解析几何里面的对称性问题
平面解析几何中的对称问题
平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学 515031对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。
在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。
深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。
在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。
平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。
本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。
平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。
一、点点对称定理1 平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00'y y x x M --，特别地，点),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。
证明：显然),(00y x P 为线段'MM 的中点，设),('''y x M ，由中点坐标公式有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22'0'0y y y x x x ，即⎩⎨⎧-=-=yy y x x x 0'0'22 ，故)2,2(00'y y x x M --。
例１ 若点A 关于点)1,2(-B 的对称点为)2,4(C ，求点A 的坐标。
解：设),(y x A ，由定理１有)212,4)2(2(-⨯--⨯A ，即)0,8(-A 。
二、点线对称定理1 平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的对称点为：-+++-22000',)(2(y B A C By Ax A x M ))(22200B A C By Ax A +++。
6.对称问题
当直线
PA
与
x
轴既不平行也不垂直时，设点
P
x0 ,
y0
，直线
PA
的斜率为
k
，则
k
0
，直线
PB
的斜率
1 k
，
所以直线
PA
：
y
y0
k
x
x0
，直线
PB
：
y
y0
1 k
x
x0
，
由
y y0 x2 y2
kx
1,
x0
,
消去
y
得
9k2 4
x2 18 y0 kx0 kx 9 y0 kx0 2 36 0 .
，
y2
30k 2 5k 2 3
，
所以 OA
x2 y2
30 1 k2 5k 2 3 ，同理可得 OC
301
1 k2
5
1 k2
3
30 k2 1 3k 2 5 .又 OC
3 OA ，
30 k2 1
30 k2 1
所以 3k2 5 3 5k2 3 ，化简得 k 2 3 无实数解，所以 ABC 不可能为正三角形.
y0
1 k
y02
4
.（2）
因为点 P 为圆 M : x2 y2 13 上任意一点，所以 x02 y02 13 ，即 y02 13 x02 .
代入（1）式，得 x02 9 k 2 2x0 y0k 9 x02 0 ，
代入（2）式，得
2
144 k2
x02
9
2x0 y0k
一、典型例题 1．已知椭圆 C ： x2 y2 1 ， A 为椭圆左顶点，设椭圆 C 上不与 A 点重合的两点 D ， E 关于原点 O 对称，
解析几何中对称问题(完整版)
大共享论文网 专题：探究解析几何中点、线对称问题（一）（导学案）一、学习目标（1）从数和形两个角度来理解图形中对称问题，并能用其解决实际问题。
（2）在探究中进一步让学生体会数形结合和转化的数学思想。
二、课前篇自学支持条件1、轴对称的性质：①对称轴是____ ___ ②对称轴是对应点连线的_______ 线；2、中心对称的性质：①对称中心是_____ ②对称轴的连线都经过对称中心，并且被对称中心_______ ；3、几种特殊的对称（1）点p （x,y ）关于下列点或线的对称点分别为点p （x,y ）关于x 轴对称点是__ _ ； 点p （x,y ）关于y 轴对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于原点对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于y=x 对称点是___ ；（2）设直线l ：0=++C By Ax ，则l 关于x 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y=x 轴对称的直线方程是__ _ ；三、课上篇新知探究引例探究一：点关于点对称例1、 已知点A(5,8) , B(4,1), 试求A 点关于B 的对称点C 的坐标。
解题要点：中点坐标公式的运用规律技巧总结：一般的，点A （00,y x ）关于点P （m ，n ）的对称点是______ _ ； 探究二：直线关于点对称例2、求直线1l :043=--y x 关于点p(2,-1)对称的直线2l 的方程。
解题要点：方法一：2l 上的任意一点的对称点在1l 上；方法二：1l ∥2l 且点p 到两直线等距。
规律技巧总结：一般的，直线Ax+By+C=0关于点P （m ，n ）的对称的直线方程是 。
探究三：点关于直线对称例3.已知点M 的坐标为（-4,4），直线L 的方程为3x+y-2=0,求点A 关于直线l 的对称点/M 的坐标。
解题要点：⎩⎨⎧-=•1/MM k k探究四：直线关于直线对称例4、试求直线1l ：01=--y x 关于直线2l ：032=+-y x 对称的直线l 的方程。
解析几何中的对称问题
解析几何中的对称问题武汉市第二十三中学 黄琼艳学生初学解析几何时，在直线这一章会遇到对称问题。
图形的对称，说到底是点的对称和直线的对称。
只有将各种对称给学生罗列并梳理，才能让学生心中里有底，遇题不慌。
关于对称，无非有如下四种情况：⑴已知点A 关于直线L 0对称的点为A ′，求点A ′的坐标（简称为点点线,图1-1）； ⑵已知直线L 关于点A 0对称的直线为L ′，求直线L ′的方程（简称为线线点,图1-2）； ⑶已知点A 关于点A 0对称的点为A ′，求点A ′的坐标（简称为点点点, 图1-3）； ⑷已知直线L 关于直线L 0对称的直线为L ′，求直线L ′的方程（简称为线线线,图1-4）。
难点在第⑴⑷种类型。
关于第⑴种类型，它最为常见。
因为对称轴是连接两对称点的线段AA ′的中垂线，在设出对称点A ′的坐标后，则AA ′的中点在对称轴上（利用“中”），直线AA ′与对称轴互相垂直（利用“垂”），列出两个方程，就能求得A ′的坐标。
例 求点A(2,3)关于直线012=+-y x 的对称点A ′的坐标。
解：设对称点A ′的坐标为（x 0,y 0），由题意可得)2()1(012322212230000⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⋅-=⋅--y x x y ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==5195200y x ，即A ′的坐标为（519,52）。
掌握了这些还不够，换一个场景，换成“意想不到”的环境，你会做吗？下面就是一个例子，颇为有趣。
问题：△ABC 中，A(3,2)，B 在直线x y =上，C 在x 轴上，求△ABC 的周长的最小值。
解：设A 点关于x y =的对称点M(2,3), A 关于直线x 轴的对称点N(3,－2)，连接 MN 分别交直线x y =及x 轴于B,C (图2) ，那么，这时△ABC 的周长为线段MN 的长度，因为两点间线段最短，所以此时△ABC 的周长最小，最小值为| MN|=26.L 0A A ′L ′ L L ′ L 0 图1-3 图1-4 图1-2 图1-1评论：一般学生不会想到，这里的最小值竟成为点点线对称的问题！事实上，按本例的方法，可以推导出对称点坐标公式，结果如下：已知点M(x0,y0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则22000),(2B A y x f A x x +⋅-=22000),(2B A y x f B y y +⋅-=.其中f(x,y)=Ax+By+C关于第⑷种类型，先确定L 与L 0的关系。
高中数学专题---对称问题
高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。
浅谈解析几何中的对称问题
浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。
后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。
分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。
小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。
）（依据中点坐标公式）。
特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。
，一％）。
2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。
分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。
思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。
再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。
思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。
常见几何图形的对称性解析
常见几何图形的对称性解析对称是几何学中一个重要的概念，它描述了一个图形在某种变换下保持不变的性质。
在日常生活中，我们经常会遇到一些常见的几何图形，它们具有不同的对称性。
本文将对常见几何图形的对称性进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这些图形。
一、点对称点对称是最简单的一种对称性，它描述了一个图形关于某个点对称时保持不变。
例如，圆是一个具有点对称的图形。
无论我们如何选择圆上的一个点作为对称中心，圆都能够在这个点处保持不变。
此外，正方形也具有点对称性。
如果我们选择正方形的中心作为对称中心，正方形将在这个点处保持不变。
二、轴对称轴对称是另一种常见的对称性，它描述了一个图形关于某条轴对称时保持不变。
矩形是一个具有轴对称性的图形。
无论我们选择矩形的哪一条边作为对称轴，矩形都能够在这条轴上保持不变。
此外，椭圆也具有轴对称性。
如果我们选择椭圆的长轴作为对称轴，椭圆将在这条轴上保持不变。
三、中心对称中心对称是一种特殊的对称性，它描述了一个图形关于某个中心对称时保持不变。
正五边形是一个具有中心对称性的图形。
无论我们选择正五边形的哪个顶点作为中心，正五边形都能够在这个中心处保持不变。
此外，正六边形也具有中心对称性。
如果我们选择正六边形的中心作为中心对称中心，正六边形将在这个中心处保持不变。
四、多重对称除了上述的点对称、轴对称和中心对称外，还存在一些具有多重对称性的图形。
多重对称是指一个图形具有两种或更多种对称性。
例如，正十二边形具有点对称和轴对称两种对称性。
无论我们选择正十二边形的哪个顶点作为对称中心，正十二边形都能够在这个点处保持不变。
此外，如果我们选择正十二边形的任意一条边作为对称轴，正十二边形也能够在这条轴上保持不变。
五、应用与拓展对称性在几何学中具有重要的应用价值。
首先，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量。
例如，在计算一个图形的面积时，如果该图形具有对称性，我们可以只计算一部分，然后通过对称性推导出整个图形的面积。
解析几何中的对称问题
解析几何中的对称问题关键词：对称点、对称直线一、中心对称问题 1、点关于点对称 ①点(,)P a b 关于点00(,)M x y 的对称点1P 的坐标是 。
例1、点(3,A 关于点(2,7)M -对称点1A 的坐标是变式 点(13,2)A --关于点(3,5)M 对称点1A 的坐标是②直线0Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线方程是 。
例2、直线:3520l x y -+=关于点(2,7)M -对称的直线方程是变式直线20l y -+=关于点(1,3)M -对称的直线方程是二、轴对称问题1、点关于直线对称 ⑴点(,)P a b 关于直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标是 。
解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP BK A=⇒直线'PP 的方程→()By b x a A -=-由0()Ax By C B y b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y Ba x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
对称轴:0L x y C ++=点(,)P a b 关于直线:0L x y C ++=的对称点'P 的坐标是 。
例3、点(2,7)M -关于直线:20L x y +-=点N的坐标是变式 3 点(3,5)P -关于直线:10L x y +-=的对称点'P 的坐标是 。
对称轴:0L x y C -+=点(,)P a b 关于直线:0L x y C -+=的对称点'P 的坐标是 。
例4、点(2,7)M -关于直线:20L x y --=点N的坐标是变式 4 点2(3,)P m-关于直线:30L x y -+=的对称点'P 的坐标是 。
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解析几何里面的对称性问题
1. 点关于点对称的求法
直线关于点对称的求法（可转化为点关于点对称求解；注意判断点是否在直线上）
点关于直线对称的的求法
直线关于直线对称的求法（分平行和相交2种情况讨论）
点关于点的对称点A′的坐标是
变式1-1点关于点的对称点A′的坐标是
变式1-2过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y ＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．
求直线关于点对称的直线方程.
变式2-1求直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
求点关于直线：的对称点的坐标.
变式3-1求点关于直线：的对称点的坐标.
已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )
A． x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 变式4-1已知直线，直线，直线与直线关于直线对称，求直线的方程.
能力提高
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
（1） 点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2） 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3） 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
变式 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程
为 ( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
3.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ( )
A．2 B．6
C．3 D．2
4.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点
(m，n)重合，则m＋n＝________.。