(*) 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x 1|＝2，|y 1|＝22. 所以S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)＞0，x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.因为x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1，满足Δ＞0.所以S △POQ ＝12·|b |1＋k2·|PQ |＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2＋1－b24k 2＋1＝2|b |·b 22b2＝1.综上可知，△POQ 的面积S 为定值．[题目6] (本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax －a －ln x ，f (x )＝xg (x )，且g (x )≥0.(1)求实数a 的值；(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)＝0且0＜x 0＜1时，f (x )≤f (x 0)． (1)解：g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝a －1x，x ＞0.因为g (x )≥0，且g (1)＝0，故只需g ′(1)＝0. 又g ′(1)＝a －1，则a －1＝0，所以a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x，显然当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，此时g (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1，g ′(x )＞0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以x ＝1是g (x )的唯一的极小值点， 故g (x )≥g (1)＝0. 综上，所求a 的值为1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x .设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0， 所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．又h (e －2)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 则x ＝x 0是f (x )在(1，1)的最大值点，所以f (x )≤f (x 0)成立．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值． 解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )＞0，即a ＞0， t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝ （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8－8（1－4a ）＝32a ＝8， 所以a ＝2.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R. (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.(1)解：因为f (x )＜|x |＋1，所以|2x －1|＜|x |＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解． 故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1| ＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1| ≤2×13＋16＝56＜1.所以，对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，f (x )＜1成立．。