一平面简谐波的波动方程
合集下载
波动方程举例
4t - 4 9
20
yD
3 102
cos[4 π t
-
9
5
]
3 102 cos[4 π t ]
5
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
u
T
t=0时x=0处的质点的位移为0，
向正方向运动
y/m t0
0.04
O A
y
π
2
o•
-0.04
p•
0.2
u 0.08m/s
x/m
坐标原点的振动方程为 y 0.04cos[0.4t - ]SI
2
波动方程 y 0.04cos[0.4 t x - ]SI
0.08 2
（2）p点处x = 0.2m,代入上述波动方程
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
2.已知波动方程，求各物理量
例3 波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
1.此波是正向还是反向波，并求 A、n、T、u 及 ；
2. x = 2 m 处质点的振动方程及初相； 3.x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。
解：1.
0.05 cos ( 5 x – 100 t ) 0.05 cos 100 ( t – x )
20
cosa = cosa
正向波
波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
与
y
A cos ( t
平面简谐波__波动方程
若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
波动方程举例
坐标原点振动表达式为
a y A cos t p u
x a 波动方程 y A cos t p u u
xa A cos t p u
考虑
三、波动方程举例
题目类型 1.已知坐标原点振动表达式 y A cost 及波速 u 和传播方向,求波动方程
平面简谐波的波动方程为
y ( x , t ) A cos ( t t )
x A cos ( t ) u
“—” 波沿 x 轴正方向传播 “+” 波沿 x 轴负方向传 播
0.2 y 0.04 cos[ 0.4 t - ] 0.08 2
0.04 cos[ 0.4t
2
]
x 方法二 设波动方程为 y A cos ( t ) u
A=0.04m u=0.08m/s
2 0.4 T
与
x y A cos ( t ) u
0.05 m 100 0.02 s 500 Hz 0.4 m
比较得
s 20 m ·
-1
2. x = 2 m 处
0.05 cos ( 5×2 – 100 t )
0.05 cos ( 100 t –10 )
初相为–10
如波以波速u沿x轴负方向传播,结果如何？
x-a p所需时间为 t u
振动从B
B点相位
B t p t t t p
波动方程 y A cos t t p
xa A cos t p u
《大学物理》 第二版 课后习题答案 第十章
习题精解10-1 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是3,,,424λλλλ。
设振源的振动方程为cos 2y A t πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1） 122,2,2xxπϕπϕππλλ∆∆∆==∆==3432,222x x πϕπϕππλλ∆∆∆==∆== （2）112233440,,2223,222πππϕϕϕϕππϕϕπϕϕπ=-∆==-∆=-=-∆=-=-∆=-（3） 1212343411,,,24223,,,242t T T t T T t T T t T Tϕϕππϕϕππ∆∆∆==∆==∆∆∆==∆==10-2 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为21.010m -⨯，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1400u m s -=∙的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。
解 根据题意可知，波源振动的相位为32ϕπ= 2122200, 1.010,4000.01A m u m s T ππωπ--====⨯=∙ 波动方程231.010cos 2004002x y t m ππ-⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10-3 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。
解 （1）比较系数法 将波动方程改写成0.05cos10 2.5x y t m π⎛⎫=-⎪⎝⎭与cos x y A t u ω⎛⎫=-⎪⎝⎭比较得1120.05;10;0.21015; 2.5;0.5A m T s v s u m s u T m Tπωππλ--=======∙=∙=（2）各质元的速度为()10.0510sin 410v x t m s πππ-=⨯-∙ 所以1max 0.0510 1.57()v m s π-=⨯=∙ 各质元的加速度为()220.05(10)cos 410a x t m s πππ-=-⨯-∙ 所以22max 0.05(10)49.3()a m s π-=⨯=∙10-4 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图10.1所示。
机械波一章习题解答
离变化，且两波的强度都是 I，则在 S1 和 S2 连线上 S1 外侧和 S2 外侧各点，合成
波的强度分别是：［
］
(A) 4I，4I。
(B) 0，0。
(C) 0，4I。
(D) 4I，0。
r2
r1
S2
Q
P
S1
3λ
r2
4
r1
题解 13―12 图
解：见图示，两波源在它们的连线上任一点的位相差为
2π
πHale Waihona Puke 2π∆ϕ = (ϕ2 − ϕ1 ) − λ (r2 − r1 ) = − 2 − λ (r2 − r1 )
在 S1 和 S2 连线上 S1 外侧的任一点 P 有
∆ϕ
=
π −
−
2π
⋅
3λ
=
−2π
2 λ4
因此，点 P 的振动是加强的，该点合成波的强度满足
IP
=
⎛ ⎜
AP
2
⎞ ⎟
=
⎛ ⎜
2
⎞ ⎟
2
=4
I ⎝ A ⎠ ⎝1⎠
所以(B)和(D)也可以被排除，所以最后应当选择答案(C)。事实上，因 a、b 两点
相距为 λ 4 ，故相应两点的位相差应当是π 2 。
习题 13—2 已知一平面简谐波的波动方程为 y = Acos(at − bx) (a、b 为正值)，
则：［ ］ (A) 波的频率为 a。 (C) 波长为π / b 。
波密介质的反射面，波由 P 点反射。
则反射波在 t 时刻的波形图为：
［
］
解：因为 BC 为波密介质的反
Y
0
–A
Y A
0 (A)
Y A
5-2平面简谐波的波动方程详解
u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
t y A cos[2 π( T
y A cos[2 t
y A cos[ 2
2 x
x ) 0 ] λ
0 ]
(ut x) 0 ] A cos[k (ut x) 0 ]
x y A cos (t ) (沿x轴负向传播) u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 如果原点的
大学物理学 （第3版）
A
O
y
u
初相位不为零
x
x 0, 0 0 A
点 O 振动方程
y0 A cos(t 0 )
波 函 数
x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[ (t ) 0 ] u
2 y G 2 y 2 t x2 2 y E 2 y 2 t x 2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
E为杨氏模量
张紧柔软线绳上传播横波
2 y T 2 y 2 t x 2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速 固体中弹性横波 固体中弹性纵波 张紧软绳中横波
x0 x0 2 π u λ
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
平面简谐波 波动方程
3
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 ]
对波动方程的各种形式，应着重从物理意义
上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5-2 平面简谐波的波动方程
三、质点的振动速度和加速度
➢振动速度
v
y t
Asin[(t
x u
)
0
]
➢振动加速度
a
2 y t 2
2 Acos[(t
x) u
0 ]
➢行波的微分方程
AP a b
uu
➢B点振动方程 ：
yB
yA (t
)=Acos[(t
)+0 ]
Acos[(t
ab u
)+0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法二：
y
u
以 B 点 坐 标 x=-b 代 入 波 动 方 程 ，即得B点 振动方程：
x
a
A
b
oB
yB
Acos[(t
ab u
)+0 ]
A o Bx
AP a x
uu
➢P点振动方程 ：
yP
yA (t
)=Acos[(t
)+0 ]
Acos[(t
a
u
x
)+0 ]
波动方程为 ：
y
Acos[
(t
a
u
x)+0]5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法一： ➢B点位于A点 的下游
y
u
xab
A oB
➢B点振动滞后于A点的时间 ：
y
Acos t
2πx
0
y f (x)
令 0 t 0 C（定值）
则
y
A cos
2πx
0
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
20
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3cos 4 π t
P 点位于A点下游
P 点在时间上滞后于A
AP x 5
uu
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
P 点振动方程为：
yP
3cos 4 π(t
)
3cos 4 π(t
x 5) 20
波动方程为：
y 3cos[4 π(t x ) π] 20
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
点C 的相位比点A 超前
yC
3cos(4 π t
2π
AC ]
3cos(4 π t 13 π)
4、已知某两时刻的波形图和T的范围
t 0
t 0.5s
y/m
u 10m / s
10
5 10
O
x/m
10
波动方程？ T 2(s)
5-2 平面简谐波的波动方程
例：一平面简谐波以速度 u 20 m/s 沿x正向传播， 波线上点 A 的振动方程 yA 3cos(4 π t)
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
A
yu
xP
OP
x
动落后 x 。
u
tO
A
xO
P点在t时刻的位移是O点在 t
时刻的位移，即：
yP (t) yO (t )
5-2 平面简谐波的波动方程
yP yO (t ) Acos ωt 0
A cos
t
x u
0
由于P为波传播方向上任一点，因此上述方程能描 述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为
5-2 平面简谐波的波动方程
一、平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐
波沿 x 轴正方向传
y A
u
P
x
播，波速为u ，坐标
O
x
原点 O 处质点的振动
A
方程为
yO Acos t 0
yO表示质点 O 在t时刻离开平衡位置的距离。
5-2 平面简谐波的波动方程
考察波线上P点 (坐标x),P点比O点的振
5
u yA (3102 m) cos(41π0sm1)t 8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
点 D 的相位落后于点 A
yD
3cos(4 t 2
AD ) λ
3cos(4 π 9 π)
5
u yA (3102 m) cos(41π0sm1)t
λ 10 m 8 m 5 m 9 m
5-2 平面简谐波的波动方程
2、已知某时刻的波形图和u 波动方程？
y/m
u 10m / s
10
5
O
10
x/m
10
5-2 平面简谐波的波动方程
3、已知某时刻的波形方程和u 波动方程？
例：已知u=1m/s（沿x轴正向传播）且t=0时刻波 形方程为：
y 2 cos( x )
3
5-2 平面简谐波的波动方程
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3m
T 0.5 s 0 0
λ uT 10 m
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
x
y 3cos 4π(t )
u
（3）P点振动方程 ： yP yA (t )
5-2 平面简谐波的波动方程
例：已知A点振动方程为 ：
y Acos(t 0 )
试求（1）波动方程； （2）B点的振动方程。
y
u
xab
A oB
5-2 平面简谐波的波动方程
解：（1）在坐标轴上选取P点
y
u
➢P点位于A点 的下游
x a bP
➢P点振动滞后于A点的时间 ：
沿 x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。
5-2 平面简谐波的波动方程
利用 2π 2πν 和 uT
T
可得波动方程的几种不同形式：
y
A cos
t
x u
0
A
cos
2π
t T
x
0
A cos t
2πx
0
5-2 平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理含义
1、x 一定，t变化
y
2 y x2
1 u2
2 y t 2
5-2 平面简谐波的波动方程
四、波动方程的确定
1、已知波线上某点的振动方程 ➢问题转化为：
波动方程？
从已知点（A点）振动方程
波线上任意点（P点）振动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
➢思路：
在波线任取一点P（坐标为x);
（1）P点位于A点
上游？ 下游？
（2）P点滞后（超前）A点的时间 ： AP
A
cos
t
2πx
0
令
0
2π
x
0
y f (t)
5-2 平面简谐波的波动方程
则 y Acost 0
y
表示x点处质点的振动方 O
t
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA 3cos 4 π t
B
C
2π
xB
xC
2π
8 10
1.6π
C
D
2π
xC
xD
2π
22 10
4.4π
u
λ 10 m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
10m
Dx
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。
一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
y
u
O
x
5-2 平面简谐波的波动方程
➢沿x轴负方向传播的波动方程
y
u
A
P
x
O
x
A
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
➢平面简谐波的波动方程一般形式
y
A cos[ (t
mx) u