在职研究生数值分析复习资料及答案样本
数值分析书本答案
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π 所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字 绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε 4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
《数值分析》所有参考答案
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
数值分析参考答案_第一章第二章
数值分析参考答案第一章数值分析与科学计算引论3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即，误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：* 11.1021x=，*20.031x=，*3385.6x=，*456.430x=，*57 1.0x=⨯解：法1：按p5的公式（2.1）展开法2：从左到右第一位非零开始数* 11.1021x=有5位有效数字，* 20.031x=有2位有效数字，* 3385.6x=有4位有效数字，* 456.430x=有5位有效数字，* 57 1.0x=⨯有1位有效数字（科学记数法）。
6 设028Y=，按递推公式11,2,n nY Y n-== ，计算到100Y。
若取27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y将有多大误差？解：精确值Y=*27.983Y=从而，**30001102Y Yε-=-≤⨯第一次迭代：***111011282827.983100100Y Yεε⎛⎛⎫=-=--⨯≤⎪⎝⎝⎭第二次迭代：()()***22211*****1100000127.9831001112100100100100Y Y Y YY Y Y Yεεεε⎛⎛⎫=-=---⨯⎪⎝⎝⎭=---≤+=按规律递推得：***100n n nnY Yεε=-≤所以有：***310010010001001101002Y Yεε-=-≤=⨯因此，计算100Y 的误差限不超过31102-⨯7、求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982）解：由求根公式得2828x ===±27.982≈具有5位有效数字，则有1282827.98255.982x =≈+=21280.0178655.982x ==≈=11、序列{}n y 满足递推关系：1101,1,2,n n y y n -=-= ，若0 1.41y =≈（3位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：0y =*0 1.41y =，则有**20001102y y ε-=-≤⨯ 按迭代公式有：()*****111000001011011010y y y y y y εε=-=---=-≤ ()****2*222111101011011010y y y y y y εε=-=---=-≤由递推式，可得()***10*10*101010990001011011010y y y y y y εε=-=---==-≤因此，此计算过程不稳定。
研究生数值分析答案_2
● 当22()3x x ϕ+=时，'12()3x x ϕ=，因此'1(2) 1.3333ϕ=>1，，因此，该迭代格式不收敛。
● 当2()x ϕ='2()x ϕ=，因此'2(2)0.75ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
● 当32()3x x ϕ=-时，'322()x xϕ=，因此'3(2)0.5ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
● 当242()23x x x ϕ-=- 时，2'44224()1213x x x x x ϕ--=-+，因此'4(2)0ϕ=<1，，因此，该迭代格式收敛。
(2)、● 当22()3x x ϕ+=时，迭代法计算公式是20122.5,3k k x x x ++==，程序如下： >> fi=inline('(x.*x+2)/3');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1end运行结果如下：x0 =2.7500k =1x0 =3.1875k =2x0 =4.0534k =3x0 =6.1433k =x0 =13.2468k =5x0 =59.1589k =6x0 =1.1673e+003 k =7x0 =4.5416e+005 k =8x0 =6.8755e+010 k =9x0 =1.5757e+021 k =10x0 =8.2765e+041 k =11x0 =2.2834e+083 k =12x0 =1.7379e+166 k =13x0 =Infk =14x0 =Infk =15由以上计算结果看，序列是发散的，运行14次已经超出计算机的识别范围，当2()x ϕ迭代法计算公式是1k x +=程序运行结果如下：>> fi=inline('sqrt(3*x-2)');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1;endx0 =2.3452x0 =2.2440x0 =2.1753x0 =2.1274x0 =2.0934x0 =2.0689x0 =2.0510x0 =2.0379x0 =2.0282x0 =2.0211x0 =2.0157x0 =2.0118x0 =2.0088x0 =2.0066x0 =2.0049x0 =2.0037x0 =2.0028x0 =2.0021x0 =2.0016x0 =2.0012x0 =2.0009x0 =2.0007x0 =2.0005x0 =2.0004x0 =2.0003x0 =2.0002x0 =2.0002x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0000x0 =2.0000x0 =2.0000>>由以上计算结果看，序列收敛与2，所以x=2是f(x)= 232x x -+=0的根。
数值分析参考答案(第二章)doc资料
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
数值分析参考答案(第二章)
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
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在职研究生数值分析复习资料考试时间：120分钟一、单项选取题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π近似值时具备( B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必要满足条件为( A )。
(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上持续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1，… ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( A )。
A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/44. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=xx 和2ln /)4ln(x x -=形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内实根，下列描述对的是：( B )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上三次样条插值函数是( A )。
A. 在[a ，b]上2阶可导，节点函数值已知，子区间上为3次多项式B. 在区间[a ，b]上持续函数C. 在区间[a ，b]上每点可微函数D. 在每个子区间上可微多项式二、填空题(每空2分，共20分)1. 当x =1，-1，2时，相应函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )拉格朗日插值多项式是226104()25555P x x x =-++（题目有问题，或许应当是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 牛顿迭代公式是1,(0,1,2...)1kx k k k k x e x x k x -+-=-=+3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生向量序列{}()k X 收敛充分必要条件是k k X X →∞=()*lim 。
4 .设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___5____，‖A ‖1＝___5___，‖X ‖∞＝__ 3 _____。
5. 已知a =3.201，b =0.57是通过四舍五入后得到近似值，则a ⨯b 有 2 位有效数字，a +b 有 1 位有效数字。
6. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 。
7. 求积公式)43(32)21(31)41(32)(10f f f dx x f +-≈⎰具备___3__ 次代数精度。
三、运用100，121，144平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115近似值。
规定保存4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。
四、已知：已知有数据表如下，用n=8复合梯形公式（)]()(2)([211b f x f a f hT n k k n ++=∑-=），计算积分⎰=10dx e I x ，并预计误差（),(),("12)(2b a f h a b f R n ∈--=ηη）。
五、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a（1）写出解此方程组雅可比法迭代公式； （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛；（3）取5=a ,T X )101,51,101()0(=，求出)2(X 。
六、用改进欧拉公式求解如下初值问题（取步长为0.1，只规定给出x=0.1至0.5处y 值，保存小数点后四位）。
⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=1)0()10(2'y x y x y y 七. 用列主元高斯消元法解线性方程组。
(计算时小数点后保存5位)。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454321321321x x x x x x x x x 八、用高斯赛德尔办法求下列方程组解，计算成果保存4位小数。
⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210321321321x x x x x x x x x 九、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算⎰20)(dx x f ，（2）预计截断误差大小 十、设有线性方程组b Ax =，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=582,3015515103531b A（1）求A LU =分解； (2) 求方程组解 (3) 判断矩阵A 正定性 十一、用牛顿迭代法求方程0xx e--=根。
（迭代三步即可）十二、已知单调持续函数y =f (x )如下数据，若用插值法计算，x 约为多少时f (x )=0.5，规定计算成果保存小数点后4位。
参照答案三、解 运用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228四、解720519.1)]1()(2)0([161718=++=∑=f x f f T k k71828.1)]1())75.0()5.0()25.0((2))875.0()625.0()375.0()125.0((4)0([2414=+++⨯++++⨯+=f f f f f f f f f S 750035942968.0)81(121|)("12||)(|1228=≤--=e f h a b f R η 54)4(44107272.4)41(28801|)(2880||)(|-⨯=≤--=e f h a b f R η五、解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x ax m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，因此雅可比迭代法收敛。
（3）取5=a ，T X )101,51,101()0(=由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x 则 ）（2X =（25013， 258，25013）T六、解 改进欧拉公式为),(1n n n n y x hf y y +=+)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y七、解（1，5，2）最大元5在第二行，互换第一与第二行：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-1124 12345321321321x x x x x xx x x L 21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=+-8.152.06.26.1 0.4 2.0123453232321x x x x x x x （-0.2,2.6）最大元在第三行，互换第二与第三行：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453232321x x x x x x xL32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.212345332321x x x x x x 回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x八. 解答：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=++++++)210(51)215(101)23(101111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=++++++)4.02.02)1.02.05.1)1.02.03.0111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x0=(0,0,0) x1=(0.3,1.56,2.684) x2=(0.8804,1.9445,2.9539) x3=(0.9843,1.9923,2.9938) x4=(0.9978,1.9989,2.9991) x5=(0.9997,1.9999,2.9999) x6=(1.0000,2.0000,3.0000) x7=(1.0000,2.0000,3.0000)九、依照给定数据点个数应当用复化simpson 公式计算由公式得⎰20)(dx x f ≈))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3f f f f f h++++=476 ， 21=h )(2880),()4(414ηf h a b s f R --=h h MM 2,14402880021==-≤十、由于 13521352[,]31015831025153055055A b ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）A =LU=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001 (2) 方程组解为；⎪⎩⎪⎨⎧-===121321x x x（3） 由于A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010531511105013001 因此矩阵A 是对称正定十二、)1)(4(281)3)(1)(4(61)3)(1(84133)13)(43()0)(1)(4(2)30)(10)(40()3)(1)(4(0)31)(1)(41()3)(0)(4()1()34)(4)(14()3)(0)(1()(+++-++--+-=⨯++-+++⨯-++-+++⨯---+---++-⨯---+---+=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y l l(0.5)=2.91667。