平面电磁波的波动方程
平面波的波动方程
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
§1-4球面波和柱面波
E = Acos(k r ωt)
E = Aexp i(k r ωt)
4.平面简谐波的复振幅： 4.平面简谐波的复振幅：
[
]
~ E = Aex ik r ) p(
§1-3平面电磁波
5.平面波的性质 5.平面波的性质
（1）电磁波是横波： E = 0 k E = 0 1 （2）Ｅ和Ｂ互相垂直 k × E = ωB B = k × E ）Ｅ和Ｂ互相垂直 ω （3）Ｅ和Ｂ同相: ）Ｅ和Ｂ同相:
1 2
此即为球面波波函数的一般形式。 其中B 其中B1,B2为任意函数。
§1-4球面波和柱面波
显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形 式。 则： A(r, t) = a cos[kr ωt +0 ] r 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量 （此时可看作标量）即 （此时可看作标量）即0=0 则有： 写成复数形式： E = r exp[i(kr ωt)] 可以看出，球面波的振幅不再是常量，它 与离开波源的距离r 与离开波源的距离r成反比，其等相面为： r=常数的球面。 r=常数的球面。
§1-5光波的辐射
原子由带正电的原子核和带负电的绕核运 转的电子组成。 转的电子组成。 在外界能量的激发下， 在外界能量的激发下 ， 由于原子核和电子 的剧烈运动和相互作用， 的剧烈运动和相互作用 ， 原子的正电中心 和负电中心常不重合， 且正、 和负电中心常不重合 ， 且正 、 负 中心的距 离在不断的变化， 离在不断的变化 ， 从而形成一个振荡的电 偶极子。如图1 13所示： 偶极子。如图1-13所示： 该系统的电偶极距为
§1-5光波的辐射
2． E在P和r所在平面内振动， 所在平面内振动， B在与P和r所在平面相垂直的平面内振动， 在与P 所在平面相垂直的平面内振动， 同时 E和 B又都垂直于波的传播方向， 又都垂直于波的传播方向， E 、B 、K三者组成右旋系统， 三者组成右旋系统， 表明了其偏振性。 表明了其偏振性。
9. 平面波解析
的存在与否，将波分为三种类型 和H 根据 E
z
z
1.TEM 波
( Ez 0, H z 0,
Kc 0)
说明任一时刻，在xoy平面上场的分布与稳态场相同
0, H 0 ），亦称横电波 2.TE 波（ E
z z
3.TM 波（
z 0, H z 0 E
），亦称横磁波
(9 - 2 - 1)
图 9-1 均匀平面电磁波的传播
综上可见，可取：
E e x Ex ( z, t )
E x ( z, t ) 1 E x ( z, t ) 2 0 2 2 z t
2 2
(9-2-2)
此方程的通解为
Ex ( z, t ) f1 ( z t ) f 2 ( z t )
E E E 2 t t
2 2
（9-1-2）
类似的推导可得
H H H 2 t t
2 2
（9-1-3）
相量形式的波动方程：
E +k E 0
2 2 2
H +k H 0
2
（9-1-4）
其中：
k c
2
c j 1 j
Z(z)=A+ ez + A-ez
2 T E0 ( x, y )+K c 2 E0 ( x, y ) 0 2 T H0 ( x, y )+K c 2 H0 ( x, y ) 0
（9-1-5）
K c c +
2 2
2
（9-1-5）分成纵向成分和横向成分：
2 T E0T ( x, y )+Kc 2 E0T ( x, y ) 0 2 T H0T ( x, y )+Kc 2 H0T ( x, y ) 0 2 T E0z ( x, y )+Kc 2 E0z ( x, y ) 0 2 T H0z ( x, y )+Kc 2 H0z ( x, y ) 0
电磁波波动方程要点
真空中波长
主要产生方式
4
3 10 m — 3 10 m
3
无 线 电 波
中波
短波
200m — 3 10 m 10m — 200m
3
超短波 1m — 10m
微波
由线路 中电磁振荡 所激发的电 磁辐射
0.1m — 1m
电磁波谱
红外线
真空中波长
主要产生方式 由炽热 物体、气体 放电或其他 光源激发分 子或原子等 微观客体所 产生的电磁 辐射
（2） E、H 同相
可证：
E H 0 x t
x E E0 cos (t ) c
E0 1 E x x H dt cos (t ) H 0 cos (t ) 0 x 0c c c
E0 H0 0c
0 E0 0
c
1
0 0
§18.2 电磁波的性质
任一时刻t，空间任一 点x，满足
0 E0 0 H 0 0 E 0 H
E0 H 0 E H
沿x轴负向传播：
x H H 0 cos (t ) c x E E0 cos (t ) c
电磁波谱
电磁波谱
x E y E0 cos t u x H z H 0 cos t u
*电磁波波速与光矢量*
真空中
1 8m u 3 10 ——光速 c s 0 0
推测：光也是电磁波！
在介质中
u
1
c n r r
c
n r r
第 18 章 电磁波
§18.1 电磁波波动方程
§18.2 电磁波的性质 §18.4 振荡电偶极子的辐射 赫兹实验
电磁场与电磁波第8章 平面电磁波
Ex Hy
O
z
上图表示 t 0时刻，电场及磁场的空间变化特性。
电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，
以 Z 表示,
即
Z Ex Hy
实数
当平面波在真空中传播时，波阻抗以Z0表示，则
Z0
0 377 Ω 120π Ω 0
均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系
又可用矢量形式表示为
Ex
Ex Ex 0 ，则只要
x y
以 kc 代替 k 即可求得其解为
Ex
E e jkcz x0
因常数 kc 为复数，令 kc k jk
求得
k
2
1
2
1
k
2
1
2
1
电场强度可表示为
Ex
E e jkcz x0
Ex0ekze jkz
上式表明电场强度的振幅随 z 增加不断衰减，相位 逐渐滞后。
由上求得 式中
vp
1
f f 00
0 f
1
00
r r
0 r r
0
0 为平面波在真空中传播时的波长。
0 的现象称为波长缩短效应，或简称为缩波 效应。
由
Hy
j可E得x
z
Hy
Ex0e jkz
H y0e jkz
H y0 Ex0
可见，在理想介质中，电场与磁场相位相同，
且两者空间相位均与变量z有关，但振幅不会改变。
1. 波动方程 在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变
电磁场的方程为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
J (r,t) t
电磁波波动方程要点
§18.2 电磁波的性质
（1）电磁波是横波
Ey Ey 2 2 x t
2 2
E y
H z
Hz Hz 2 2 x t 由于 j k i 所以 E H // x 轴
2 2
u x
§18.2 电磁波的性质
— 折射率
n r
与物质作用的主要是
E
矢量,
E
通常被称为光矢量！
几点注意
（1）振动不是媒质体积元，是电场和磁场 （2）周期变化的不是质点位移，是 E、H 强度矢量
（3）伴随电磁波传播的有能量、动量和质 量的流动（引力波具有同样的性质） （4）电磁波是自持波，在真空或媒质中均 可传播
F pcS pc w 辐射压强： S S
c
F
S
偶极子的辐射
一、 电磁波的产生
赫兹实验
C P P0 cost I 1 P q l ， 0 0 L 2 LC
q
S EH
H
电磁波强度为
E
S
2 I S EH E
**坡因廷矢量举例**
•电阻
S
I
E
I
可以证明： 输入功率：
H
P S (2a l ) I R
2
S
电阻消耗的能量是通过坡因廷矢量输入的！
**坡因廷矢量举例**
•电容器充、放电 电容器充电过程 中，通过坡因廷 矢量输入能量！ 电容器放电过程 中，通过坡因廷 矢量输出能量！ 可以证明：
2 2
其中
2 2 2 x y z
平面电磁波
平面电磁波1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations 或wave equations 可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4 最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§ 波动方程1 电场波动方程：ερμμε∇+∂∂=∂∂-∇t J tE E ρρρ222 磁场波动方程 J t H H ρρρ⨯-∇=∂∂-∇222με 2 如果媒质导电（意味着损耗），有E J ρρσ=代入上面，则波动方程变为ερμεμσ∇=∂∂-∂∂-∇222tE t E E ρρρ 0222=∂∂-∂∂-∇tH t H H ρρρμεμσ 如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则ερμεωωμσ&&ρ&ρ&ρ∇=+-∇E E j E 22 022=+-∇H H j H &ρ&ρ&ρμεωωμσ 采用复介电常数，εμωωεσμεωωμσμεω&222)1(=-=-j j ，上面也可写成 3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
0222=∂∂-∇tE E ρρμε 0222=∂∂-∇t H H ρρμε 4在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
0222=∂∂-∂∂-∇tE t E E ρρρμεμσ 0222=∂∂-∂∂-∇tH t H H ρρρμεμσ 如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，εμωωεσμεωωμσμεω&222)1(=-=-jj ，上面也可写成 022=+∇E E &ρ&&ρεμω 022=+∇H H &ρ&&ρεμω 注意，介电常数是复数代表有损耗。
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
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(I) E x 0, x
E x 0 t
2 E y 1 H z
t 2
t x
1
H z
1 2Ey
(II) (III)
H x 0, x
E y H z ,
x
t
H x 0 t
H z x
E
y
t
x t x2
2
H
2 z
1
2Hz
t 2 x2
(IV) Ez H y , H y Ez
x
t
x
D t
d S
H z
y
H Hz
x y
H y
z H z x H x
Ex t Ey
t Ez
x y
t
E x 0
x
t
t
Hz E y
x t
H y Ez
x
t
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
为1/2，平均辐射强度
与振幅平方成正比！
S E0H0 2
因c 1 以0及0
0 E，0 得 0 H0
S 0cE02 2
S 0cH02 2
4.电磁波的辐射
振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡,两 端出现正负交替的等量异号电荷。
任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源， 如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都 会在其周围空间产生电磁波。
dl—底面积为dA的小长方 体的高
小长方体中的电磁能量为w dAdl
P点处的辐射强度S ：
S wd Ad l wu d Adt
S wu u (E2 H 2 )
2
电磁波的能量
利用 E H, u 1 得
S 1 ( E H H E) EH 2
辐射能的传播方向、E 的方向及H 的方向三者相互垂 直，辐射强度用矢量式表示为：
(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围 的空间中
(2)提高辐射频率
振荡偶极子电矩：pe p0 cost
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电 偶极子周围的电磁场线如下图示：
5.电磁波谱
电磁波谱:按照频率或波长的顺序把电磁波排列成图表。
电磁波谱
E H
电磁波的性质
平面简谐电磁波的传播
y u
E
z
H
x
电磁波的一般性质：
(1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。
电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平面 内振动，这种特性称为偏振。
(3)E 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。
各种无线电波的范围及用途
名 称
长波
中波 中短波
波 30000长 3000m
3000200m
200-50m
频 率
10100kHz
1001500k Hz
1.5-6MHz
主 越洋 要 长距 用 离通 途 信和
导航
无线 电报通 电广 信 播
短波 米波
微波
分米 波
厘米波 毫米波
50-10m 10-1m
1m10 10-
提高振荡电流辐射电磁场的方法
+q
C I
L -q
电磁波的辐射
赫兹在1888年采用振荡偶极子， 实现了发送和接收电磁波。采用下 图装置，证实了振荡偶极子能够发 射电磁波。
赫兹
播放视频：来自空中的能量
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：
1cm cm
10.1cm
6-30MHz
无线电 广播、 电报通 信
300- 3000- 3000030-300MHz 3000 30000 300000
MHz MHz MHz
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 电视广播、专门用途 无线电导 航
补充知识： 电磁波
变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近及 远以有限的速度在空间传播，形成电磁波。最初由麦 克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实。
1. 平面电磁波的波动方程
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中，电荷密度=0，电
流密度=0，且介电常量 和磁导率 是常量。麦克斯韦
方程简化为：
x
t
x
t
表明变化电磁场
Ey
和Hz
是按波动形式传播。
场量E 和H在x方向的分量是常数。
平面电磁波的波动方程
2Ey t 2
1
2Ey x2
2
H
2 z
t 2
1
2Hz x2
去掉Ey 和Hz 的下标 y 和 z，得
2E
t 2
1
2E x2
（E沿y方向）
平面电磁波
2H t 2
1
2xH2 （H
沿z方向）
的波动方程
电场和磁场的能量体密度分别为
we E2 2, wm H 2 2
电磁场的总能量体密度：
w we wm (E2 H 2 ) 2
辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传 播方向是电磁波的传播方向。
电磁波的能量
空间某点辐射强度的计算
波速
dA
P
dl
dA—P 点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积
S EH
辐射强度矢量S也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。 E
H
S
电磁波的能量
考虑平面余弦电磁波的情形
E E0 cost x u 0 H H0 cost x u 0
据辐射强度计算公式，得
S E0H0 cos2t x u 0
取一个周期内的平均值， cos2t x的/时u间 平0 均值
(4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足
E H
(5)电磁波的传播速度 u 1
通常 和 与电磁波的频率有关，在介质中不同频
率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质 中的色散现象。
3.电磁波的能量
电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度 或辐射强度。
电磁波的波速
真空中的波速
u 1 c 1 00 2.9979m/s
2.电磁波的性质
沿 x轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
E
E0
cos
t
x u
0
据
E x
计算Ht 出H：
H
E0
u
cos
t
x u
0
H0
cos
t
x u
0
E0 H0
H 和E 有相同的频率,且两者同相位，二者满足：
DdS
EdS 0
Ex
Ey
Ez
0
x y z
BdS
HdS 0
H x
H y
H z
0
x y z
平面电磁波的波动方程
Edl
B
d
S
t
Ez
y
EEzxy
Ey
z Ez x Ex
H x
t
H y
t
H z
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数：
H x 0
t
Ez H y