解三角形公式整理
解三角形知识点总结
解三角形中的一些常用的知识点——周文强2020年2月28日14:19:071、 正弦定理【边角转换定理】：2sin sin sin a b c R A B C ===（注：R 为ABC ∆的外接圆半径） 边转角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===、、 角转边：sin sin sin 222a b c A B C R R R ===、、 适用的的条件：①边的齐次式；②角的正弦齐次式2、 余弦定理【一角三边定理】：22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+−+−−== 22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac+−+−−== 22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+−+−−== 3、 常用面积公式汇总：面积公式一【已知底和高】：111222ABC a b c S ah bh ch Λ=== 面积公式二【已知两边夹一角】：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B Λ=== （以角为主导） 面积公式三【已知三边】：2a b c p ++=，()()()ABC S p p a p b p c Λ=−−− 面积公式四【已知三点的坐标】： 112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 21213131(,),(,)AB x x y y AC x x y y =−−=−−，2131312111()()()()22ABC S AB AC x x y y x x y y Λ=⨯=−−−−− 4、 面积公式+余弦定理 222tan 4b c a S A +−=， 222tan 4a cb S B +−=，222tan 4a bc S C +−= 5、 中线长定理（D 为BC 的中点）2222()a b c a m +−=，2222()b a c b m +−=，2222()c a b c m +−= 推导：2222222222()22cos cos 00a a a AD c AD b b c a BDA CDA AD m AD a AD a ⎛⎫⎛⎫+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭∠+∠=⇒+=⇒==⋅⋅ 其他两个推导方法一致，这里说明下，a m 表示边a 的中线。
解三角形公式
海伦－秦九韶公式假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：而公式里的p为半周长（周长的一半）：注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以和两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
cosC = (a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）。
变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a^2=b^2+c²-2bcco s Ab^2=a^2+c^2-2ac cos Bc^2=a^2+b^2-2ab cos C注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
解三角形的实用方法
解三角形的实用方法在几何学中，解三角形是一项重要的任务，它涉及到通过给定的边长或角度来确定三角形的其他未知量。
本文将介绍几种常见的实用方法来解决三角形问题。
一、已知边长解三角形当我们已知三角形的三条边长时，可以使用余弦定理和正弦定理来求解三个内角。
接下来以边长分别为a、b、c，内角为A、B、C的三角形为例进行说明。
1. 余弦定理余弦定理给出了两边和夹角余弦之间的关系：c² = a² + b² - 2abcosC，b² = a² + c² - 2accosB，a² = b² + c² - 2bccosA。
根据这些公式，我们可以计算出三个内角的余弦值，然后使用反余弦函数得出最终结果。
2. 正弦定理正弦定理描述了三角形的边与其对应角的正弦之间的关系：sinA/a= sinB/b = sinC/c。
根据这个公式，我们可以计算出三个内角的正弦值，然后使用反正弦函数得出最终结果。
通过以上两个定理，我们可以根据已知的边长求解三角形的内角。
二、已知角度解三角形当我们已知三角形的一个内角以及与该角相对应的两个边长时，可以使用正弦定理和余弦定理求解三角形的其他未知量。
1. 正弦定理根据正弦定理，我们可以得到一个方程，用于计算三角形的边长：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
通过已知的内角和两个边长，可以解出第三边的长度。
2. 余弦定理如果我们已知一个角和两个边长，可以使用余弦定理求解三角形的一条边：c² = a² + b² - 2abcosC，b² = a² + c² - 2accosB，a² = b² + c² -2bccosA。
通过以上两个定理，我们可以根据已知的角度和边长求解三角形的其他未知量。
三、特殊三角形的解法除了上述方法外，特殊三角形也有一些独特的解法。
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
解三角形公式汇总
解三角形解三角形公式汇总一、正弦定理正弦定理：公式推论1：（边化角）推论2：（角化边）题（1）已知sinB 求B:一题多解型判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
型（2）asin B＝2b:方法：边化角，推论1，a：b=sinA ：sinB（3）3sin A＝5sinB 或sinA:sinB:sinC=1:2:3方法：角化边，推论2,sinA ：sinB=a：b二、余弦定理公余弦定理：（已知两边及夹角，求第三边）推论1：（已知三边，求角）推论2：（三边的平方关系）式2＋b2－c2=2abcosC2＋c2－a2=2bccosA2＋c2－b2=2accosBaba题（1）已知a，b，角C,求c 2=a2＋b2-2abcosC方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理 c型（2）已知a：b：c=1:2：，求cosB方法：已知三边求角，余弦定理推论1，（3）已知，求cosA方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2， b2＋c2－a2=2bccosA1解三角形三、求三角形面积公式：题型1：已知a，b，c，A 求△ABC 的面积．方法：带公式题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC 的面积．方法：四、判断三角形形状题型： b cosC c cosB asin A ，判断三角形形状方法1：角化边公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论：方法2：边化角公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin 2A，用三角恒等变换公式求解。
注：三角形内常见角度转化：五、解三角形应用举例仰角：俯角：坡度：2。
解三角形
C .10( 6 2 ) D.10( 6 2 )
典例:
例1：在△ABC中，∠B=450，AC= cosC= 2 5
5
（1）求BC边的长
10 ，
（2）记AB的中点为D，求中线CD的长度
例2：
在ABC中，m
(cos
C
,
sin
C
),n
(cos
（4）余弦定理的变式：cos C a2 b2 c2 2ab
（5）三角形面积公式：SΔ
1 ah
2
,
SΔ
1 ab sinC
2
（6）在△ABC中，易推出： ① sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),
tanA=-tan(B+C)
② sin A cos B C , cos A sin B C ,
解斜三角形
知识要点归纳
（1）正弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
（3）正弦定理的变式：
a=2RsinA b=2RsinB
sin A a sinB b
2R
2R
c=2RsinC.
sinC c 2R
a : b : c sin A: sinB : sinC
基础训练: 1、在△ABC中, 若A 600，a 4 3,b 4 2
则B=
。
2、在△ABC中, a=6,b= 6 3 ,A=300
则边c=
。
3、在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2:3:4, 则CosB=_________
解三角形知识点总结
解三角形知识点总结一、正弦定理正弦定理是指在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。
正弦定理的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$c$，则可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理求出其他两边$a$和$b$。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
此时需要注意可能会出现一解、两解或无解的情况。
二、余弦定理余弦定理是对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对于边$a$，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$；对于边$b$，有$b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$；对于边$c$，有$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。
可以直接代入余弦定理的公式求出角的余弦值，进而得到角的大小。
2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
三、面积公式三角形的面积公式有多种形式，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$2、＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A$3、＄S ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些公式可以根据已知条件的不同灵活选择使用。
四、三角形中的常见结论1、大边对大角，大角对大边。
即三角形中，较长的边所对的角较大，较大的角所对的边较长。
2、三角形内角和为$180^｛＼circ}＄。
3、在锐角三角形中，＄＼sin A ＞＼cos B$；在钝角三角形中，若$A$为钝角，＄B$为锐角，则$＼sin A ＜＼cos B$。
解三角形(知识点)
解三角形（知识点）第一章：解三角形一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在∆AB C 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有A B ===CR a b c sin sin sin 2 (R 为∆AB C 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①=A a R 2sin ，=B b R 2sin ，=c R C 2sin ； ②A =R a 2sin ，B =Rb 2sin ，=R Cc 2sin ； ③=A B C a b c ::sin :sin :sin ；3、三角形面积公式：=A ==B ∆AB S bc ab C ac C 222sin sin sin 111． 4、余弦定理：在∆AB C 中，有=+-A a b c bc 2cos 222，推论：=-+222cos 2A a c b bc-+=222cos 2c a b ac B ，推论： -+=222cos 2b a c ab C ，推论：=-+222cos 2C c b a ab二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径.=-+222cos 2B b c a ac（5）在余弦定理中:2bc cos A =-+a c b 222.（6）三角形的面积公式有:S =12ah , S =12ab sin C=12bc sin A=12ac sinB , S =--⋅-c P b P a P P ()()()其中，h 是BC 边上高，P 是半周长.2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边.4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
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解三角形公式
1、内角和： 180=++C B A ；
1800,1800,1800<<<<<<C B A
2、(1))(180C B A +-= ；)(180C A B +-= ；)(180B A C +-= ；
(2))sin(sin C B A +=；)sin(sin C A B +=；)sin(sin B A C +=； )cos(cos C B A +-=；)cos(cos C A B +-=；)cos(cos B A C +-=；
3、(1)
2902C B A +-= ；2902C A B +-= ；2
902B A C +-= ； (2)2cos 2sin C B A +=；2cos 2sin C A B +=；2
cos 2sin B A C +=； 2sin 2cos C B A +=；2sin 2cos C A B +=；2sin 2cos B A C +=； 4、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
5、大边对大角，大角对大边；
6、正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin ===（R 指三角形外接圆半径） （(1) 解三角形：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和一边；
(2) 注意已知两边和其中一边的对角解三角形有一解、两解及无解情形） 变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2⋅=⋅=⋅=
C B A c b a sin :sin :sin ::=
asinB=bsinA ，bsinC=csinB ，asinC=csinA
sinA ＝R a 2，sinB ＝R b 2，sinC ＝R
c 2 7、余弦定理： 变形：
A bc c b a cos 22
22-+=； bc a c b A 2cos 2
22-+=； B ca a c b cos 22
22-+=； ca b a c B 2cos 2
22-+=； C ab b a c cos 22
22-+=； ab c b a C 2cos 2
22-+=； sin 2A =sin 2B+sin 2C-2sinBsinCcosA ；tanA+tanB+tanC= tanA ×tanB ×tanC
（解三角形①已知两边一夹角；②已知三边）
8、已知形如b a +或b a -，由ab b a b a ab b a b a 2)(,2)(22222+-=+-+=+变形； 如C ab ab b a C ab b a c cos 22)(cos 22222--+=-+=
9、S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R
abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A
C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2 =))()((c p b p a p p --- ＝2
1(a+b+c)r=pr (其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ABC ∆中，若向量CB a =，CA b =，则2221()2ABC
S a b a b ∆=-⋅． 10、判定三角形形状时的常用结论有：
① 设a 、b 、c 是△ABC 的角A 、B 、C 的对边，
⑴ 若a 2+b 2 = c 2，则C=90°；
⑵ 若a 2+b 2＞c 2，则C ＜90°；
⑶ 若a 2+b 2＜c 2，则C ＞90°；
⑷ 若sin2A=sin2B ，则2A=2B 或2A+2B=π。
所以A=B 或A+B=2
π。
② 在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sinA ＞sinB ⇔cosA ＜cosB ③ 在△ABC 中，a 2+b 2＜c 2 ⇔cosC ＜0 ⇔
2
π＜C ＜π a 2+b 2 = c 2 ⇔ cosC =0 ⇔C=2
π a 2+b 2＞c 2 ⇔ cosC ＞0 ⇔0＜C ＜2π
射影公式：
a=bcosC+ccosB; b=ccosA+acosC; c=acosB+bcosA。