平面电磁波的波动方程学习资料
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平面波的波动方程
§17－5 平面波的波动方程 －
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
14-2平面简谐波的波动方程
波源(x=0) 的简谐运动 方法1
yO A cos t
x t u
O点的振动状态传到P所需时间
t时刻 P 点相位与 O 点 ( t t )时刻相位相同
yP (t) yO (t t)
P点的振动方程
x y P A cos t u
x
2 π)
(2)
2 π)
由于 uT u
所以(1)、(2)是一致的
x x0 波源在x0处: y A cos t u 2π y A cos t ( x x0 )
如果波沿x轴的负方向传播，则P点的相位要比O点的相 位超前 t x u x x0
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
(3) 波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差
x1 y1 A cos t u 1 x2 y2 A cos t u
相位差：
y u O
x1 x2
第七章 平面电磁波
z z H y ( z, t ) f 3 (t ) f 4 (t ) H y ( z, t ) H y ( z, t ) v v 2) 物理意义：f1 (t z v)、 f 3 (t z v) 表示沿 z 方向
凡是能向前 传播的波（入射波） E x , H y 。 传播的波都 f 2 (t z )、 f 4 (t z ) 为行波。 v v 表示沿 z 方向
第七章
第七章
v 1
平面电磁波
电磁波：时变电磁场在媒质中以速度 向远处传播。
平面电磁波：波前面（等相位面）是
平面的波。
2018/11/21
电磁场理论
1
第七章
7.1 波动方程
一、非齐次波动方程：
E (r , t ) J (r , t ) 1 2 E (r , t ) (r , t ) 2 t t (7-1-1) 2 H (r , t ) 2 H (r , t ) J (r , t ) 2 t 其中, E.H 一般情况下 ,有三个分量,且每个分量都可以 是三维坐标变量 r 及时间 t 的函数. 即 E ax Ex ( x, y, z, t ) a y E y ( x, y, z, t ) az Ez ( x, y, z, t )
复有 效值 矢量
jt 简记为: E (r , t ) 2 E (r , t )e jt E (r )e jt jt 同理: H (r , t ) 2 H (r , t )e H (r )e
2018/11/21
电磁场理论
H z ( z, t ) 0
纵向
第七章-平面电磁波--1
示，即
Z Ex Hy
可见，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。
当平面波在真空中传播时，其波阻抗以 Z0 表示，则
Z0
0 377 120π(Ω) 0
上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可
用矢量形式表示为
Hy
1 Z
ez
Ex
Ex
z
或
E x ZH y ez
Hy
对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此 这种电磁波称为横电磁波，或称为TEM波。以后我们将会遇 到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。
L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz 光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段： 902~928MHz，2.4~2.4835GHz，5.725~5.850GHz
7.2 导电媒质中的平面波
若 0 ，则在无源区域中
若令
H E jE j( j )E
近似认为
1
2
1 1
2
2
那么
2
Zc
这些结果表明，电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减。电
导率 愈大，则振幅衰减愈大。
第二，若 ，良导体属于这种情况。此时可以近似认为
1
2
那么
πf 2
Zc
j (1 j) πf
此式表明，电场强度与磁场强度不同相，且因 较大，
典型业务 导航，声纳 导航，频标 AM, 海上通信 AM, 通信 TV, FM, MC TV, MC, GPS SDTV, 通信,雷达 通信, 雷达 光纤通信
中波调幅广播（AM）：550KHz~1650KHz 短波调幅广播（AM）：2MHz~30MHz 调频广播（FM）：88MHz~108MHz 电视频道（ TV）：50MHz~100MHz ; 170MHz~220MHz
电磁波波动方程要点
§18.2 电磁波的性质
（1）电磁波是横波
Ey Ey 2 2 x t
2 2
E y
H z
Hz Hz 2 2 x t 由于 j k i 所以 E H // x 轴
2 2
u x
§18.2 电磁波的性质
— 折射率
n r
与物质作用的主要是
E
矢量,
E
通常被称为光矢量！
几点注意
（1）振动不是媒质体积元，是电场和磁场 （2）周期变化的不是质点位移，是 E、H 强度矢量
（3）伴随电磁波传播的有能量、动量和质 量的流动（引力波具有同样的性质） （4）电磁波是自持波，在真空或媒质中均 可传播
F pcS pc w 辐射压强： S S
c
F
S
偶极子的辐射
一、 电磁波的产生
赫兹实验
C P P0 cost I 1 P q l ， 0 0 L 2 LC
q
S EH
H
电磁波强度为
E
S
2 I S EH E
**坡因廷矢量举例**
•电阻
S
I
E
I
可以证明： 输入功率：
H
P S (2a l ) I R
2
S
电阻消耗的能量是通过坡因廷矢量输入的！
**坡因廷矢量举例**
•电容器充、放电 电容器充电过程 中，通过坡因廷 矢量输入能量！ 电容器放电过程 中，通过坡因廷 矢量输出能量！ 可以证明：
2 2
其中
2 2 2 x y z
第二章波动方程和平面波解
2 相速： v 2
π f
ej45 (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme
Em e
1
1
1
π f
Em
Em e
趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2
2
c
c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r 代表波的相位传播；
kR
为波的传播方向
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
可得
π f
ej45 (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme
Em e
1
1
1
π f
Em
Em e
趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2
2
c
c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r 代表波的相位传播；
kR
为波的传播方向
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
可得
第三章波动方程
▪ 该式是齐次方程的解，只反映了波的传播特点。当力位 函数不为零时，需求非齐次方程的解，即达朗贝尔解。
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的
知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )
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H E u 0 c o t s u x 0 H 0 c o t s u x 0
E0 H0
H 和E 有相同的频率,且两者同相位，二者满足：
E H
电磁波的性质
平面简谐电磁波的传播
y u
E
z
H
x
电磁波的一般性质：
(1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。
电磁波谱
X 射线(伦琴射线) 波长比紫外线更短的电磁波， 其波长范围在10-7 ～10-13m之间。
5.电磁波谱
电磁波谱:按照频率或波长的顺序把电磁波排列成图表。
电磁波谱
各种无线电波的范围及用途
名 称
长波
中波 中短波
波 30000长 3000m
3000200m
200-50m
频 率
10100kHz
1001500k Hz
1.5-6MHz
主 越洋 要 长距 用 离通 途 信和
导航
无线 电报通 电广 信 播
dAdt
2
电磁波的能量
利用 E H, u1 得
S21 (EH HE )EH
辐射能的传播方向、E 的方向及H 的方向三者相互垂 直，辐射强度用矢量式表示为：
SE H
辐射强度矢量S也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。 E
H
S
电磁波的能量
考虑平面余弦电磁波的情形
E E 0 co t x s u 0 H H 0 co t x s u 0
辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传 播方向是电磁波的传播方向。
电磁波的能量
空间某点辐射强度的计算
波速
dA
P
dl
dA—P 点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积
dl—底面积为dA的小长方 体的高
小长方体中的电磁能量为w dAdl
P点处的辐射强度S ：
SwdAdl wu Sw uu(E2H2)
12xH2z
去掉Ey 和Hz 的下标 y 和 z，得
2E
t2
1
2E x2
（E沿y方向）
平面电磁波
2H t2
12xH2 （H
沿z方向）
的波动方程
电磁波的波速
真空中的波速
u1 c 1002 .99 m 7/
2.电磁波的性质
沿 x轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
EE0costu x0
据
E x
计算Ht 出H：
率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质 中的色散现象。
3.电磁波的能量
电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度 或辐射强度。
电场和磁场的能量体密度分别为
w e E 22 ,w m H 22
电磁场的总能量体密度：
w w e w m (E 2 H 2 )2
赫兹
播放视频：来自空中的能量
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：
(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围 的空间中
(2)提高辐射频率
振荡偶极子电矩：pep0co ts
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电 偶极子周围的电磁场线如下图示：
电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平面 内振动，这种特性称为偏振。
(3)E 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。
(4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足
E H (5)电磁波的传播速度 u1
通常 和 与电磁波的频率有关，在介质中不同频
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青 绿 黄 橙
红
0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 /m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。
紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。
振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡,两 端出现正负交替的等量异号电荷。
任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源， 如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都 会在其周围空间产生电磁波。
提高振荡电流辐射电磁场的方法
+q
I
L -q
电磁波的辐射
赫兹在1888年采用振荡偶极子， 实现了发送和接收电磁波。采用下 图装置，证实了振荡偶极子能够发 射电磁波。
短波 米波
微波
分米 波
厘米波 毫米波
50-10m 10-1m
1m10 10-
1cm cm
10.1cm
6-30MHz
无线电 广播、 电报通 信
300- 3000- 3000030-300MHz 3000 30000 300000
MHz MHz MHz
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 电视广播、专门用途 无线电导 航
平面电磁波的波动方程
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
2 E y 1 H z
(I) (II) (III)
E x 0, x
H x 0, x
E y H z ,
x
t
E x 0 t
H x 0 t
H z x
E
y
电磁波谱
X 射线(伦琴射线) 波长比紫外线更短的电磁波， 其波长范围在10-7 ～10-13m之间。
X 射线具有很强的穿透能力。
射线 在原子核内部的变化过程(常称衰变)发出 的一种波长极短的电磁波，其波长在3×10-8～10-14m以 下。
射线可应用于对金属探伤等，研究 射线可以帮
助了解原子核的结构。
t
t 2 t x
1 H z 1 2 E y
x t x2
2Hz2 1 2Hz
t2 x2
(IV) E z H y , H y E z
x
t
x
t
表明变化电磁场
Ey
和Hz
是按波动形式传播。
场量E 和H在x方向的分量是常数。
平面电磁波的波动方程
2Ey t2
1 2Ey
x2
2Hz2 t2
据辐射强度计算公式，得
S E 0 H 0 c 2 o t x u s 0
取一个周期内的平均值， c2 o t sx 的/时u 间 平0 均值
为1/2，平均辐射强度
与振幅平方成正比！
SE0H0 2
因c1 以0及0
0E ，0得0H 0
S0cE 02 2
S0cH 02 2
4.电磁波的辐射