作业答案

作业11．什么是白噪声？白噪声有何特点？答：白噪声是均值为0，自相关函数为冲击响应的随机过程。

白噪声的功率谱为常数。

2. 一个离散时间的随机信号由两个正弦波信号叠加而成，即()x t =1sin()A t ω+ 2cos()B t ω，i ω=2i f π，i =1，2，其中幅值A 和B 为独立的高斯随机变量，具有以下概率密度221/(2)()a A f a σ-=，222/(2)()b B f a σ-= 求离散时间信号()x t 为严格平稳随机信号的条件。

解：由于()x t 为两个正弦信号的线性叠加，因此()x t 也是正弦信号。

又因为{()}E x t =1{sin()}E A t ω+ 2{cos()}E B t ω=0{()}D x t =1{sin()}D A t ω+ 2{cos()}D B t ω=2211sin ()t σω+2222cos ()t σω 所以，()x t 的概率密度函数可以表示为222221122/2[sin ()cos ()](,)x t t f x t σωσω-+=若1σ=2σ=σ，1ω=2ω，则{()}D x t =2σ此时的()x t 的概率密度函数可以表示为22/2(,)x f x t σ-=因此(,)f x t 将与t 无关，因此()x t 为严格平稳的条件为1σ=2σ，1ω=2ω作业21. 在一个3发射4接收的MIMO 无线通信系统中，系统在白噪声的环境下采用训练序列估计信道00h ，10h 和20h ，其中ij h 表示用户i 的数据发射到天线j 时经过的单径信道，训练序列的块长为16，请用最小二乘估计方法估计这三个信道。

解：信道0H =[00h , 10h , 20h ]T ,第0个用户的发射数据为0X =[0,0x , 0,1x , …0,15x ]T 第1个用户的发射数据为1X =[1,0x , 1,1x , …1,15x ]T 第2个用户的发射数据为2X =[2,0x , 2,1x , …2,15x ]T 则我们在第0个天线处接收到的数据为 0Y =0XH +N其中X =[0X , 1X , 2X ], N 为白噪声向量 因此最后的0H 的最小二乘估计表达式为 0ˆH =0+X Y作业31．若一条件概率密度函数为高斯分布，则采用该分布函数所获得的绝对损失型、二次型和均匀型Bayes 估计的结果之间有何关系？为什么？ 答：估计结果相等。

绝对损失型、二次型和均匀型的Bayes 估计结果分别是概率密度函数的中值，均值和极值，因此，当条件概率密度函数为高斯分布，这三个值重合。

2. 在一个被动RFID 系统中，阅读器采用动态帧时隙Aloha 协议识别标签，若阅读器在一个时隙数为L 的的帧内观察到0c 个空时隙、1c 个可读时隙和c κ个冲突时隙，请用Bayes 的绝对型，二次型和均匀型代价函数估计这个帧内的标签数n 。

解：一个信息帧的时隙数为L , 若阅读的标签数为n , 那么帧中的每个时隙内有r 个标签应答的概率为[11, 12, 15-17, 19],...1,0,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r L L r n p rn rr由式(1)可得, 发生空时隙, 可读时隙和冲突时隙的概率分别为nL p ⎪⎭⎫⎝⎛-=1101111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n L L n p111111-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n nL L n L p κ由式(2)我们可以得到, 在一个长为L 的信息帧内发生了0c 个空时隙, 1c 个成功时隙, κc 个冲突时隙下有n 个标签的条件概率为[19]010101!(|)!!!c c c L p n c p p p c c c κκκ=二次型：代价函数表示为[25]2)~(),~(n n n nJ -= 相应的贝叶斯估计为∑∑∑=====Nn Nn Nn c n p c n np c n p n n111)|()|()|(ˆ绝对型：代价函数表示为[25]n n n nJ -=~),~( 相应的贝叶斯估计为⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==Ω∈N n n n n n c n p c n p n ~~1~)|()|(min arg ˆ 均匀型代价函数取为⎪⎩⎪⎨⎧∆≤-∆≥-=2/~ 02/~ 1),~(n n n n n n J 其中, ∆为很小的常数. 相应的贝叶斯估计为)|~(max arg ˆ~c n p n n Ω∈=作业41．有时在采用非参数化谱估计的直接法计算功率谱时，为何不用Fourier 变换而是用短时Fourier 变换对信号作变换？在采用非参数化谱估计的间接法中，使用了Wienier-Khinchine 定理来计算功率谱，在使用该定理时，信号必须满足什么条件？答：因为非参数化估计的前提是，该随机过程为平稳过程，而Fourier 变换只能针对平稳过程，而短时Fourier 变换可以对非平稳过程进行处理。

使用Wienier-Khinchine 定理时，信号必须满足平稳随机过程的特性，而且该随机过程的均值应为0.2. 假定一平稳分布的离散随机过程有N 个数据样本(0)x , (1)x ,… (1)x N -，且均值{}()E x t =0，请用非参数化谱估计的直接法和间接法估计该随机过程的功率谱。

解：1）直接法定义信号x (n )的周期图为：22)()2()1(1)(jwN w j jw e N x e x e x Ns ---+++= ω 根据功率谱的定义：])(1[lim )(2jw N x e X NE S ∞→=ω 如果信号是各态历经的，则：212)(1lim])(1[lim )(∑-=-∞→∞→==N n jwnN jw N x en x N e X NE S ω在实际中，信号的观察值是有限的，记为x (0),x (1),…，x (N -1),用这些观察序列对功率谱S x (w )进行估计，有：2102)(1)(1)(ˆ∑-=-==N n jwnjw N x en x Ne X N S ω2）间接法211ˆ()()()N xn R k x n k x n N -*==+∑ˆˆ()()Mjkw xxk MS R k e ω-=-=∑作业51．请列出梯度算法（也称最陡下降法）的统一表达形式。

当梯度算法的代价函数()J n 为什么时，梯度梯度算法变化为LMS 算法？ 答：()(1)()()J k W k W k W k μ∂+=-∂，其中k 为迭代次数，W 为滤波器系数向量，μ为步长，()J k 为代价函数2ˆ()|()()|J k y k yk =-，其中()y k 为真实信号，ˆ()y k 为通过Lms 滤波器的信号2. 已知有下列两类模式：A ：1X =(0, 0, 0)T , 2X =(1, 0, 0)T , 3X =(1, 0, 1)T , 4X =(1, 1, 0)T ；B ：5X =(0, 0, 1)T , 6X =(0, 1, 1)T , 7X =(0, 1, 0)T , 8X =(1, 1, 1)T 。

请用梯度算法求解判决函数：（1）选择代价函数(,)J W X ，并给出相应的梯度算法表达式；(2) 选择合适的迭代步长μ，计算出最后的权向量W ；（3） 给出该梯度算法的伪代码。

解：（1）T TT T|| (,)|| A J B ⎧-⎪=⎨+⎪⎩W X W X W X W X W X ，对于类，对于类 因此A 类：T T() ()0(1)() ()0i i i n n k n n u n k ⎧+>⎪+=⎨++≤⎪⎩W W X W W X W X ，，因此B 类：T T() ()0(1)() ()0i i i n n k n n u n k ⎧+<⎪+=⎨-+≥⎪⎩W W X W W X W X ，，其中n 为迭代次数，W 为判决函数的系数向量，μ为步长，k 为任意系数（2）取μ=0.5，k =1, 则经计算W =[1, -1.5, -1.5]所以最后的判决函数为d T()d k =+X W X 。

（3）for n=1:100; for i=1:4if W(:,n).'*X(:,i)+k<=0W(:,n)=W(:,n)+u*X(:,i); end endfor i=5:8if W(:,n).'*X(:,i)+k>=0 W(:,n)=W(:,n)-u*X(:,i); end endW(:,n+1)=W(:,n); end作业6.1．若一随机过程可以表示为ARMA 过程，其必要条件是输入激励为什么信号？ ARMA 模型与AR 和MA 模型有何关系？LMS 滤波器与方程误差（EEA ）滤波器分别是以上的什么模型？答：必要条件为输入激励应为高斯白噪声。

当ARMA 模型的AR 系数为0时，该模型为MA 模型，当MA 系数为0时，该模型为AR 模型。

——3分LMS 为MA 模型，EEA 为ARMA 模型。

作业71. 已知一滤波器的递归差分方程形式如下：∑∑-=-=-+-=1011)()()()()(M m m N n n m t x t b n t y t a t y若定义代价函数2ˆ()|()()|J t y t y t =-，其中ˆ()y t 为构造滤波器的输出信号。

（1）计算梯度向量()J t ∇；（2）给出相应梯度算法表达式；（3）列出该梯度算法步骤。

解：1) 令)()()(t y t d t e -=，则2()()J t e t =，因此()J t ∇可以表示为211()()()2()2()[()()],1,...1()()()N n n n n n e t y t y t n e t e t y t n a t n N a t a t a t -=∂∂∂-==-+=-∂∂∂∑211()()()2()2()[()()],0,...1()()()M m m m m m e t y t y t m e t e t x t m a t m M b t b t b t -=∂∂∂-==-+=-∂∂∂∑2）相应的梯度算法可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂-∂+-+-=∂-∂+-+-=∑∑-=-=])()()()()[()1()(])()()()()[()1()(1111M m m mm m N n n n n nt b m t y t a m t x t e t b t b t a n t y t a n t y t e t a t a μμ 令T m N t b t b t a t a t )](),...(),(),...([)(01=θT M t x t x N t y t y t Y )]1('),...('),('),...('[)('+--=则式最后的梯度算法可表示为)(')()1()(t Y t e t t μθθ+-=3）算法步骤： 步骤1 初始化)(')()1()(t Y t e t t μθθ+-=； 步骤 2 更新：t =1, 2, ….T ()()()()e t d t t Y t θ'=-)(')()1()(t Y t e t t μθθ+-=作业7.在一盲均衡仿真实验中，信道()h n 用L =6个抽头，信号源采用PAM 调制方式，选用的值分别为：7.0±, 5.0±, 3.0±, 1.0±，均衡器()w n 也选用6个抽头，第三个点的初始值设为1，其余的设为0。