第二章 波动方程和平面波解
平面简谐波__波动方程
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
平面波的波动方程
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
第二节 平面简谐波的波动方程
解： 由题意 波长 周期
u 0.40 m
T 1 8105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cost 0.1103 cos(25103 t) m
（2）波函数
y Acos(t x)
u
0.1103
cos
即
y
Acos t
2 x1
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
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t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2 x
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x
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沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x1 x
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y
u
当t=t1时，y
A
cos
t1
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
波动方程的简谐平面波解
波动方程的简谐平面波解在建立了波动方程之后，我们来讨论其解的形式及其特性。
1、 简谐平面波（1）波动方程的简谐平面波解声波在空间中传播，其传播方向和波阵面垂直。
平面波是波阵面是平面的声波，而简谐平面波是波阵面（对简谐波而言，波阵面也是等相位面）是平面的简谐声波。
具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。
因此，简谐波传播是波动传播的基础。
一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。
这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同（均匀平面波）的简单情况，较为复杂的非等声压幅值平面波（非均匀平面波）在后面的学习中会遇到。
对一维均匀简谐平面波，声压幅值可以只用一个坐标来描述。
若取平面波的传播方向为x 轴正方向，假设波动方程中c 为常数，则波动方程的均匀简谐平面波解可以分离变量有如下形式：(,)()()p x t p x T t =，(2-23) 其中，()p x 和()T t 分别为(,)p x t 的空间坐标相关因子和时间相关因子。
将(2-23)式代入到 (2-15)中，并分离变量，得2222221()()()()d T t c d p x T t dt p x dtω==-， (2-24) 其中，2ω-为分离常数。
由(2-24)式可得两个方程：222()()0d T t T t dtω+=， (2-25) 222()()0d p x k p x dt+=。
(2-26) 其中，222k c ω=，为常数。
(2-25)式的两个特解为j t e ω和()j t e ω-，后者描述具有“负频率”的振动，无实际意义，只保留j t e ω；(2-26) 式的两个特解为jkx e 和jkx e -。
由此得到波动方程的简谐平面波解为j[t-kx]j[t+kx](,)(,)(,) =Aeep x t p x t p x t B ωω+-=++ 。
(2-27)对推导过程中几个量物理意义的讨论：① 由(2-25)的解j t e ω可以看出，ω是简谐波的圆频率，也可以理解为：在简谐波传播的过程中，介质中某一质点经过单位时间变化的相位值(对应着周期数)。
光纤通信原理第2章光纤2波导
麦氏方程----波动方程
直角坐标----柱坐标、归一化、通解
边界条件----特征方程 解 唯一
单模光纤分析
线偏振标量模
各个模式的截止曲线 传导模特性
☆波导方程的推导思路
麦克斯韦方程组
H J D t
E B t
• B 0 2.2.0.1
由波动方程求出满足边界条件的纵向场分量EZ、 HZ，再由麦氏方程组求出其它四个横向量
问题：
烦杂，除特例外，一般无解析解
办法(几个假设)
弱导近似，△<<1， —仅能传输单个模式 标量近似(阶跃光纤）—偏振方向不变 WKB近似(梯度光纤）
（振幅缓变，振幅的导数与振幅本身相比的项都忽略）
解决办法
•D
H-磁场强度，E-电场强度 B-磁感应强度，D-电位移矢量 -电荷密度，J-电流密度
电荷守恒定律
• J 0tBiblioteka 2.2.0.2物质方程
J E
2.2.0.3
D 0 E P 0r E B O H M Or H O H
P-媒质极化强度，M-磁化强度
-媒质电导率，o、o-自由空 间的介电常数和磁导率
×
弱导近似
° △<<1,NA=n0sinc≈1， c≈90
√
此时在光纤中传播的电磁波非常
接近于TEM波（横电磁波，比如平面波，只有横 向分量Et、Ht ，纵向分量Ez、Hz均为0） Ez、Hz 均很小，横向分量Et、Ht 很强
标量近似(阶跃光纤）
Et、Ht 的偏振方向在传输过程中保持不变，可 以用一个标量描述。即可以设：横向电场沿y
Ey (z) Ey (0)e j z
第二讲-波动_光学
解得
其中
和
分别表示正向和反向传播的平面波。
显然，这是一对复振幅互为共轭的平面波，故称之为相 位共扼波.
一般地，当平面波沿任意方向传播时，其正向传播的 电矢量可表示为：
E（r）＝E 0eikr 或 E（r）＝E0cos（kr）
考虑到时间变化部分，一个沿正向传播的单色平面波 场电矢量 E（t）所满足的亥姆霍兹方程的解的完整形式 可表示为：
或
上式表明平面波的电场强度矢量E与波矢量k正交，故平 面电磁波是横波。 同样可得： 故有： 可见磁感应强度 B 也与与波矢量 k 正交，也表明平面电 磁波是横磁波。
而 E 与 B 也正交，表明平面电磁波是横电磁波。E， B，k三者相互正交，构成右手螺旋关系。
由前面可知 E，B同相， 二者振幅比为：
E（r）＝E 0 e
i2 f x t＋f y t＋f z t） （
E（r）＝E 0 cos f x t＋f y t＋f z t）】 【2 （
§2- 2 - 1
球面波
如果在真空中或各向同性的均匀介质中的O点放一个 点光源，容易想象，从O点发出的光波将以相同的速度向 各个方向传播，经过一定时间以后，电磁振动所到达的各 点将构成一个以O点为中心的球面，如图所示。这时的波 阵面是球面，这种波就称为球面波。
在同一介质中只关心光强度的相对分布时，上式中的 比例系数可以不考虑，此时往往把光的强度 I 以相对强度 表示，即写成电场强度振幅的平方： 然而在比较两种介质中光的强度大小时，则必须注意 到，比例系数中还有一个与介质有关的量——折射率n。
§2-1- 5 单色平面波的空间频率
如图所示，若以( cos ,cos ,cos )表示某一单色 k 平面光波波矢量 k 的方向余弦， 1 , k2 , k3 表示其在3个 坐标轴上的投影分量，则有；
第2章 波函数与波动方程
第2章波函数和薛定谔方程既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。
主要表现：a. 波－粒两象性P （粒子） ν λ （波）ω=ν= h E （Planck 假设）Einstein 关系k P = （P h =λ，λπ=2k ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系 ∴ 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述)Et r P (i )t r k (i AAe-⋅ω-⋅==ψb. 物理量取值不一定是连续的辐射体辐射的能量取值 ν=nh E ,2,1,0n = 氢原子的能量202n 8n a eE πε⋅-=cm 10529.0em 4a 82e 200-⋅=πε=由于平常粒子的波长1010-<λÅ，所以观察不到干涉, 衍射现象。
微观粒子，如电子1≈λÅ，因此在原子线度下可能显示出波动性。
而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因经典粒子 经典波√原子性（整体性） ⨯实在物理量的空间分布 ⨯轨道 √干涉，衍射这两者是不相容的。
描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。
§1 波函数的统计解释一、波函数的引入描述自由粒子可用平面波波函数)(Et r p ipAe -⋅=ψ来描述。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波(,)r t ψ完全描述。
二、波函数的解释1、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着： 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着：1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
2、对波粒二象性的两种错误的看法 (1). 波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。
4_2_2波动方程、波的能量、声波
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
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银
紫铜 铝 钠 黄铜 锡 石墨
6.17×107
5.8×107 3.72×107 2.1×107 1.6×107 0.87×107 0.01×107
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
5.01107 f
《高等电磁场理论》
包络波，速度vg
z
载波，速度vp
《高等电磁场理论》
等离子体（plasma）是一种色散介质，其介电系数为
plasma
p
2 p 0 1 2
Nq 2 m 0
朗缪尔
等离子体频率，或等离子体电子震荡频率，或Langmuir频率
N
其中：
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
kR
exp ikR r 代表波的相位传播；
为波的传播方向
kR2 kI2 2 则 2kR kI 0
《高等电磁场理论》
kR kI
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波 的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相 位面相互垂直。
情形二：有耗介质中平面波。
i
2 R 2 I
k kR ikI
k k k k i2kR kI i
2 2
E E0 exp kI r exp i kR r t
平面波情形有以下算子对应关系 ik
ik E i H H E 1
1
kE kH
ik H i E
kE 0 和 kH 0
《高等电磁场理论》
E
1 1 k k E 2 k k E E k k 1 2 E k k 1
E r E0 exp ik r
《高等电磁场理论》
可得
( f F ) f F F f ( fF ) f F f F
E r E0 exp ik r E0 exp ik r ik E0 exp ik r ik E r
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
x 1/ 2 (1 x) 1 弱导电媒质： 1 2 1/ 2 jk j (1 ) j j 2
1/ 2 c (1 ) (1 j ) c j 2
E E0 exp i k 1 z 1t E0 exp i k 2 z 2t
且
1 0 2 0
利用Taylor展开
其中 0 , 0 为中心频率。
dk E 2 E0 cos z t exp i k 0 z 0t d 0 相位因子 《高等电磁场理论》
z y2 cos 2 t , 2 49 c 《高等电磁场理论》
18
dk E 2 E0 cos z t exp i k 0 z 0t d 0
q 1.6 1019 C m 9.11031 kg
《高等电磁场理论》
5000
F2
1000
白天 夜间
电离层电子密度的典型高度分布
F11Leabharlann 0 50107C
130km E 90km D 70km
50km
10
9
10
11
3
10
13
电子数 m
电离层各层电子浓度的最大值
D层 E层 90～150 km 109~1011 约110 km F1层 150～200 km 1011 190～200 km F2层 200～500 km 1011~1012 约300 km
真空 0 377 0
ˆ k 为传播方向单位矢，波阻抗η
E
k
《高等电磁场理论》
H
无耗介质时，波矢量k也可能是复数
若
k kR ikI
则
k k k 2 2
E r E0 exp ik r E0 exp kI r exp ikR r exp kI r 表示振幅衰减， 为波衰减方向； kI
kR2
2
2
2
《高等电磁场理论》
2 1 kI2 1 2
with ace Su r f p ha s e e sa m
t kt
1 1
则
k I 0 0
2 p 1 2
ki
i r
kr
x
2kR kI
Media 1 Media 2
Surface with same amplitude
kR kI 之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 k // k 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波 R I
kR2 kI2 2 2kR kI
第二章 波动方程 &平面波解
高 等 电 磁 场 理 论
2.1介质中平面波
1、均匀介质中时谐场无源Maxwell方程
E i H H i E E 0 H 0
电场的波动方程（Helmholtz方程）
2 E k 2 E 0,
平面波解为
k k k 2 2
色散关系
k k k 2 2
表示：平面波波矢量与介质本构参数之间关系
《高等电磁场理论》
2、无耗和有耗介质中的平面波特征
情形一 ：无耗介质中平面波
、 为实数,k为实数
ˆ 1 ˆ H kE kE kE
1
表明电磁场方向和传播方向三者相互垂直，成右手螺旋关系
exp kI r
kI
exp i kR r t
表示振幅衰减， 为等振幅面的传播方向 ； 代表波的相位传播； 为等相位面的传播方向
kR
《高等电磁场理论》
非均匀平面波 y ——在有耗介质中等振幅面与等相位面可能不一致
k k
2 R 2 I 2
2
vphase vgroup c2
若 p 则 k 0 0
p
2 2 p p 1 2 1 2 c 2
k c
1
O
等离子体色散关系曲线
k
《高等电磁场理论》
情形二：电磁波频率小于等离子体频率， p
vgroup 1 dk d 0 d dk 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和 频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
z y1 cos 1 t , 1 51 c
趋肤深度
2
1/ 2
2
(1 x)
x 1 2
弱导电媒质中均匀平面波的特点 相位常数近似于理想介质中的相位常数
透入深度和频率无关 《高等电磁场理论》
5、相速群速和等离子体介质 设平面波沿z传播，信号为携带有多个频率成分的窄带信号
假设仅包含两个相近的频率成分， 1 和 2 ，即
良导体： 1
c j 1 j j
j
本征阻抗
c c
2π f
e
j45o
(1 j)
πf
良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电磁强度45o。
令
c (1 j)
良导体中的参数
1.04 1018 例如铜： f
j e
j45
12 jk j (1 j )
2
(1 j)
相速： v
2 π f
π f
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能
存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。 趋肤深度（）：
Em
1
Em e
Em e
1
1 π f
Em e
趋肤深度
铜：
4π 10 7H/m
5.8 S/m 10 7
《高等电磁场理论》
6.6 102 f 50Hz， 9.33 103 m 50 2 6.6 10 f 1MHz ， 6.6 10 5 m 106 2 6.6 10 f 10GHz ， 6.6 10 7 m 10 109
和
E r E0 exp ik r exp ik r E0 ik exp ik r E0 ik E0 exp ik r ik E r
E i H H i E E 0 H 0
1
表示厚度为
πf
RS jX S Z S
表面阻抗
RS
的导体每平米的电阻，称为导体的表面电阻率
X S 称为表面电抗
《高等电磁场理论》