第三章波动方程

拉普拉斯算子： 拉普拉斯算子： 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂u ∂u ) + (sin α ∇ 2u = 2 ( r 2 r ∂r r ∂α ∂r r ⋅ sin α ∂α ∂u ∂ u ↓← = =0 ∂ α ∂β
2 1 ∂u ∂ 2 u 2 ∂u 2 ∂ u )= 2 + = 2 ( 2r +r 2 r ∂r r ∂r ∂r ∂r
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解 、
已知球面纵波传播波动方程如下： 已知球面纵波传播波动方程如下： ∂ 2ϕ − VP2 ∇ 2ϕ = 0 ∂t 2 此式是直角坐标系中的波动方程， 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中， 坐标系中，即
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 为了定量地描述微观粒子的状态， 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 波函数， 表示。一般来讲， 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 的函数，并且是复函数，
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无限大、 3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
如果使 t −
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t 播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
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因此，上式又可写为： 因此，上式又可写为：
ϕ=
ϕ
1 r ) = c1 ( t − r r VP
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无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解： 第一组解：当 V = V p = ( λ + 2 µ ) / ρ 时，
U = A1 exp( v=w=0
iω ( x − V p t )) V
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位 方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零， 移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P 移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。 第二组解： 第二组解：当 V = Vs = µ / ρ 时，
2
==Leabharlann 0 2 π i ( x m Vt λ 2 π i ( x m Vt u = A 1 exp λ 2 π i ( x m Vt v = A 2 exp λ 2 π i ( x m Vt w = A 3 exp λ A exp
)
) )
r r ϕ 1 = rϕ = c 1 ( t − ) + c2 ( t + ) VP VP
1
r 为常数， 增大而增大， 为常数，则t 随 r 增大而增大，( t − r ) 代表了沿 c VP VP r 传播的波，称为发散波。 代表了沿r向“外”传播的波，称为发散波。t + c2 ( ) 代表了沿-r向“内”传 VP
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3 波动方程的解及地震波的特点
惠更斯惠更斯-夫列涅尔原理 地震波的运动特点 射线积分理论射线积分理论-克希霍夫积分 费马原理和波的射线 时间场和视速度定理
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3 波动方程的解及地震波的特点
在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为： 在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为： ∂ 2U 2 µ∇ U + (λ + µ ) gradθ + ρF = ρ 2 ∂t 两边分别取散度和旋度，并且令 两边分别取散度和旋度，
在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δt； t=0时 点震源开始作用，作用时间为Δt； Δt t>△t时，点震源作用完毕。 t>△ 时 点震源作用完毕。 边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的， 边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不 存在任何弹性分界面，故无边界条件。 存在任何弹性分界面，故无边界条件。 球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源， 球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性， 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点， 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点， 就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。 就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
u=0 v = A 2 exp[ iω ( x − V s t )] V iω w = A 3 exp[ ( x − V s t )] V
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波， 其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪 切波，通常简称为S 波有两个质点振动方向： 轴振动的S 切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分 量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波， 量为垂直偏振剪切波，称为SV波 轴振动的S波为水平偏振剪切波， SV 11 称为SH SH波 称为SH波。
VP2 = (λ + 2 µ ) / ρ VS2 = µ / ρ
则可得纵波方程和横波方程
∂ 2ψ 2 − VS ψ = Ψ ∂t 2
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∂ 2ϕ − VP2∇ 2ϕ = φ ∂t 2
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。 考虑。波动方程的解就是波函数。 在不同的情况下可以得到不同的解， 在不同的情况下可以得到不同的解，即波 函数有不同的形式。 函数有不同的形式。
x = r ⋅ sin α ⋅ cos β y = r ⋅ sin α ⋅ sin β z = r ⋅ cos α ( 0 ≤ r ≤ ∞ ,0 ≤ α ≤ π ,0 ≤ β ≤ 2π )
显然， 显然， r =
x2 + y2 + z2
α
为矢量r 为矢量r和z轴之间的夹角， β 为矢量r在 xoy平面 轴之间的夹角， 为矢量r xoy平面 上的投影与x 上的投影与x轴之间的夹角
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋 下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋 divF 转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主） rotF的作用下 转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
(k1 , k2 , k3 ) 是平面的法线方向数。有 是平面的法线方向数。
2 k12 + k 2 + k32 = 1
取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进， 取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。 迟一个时间。 取正号时，表示随时间t的增加，波沿- 方向前进， 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间 是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。 示沿任意方向传播的平面简谐波。
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波 1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 初始条件：在均匀各向同性介质中， 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a →0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源， 位函数或者震源函数可以表示为
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v v 轴方向传播的平面波（ 二、沿X轴方向传播的平面波（即 k = x
r v 2π i (k1 x + k 2 y + k 3 z m Vt ) d U = A exp λ = Ae iϕ = A (cos ϕ + i sin ϕ )
k v U
1
）
0 , k
3
= =
1 , k
直接用位移向量所表示的波动方程式求解 v 2πi r (k1 x + k2 y + k3 z m Vt ) d U = A exp λ
= Aeiϕ = A(cos ϕ + i sin ϕ )
式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. 式中： 为振幅，决定位移的大小， 为波的相位. w/V为简谐波参数 为简谐波参数， 频率， 圆频率， 波速。 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 为传播项。 k1 x + k 2 y + k3 z m Vt = c 为传播项。 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
1 ∂ 2u ) + 2 2 r sin α ∂β
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程： 将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 ∂ 2ϕ 1 2 ∂ ϕ 1 −VP = 0 2 2 ∂t ∂r
ϕ 1 = rϕ
可用达朗贝尔法解得： 可用达朗贝尔法解得：
v d
)

将上式代入波的Navier方程 方程 将上式代入波的
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∂ 2U µ∇ U + ( λ + µ ) gradθ + ρF = ρ 2 ∂t
整理简化，并令体力 整理简化，并令体力F=0，可得 ，
(λ + 2 µ )A1 − ρV 2 A1 = 0
µA2 − ρV 2 A2 = 0 µA3 − ρV 2 A3 = 0
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