第4章 希尔伯特空间
量子力学中的希尔伯特空间与波函数
量子力学中的希尔伯特空间与波函数在量子力学中，希尔伯特空间是一个非常重要的概念，它是处理量子系统的基础数学工具。
那么什么是希尔伯特空间呢？希尔伯特空间实际上是一个向量空间，其中的向量是无限维的。
这个向量空间具有特殊的性质——它是完备的。
这意味着在希尔伯特空间中，所有的收敛序列都有一个极限。
在量子力学中，态矢量就是希尔伯特空间中的向量。
态矢量描述一个量子系统的状态，它包含了所有可以被观测到的信息。
在经典物理中，我们通常使用变量来描述一个系统，例如位置，速度和动量等。
但在量子力学中，我们使用波函数来描述一个系统的状态。
波函数实际上是一个复数函数，在量子力学中代表了一个物理系统的状态。
它描述了一个量子系统所处的状态，包括位置、动量、自旋等信息。
波函数的模的平方给出了在某个位置观测到粒子的概率幅。
在希尔伯特空间中，波函数就是一个态矢量。
由于希尔伯特空间是完备的，因此波函数也是完备的。
这意味着任何另一个状态都可以被描述为一组波函数的线性组合。
波函数的演化是由薛定谔方程描述的。
在给定初始状态下，薛定谔方程可以精确地预测未来的演化。
因此，波函数成为了处理量子系统的核心概念之一。
需要注意的是，波函数并不是真实存在的物理实体。
它只是用来描述一个量子系统的状态的数学工具。
在观测到一个粒子时，波函数将塌缩成一个特定的值，这个过程被称为测量。
同一量子体系的不同观测结果可看为测量各种物理量得到的结果。
这些结果所形成的概率分布是由波函数的模的平方决定的。
除了态矢量和波函数，希尔伯特空间还包括了操作符，也就是量子力学中的算符。
这些操作符代表了对量子系统的观测和演化过程，它们在希尔伯特空间中也是向量。
操作符可以作用于态矢量，产生新的态矢量，这个过程被称为一个量子态的演化。
总之，希尔伯特空间和波函数是量子力学中非常重要的概念，它们为我们描述量子系统提供了一些非常强大的数学工具。
虽然它们可能难以理解，但我们仍然可以使用这些工具来预测未来的物理现象。
希尔伯特空间
希尔伯特空间在数学中，希尔伯特空间（以大卫·希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的方法从二维和三维欧几里得空间推广到可能具有无限维数的空间。
希尔伯特空间是一个具有内积运算的向量空间，它允许定义距离函数和垂直度（称为正交性）。
此外，对于这个距离，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制，可以使用微积分技术。
希尔伯特空间在数学和物理中自然而频繁地出现，典型的是无穷维函数空间。
在偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和传热的应用）和遍历理论（形成热力学的数学基础）中，它们是不可或缺的工具。
约翰·冯·诺伊曼创造了希尔伯特空间这个术语，用来描述这些不同应用的抽象概念。
希尔伯特空间方法的成功开创了一个非常富有成果的泛函分析时代。
除了经典的欧几里得空间外，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索伯列夫空间和全纯函数的哈代空间。
几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要的作用。
毕达哥拉斯定理和平行四边形定律在希尔伯特空间中有确切的类比。
在更深层次上，在子空间上的垂直投影在优化问题和理论的其他方面起着重要的作用。
希尔伯特空间理论是代数、拓扑和几何的融合。
在这个意义上，代数和几何之间的“相互作用”是相当平滑的。
不过，只要考虑到无限维线性空间，情况就会发生变化，这也是拓扑学出现的地方。
对于无限维线性空间，所有的线性算子都是连续的，算子的收敛具有单一的含义，任何线性空间都与它的双重对偶自然同构，而且封闭单位球是紧凑的。
这些便利条件在无限维的情况下并不存在。
虽然基数确实存在，但其存在的证明是非结构性的，而且往往不能明确地给出基数。
因此，依靠坐标和矩阵的技术通常是不合适的。
线性算子不一定是连续的，事实上，许多感兴趣的线性算子都不是连续的。
由两个线性空间之间的所有线性算子组成的空间带有两种不同的拓扑结构，因此也有两种不同的收敛概念。
对偶空间的正确概念是所有连续线性算子进入地五十度的空间，即使如此，原空间也只嵌入其双重对偶中。
希尔伯特空间入门
希尔伯特空间入门希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。
希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，它在数学分析、量子力学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍希尔伯特空间的基本概念、性质以及一些常见的例子。
一、希尔伯特空间的定义希尔伯特空间是一个向量空间，它具有内积的结构。
设H是一个实数域或复数域上的向量空间，如果在H上定义了一个满足以下条件的二元运算（内积）<x, y>，则称H为希尔伯特空间：1. 对于任意的x, y∈H，有<x, y>=<y, x>（对称性）；2. 对于任意的x, y, z∈H和任意的实数a，有<a*x+y, z>=a<x,z>+<y, z>（线性性）；3. 对于任意的x∈H，有<x, x>≥0，并且当且仅当x=0时，<x, x>=0（正定性）。
二、希尔伯特空间的性质1. 希尔伯特空间是一个完备的度量空间。
这意味着在希尔伯特空间中，任意一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。
2. 希尔伯特空间中的范数可以由内积来定义。
对于任意的x∈H，定义||x||=√<x, x>，则||x||是H上的一个范数。
3. 希尔伯特空间中的向量可以进行正交分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果<x, y>=0，则称x和y是正交的。
4. 希尔伯特空间中的向量可以进行投影分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果y是x的一个投影，则y是x在H上的正交投影。
三、希尔伯特空间的例子1. 有限维希尔伯特空间：设V是一个n维向量空间，定义内积为<x, y>=x1y1+x2y2+...+xnyn，则V是一个希尔伯特空间。
2. L2空间：L2空间是所有平方可积函数的集合，定义内积为<f,g>=∫f(x)g(x)dx，则L2空间是一个希尔伯特空间。
第4讲希尔伯特(Hilbert)空间
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以 按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备 的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正 定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空 间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基 本性质
O3
希尔伯特空间 的基本性质
O4
内积空间与希 尔伯特空间的 关系
O5
希尔伯特空间 的几何解释
O6
希尔伯特空间 的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性 代数和泛函分析中的基本概念。 内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运 算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等 性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔 伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯 特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用
希伯特空间上的算子理论及应用
希伯特空间上的算子理论及应用算子理论是函数分析的重要分支领域之一，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
其中，希伯特空间上的算子理论尤为重要，它是通过研究希伯特空间中的线性算子性质和运算规律，来深入了解和应用算子的性质和特点。
一、希伯特空间的基本概念在介绍算子理论之前，我们首先来了解一下希伯特空间的基本概念。
希伯特空间是指一个具有内积的完备线性空间，它是由一组满足特定条件的向量所组成的。
希伯特空间具有以下几个重要性质：1. 连续性：希伯特空间中的向量和算子都是连续的，这也是它在计算和分析问题中的重要性。
2. 完备性：希伯特空间是一个完备的空间，也就是说，它中的柯西序列都能收敛于某一点。
3. 内积：希伯特空间中的向量之间定义了内积，这决定了向量的长度和夹角。
二、希伯特空间上的算子理论希伯特空间上的算子理论主要研究在希伯特空间中定义的线性算子的性质和运算规律。
线性算子是将一个希伯特空间映射到另一个希伯特空间的操作。
对于希伯特空间上的线性算子，我们有以下几个重要概念：1. 自伴算子：如果一个算子与其共轭转置相等，那么它就是一个自伴算子。
自伴算子在量子力学中具有重要的应用。
2. 酉算子：如果一个算子的逆等于其共轭转置，那么它就是一个酉算子。
酉算子在正交变换和傅里叶变换中有广泛应用。
3. 压缩算子：如果一个算子将希尔伯特空间中的向量映射到一个子空间中，且保持其长度不变，那么它就是一个压缩算子。
算子理论研究了以上概念的性质和运算规律，可以通过分析算子的特征值和特征向量来了解算子的行为和性质。
通过研究这些性质，我们可以更好地掌握希伯特空间上的算子理论，为实际问题的求解提供有力的工具和方法。
三、希伯特空间上算子理论的应用希伯特空间上的算子理论在许多不同的科学领域中都有广泛的应用，下面以几个具体领域为例进行介绍：1. 量子力学：希伯特空间上的算子理论是量子力学的重要基础，通过研究自伴算子和酉算子的性质，可以描述量子体系中的能量和态的演化规律。
hilbert空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
希尔伯特空间
希尔伯特空间欧⼏⾥得空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。
函数空间 = 元素 + 规则，即⼀个函数空间由元素与元素所满⾜的规则定义，⽽要明⽩这些函数空间的定义⾸先得从距离，范数，内积，完备性等基本概念说起。
1、度量空间：定义了距离的空间。
具体的距离：实际上距离除了我们经常⽤到的直线距离外，还有向量距离， 函数距离、 曲⾯距离、折线距离等等。
距离就是⼀个抽象的概念，其定义为：设X是任⼀⾮空集，对X中任意两点x,y，有⼀实数d(x,y)与之对应且满⾜：1. d(x,y) ≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y;2. d(x,y)=d(y,x);3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。
欧⼏⾥称d(x,y)为X中的⼀个距离。
2、线性空间、向量空间定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满⾜加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位⼀；数乘与加法的结合律（两个）共⼋点要求，从⽽形成⼀个线性空间，这个线性空间就是向量空间向量空间。
3、赋范空间定义了范数，是绝对值（形式|a-b|）的延伸，是对向量、函数和矩阵定义的⼀种距离度量形式，如距离D(a,b)=||a−b||。
在向量空间中，我们定义了范数的概念，表⽰某点到空间零点的距离：1. ||x|| ≥0;2. ||ax||=|a|||x||;3. ||x+y||≤||x||+||y||。
将范数与距离⽐较，可知，范数⽐距离多了⼀个条件2，数乘的运算，表明其是⼀个强化了的距离概念。
范数与距离的关系可以类似理解为与红富⼠苹果与苹果的关系。
接下来对范数和距离进⾏扩展，形成如下：范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间4、内积空间、欧⽒空间下⾯在已经构成的线性赋范空间上继续扩展，添加内积运算，使空间中有⾓的概念，形成如下：线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间；欧⽒空间。
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( Re(x, y) (x, y) x y )
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
证明：
x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若x, y U ，存在唯一的数 (x, y) K ， 满足下列三条（内积公理）：
① 对第一变元的线性性：
( x y, z) (x, z) ( y, z), z U
② 共轭对称性： (x, y) ( y, x)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
(x, y)U ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
例 3 在l2 {x x (x1, x2, ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2, ), y ( y1, y2, ) l2，定义
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
（2）若y N, 有(x, y) 0 ，称 x 与 N 正交，记作 x N ；
（3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
记作 M N ；
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
M {y y x,x M}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 M ，
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形公式）。
§4. 2 正交分解与投影定理
1) 定义（正交性）设 U 是内积空间，x, y U, M , N U
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
③ 正定性：(x, x) 0， (x, x) 0 x 0
则称 (x, y) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理 x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
第4章 希尔伯特（ Hilbert）
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。