平面简谐波的波动方程
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5-2平面简谐波的波动方程详解
u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
t y A cos[2 π( T
y A cos[2 t
y A cos[ 2
2 x
x ) 0 ] λ
0 ]
(ut x) 0 ] A cos[k (ut x) 0 ]
x y A cos (t ) (沿x轴负向传播) u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 如果原点的
大学物理学 （第3版）
A
O
y
u
初相位不为零
x
x 0, 0 0 A
点 O 振动方程
y0 A cos(t 0 )
波 函 数
x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[ (t ) 0 ] u
2 y G 2 y 2 t x2 2 y E 2 y 2 t x 2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
E为杨氏模量
张紧柔软线绳上传播横波
2 y T 2 y 2 t x 2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速 固体中弹性横波 固体中弹性纵波 张紧软绳中横波
x0 x0 2 π u λ
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
6.1 平面简谐波的波动方程
1
2
1 E kA 2
2
E
EP Ek
1 2 1 2 (1)动能和势 kA或 mv 等于 m 结 能的幅值相等 2 2
(2) 动能和势 相 (3) 动能和势 相 能变化的周期 同 能变化的步调 反 论 一 等于振动周期 (4) 机械能守恒 半
x
t
(5) 总 能 量 与 振 幅 平 方 成 正 比 ， 振 幅 反 映 振 动 强 弱 (6)求振幅的三种方法
A A A 1 2
3.合振动减弱的条件 合振动与分振动同相
2.合振动加强的条件
( 2 k 1 ) ( k 0 , 1 , 2 , ) 2 1
A A A 1 2
合振动初相与 大振幅者相同
第 6 章
机 械 波
振动状 态的传 播过程
两类
波的
不同
之处
变化电场和变化磁 场在空间的传播 传播速度 机 械 波 的 传 播 两类 能量传播 需 要 传 播 波的 振 动 的 媒 质 反 射 共同 电磁波的传播 折 射 特征 不 需 要 媒 质 衍 射
沿着 波的 传播 方向
后一质元的 振动总要重 复相邻前一 质元的振动
在 时 间 (位相) 上 依 次 落 后
演示：横波
在 波 的 传 播 过 程 中 质点的振动和介质的形变 (3) 均以一定的速度向前传播 波动伴随着能量的传播
振动状 态和能 行 量在传 波 播的波
演示：横波
4.波的几何描述 波线 沿波的传播方向画一些带箭头的线段
理 解
一群质点(媒质) 以弹性力相互联系 其中一个质点(波源) 在外力作用下振动 引起邻近质点振动
机 械 波
演示：横波
2.波的两种类型 横 波 质点振动方向与 波的传播方向 相互垂直的波
2
1 E kA 2
2
E
EP Ek
1 2 1 2 (1)动能和势 kA或 mv 等于 m 结 能的幅值相等 2 2
(2) 动能和势 相 (3) 动能和势 相 能变化的周期 同 能变化的步调 反 论 一 等于振动周期 (4) 机械能守恒 半
x
t
(5) 总 能 量 与 振 幅 平 方 成 正 比 ， 振 幅 反 映 振 动 强 弱 (6)求振幅的三种方法
A A A 1 2
3.合振动减弱的条件 合振动与分振动同相
2.合振动加强的条件
( 2 k 1 ) ( k 0 , 1 , 2 , ) 2 1
A A A 1 2
合振动初相与 大振幅者相同
第 6 章
机 械 波
振动状 态的传 播过程
两类
波的
不同
之处
变化电场和变化磁 场在空间的传播 传播速度 机 械 波 的 传 播 两类 能量传播 需 要 传 播 波的 振 动 的 媒 质 反 射 共同 电磁波的传播 折 射 特征 不 需 要 媒 质 衍 射
沿着 波的 传播 方向
后一质元的 振动总要重 复相邻前一 质元的振动
在 时 间 (位相) 上 依 次 落 后
演示：横波
在 波 的 传 播 过 程 中 质点的振动和介质的形变 (3) 均以一定的速度向前传播 波动伴随着能量的传播
振动状 态和能 行 量在传 波 播的波
演示：横波
4.波的几何描述 波线 沿波的传播方向画一些带箭头的线段
理 解
一群质点(媒质) 以弹性力相互联系 其中一个质点(波源) 在外力作用下振动 引起邻近质点振动
机 械 波
演示：横波
2.波的两种类型 横 波 质点振动方向与 波的传播方向 相互垂直的波
61平面简谐波的波动方程
x
.u
波源 在
p x 原点
(1)写出已知 点的振动方程
yAcots()
(2)
比较所
y ( x ,t) A co ( t x s u ) []
求点与 已知点 的振动 步调
Acost(2x)
“一”表示落 “+”表示超
(1)写 出 已 知 点
y
u
波源
的 振 动 方 程
yAcots()
.
O
x.x0
y(x,t)Acost(2x)
(1y)(当t)x一定A(cxo xst0)(2x 0)
(2)当t一定 (t t0 )
y(x)Acost0(2x)
y(x,t)Acost(2x)
(3) 当 x, t 都变化
yu
t时刻 t t时刻
O
xx
x
xut
3.质元的振动速度和加速度
y(x,t)Acos(t[x)]
等于
波源的振 动周期
3.频率 单
位
时间
内
1
波 前 进 的 距 离 中
T
所 包 含 的 波 长 数 目
波源
演示：横波
4.波速 单 位 时 间 内 波 速 的 大 小 取 决
u 某一振动状 于 介 质 的 性 质 态(位相)传 波速与介质中质点 相 速 播 的 距 离 的振动速度不同
在拉紧的
T
细绳中横 u
一、机械波的 产生与传播
1.机械 波源 波产生 的条件 弹性媒质
内容小结
2.
横波
纵波
波的 质点振动方向与 质 点 振 动方向 与
两种 波 的 传 播 方 向 波 的 传 播 方 向
类型 相 互 垂 直 的 波 相 互 平 行 的 波
14-2平面简谐波的波动方程
u
振动曲线 图形
A O
波形曲线
t A O t 0 P
t0 P
T
v
v
u x
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移 波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
物理 周期 T 振幅 A 初相 0 意义
14-2 平面简谐波的波动方程
一、波函数的建立
波函数(wave function): 描述波传播媒质中不同质点的 运动规律,又称波动表达式(或波动方程).
y f x, t
依据：各质点沿波传播方 向相位依次落后. 平面波在传播过程中,波 线上的各质点都作同频率 同振幅的简谐运动—叫做 平面简谐行波(traveling wave). 波面为平面 传播中的波(相对于“驻波”而言)
x y A cos t u
(1)
P为任意点,波动表达式为
u O P( x )
x
方法2 波线上沿传播方向每走一个,相位落后2
P点相位比O落后
y P A cos(t
即
x
2π
x
y A cos(t
2π
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
16-2平面简谐波的波动方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
——细棒中平面纵波的波动方程。 解
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 已知一平面简谐波的表达式为y = A cos ( a tb x )， ( a , b为正值)，则 A. 波的频率为a B. 波的传播速度为b / a C. 波长为π/ b D. 波的周期为2π/ a
0 π / 2
x y A cos[ (t ) 0 ] u π π 0.1cos( t πx ) 2 2
16.2 平面简谐波和波动方程
例题2 一列平面波以波速u沿x轴正向传播，波 长为，已知在x0= /4处的质点的振动表达式 为y0=Acos t，试写出波动方程。
16.2 平面简谐波和波动方程
填空题3. 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t 时刻 波形曲线如图所示。试分别指出图中A，B，C各点处 介质质元在该时刻的运动方向
y
A B
u
C
o
x
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 下图(a)表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0 时刻的波形图，则图(b)表示的是
解 “振动状态以波速传播”方法 x/4 t 时刻x处的振动状态，就是 (t ) u 时刻x0处的振动状态，因此
x/4 y A cos[( t )] u 2π π / 4 x ) A cos( t x ) A cos( t 2 u u
根据x0处的振动方程，写出波动方程
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2.1 平面简谐波的波动方程
16.2.2 波动方程的物理意义
16.2.3 波动的微分方程
简明大学物理第二版 复件 4-6 平面简谐波
x y A cos t 5cos u 2 5cos 2 x t 1 3
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
平面简谐波的波动方程
方向的运动情况.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
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(2) 当 t t0 一定时，位移y只是坐标x的函数.
y
A cos[ (t0
x) u
0
]
称为t0时刻的波形方程.
同一质点在相邻两个 时刻的振动位相差为(t2t1)源自t2Tt1
2
π
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
(3)若t，x均变化，波函数表示波形沿传播方向的运
动情况（行波）.
5–2 平面简谐波的波动方程 ✓ 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
y Acos[2 π( t T
x λ
)
0
]
y Acos[2t
2
x
0
]
y Acos[2 (ut
x) 0 ] Acos[k(ut
x) 0]
波矢 k 2π
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
y(t)
A cos(t
x0
u
0 )
A cos(t
2
x0
0 )
x0 2 π x0
u
λ
y(x,t) y(x,t T )（波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
波线上各点的简谐运动图
大学物理学 （第3版）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
P点在t时刻的振动方程
y Acos(t x)
u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
➢ 波动方程
A y u
y Acos(t x)
u
点 O 振动方程
Ox
A
P
x
*
yo Acost
x 0, 0
P点的振动超前O点的振动，超前的时间为 x u
点 P 振动方程 y Acos(t x) (沿x轴负向传播)
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos2
π
(
t
x)
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
二 波动方程的物理意义
(1) 当x=x0为给定值时， 波函数表示该点的简谐运
动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令
原点O 的初相为
零，其振动方程
yO Acost
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO Acost t-x/u时刻点O 的运动
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动
u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
y 如果原点的 A
u
初相位不为零
O
x 0,0 0 A
大学物理学 （第3版）
x
点 O 振动方程 y0 Acos(t 0 )
波 函
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
数
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
u 沿x 轴正向 u 沿x 轴负向
第5章 机械波
t时刻：
y(x)
A cos[ (t
x) u
0
]
t t时刻：
y(x)
A
cos[
(t
t
x u
)
0
]
y(t t, x x) y(t, x)
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
讨论：如图简谐
波以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各点
振动初相位.
t =0 A y
Oa
(π ~ π )
A
A
O
y o π
流体中纵波
第5章 机械波
u// B / B为流体的体变模量
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
例5.1 已知波动方程为 y 0.1cos 25t x ，其中
x，y的单位为m，t的单位为s，求(110)振幅、波长、
周期、波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动
的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2s内的位
张紧柔软线绳上传播横波
2 y t 2
T
2 y x2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速
大学物理学 （第3版）
固体中弹性横波 固体中弹性纵波
u G / G为切变模量 u// E / E为杨氏模量
张紧软绳中横波 u T / T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
x1
2
=x2
x1
10 8
2m时， =
2
5
(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间 隔Δt内的位相差
第5章 机械波
t2 t1 t
t 0.2s,则
2
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y Acos2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
y Acos (t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
O
A
O
y
a
π 2
O A
第5章 机械波
u
b c
A
y
y
大学物理学 （第3版）
t=T/4
x
b 0
c
π 2
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
*三 波动微分方程与波速 1、波动微分方程
弹性媒质中横波
2 y t 2
G
2 y x2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
2 y t 2
E
2 y x2
E为杨氏模量
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
一 平面简谐波的波动方程
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波函数.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
相差.
解 (1)
y 0.1cos 25 (t x )
10 25
A=0.1m,
25 10
s1
,
u=25m
/
s,
0
=0
T 2 0.8s,=uT=20m
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
(2)同一时刻波线上坐标为 x1 和 x2 两点处质点振
动的位相差
2
x2