重庆市高2010级高三上期一诊考试题(数学理)参考答案
重庆市2010年高三上大部分区县期末联考试题(数学理)扫描版
高2011级（上）期末测试卷 数学（理工类）参考答案一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。
1～5 CBACB6～10 CAABD6．C根据定义有()sin 2cos()6f x x x x π=-=+，则至少向左平移56π个单位是偶函数．7．A 根据已知条件可得1ABC S ∆=，则12x y +=，且0,0x y >>．8．A 由可行域知当4,6x y ==时有最大值，则2323231325236,3266a b a b b a a b a b abab+++=+=+=++≥．9．B 易证)(x f 是R 上的奇函数与增函数． 10．D 如图：因为CD 弧长=2R πα⋅=，所以2πα=，故图中阴影部分的面积为142π-．所以可得原题中 阴影部分的面积为1333[2()]3422πππ-⨯⨯-=+．二．填空题：本大题共5小题，共25分。
11. )25,21(12. )2,1( 13．2 14.1)21(34--n 15. p 2 14．由⎩⎨⎧>==⇒+=-1213121n n a S n nnn ， 所以11221)21(3421212131111---=++++=+++n n na a a ． 15．设θ=∠AFB ，则由圆锥曲线的第二定义得θθcos 1||,cos 1||+=-=p BF pAF ，OCDα由 90=∠QBF 知：θθθ2cos 1cos cos ||-=⇒=pBF ， p p BF AF 2cos 1cos 2||||2=-=-θθ．三．解答题：本大题共6小题，共75分。
16．(本小题满分13分)解： （Ⅰ）由余弦定理，2124122cos 222==-+=acbc a B 3π=⇒B …………6分．（Ⅱ）由面积法有，13396132334sin 21sin 21=⨯⨯==⇒==∆bBac h bh B ac S …………13分．17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）A ＝{}|12x x x ≤->或…………3分B ＝{}|1x x a x a <>+或…………6分．（Ⅱ）由A B ＝B 得A ⊆B ，因此112a a >-⎧⎨+≤⎩…………10分所以11a -<≤,所以实数a 的取值范围是]1,1(-…………13分．18．(本小题满分13分)解： （Ⅰ）设它们的夹角为θ，则(cos sin sin cos )cos sin()O A O B m m O A O Bαβαβθαβ⋅-+===-=1sin 62π=， 故3πθ=……6分．≥得22(cos sin )(sin cos )4m m αβαβ++-≥即212sin()4m m βα++-≥对任意的,αβ恒成立…………9分则2214m m m >⎧⎨-+≥⎩或2214m m m <⎧⎨++≥⎩，解得33m m ≤-≥或…………13分．19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1a >时，x y a =在R 上单调递增，1()xxy aa-==在R 上单调递减 所以，原函数在R 上单调递增；同理，当01a <<时，原函数在R 上单调递减．…………6分 （Ⅱ）313(1),22f a a=∴-=，即212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22)2xxx xx xxxg x m m ----∴=+--=---+………8分 令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t m t t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，2m in ()()22g t g m m ==-=-，22m m ∴==-或（舍） 当32m <时，m in 317()()3224g t g m ==-=-，253122m ∴=>（舍）综上可知2m =…………12分．20. (本小题满分12分)解：依题意得：)0,1(-Q ，直线l 斜率存在，设其斜率为k ，则l 的方程为)1(+=x k y ，代入抛物线方程有：0)42(2222=+-+kx k x k …………2分（Ⅰ）若0≠k ，令0=∆得，1±=k ，此时l 的方程为1,1--=+=x y x y .若0=k ，方程有唯一解．此时l 的方程为0=y …………4分（Ⅱ）显然0≠k ，记),(),,(2211y x B y x A ，则1,24212221=-=+x x kk x x ，ky y 421=+，4)1(2121221=+++=x x x x k y y …………6分（ⅰ）0)1)(1()1(2112121221121=---=-+-=+x x x x k x y x y k k …………8分（ⅱ）设点R 的坐标为),(y x ，∵||||||||QB AQ RB AR =， ∴02121--=--y y yy y y ，k ky y y y y 244222121=⨯=+=∴11211=-=-=∴y kx …………10分由0>∆得，11<<-k ，又0≠k ，∴)2,0()0,2( -∈y ． 综上，点R 的轨迹为,1=x )2,0()0,2( -∈y ……………………12分21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）12sin 3n a n ≤=+≤，故{}n a 为有界数列…………2分 （Ⅱ）设公比为q ，当01q <<时，11(1)11nn a q a S qq-=<--，则正数数列{}n S 满足11n a S q<-，即为有界数列；当1q =时，1n S na =→+∞，故为无界数列；当1q >时，121......n n S a a a na =+++>→+∞，此时为无界数列.综上：当且仅当01q <<时，{}n S 为有界数列…………6分.（Ⅲ）{}n a 为无界数列，事实上 11111111 (3)57214682na n n=++++>++++-1111112 (3456)212n a n n∴>++++++-2111112 (3)45622nna ∴>+++++⋅11111111111()()(....)....(....)345678916212222nnnn=++++++++++++++++1111248 (24)816222n nn >⨯+⨯+⨯++⨯=⨯24nn a ∴>故当n 无限增大时n a 也无限增大，所以{}n a 无界…………12分.。
重庆市2010届高三上学期期末测试(数学理)
高2010级(上)期末测试卷数学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。
参考公式：当事件A 、B 互斥时，那么P(A+B) = P(A)+P(B) 当事件A 、B 互相独立时，那么P(A ·B) = P(A)·P(B)如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生K 次的概率k n kk n n p p c k p --=)1()(．一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求．1. 设集合A=｛a ，b ｝，则满足A B=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合B 的个数是A.1B.4C.8D.162． 函数lg(1)y x =+的反函数的图像为3. 在等差数列{n a }中, 1328,3a a a ⋅== , 则公差d =DxCABA. 1B. －1C. ±1D. ±24. 直线1l 在x 轴和y 轴上的截距分别为3和1，直线2l 的方程为022=+-y x ，则直线1l 到2l 的角为A ．71arctanB ．45C ．135D ．45或1355. 已知3sin tan 2=⋅αα，02<<-απ，则)6cos(πα-的值是A ．0B ．23C ．1D ．216． 把函数）（x y 3lg =的图像按向量a 平移，得到函数)1lg(+=x y 的图像，则a为A ． )3lg ,1(-B ． )3lg ,1(-C ．)3lg ,1(--D ．)0,31(7. 已知x a x f =)(，x b x g =)(，当3)()(21==x g x f 时，21x x >，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是 A ．1>>a bB ．01>>>b aC．10<<<b aD ．01>>>a b8. 双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且满足：2221+=+n PF PF ，则21F PF ∆的面积是A ．1B ．21C ．2D ．49． 称||),(d -=为两个向量、间的“距离”.若向量、满足: ① 1||=； ② ≠；③ 对任意的R t ∈,恒有),(),(d t d ≥则 A. ⊥B. )(-⊥C. )(-⊥D.)()(-⊥+10. 关于x 的方程0)1(122=++++b x x a xx 有实数根，则22b a +的最小值是 A.52B. 1C. 54D. 52二．填空题：（本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线022=+y x 的焦点坐标是_____________． 12. 不等式2|log 1|2>+x 的解集是_____________．13．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则yx z )21()41(⋅=的最小值为_____________．14. 已知数列}{n a 满足11,211221++-==-n na n n a a n n ，则数列}{n a 的通项=n a _____________．15. 如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC 是边长为1的正三角形，曲线11223,,CA A A A A 分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画的弧，曲线123CA A A 称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l =_____________．(用π表示即可)三. 解答题：（本大题共6小题，共75分）（各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程）. 16. （本小题满分13分）已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=. （Ⅰ）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值； （Ⅱ）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围.A 3A 2A 1CA B17. （本小题满分13分）已知函数x x b x a x f cos sin cos 2)(2+=)0,0>>b a （，)(x f 的最大值为a +1，最小值为21-. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间.18. （本小题满分13分）已知数列}{n a 中，11=a ，113--⋅=n n n a a ),2(*N n n ∈≥．数列}{n b 的前n 项和)9(log 3n nn a S =)(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列|}{|n b 的前n 项和． 19. （本小题满分12分）已知22()log a xf x x a--=-是奇函数.(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若关于x 的方程1()2x f x m --=⋅有实解,求m 的取值范围.20. （本小题满分12分)已知点()1,1A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 是椭圆的两焦点，且满足421=+AF AF ．（Ⅰ）求椭圆的两焦点坐标；（Ⅱ）设点B 是椭圆上任意一点，如果AB 最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；（Ⅲ）设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.21. （本小题满分12分)已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x . （Ⅰ）求证：{3121+-n x }是等比数列；（Ⅱ）求证：)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n .高2010级（上）期末测试卷 数学（理工类）（参考答案）一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分． 1～5 BDCBA 6～10 CDACC 10. 令t xx =+1，则原方程化为022=-++b at t ，其中2||≥t ，此方程有根有以下情形对于图)(),(),(c b a ，易知0)2(≤-f 和0)2(≤f 中至少有一个成立 即有022≤++-b a 或022≤++b a由线性规划知识可知，),(b a 满足的平面区域如图阴影部分所示且点O 到直线的距离为5252002=++⨯Oxyxyxxxx)(a )(b )(c )(d )(e故此时5422≥+b a ，其中当52,54-=±=b a 时取等号 对于图)(),(e d ，显然有4≥a ，此时1622≥+b a ，故有22b a +的最小值为54． 二．填空题：本大题共5小题，共25分．11. )81,0(- 12. ),2()81,0(+∞ 13.116 14. 12+n n 15.π)3(2n n +三. 解答题：本大题共6小题，共75分． 16.（13分）解：（1）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=),1,2(),1,3(m m AC AB --== 由三点共线知m m -=-2)1(3∴实数21=m 时，满足的条件…………6分（2）由题设知),1(),1,3(m m BC BA ---=--=ABC ∠ 为锐角，43033->⇒>++=⋅∴m m m …………12分又由（1）可知，当21=m 时， 0=∠ABC ，故),21()21,43(∞+-∈ m …………13分17.（13分）解：（1）a x b a x b x a x f +++=++=)2sin(42sin 2)2cos 1()(22ϕ，由题设知214,142222-=+-=+b a a b a ，所以21=a ，3=b (4)分所以21)62sin(212cos 212sin 23)(++=++=πx x x x f ， 所以)(x f 的最小正周期为π…………7分 （2）由63226222πππππππππ+≤≤-⇒+≤+≤-k x k k x k ，所以)(x f 单调增区间为]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈…………13分18.（13分）解：（1）11333log log --⋅=n n n a a ，)1(log log 133-+=-n a a n n)1(21log log 133-+++=-n a a n 2)1(-=n n ，n a 3log 2)1(-=n n ， )9(log 3n n n a S =252nn -=)(*N n ∈…………4分211-==S b ，当2≥n 时，31-=-=-n S S b n n n ，∴数列}{n b 的通项公式3-=n b n )(*N n ∈．…………7分（2）设数列|}{|n b 的前n 项和为n T ，当03≤-=n b n 即3≤n 时，n n S T -=252n n -=； 当3>n 时，32S S T n n -=21252+-=n n ．…………13分19（12分）解： （Ⅰ）由20a xx a-->-得：2a x a -<<…………2分()f x 为奇函数，2 1.a a a ∴-=-⇒=经验证可知：1=a 时，)(x f 是奇函数，1=a 为所求…………5分（Ⅱ）12121()log ,().121x x x f x f x x -+-=∴=-+ …………8分 法一：由1()2x f x m --=⋅得：22(2)2(21)3(21)22121x x x x x xm -+-++==++ 2(21)3 3.21xx =++-≥+当且仅当2log 1)x =时，min 3m =所以m 的取值范围是3,)+∞…………12分 法二：原方程即2(2)(1)20x xm m -+-=设2xt =，则2(1)0t m t m -+-=原方程有实解，等价于方程2(1)0t m t m -+-=有正实解…………6分令2()(1)g t t m t m =-+-则(0)0g <或(0)0102g m =⎧⎪⎨+>⎪⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥++=∆>02104)1(0)0(2m m m g …………10分 0m ⇒>或0m =或30m ≤<所以m的取值范围是3,)+∞…………12分20.(12分) 解：（I ）由椭圆定义知：42=a ∴2=a ∴14222=+b y x 把()1,1代入得11412=+b∴ 342=b 则椭圆方程为134422=+y x ∴ 38344222=-=-=b a c ∴ 362=c 故两焦点坐标为)0,362(),0,362(-．…………3分 （II ） 用反证法 ： 假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为()1,1-- ，此时22=AB 取椭圆上一点()0,2-M ，则10=AM ∴AB AM >．从而此时AB 不是最大，这与AB 最大矛盾，所以命题成立．…………7分（III ）设AC 方程为：()11+-=x k y 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 消去y 得()()01631631222=--+--+k k x k k xk ∵点()1,1A 在椭圆上∴1316322+--=k k k x C …………9分∵ 直线AC 、AD 倾斜角互补 ∴ AD 的方程为()11+--=x k y同理 1316322+-+=k k k x D …………10分又()()11,11+--=+-=D D C C x k y x k y()k x x k y y D C D C 2-+=-所以31=--=D C D C CD x x y y k 即直线CD 的斜率为定值31．…………12分21.(12分)过C ：xy 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ， 于是有：21+=+n n n x x x . …………2分记3121+-=n n x a ，则n n nn n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++，因为023121,711111≠-=+-==x a x 而， 因此数列{3121+-n x }是等比数列. ………… 6分（3）由（2）可知：31)2(12,)2(--+=-=n n nn x a 则，31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-n n n n n x .当n 为偶数时有：- 11 - =-+---n n n n x x )1()1(11 =n n n n n n n n n n n n 21212222)312)(312(2231213121111111+<⋅+<-++=-++------， 于是①在n 为偶数时有：12121212121)1()1()1(432221<+++++<-++-+-n n n x x x .…………10分 ②在n 为奇数时，前n -1项为偶数项，于是有： n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+--- 131211)31)2(12(11)1(1<++-=--+-=-=-+<n n n n n x x .…………12分综合①②可知原不等式得证.。
最新高三数学题库 2010学高三年级第一次练习数学试卷理参考答案
嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．答案：1．因i a a ai i )1(1)1)(1(-++=-+是实数，所以=a 1． 2．答案：]2,0[．由022≥-x x ，得022≤-x x ，所以]2,0[∈x ． 3．答案：1．112+=a a ，314+=a a ，由已知得4122a a a =，即)3()1(1121+=+a a a ，解得11=a ． 4．答案：257-．由532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，得53cos =θ，所以2571cos 22cos 2-=-=θθ．5．答案：2-．解法一：函数x x f -=)(的反函数为21)(x x f =-（0≤x ），由4)(1=-x f 得42=x ，因为0<x ，故2-=x ．解法二：由4)(1=-x f ，得2)4(-==f x ．6．答案：105arccos． 因为AB ∥11B A ，故1BAC ∠就是异面直线1AC 与11B A 所成的角，连结1BC ，在1ABC 中，1=AB ，511==BC AC ，所以10552121cos 11===∠AC ABBAC ．7．答案：0．因)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，在等式)()2(x f x f -=+中令2-=x ，得0)2(=-f ． 8．答案：2．9)21(x -展开式的第3项为288)2(2293=-=x C T ，解得23=x ，所以232132132lim 323232lim 111lim 22=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→nn nn n n x x x ．9．答案：1．三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式为xa x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ．10．答案：16．1=a ，满足3≤a ，于是4211==+b ；2=a ，满足3≤a ，8212==+b ；3=a ，满足3≤a ，则16213==+b ；4=a ，不满足3≤a ，则输出b ，16=b ．11．答案：21．满足条件的选法可分为三类：A 组2人，B 、C 组各1人，有121325C C C 种选法；B 组2人，A 、C 组各1人，有122315C C C 种选法；C 组2人，A 、B 组各1人，有221315C C C 种选法．所以A 、B 、C 三组的学生都有的概率21210105410221315122315121325==++=C C C C C C C C C C P ． 12．答案：65π．由题意，612cos 2>θ且212sin 2>θ，⎩⎨⎧==+22cos 34ab b a θ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+21112sin 211a b a b θ，所以θθ2sin 22cos 32-=，32tan -=θ，因)2,(2ππθ∈，故352πθ=，65πθ=．13．答案：①③④．由y x y f x f ⋅=⋅)()(，得y x a y a y a x a x⋅=⋅⋅-⋅⋅⋅-])(2[])(2[，化简得)()()()(2y a x a a y a x a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，当0 =a 时，等式成立；当0 ≠a 时，有12=a ，即1||=a，所以①、③、④都能使等式成立． 14．答案：4．11+<<t a t ，则t t a a <<-=112，t t a t a t a >+>-+=-+=1222123，t a t t a a <-+=-=1342，1452a a t a =-+=．所以}{n a 是以4为周期的周期数列．（第14题也可取满足条件的t 和1a 的特殊值求解）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C ．16．A ．17．D ．16．B ．15．由5:4:3::=c b a 可得a ，b ，c 成等差数列；若a ，b ，c 成等差数列，则c a b +=2，由勾股定理，222c b a =+，得2222c c a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++，032522=-+c ac a ，解得53=c a ，令k a 3=（0>k ），则k c 5=，得k b 4=．所以5:4:3::=c b a ．16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．若圆锥的侧面展开图是一个圆面，则可得圆锥底面半径的长等于圆锥母线的长；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．17．作出函数xy 2=与2x y =，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点（第一象限的两个交点是)4,2(和)16,4(）．18．若取1x 、2x 为区间]4,2[的两个`端点，则8)()(21=x f x f ．若8>C ，取21=x ，4)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，16)(2≤x f ，于是8)(4)()(221≤=x f x f x f ；若8<C ，取41=x ，16)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，4)(2≥x f ，于是8)(16)()(221≥=x f x f x f ．所以8=C ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 解：设半圆的半径为r ，在△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ， 连结OM ，则AB OM ⊥，……（2分） 设r OM =，则r OB 2=，…………（4分） 因为OB OC BC +=，所以r BC 3=，即33=r ．………………（6分）130tan 0=⋅=BC AC ．阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径33=r 的球．………………（8分） 所以，圆锥V V =球V -πππ27353334313132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅=．…………（12分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）若1=ω，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos ,1πx a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2,2πx b ，由a ∥b 的充要条件知，存在非零实数λ，使得a b ⋅=λ，即⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos 6sin 22πλπλx x ， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos 6sin ππx x ，16tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，…………（3分）（以下有两种解法：）解法一：46πππ+=-k x ，Z k ∈，125ππ+=k x ，Z k ∈，32333333133164tan 125tan 125tan tan +=-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππk x ．…（6分） 解法二：323313316tan 6tan 16tan 6tan 66tan tan +=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x ． 所以321313tan +=-+=x ．…………（6分）（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6cos 6sin 226cos 6sin 22)(πωπωπωπωx x x x x f⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin πωx ，…………（8分） 因为)(x f 的最小正周期为π，所以πωπ=22，1=ω，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f ，…………（10分）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ，…………（12分） 所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23．…………（14分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）由已知，当0=x 时，8)(=x C ，即85=k，所以40=k ，……（1分） 所以5340)(+=x x C ，…………（2分）又加装隔热层的费用为x x C 6)(1=．所以5380066534020)()(20)(1++=++⨯=+⋅=x x x x x C x C x f ，…………（5分） )(x f 定义域为]10,0[．…………（6分）（2）10380062103538003563538006538006)(-⨯≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=x x x x x x x f70=，…………（10分）当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+353800356x x ，18800352=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，32035=+x ，即5=x 时取等号．…………（13分） 所以当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用)(x f 最小．最小总费用为70万元．…（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解：（1）1=m 时，1)(2+=x x f ，因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，2)(23==a f a ，5)(34==a f a ．…………（3分，每求对一项得1分）（2）m x x f +=2)(，则m a =2，m m a +=23，m m m m m m m a +++=++=2342242)(，…………（5分） 如果2a ，3a ，4a 成等比数列，则)2()(23422m m m m m m m +++=+，234523422m m m m m m m +++=++，0345=-+m m m ，…………（6分）因为02≠=m a ，所以012=-+m m ，251+-=m 或251--=m ．……（8分）当251+-=m 时，数列的公比2511223+=+=+==m m m m a a q ．……（9分） 当251--=m ，251-=q ．…………（10分） （3）1)(2-=x x f ，),0[+∞∈x ，所以1)(1+=-x x f （1-≥x ），……（11分）11=b ，121+=+n n b b ，所以1221+=+n n b b ，而121=b ，所以{}2n b 是以1为首项，1为公比的等比数列，n b n =2，…………（13分）所以2)1(21+=+++=n n n S n ，…………（14分） 由2010>n S ，即20102)1(>+n n ，解得63≥n ，所以所求的最小正整数n 的值是63．…………（16分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分． 23．解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………（2分） 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a ay ，……（3分） 即x x a a y --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||（或xx a a x f 2)(||+=）．………………（5分）（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2， 即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．…………（8分）作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，…………（11分）解得322<<m ．所以m 的取值范围是)3,22(．…………（12分） （3）x x a ax g 2)(||+=，),2[∞+-∈x ．当0≥x 时，因为1>a ，所以1≥xa ，),3[3)(∞+∈=xa x g ，所以函数)(x g 不存在最大值．…………（13分）当02<≤-x 时，x xa a x g 12)(+=，令xt 2=，则t t t h x g 12)()(+==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,12a t ， 当2212>a ，即421<<a 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,12a 上是增函数，存在最小值222a a +，与a 有关，不符合题意．…………（15分）当22102≤<a ，即42≥a 时，)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,12a 上是减函数，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22上是增函数，当22=t 即2log 21a x -=时，)(t h 取最小值22，与a 无关．…………（17分）综上所述，a 的取值范围是),2[4∞+．…………（18分）。
重庆一中2010届高三上学期第四次月考(数学理)
秘密★启用前重庆一中高2010级高三上期第四次月考数学试题卷（理科）2009.12数学试题共3页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(每小题5分,共50分)1.已知集合,集合,则=( )A. B. C. D.2.若,且,则锐角=( )A. B. C. D.3.下列命题中正确的是( )A.若实数满,则B.若实数满足,则C.若,则D.若,则4.等差数列满足:,则=( )A. B.0 C.1 D.25.已知,则“”是“”的( )条件.A. 充要B. 既不充分也不必要C. 必要不充分D. 充分不必要6.△ABC中, ,则∠C=( )A. B. C.或 D.或7.已知,与的夹角为,如下图所示,若, ,且为的中点,则=( )A. B.C. D.8.已知.且当时, ,则的解集是( )A. B. C. D.9.定义域为R的函数对任意都有,且其导函数满足,则当时,有( )A. B.C. D.10.若实数满足,则的最大值是( )A. B. C. D.二.填空题.(每小题5分,共25分)11.若,则= .12.分有向线段所成的比为,则分有向线段所成的比为.13.手表的表面在一平面上,整点1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上,从整点到整点的向量记作,则=.14.设函数，且，则.15.设的内角满足成等比数列，则的取值范围是.三.解答题.(共75分)16. (13分)已知向量(其中).设,且的最小正周期为.(1)求;(2)若,求的值域.17. (13分)△ABC中,分别是角A,B,C的对边,且.(1)求;(2)若,且,求△ABC的面积.18. (13分)已知数列的前项和为,且.(1) 求证:为等差数列；(2)求;(3)若, 求19. (12分)已知,满足.且在R上恒成立.(1)求;(2)若,解关于的不等式:.20. (12分)设.(1)若,与在同一个值时都取极值,求;(2)对于给定的负数,当时有一个最大的正数,使得时,恒有.(i)求的表达式;(ii)求的最大值及相应的的值.21. (12分)已知数列满足,其中,函数.(1)若数列满足, ,求;(2)若数列满足.数列满足,求证:.重庆一中高2010级高三上期第四次月考答案数学试题卷（理科）2009.12二.填空题.(每题5分,共25分)11.；12.1 ；13. ；14.；15.三.解答题.(共75分)16.解:(1)∵∴∴(2)由(1)得: ∵∴∴∴的值域为17.解:(1)由正弦定理及有:即∴又∴∴又∴又∴(2)在△ABC中,由余弦定理可得:,又∴∴∴18.解:(1)当时,由已知有易知故∴为首项为2,公差为2的等差数列. (2)易知,当时, ∴(3)易知,时.∴19.解:(1) ∴∴由有，∵在R上恒成立, 即:恒成立显然时不满足条件，∴即∴∴(2) ∴即，即,∴当时,即时，解集为；当时,即时，解集为；当时,即时，解集为.20.解: (1)易知在时取得极值.由得由题意得:. 故.经检验时满足题意.(2) (i)因. ∴.情形一:当,即时,此时不满足条件。
重庆市高2010级高三上期一诊考试题(数学理)
高2010级（上）期末测试卷数学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页．满分150分．考试时间120分钟一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合},{b a A =，则满足},,,{A d c b a B = 的所有集合B 的个数是（ ） A ． 1 B. 4 C.8 D.162．函数)1lg(+=x y 的反函数的图像为（ ）3. 在等差数列}{n a 中，138a a =,2a =3,则公差d =（ ）A.1B. -1C. ±1D. ±24. 直线1l 在x 轴和y 轴上的截距分别为3和1，直线2l 的方程为022=+-y x ，则直线1l 到2l 的角为（ ）A.71arctanB.45C.135D. 45 或135 5. 已知αtan 2.02,3sin <<-=a a π，则)6cos(πα-的值是（ ） A.0 B.23C. 1D. 216．把函数)3lg(x y =的图像按向量→a 平移，得到函数)1lg(+=x y 的图像，则→a 为（ ） A ．（-1，3lg ） B.（1，-3lg ） C.（-1，-3lg ） D.（31，0） 7．已知xa x f =)(，xb x g =)(，当3)()(21==x g x f 时，21x x >，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是（ ）A. 1>>a bB. 01>>>b aC. 10<<<b a D. 01>>>a b8．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且满足：2221+=+n F P F P ，ABCDA ．1B ．21C ．2D ．4 9.称→→→→-=b a b a d ),(为两个向量→a 、→b 间的“距离”．若向量→a 、→b 满足：①1=→b ；②→→≠b a ；③对任意的R t ∈，恒有),(),(→→→→≥b a d b t a d 则（ ）A ．→→⊥b a B.)(→→→-⊥b a a C. )(→→→-⊥b a b D. )()(→→→→-⊥+b a b a10.关于x 的方程0)1(122=++++b xx a x x 有实数根，则22b a +的最小值是（ ） A ．52B ．1C ．54D ．52二、填空题：（本大题共5个小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）11．抛物线022=+y x 的焦点坐标是________ ____. 12.不等式2log 12>+x 的解集是____ ________.13．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则x z )41(=.y)21(的最小值为__________.14．已知数列}{n a 满足,11,211221++-==-n na n n a a n n 则数列}{n a 的通项n a =__________ . 15 如图，一条螺旋线是用以下办法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线32211,,A A A A CA 分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画弧，曲线321A A CA 称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，所得的螺旋线的长度n l =_____ _____.（用π表示即可）三、解答题：（本大题共6个小题，共75分）（各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程）．16．（本小题满分13分）已知向量)4,3(-=−→−OA ，)3,6(-=−→−OB ，)3,5(m m OC ---=−→−.（Ⅰ）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值； （Ⅱ）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围．已知函数)0,0(cos sin cos 2)(2>>+=b a x x b x a x f ，)(x f 的最大值为a +1，最小值为21-． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．18.（本小题满分13分） 已知数列}{n a 中，11=a ，113--⋅=n n n a a ).,2(*N n n ∈≥数列}{nb 的前n 项和))(9(log *3N n a S n n n ∈=． （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．19．（本小题满分12分） 已知ax xa x f ---=2log )(2是奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程x m x f --⋅=2)(1有实解，求m 的取值范围．已知点)1,1(A 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，21,F F 是椭圆的两焦点，且满足421=+AF AF ．（Ⅰ）求椭圆的两焦点坐标；（Ⅱ）设点B 是椭圆上任意一点，如果AB 最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称； （Ⅲ）设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．21．（本小题满分12分）已知曲线C ：1xy =过C 上一点(n n A x ，)n y 作一斜率21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点11(n n A x ++，1)n y +，点列*()n A n N ∈的横坐标构成数列}{n x ，其中7111=x ． （Ⅰ）求证:}3121{+-n x 是等比数列； （Ⅱ）求证：23123(1)(1)(1)x x x -+-+-+…*(1)1()n n x n N +-<∈．。
重庆一中2010届高三上学期第一次月考(数学理)
绝密★启用前重庆一中高2010级高三上期第一次月考数学试题（理科）2009.9数学试题共 4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题只有一个正确答案。
每题5分，共50分）1.函数的定义域为（）A．B．C．D．2．若集合，则（）A．B．C．D．3.下列函数中，满足对任意，（0，），当<时，都有>的是（）A．= B. = C . = D.4．若条件，条件，则是的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5．已知函数，当时，则的值为（）A．B．C．D．26．设是函数的反函数，则的解集为（）A．B．C．D．7．若关于的方程有实数解，则实数的范围是（）A．B．C．D．8.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的取值范围是（）A.（，）B. ［，）C.（，）D. ［，）9．函数的最小值．．．为（）A．0 B. 2 C. D.10．二次函数方程有两个小于1的不等正根，则a的最小值为（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知函数若，则；12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为；13．命题“两组对边都相等的四边形是平行四边形”的否命题为；14.函数在区间上有单调性，则实数的范围是；15．给出以下命题：①若为奇函数，则；②若函数对任意的均有，则函数的图像关于直线对称；③设定义在上的函数的反函数为，且对于任意的，都有，则=0；④函数为R上的奇函数，对均有成立，则是以4为周期的周期函数。
其中正确命题的序号是。
三、解答题（共75分）16．（13分）记集合A=，的定义域为集合B.⑴求B .⑵若，求实数的范围。
2010一诊理科数学参考答桉
2010兰州高三诊断试题数学（理科）参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
）12． 解析：当0m <且1m≠-时，曲线为椭圆，则不经过区域M ；当1m =-时，曲线为以原点为圆心，1为半径的圆，不经过区域M 当0m =时，1x =±，不经过区域M当0m >时，曲线为焦点在x总经过区域M ，则有441m -=解得34m =故离心率2173e =和161m -=解得15m = 故离心率221615e =根据双曲线的性质可得： 22221e e e ≤≤ 即有16171153m ≤+≤ 所以3154m ≤≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13．8 14．33 15．312R 16．5a ．解析：依题意知曲线PQ 是以A 、B 为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB 为x 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为2213y x -=，点C 的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用||2||W a MB a MC =+=12(||||)2a MB MC +,设点M 、C 在双曲线右准线上射影分别为点1M 、1C ，根据双曲线的定义有11||||2M M M B =，所以11112(||||)2(|||)2||2(3)522W a MB MC a MM MC a CC a a =+=+≥=⨯-=当且仅当点M 为曲线PQ 与线段1CC 的交点时取等号，故W 的最小值是5a ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解:(Ⅰ) 由p ∥q得1cos2A A -=，所以22sin A A又A为锐角∴sin A =，1cos 2A = …………3分而222a cb mbc -=-可以变形为22222b c a mbc +-= 即1cos 22m A ==，所以1m = ……………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知 1cos 2A =,sin A = 又222122b c a bc +-= 所以22222bc b c a bc a =+-≥-即2bc a ≤故211sin 22ABC S bc A a ∆=≤=当且仅当b c ==ABC ∆……………10分 18．解：（Ⅰ）依题意，0≠n a ，故可将110(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1111(2)n n n a a --=≥ ………３分 所以111(1)nn n a =+⨯-= 即1n a n = …………………５分1n =,上式也成立，所以1n a n= …………………６分 （Ⅱ）∵1n n n b a a += ∴ 111111(1)1n b n n n n n n =⨯==-+++ …………………９分∴12311111111()()()()1223341n n S b b b b n n =++++=-+-+-++-+ 1111n n n =-=++ …………………10分 ∴lim lim11n n n n S n→∞→∞=+= …………………12分 19． 解：（Ⅰ）∵各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为p∴333620(1)64C p p -= …………2分解得12p =…………4分 （Ⅱ）记“需要补种”为事件A ，则包括有1A ：3颗未成活、2A ：有4颗未成活、3A ：有5颗未成活、4A ：有6颗未成活共四种情况 …………5分333161120()()()2264==P A C ，442261115()()()2264==P A C 55136116()()()2264==P A C ，66046111()()()2264==P A C …………7分 ∴20156121()6432+++==P A …………8分（Ⅲ）由题意知，ξ服从二项分布1(6,)2B …………10分∴3E np ξ== …………12分 或ξ的分布列为∴16152015610123456364646464646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20．解法一：依题意有AD ∥BC ，所以4MAD π∠=所以点M 是SD 的中点，且AM SD ⊥ …………３分 （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME …………４分ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点 M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线∴//ME SB …………５分 又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM ． …………６分 （Ⅱ）由题可得，CD ⊥平面SAD ，所以有CD AM ⊥，又⊥SD AM∴AM ⊥平面SCD ，∴ACM ∠为直线AC 与平面SDC 所成的角 …………８分 在Rt AMC ∆中，12AM SD AD ==，AC = ∴6ACM π∠=，即直线AC 于平面SDC 所成的角为6π…………９分 （Ⅲ）∵AM ⊥平面SCD ∴NMC ∠为二面角N AM C --的一个平面角 …10分且AM SC ⊥，又⊥AN SC∴SC ⊥平面AMN ∴SC MN ⊥. 在Rt MNC ∆中2==CM AD ， ∆ Rt SNM ∽∆Rt SDC∴6AD ADCD SMMN AD SC⋅===∴1cos 3ADMN NMC CM ∠=== ∴二面角N AM C --的大小为1arccos3…………12分 解法二：依题意有AD ∥BC ，所以4MAD π∠=所以点M 是SD 的中点，且AM SD ⊥如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，由S A A B =故设1AB AD AS === 则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),A B C 11(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22D S M …………3分（Ⅰ）连结BD 交AC 于E ，则11(,,0)22E ∵11(0,1,1),(0,,)22SB ME =-=-∴12ME SB = ∴SB ∥ME∴//SB 平面ACM …………6分（Ⅱ）由题可得，CD ⊥平面SAD ，所以有CD AM ⊥又⊥SD AM∴AM ⊥平面SCD∴AM为平面SCD 的一个法向量∴1cos ,2||||AM AC AM AC AM AC ⋅<>==⋅∴,3AM AC π<>=∴直线AC 于平面SDC 所成的角为236πππ-= …………９分（Ⅲ）∵AM ⊥平面SCD ∴AM SC ⊥，又AN SC ⊥∴SC ⊥平面AMN ∴(1,1,1)SC =-为平面AMN 的一个法向量。
2010学年高三年级第一次练习数学试卷理参考答案(打印版)
嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)参考答案与评分标准一．填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．答案:1．因i a a ai i )1(1)1)(1(-++=-+是实数，所以=a 1． 2．答案:]2,0[．由022≥-x x ，得022≤-x x ，所以]2,0[∈x ． 3．答案:1．112+=a a ，314+=a a ，由已知得4122a a a =，即)3()1(1121+=+a a a ，解得11=a ． 4．答案:257-．由532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，得53cos =θ，所以2571cos 22cos 2-=-=θθ．5．答案:2-．解法一:函数x x f -=)(的反函数为21)(x x f =-(0≤x )，由4)(1=-x f 得42=x ，因为0<x ，故2-=x ．解法二:由4)(1=-x f ，得2)4(-==f x ．6．答案:105arccos． 因为AB ∥11B A ，故1BAC ∠就是异面直线1AC 与11B A 所成的角，连结1BC ，在1ABC 中，1=AB ，511==BC AC ，所以10552121cos 11===∠AC ABBAC ． 7．答案:0．因)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，在等式)()2(x f x f -=+中令2-=x ，得0)2(=-f ． 8．答案:2．9)21(x -展开式的第3项为288)2(2293=-=x C T ，解得23=x ，所以232132132lim 323232lim 111lim 22=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→nn nn n n x x x ．9．答案:1．三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式为xa x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ．10．答案:16．1=a ，满足3≤a ，于是4211==+b ；2=a ，满足3≤a ，8212==+b ；3=a ，满足3≤a ，则16213==+b ；4=a ，不满足3≤a ，则输出b ，16=b ．11．答案:21．满足条件的选法可分为三类:A 组2人，B 、C 组各1人，有121325C C C 种选法；B 组2人，A 、C 组各1人，有122315C C C 种选法；C 组2人，A 、B 组各1人，有221315C C C 种选法．所以A 、B 、C 三组的学生都有的概率21210105410221315122315121325==++=C C C C C C C C C C P ． 12．答案:65π．由题意，612cos 2>θ且212sin 2>θ，⎩⎨⎧==+22cos 34ab b a θ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+21112sin 211a b a b θ，所以θθ2sin 22cos 32-=，32tan -=θ，因)2,(2ππθ∈，故352πθ=，65πθ=．13．答案:①③④．由y x y f x f ⋅=⋅)()(，得y x a y a y a x a x⋅=⋅⋅-⋅⋅⋅-])(2[])(2[，化简得)()()()(2y a x a a y a x a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，当0 =a 时，等式成立；当0 ≠a 时，有12=a，即1||=a，所以①、③、④都能使等式成立． 14．答案:4．11+<<t a t ，则t t a a <<-=112，t t a t a t a >+>-+=-+=1222123， t a t t a a <-+=-=1342，1452a a t a =-+=．所以}{n a 是以4为周期的周期数列．(第14题也可取满足条件的t 和1a 的特殊值求解)二．选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C ．16．A ．17．D ．16．B ． 15．由5:4:3::=c b a 可得a ，b ，c 成等差数列；若a ，b ，c 成等差数列，则c a b +=2，由勾股定理，222c b a =+，得2222c c a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++，032522=-+c ac a ，解得53=c a ，令k a 3=(0>k )，则k c 5=，得k b 4=．所以5:4:3::=c b a ．16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．若圆锥的侧面展开图是一个圆面，则可得圆锥底面半径的长等于圆锥母线的长；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．17．作出函数xy 2=与2x y =，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点(第一象限的两个交点是)4,2(和)16,4()．18．若取1x 、2x 为区间]4,2[的两个`端点，则8)()(21=x f x f ．若8>C ，取21=x ，4)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，16)(2≤x f ，于是8)(4)()(221≤=x f x f x f ；若8<C ，取41=x ，16)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，4)(2≥x f ，于是8)(16)()(221≥=x f x f x f ．所以8=C ．三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．(本题满分12分) 解:设半圆的半径为r ，在△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，连结OM ，则AB OM ⊥，……(2分) 设r OM =，则r OB 2=，…………(4分) 因为OB OC BC +=，所以r BC 3=，即33=r ．………………(6分)130tan 0=⋅=BC AC ．阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径33=r 的球．………………(8分) 所以，圆锥V V =球V -πππ27353334313132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅=．…………(12分)20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:(1)若1=ω，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos ,1πx a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2,2πx b ，由a ∥b 的充要条件知，存在非零实数λ，使得a b ⋅=λ，即⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos 6sin 22πλπλx x ， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos 6sin ππx x ，16tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，…………(3分)(以下有两种解法:) 解法一:46πππ+=-k x ，Z k ∈，125ππ+=k x ，Z k ∈，32333333133164tan 125tan 125tan tan +=-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππk x ．…(6分)解法二:323313316tan 6tan 16tan 6tan 66tan tan +=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x ． 所以321313tan +=-+=x ．…………(6分)(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6cos 6sin 226cos 6sin 22)(πωπωπωπωx x x x x f⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πωx ，…………(8分)因为)(x f 的最小正周期为π，所以πωπ=22，1=ω，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f ，…………(10分)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ，…………(12分) 所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23．…………(14分)21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:(1)由已知，当0=x 时，8)(=x C ，即85=k，所以40=k ，……(1分) 所以5340)(+=x x C ，…………(2分)又加装隔热层的费用为x x C 6)(1=．所以5380066534020)()(20)(1++=++⨯=+⋅=x x x x x C x C x f ，…………(5分) )(x f 定义域为]10,0[．…………(6分)(2)10380062103538003563538006538006)(-⨯≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=x x x x x x x f70=，…………(10分)当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+353800356x x ，18800352=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，32035=+x ，即5=x 时取等号．…………(13分) 所以当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用)(x f 最小．最小总费用为70万元．…(14分)22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解:(1)1=m 时，1)(2+=x x f ，因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，2)(23==a f a ，5)(34==a f a ．…………(3分，每求对一项得1分)(2)m x x f +=2)(，则m a =2，m m a +=23，m m m m m m m a +++=++=2342242)(，…………(5分) 如果2a ，3a ，4a 成等比数列，则)2()(23422m m m m m m m +++=+，234523422m m m m m m m +++=++，0345=-+m m m ，…………(6分)因为02≠=m a ，所以012=-+m m ，251+-=m 或251--=m ．……(8分) 当251+-=m 时，数列的公比2511223+=+=+==m m m m a a q ．……(9分) 当251--=m ，251-=q ．…………(10分)(3)1)(2-=x x f ，),0[+∞∈x ，所以1)(1+=-x x f (1-≥x )，……(11分)11=b ，121+=+n n b b ，所以1221+=+n n b b ，而121=b ，所以{}2n b 是以1为首项，1为公比的等比数列，n b n =2，…………(13分)所以2)1(21+=+++=n n n S n ，…………(14分) 由2010>n S ，即20102)1(>+n n ，解得63≥n ，所以所求的最小正整数n 的值是63．…………(16分)23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．23．解:(1)设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………(2分) 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a ay ，……(3分) 即x x a a y --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以xx a a x f -⋅+=2)(||(或x x aa x f 2)(||+=)．………………(5分)(2)令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．…………(8分)作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，…………(11分)解得322<<m ．所以m 的取值范围是)3,22(．…………(12分) (3)x x a ax g 2)(||+=，),2[∞+-∈x ．当0≥x 时，因为1>a ，所以1≥xa ，),3[3)(∞+∈=xa x g ，所以函数)(x g 不存在最大值．…………(13分)当02<≤-x 时，x xa a x g 12)(+=，令xt 2=，则t t t h x g 12)()(+==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,12a t ， 当2212>a ，即421<<a 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,12a 上是增函数，存在最小值222a a +，与a有关，不符合题意．…………(15分) 当22102≤<a ，即42≥a 时，)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,12a 上是减函数，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22上是增函数，当22=t 即2log 21a x -=时，)(t h 取最小值22，与a 无关．…………(17分) 综上所述，a 的取值范围是),2[4∞+．…………(18分)。
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高2010级（上）期末测试卷 数学（理工类）参考答案
11．)81,0(- 12．),2()81
,0(+∞ 13． 161 14． 1
2+n n 15． π)3(2n n +
三：解答题
16.（13分）解：
（Ⅰ）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=−→
−−→
−−→
−
),1,2(),1,3(m m AC AB --==−→
−−→− 由三点共线知m m -=-2)1(3
∴实数2
1
=
m 时，满足条件…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题设知),1(),1,3(m m BC BA ---=--=−→
−−→
−
ABC ∠ 为锐角，4
3
033->⇒>++=⋅∴−→
−−→−m m m BC BA ……………………………………12分
又由（1）可知，当21=m 时，,0
=∠ABC 故),2
1()21,43(+∞-∈ m …………………………13分 17.（13分）解:
（Ⅰ）()(1cos 2)sin 2)2b f x a x x x a φ=++=++
由题设知,2
14,1422
22
-=+-=+b a a b a 所以3,21==b a ……………………………………4分
所以2
1
)62sin(212cos 212sin 23)(++=++=
πx x x x f 所以)(x f 的最小正周期为π…………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由,6
3
2
26
22
2π
ππ
ππ
ππ
π
π+
≤≤-
⇒+
≤+
≤-
k x k k x k
所以)(x f 单调增区间为)(6,3
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
+
⎢⎣
⎡
-πππ
π………………………………………………13分 18（13分）解：
（Ⅰ）)1(log log ,3log log 1331133-+=⋅=---n a a a a n n n n n ∴2
)
1(log ,2)1()1(21log log 3133-=-=
-+++=-n n a n n n a a n n )(25)9
(log *23N n n
n a S n n n ∈-==…………………………………………………………………4分
,211-==S b 当2≥n 时，,31-=-=-n S S b n n n
∴数列}{n b 的通项公式)(3*N n n b n ∈-=…………………………………………………………7分
（Ⅱ）设数列}{n b 的前n 项和为n T ，当03≤-=n b n 即3≤n 时，252
n n S T n n -=-=；
当3>n 时，2
12
5223+-=-=n n S S T n n .…………………………………………………………13分
19（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由
02>---a
x x
a 得:a x a <<-2 ……………………………………………………………2分
)(x f 为奇函数，∴12=⇒-=-a a a
经验证可知：1=a 时，)(x f 是奇函数，1=a 为所求……………………………………………5分
（Ⅱ）1
212)(,11log )(1
2+-=∴-+=-x x x f x x x f ………………………………………………………8分 法一：由x m x f
--⋅=2)(1
得：
32231
22)12(122)12(3)12(122)2(22-≥-+++=+++-+=+-=x x
x x x x x x m
当且仅当)12(log 2-=x 时，322min -=m
所以m 的取值范围[)
+∞-,322………………………………………………………………………12分 法二：原方程即02)1()2(2=-+-m m x
x
设t x
=2，则0)1(2
=-+-m t m t
原方程有实解，等价于方程0)1(2
=-+-m t m t 有正实解……………………………………………6分 令m t m t t g -+-=)1()(2
则
0)0(<g 或⎪⎩⎪⎨⎧>+=0210)0(m g 或2
(0)0
(1)4010
2g m m m ⎧
⎪>⎪∆=++≥⎨⎪+⎪>⎩…………………………………………………10分
0>⇒m 或0=m 或0322<≤-m
所以m 的取值范围是[)
+∞-,322……………………………………………………………………12分 20.（12分)解：
（Ⅰ）由椭圆定义知：42=a ，∴2=a ，故椭圆方程为1422
2=+b y x ，
把)1,1(代入得11412=+b 得342
=b ，则椭圆方程为
14
422=+y x ， ∴383442
2
2
=-
=-=b a c ，∴3
6
2=c ，故两焦点坐标为)0,362(),0,362(-．…………3分 （Ⅱ）用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点的坐标为)1,1(--，此时22=AB ，取椭圆上一点)0,2(-M ，则10=AM ，∴AB AM >，从而此时AB 不是最大，这与AB 最大矛盾，所以命题成立．………………………………………………………………………………………………7分
（Ⅲ）设AC 方程为：1)1(+-=x k y ，联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=14
341
)1(22y x x k y 消去y 得
0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k ，
点A （1，1）在椭圆上，∴1
31
6322+--=
k k k x c ……………………………………………………9分 直线AC 、AD 倾斜角互补，∴AD 的方程为1)1(+--=x k y ，
同理1
31
6322+-+=k k k x D ，………………………………………………………………………………11分
又1)1(,1)1(+--=+-=D D C C x k y x k y ，k x x k y y D C D C 2)(-+=- 所以3
1
=--=
D C D C CD x x y y k ，即直线CD 的斜率为定值31.…………………………………………12分
21.（12分）
解：（Ⅰ）过x
y C 1
:=
上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 则2
1
11111111+-
=⋅-=--
=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ， 于是有：21+=+n n n x x x ………………………………………………………………………………2分 记31
21+-=
n n x a ，则n n n
n n n a x x x x a 2)3121(2312
21312111-=+--=+-+=+-=
++， 因为7111=
x ，而02312111≠-=+-=x a ，因此数列}3
121{+-n x 是等比数列．………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：n n a )2(-=，则3
1
)2(12-
-+=n n x ，3
1
)1(212)1()1(⋅
--+
⋅-=-n n n n n x ．
当n 为偶数时有：
n n
n n x x )1()
1(11
-+---n n n n n n n n n n n n 21
212222)3
12)(312(223121
3121111111+<⋅+<-++=-++=
------， 于是：①在n 为偶数时有：
12
1
21212121)1()1()1(432221<+++++<
-++-+-n n n x x x ……………………………10分 ②在n 为奇数时，前1-n 项为偶数项，于是有：
n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+---
13
1211)3
1)2(12(11)1(1<+
+
-=-
-+
-=-=-+<n n n n n x x …………………………………12分
综合①②可知原不等式得证．。