平面电磁波的波动方程(精选)
合集下载
平面波的波动方程
§17－5 平面波的波动方程 －
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
14-2平面简谐波的波动方程
波源(x=0) 的简谐运动 方法1
yO A cos t
x t u
O点的振动状态传到P所需时间
t时刻 P 点相位与 O 点 ( t t )时刻相位相同
yP (t) yO (t t)
P点的振动方程
x y P A cos t u
x
2 π)
(2)
2 π)
由于 uT u
所以(1)、(2)是一致的
x x0 波源在x0处: y A cos t u 2π y A cos t ( x x0 )
如果波沿x轴的负方向传播，则P点的相位要比O点的相 位超前 t x u x x0
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
(3) 波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差
x1 y1 A cos t u 1 x2 y2 A cos t u
相位差：
y u O
x1 x2
电磁波波动方程要点
长波
真空中波长
主要产生方式
4
3 10 m — 3 10 m
3
无 线 电 波
中波
短波
200m — 3 10 m 10m — 200m
3
超短波 1m — 10m
微波
由线路 中电磁振荡 所激发的电 磁辐射
0.1m — 1m
电磁波谱
红外线
真空中波长
主要产生方式 由炽热 物体、气体 放电或其他 光源激发分 子或原子等 微观客体所 产生的电磁 辐射
（2） E、H 同相
可证：
E H 0 x t
x E E0 cos (t ) c
E0 1 E x x H dt cos (t ) H 0 cos (t ) 0 x 0c c c
E0 H0 0c
0 E0 0
c
1
0 0
§18.2 电磁波的性质
任一时刻t，空间任一 点x，满足
0 E0 0 H 0 0 E 0 H
E0 H 0 E H
沿x轴负向传播：
x H H 0 cos (t ) c x E E0 cos (t ) c
电磁波谱
电磁波谱
x E y E0 cos t u x H z H 0 cos t u
*电磁波波速与光矢量*
真空中
1 8m u 3 10 ——光速 c s 0 0
推测：光也是电磁波！
在介质中
u
1
c n r r
c
n r r
第 18 章 电磁波
§18.1 电磁波波动方程
§18.2 电磁波的性质 §18.4 振荡电偶极子的辐射 赫兹实验
真空中波长
主要产生方式
4
3 10 m — 3 10 m
3
无 线 电 波
中波
短波
200m — 3 10 m 10m — 200m
3
超短波 1m — 10m
微波
由线路 中电磁振荡 所激发的电 磁辐射
0.1m — 1m
电磁波谱
红外线
真空中波长
主要产生方式 由炽热 物体、气体 放电或其他 光源激发分 子或原子等 微观客体所 产生的电磁 辐射
（2） E、H 同相
可证：
E H 0 x t
x E E0 cos (t ) c
E0 1 E x x H dt cos (t ) H 0 cos (t ) 0 x 0c c c
E0 H0 0c
0 E0 0
c
1
0 0
§18.2 电磁波的性质
任一时刻t，空间任一 点x，满足
0 E0 0 H 0 0 E 0 H
E0 H 0 E H
沿x轴负向传播：
x H H 0 cos (t ) c x E E0 cos (t ) c
电磁波谱
电磁波谱
x E y E0 cos t u x H z H 0 cos t u
*电磁波波速与光矢量*
真空中
1 8m u 3 10 ——光速 c s 0 0
推测：光也是电磁波！
在介质中
u
1
c n r r
c
n r r
第 18 章 电磁波
§18.1 电磁波波动方程
§18.2 电磁波的性质 §18.4 振荡电偶极子的辐射 赫兹实验
第二章波动方程和平面波解
2 相速： v 2
π f
ej45 (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme
Em e
1
1
1
π f
Em
Em e
趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2
2
c
c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r 代表波的相位传播；
kR
为波的传播方向
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
可得
π f
ej45 (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme
Em e
1
1
1
π f
Em
Em e
趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2
2
c
c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r 代表波的相位传播；
kR
为波的传播方向
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
可得
电磁波波动方程
u
1
0 0
1
3 10 m
8
s
——光速 c
推测：光也是电磁波！ 在介质中 u
c
r r
c n
n r r — 折射率 在光波段 r 1 ， E 与物质作用的主要是 E 矢量
——通常被称为光矢量！
章 静电场 第17第 章11 电磁波
11-2 库仑定律 17-1 电磁波波动方程
在自由空间
D 0
B 0
B E t D H t
章 静电场 第17第 章11 电磁波
结合 可以得到：
和
E 2 E 2 t 2 H 2 H 2 t
2 Ey 2E y 2 2 x t
2 Hz 2 Hz 2 2 x t
电磁波波速为：
即：若设电场方向沿y方向， 磁场必为z方向！
y
Ey
Hz
u
x
u
1
z
章 2 库仑定律 17-1 电磁波波动方程
*电磁波波速与光矢量* 真空中
2
2 2 2 2 2 2 2 x y z
章 静电场 第17第 章11 电磁波
D E BH
11-2 库仑定律 17-1 电磁波波动方程
其中
11-2 库仑定律 17-1 电磁波波动方程
当电磁波沿 x 方向传播时
比较波动方程
2 2x x 1 2 2 2 x u t
电磁场波动方程
定态波动方程
vv
2E k 2E 0
2
v B
k
2
v B
0
其中：
Helmhotz方程
▪ 定态情况下的电磁场方程可以写成：
vv 2E k2E 0
v
E 0
v B
i
v E
Helmhotz 方程
或者
vv 2B k2B 0
v B 0
v E
i
k2
v B
其中：
是定态下介质电磁特性参数
此处的 Ev、Bv 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内
v B
0
v 2E
0 0
v 2E t 2
0
v
v 2B
0 0
2B t 2
0
在真空中电磁场满足 “波动方程”
▪ 真空中电、磁场形式上可以分离：
v 2E
1
v 2E
0
c2 t 2
v 2B
1
v 2B 0
c2 t 2
v E 0
v B 0
电波动方程＋横波条件 磁波动方程＋横波条件
其中
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
二、时谐波（又称定态波）及其方程
▪
任一时域函数
v
Et
，可以视为由频域函数
v
E
叠加而成，反之亦
然。这就是富里叶（Fourier）变换：
v
E t
v E
eit
d
Ev
1
v E
t
eit
dt
2
正变换 逆变换
▪ 对电磁场作富里叶变换：
v
E
v X,t
第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的
知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )
电磁场波动方程
电磁场波动方程：宇宙中的震动之声电磁场波动方程是描述电磁波在空间中传播的数学公式。
它不仅是现代物理学的基础，也是人类观测宇宙中“震动之声”的重要手段。
在宇宙中，电磁波是各种星体之间交流信息的主要方式。
例如，从远处的星系中观察可见光波谱，可以告诉我们这些星系的物理属性、组成和运动状态。
类似地，从宇宙空间中捕捉到的微波信号可以揭示宇宙初期的温度分布，雷达信号可以检测近地天体的运动轨迹等。
这些信息均依赖于电磁波的传播和探测技术，其中的核心就是电磁场波动方程。
电磁场波动方程的基本形式是：∇²E - με∂²E/∂t² = 0∇²H - με∂²H/∂t² = 0其中E和H分别表示电场强度和磁场强度，μ和ε分别为真空中的磁导率和电介质常数，∇²表示Laplace算符，∂²/∂t²表示对时间的二阶导数。
这两个方程描述了电场和磁场的演化规律，可以用于计算和预测电磁波在不同介质中的传播方式、速度、波长等物理特性。
电磁场波动方程的研究历史可以追溯到19世纪，当时人们刚刚发现了电和磁的关系，并发现电磁波在真空中以光速传播。
经过不断的理论修正和实验验证，最终得到了现代电磁场波动方程的形式。
这一成就不仅是纯粹科学的进步，还为今后电磁波谱学、计算物理、通信工程等应用领域提供了有力支撑。
总之，电磁场波动方程是探索宇宙奥秘的重要工具，展示了人类对自然界规律精深的认知。
未来，随着技术的不断进步和深入研究，我们相信这一方程仍将为人类发现更多神秘的科学现象和应用价值提供帮助。
电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2
k
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
平面电磁波的波动方程
辐射强度: S=E H=500.134J/(m2s)=6.7J/(m2s)
电磁波的能量
例题16-9 某广播电台的平均辐射功率 P 15 kW。假定辐 射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1)求 在离电台为r =10km处的辐射强度;(2)在r=10km处一个小的空 间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度的振 幅。
赫兹
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求： (1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周 围的空间中 (2)提高辐射频率 pe p0 cos t 振荡偶极子电矩：
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡 电偶极子周围的电磁场线如下图示：
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
E x E x (I) 0, 0 x t H x H x (II) 0, 0 x t E y E y H z H z (III) , x t x t H H E z E z y y (IV) , x t x t
无线电 广播、 电报通 信
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 专门用途 电视广播、 无线电导 航
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青
0.40 0.45 0.50
绿
0.55
黄 橙
0.60 0.65
红
0.70 0.75 / m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。 紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。
电磁波的能量
例题16-9 某广播电台的平均辐射功率 P 15 kW。假定辐 射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1)求 在离电台为r =10km处的辐射强度;(2)在r=10km处一个小的空 间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度的振 幅。
赫兹
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求： (1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周 围的空间中 (2)提高辐射频率 pe p0 cos t 振荡偶极子电矩：
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡 电偶极子周围的电磁场线如下图示：
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
E x E x (I) 0, 0 x t H x H x (II) 0, 0 x t E y E y H z H z (III) , x t x t H H E z E z y y (IV) , x t x t
无线电 广播、 电报通 信
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 专门用途 电视广播、 无线电导 航
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青
0.40 0.45 0.50
绿
0.55
黄 橙
0.60 0.65
红
0.70 0.75 / m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。 紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。