内积空间和希尔伯特空间
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个 向量的内积的运算,即若 则a与b的内积定义为: a, b 11 22 nn , ． (1) 其中 i 表示 i 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 a a, a 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于 a, b 0.显然,在 有限维复欧氏空间E n 中,由(1)定义的内积具有下述性质: 1. a, a 0, 且 a, a 0等价于a 0; a b, c a, c a, c , 其中a, b, c E n , 2. , 为复数; 3. a, b b,a , a, b E n . E n的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是 在复欧氏空间 上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引 入内积的的概念.
x x, x , (3) 那么 x 是 X 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明 (a) x 0, 且 x 0等价于x 0;
(b) x x .
为了证明范数不等式 x y x y ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz) 不等式: 引理1(Schwarz不等式) 设X 按内积 x, y 成为内积空间,则对 于X 中任意向量 x, y成立不等式 x, y x y . (4) 当且仅当 x 与y 线性相关时,不等式(4)中等号才成立. 证明: 如果y 0,易知对一切x X , x,0 0, 因而(4)式成立.若 y 0,则对每个复数 ,由内积条件1,有 0 x y, x y x, x x, y [ y, x y, y ] 令 y, x / y, y , 那么上式方括号中式子为0,所以
x, y x(t ) y(t )dt.
a
b
(6)
易知L [a, b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数 1
x ( x(t ) dt ) 2 ,
2 a b
2
即为第七章第８节例４中当p 2时所定义的范数,因此由第七章 2 第８节定理２知,L [a, b]成为Hilbert空间. 2 ) 例２ l .设 x (1, 2 , 3, ), y (1,2 ,3 ,． 定义 x, y ii (7) 则 l 按(7)中内积也成为Hilbert空间. 例３当p 2时, l p不成为内积空间． x (1,1,0, ), y (1,1,0, ), 则x l p , y l p ,且 事实上,令
设 X是内积空间,令
x, y y, x 2 0 x, x x, y x 2 y, y y
2
2
两边乘以 y ,并且开方,即可得到要证的Schwarz不等式 x, y x y . 若 x 与 y 线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立, 反之,若(4)式中等号成立,假定 y 0 ,则 x 与 y 自然线性相关, 若 y 0,令 x, y / y, y , 2 由Schwarz不等式推导过程,易知 x y 0,即 x y.所以 x 与 y 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 x 满足范数不等式.事实上 2 x y x y, x y x, x y, x x, y y, y
a (1 , 2 , n ),b (1 ,2 ,． n)
定义1设 X 是复线性空间,如果对X 中任何在两个向量x, y有 一复数 x, y 与之对应,并且满足下列条件: 1. x, x 0, 且 x, x 0等价于x 0, x X ; 2. x y, z x, z y, z , 其中x, y, z X , , 为复数; 3.
x, y y,x , x, y X .
则称 x, y x y 的内积,称 X 为内积空间. 为与 如果X 是实的线性空间,则条件3就改为
x, y y, x .
从内积的定义,立即可以得到下面的等式
x, y z x, y x, z . (2)
x y y n x xn y n
因 yn 收敛,故 yn 有界,所以当n 时,上面不等式右端趋于０,因 而 xn , yn x, y (n ).
本节小结
理解内积空间和希尔伯特空间的概念,掌握施瓦茨不 等式与极化恒等式,并能熟练运用.
作业
教材P264习题1、２．
2
i 1
x y 2 , 但 x y x y 2 ,所以不满足平行四边形公式 (5),这说明 l p ( p 2) 中范数不能由内积导出,因而不是内积空间. 例４ C[a, b] 按 x max x(t ) 不成为内积空间.
a t b
1 p
t a 事实上,令 x(t ) 1, y (t ) ba
1 2 2 2 2 x, y ( x y x y i x iy i x iy ). (8) 4 (8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所导出的范数来表 示.当 X 为实内积空间时,极化恒等式变为 1 2 2 x, y ( x y x y ). (9) 4 由Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数,即当 xn x, yn y 时,有 xn , yn x, y (n ) .事实上,因为 x , y x n , y n x , y y n x xn , y n
则 x, y C[a, b],且 x y 1 ,但因为
t a , ba t a x (t ) y (t ) 1 , ba x (t ) y (t ) 1
所以 x y 2, x y 1, 因此不满足平行四边形公式,这就证明了 C[a, b] 不是内积空间. 设 X 为内积空间,由(3)给出了 X 上的范数,反之,通过直接计 算可以证明,内积与范数之间成立如下不等式
x x, y y , x y
2 2 2
2
x 2 x y y ( x y )2 ,
所以 x y x y .称由(3)式定义的范数 x 为由内积导出的范 数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若 X 按(3)式中范数完 备,则称为Hilbert空间. 设 x 是由内积导出的范数,通过计算,不难证明对 X 中任何 两个向量 x, y X ,成立平行四边形公式 2 2 2 2 x y x y 2( x y ). (5) 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.反之可以证明, 若 X 是赋范线性空间,其中范数 x 对 X 中任何向量 x, y X ,满足平 行四边形公式(5),那么一定可在 X 中定义内积 x, y ,使 x 就是由 内积 x, y 导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质. 下面举一些内积空间的例子 例１L2 [a, b].对 L2[a, b]中任意向量 x, y ,定义
第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
9.1内积空间的基本概念
教学目标: 1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明; 2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用; 3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;
教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义. 教学难点:证明过程及运用.
5 内积空间与希尔伯特空间(讲稿)教学内容
其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影
定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特
有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫
空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来
判定最佳逼近的存在性和唯一性。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第11页
许瓦兹不等式 x,y x y. (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x ,y 1 ( x y 2 x y 2 ix i2 y ix i2 y ) 4
(3) 由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导 出的范数,是线性赋范空间。但反之不然
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3 L2[a,b]空间按照内积 x,ybx(t)y(t)dt是内积空间。 a
L2[a,b]按照由内积导出的范数
x b x(t)2dt12
a
是Banach空间，因而是Hilbert空间。
L2[a,b]中由内积导出的距离为
(x ,y ) x y ,x y bx (t) y (t)2 1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第9页
6 内积空间的完备化 定义5 (内积空间的同构) 设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存
在映射T: XY,保持线性运算和内积不变,即x,yX, , K,有 (1) T(x+y)=Tx+Ty, (2) <Tx,Ty>=<x,y>
则称内积空间X与Y同构,而称T为内积空间X到Y的同构映射。
定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠 密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是 唯一的。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案
x1
，
x1
=
x1
+
0
，其中
x 1
∈
Y
， 0 ∈Y ⊥ 。因
此
Px1
=
x1
，即
P2
x
=
Px 1
=
Px
，因此
P2
=
P
设 x, y ∈ X ， x = x1 + x2 ， y = y1 + y2 。 其 中 x1 , y1 ∈Y ， x2 , y2 ∈ Y ⊥ 。 这 样
( Px, y) = ( x1, y1 + y2 ) = ( x1, y1 ) = ( x1 + x2 , Py) = ( x, Py ) 。这就证明了 P* = P 。
。
证毕
7
设
{e } n
是
L2 [a, b]
中的规范正交系，说明两元函数列
en
( x)em
(
y)(n, m
=
1, 2, 3L
)是
L2
([a,b]×[a,b])
中的规范正交系，若{e } 完全。则两 n
元函数列 en ( x) em ( y) (n, m = 1, 2, 3,L ) 也是完全的‘
证明
对 任 意 (n, m) 和 (n', m ') ，
∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ( ) ( ) ( ) b
b
2
b∞
2
∞b
2
∞
2
dx f x, y dy =
a
a
a
am x dx =
a am x dx =
bnm
n=1
n=1
m ,n=1
泛函分析复习与总结
泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。
它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。
泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。
下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。
1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。
拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。
泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。
2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。
范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。
完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。
泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。
3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。
希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。
内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。
4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。
泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。
5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。
可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。
Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。
希尔伯特空间有关定理
希尔伯特空间有关定理希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出。
希尔伯特空间在函数分析和量子力学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍希尔伯特空间的定义、性质和相关的定理。
希尔伯特空间是一个具有内积的完备的向量空间。
具体来说，设H 为一个向量空间，如果H中的元素可以进行内积运算，并且满足以下条件：1. 内积是线性的，即对于所有的x, y, z ∈ H和所有的实数a, b，有内积(ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z)；2. 内积是共轭对称的，即对于所有的x, y ∈ H，有内积(x, y) = (y, x)；3. 内积是正定的，即对于所有的x ∈ H，有内积(x, x) ≥ 0，并且当且仅当x = 0时，有内积(x, x) = 0。
如果一个向量空间满足上述条件，那么它就是一个希尔伯特空间。
希尔伯特空间中的元素称为向量，内积运算可以理解为向量之间的乘法。
希尔伯特空间的完备性意味着任何一个柯西序列（即一个序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m > N 时，序列中第n个元素和第m个元素之间的距离小于ε）在该空间中都有一个极限。
希尔伯特空间的一个重要性质是Riesz表示定理。
该定理指出，对于任意的连续线性泛函f，存在唯一的向量y使得f(x) = (x, y)对于所有的x成立。
换句话说，希尔伯特空间中的每一个连续线性泛函都可以表示为内积形式。
这个定理在函数分析中有着广泛的应用。
另一个重要的定理是希尔伯特空间的正交分解定理。
该定理指出，对于任意的闭子空间M，希尔伯特空间H可以分解为M和M的正交补空间的直和。
这个定理在希尔伯特空间的几何结构研究中起到了重要作用。
希尔伯特空间还具有一些其他的重要性质。
例如，希尔伯特空间是自反的，即它与其对偶空间是等距同构的。
此外，希尔伯特空间是拓扑线性空间，它具有一组可数的完全正交基，这使得希尔伯特空间在数学分析和量子力学等领域中有着广泛的应用。
复函数内积 希尔伯特空间
复函数内积希尔伯特空间复函数内积希尔伯特空间是一个重要的数学概念，它在数学、物理、工程等领域均有广泛的应用。
本文将介绍复函数内积及其在希尔伯特空间中的应用。
一、复函数内积复函数内积是指对于两个复函数f(x)和g(x)，它们在区间[a,b]上的内积定义为：∫[a,b]f(x)g*(x)dx其中g*(x)表示g(x)的共轭复数。
这个内积的特点是它满足线性性、共轭对称性和正定性。
这些特点使得复函数内积可以像实函数内积一样应用到希尔伯特空间中。
二、希尔伯特空间希尔伯特空间是一种完备的内积空间，它是指一个向量空间V，在其上定义了一个满足线性性、共轭对称性和正定性的内积，且V是完备的。
希尔伯特空间的一个重要特点是它可以表示为函数空间，即其中的向量可以表示为函数。
常见的希尔伯特空间有l2空间、L2空间和Hilbert-Schmidt空间等。
三、复函数内积在希尔伯特空间中的应用复函数内积在希尔伯特空间中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用。
1.泛函分析泛函分析是一种研究函数空间和算子空间中的函数和算子的学科。
复函数内积在泛函分析中起到了重要的作用，通过内积可以定义函数之间的距离和正交性等概念，进而研究函数空间的性质和结构。
2.量子力学量子力学是一种描述微观世界的物理学理论。
它的基本概念是波函数，而波函数本质上就是一个复函数。
在量子力学中，复函数内积被广泛地用于描述波函数之间的正交性和距离等概念，进而研究量子系统的性质和行为。
3.信号处理信号处理是一种研究信号的获取、处理和传输等问题的学科。
在信号处理中，复函数内积被广泛地用于描述信号之间的相似性和距离等概念，进而研究信号的特征和结构。
四、总结复函数内积希尔伯特空间是一个重要的数学概念，它在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有广泛的应用。
复函数内积的线性性、共轭对称性和正定性使得它可以像实函数内积一样应用到希尔伯特空间中，从而推动了这些领域的发展。
希尔伯特空间入门
希尔伯特空间入门希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。
希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，它在数学分析、量子力学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍希尔伯特空间的基本概念、性质以及一些常见的例子。
一、希尔伯特空间的定义希尔伯特空间是一个向量空间，它具有内积的结构。
设H是一个实数域或复数域上的向量空间，如果在H上定义了一个满足以下条件的二元运算（内积）<x, y>，则称H为希尔伯特空间：1. 对于任意的x, y∈H，有<x, y>=<y, x>（对称性）；2. 对于任意的x, y, z∈H和任意的实数a，有<a*x+y, z>=a<x,z>+<y, z>（线性性）；3. 对于任意的x∈H，有<x, x>≥0，并且当且仅当x=0时，<x, x>=0（正定性）。
二、希尔伯特空间的性质1. 希尔伯特空间是一个完备的度量空间。
这意味着在希尔伯特空间中，任意一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。
2. 希尔伯特空间中的范数可以由内积来定义。
对于任意的x∈H，定义||x||=√<x, x>，则||x||是H上的一个范数。
3. 希尔伯特空间中的向量可以进行正交分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果<x, y>=0，则称x和y是正交的。
4. 希尔伯特空间中的向量可以进行投影分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果y是x的一个投影，则y是x在H上的正交投影。
三、希尔伯特空间的例子1. 有限维希尔伯特空间：设V是一个n维向量空间，定义内积为<x, y>=x1y1+x2y2+...+xnyn，则V是一个希尔伯特空间。
2. L2空间：L2空间是所有平方可积函数的集合，定义内积为<f,g>=∫f(x)g(x)dx，则L2空间是一个希尔伯特空间。
内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以 按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备 的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正 定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空 间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基 本性质
O3
希尔伯特空间 的基本性质
O4
内积空间与希 尔伯特空间的 关系
O5
希尔伯特空间 的几何解释
O6
希尔伯特空间 的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性 代数和泛函分析中的基本概念。 内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运 算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等 性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔 伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯 特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用
内积空间和希尔伯特空间讲稿
第五章 内积空间与希尔伯特空间
•内积空间与希尔伯特空间 •欧氏空间线性空间+内积内积空间 •内积空间+完备性希尔伯特空间
元素旳长度（范数） •内积空间特点：
两向量夹角与正交
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第2页
一、内积空间与希尔伯特空间旳概念 1 内积与内积空间 定义1 设H是数域K上旳线性空间，定义函数
注：正交补旳性质： (1) H {0},{0} H (2) M H , M M {0} (3) M H , M 是H旳闭线性子空间，即H旳 完备子空间.
实际上，x, yM及zM,有<x, z>=0,<y, z>=0
<x+y, z>= <x, z>+ <x, z> =0 <x+y, z>MM为H线性子空间
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第10页
6 内积空间旳完备化 定义5 (内积空间旳同构) 设X,Y是同一数域K上旳内积空间，若存
在映射T: XY,保持线性运算和内积不变,即x,yX, , K,有 (1) T(x+y)=Tx+Ty, (2) <Tx,Ty>=<x,y>
则称内积空间X与Y同构,而称T为内积空间X到Y旳同构映射。
第15页
1) 证明 {yn}是基本列
M是H旳线性子空间ym,ynM,有
ym yn M ym yn x d
2
2
0 ||ym-yn||2 = ||(ym-x)+(x-yn)||2
= ||(ym-x)+(x-yn)||2+||(ym-x)-(x-yn)||2-||(ym-x)-(x-yn)||2
希尔伯特空间向量内积
希尔伯特空间向量内积定义与性质希尔伯特空间是指具有内积运算的完备线性空间，也就是说，每一个柯西列都有收敛的极限，同时这个空间内部定了向量的内积运算，即每一对向量都有一个实数与之对应，称为这两个向量的内积。
内积运算可以看作是向量乘法的一种推广，它不但可以计算向量之间的夹角余弦值，还可以用于计算向量的长度和投影。
向量内积具有如下基本性质：1.非负性：对于任意向量，其内积的值大于等于0。
2.对称性：对于任意两个向量，它们的内积值相等，即<V,V>=<V,V>。
3.线性性：对于任意两个向量以及任意实数V，有<VV+V,V>=V<V,V>+<V,V>。
4.正定性：对于任意非零向量，它们的内积值大于0。
Peano在1888年定义了这种内积，而希尔伯特则在20世纪初规范化了这种定义。
希尔伯特空间的基本性质和它的内积运算被广泛应用于物理学、数学分析以及工程科学等领域，是现代数学和科学研究的一个基石。
应用场景希尔伯特空间的内积运算可以用于定义向量之间的夹角、高斯分布、群的表示和量子力学等领域。
1.向量之间的夹角：在希尔伯特空间中，我们可以通过向量的内积求出它们之间的夹角余弦值。
这个概念被广泛用于几何学、机器学习、图像识别以及计算机视觉等领域，如图像分类、人脸识别等。
2.高斯分布：高斯分布是概率统计学研究中的一种概率分布，也可以被称为正态分布。
在希尔伯特空间中，高斯分布的密度函数可以被表示为基于内积的形式，这个概念在计算机科学和人工智能的模型建立中经常会用到。
3.群的表示：群表示论是数学中的一个分支，主要研究将群中的元素映射为一些向量或矩阵，以便对它们进行更好地分析。
在希尔伯特空间中，向量的内积被用于定义群的表示，如厄米矩阵、酉矩阵等等。
4.量子力学：希尔伯特空间的内积算符在量子力学中有广泛的应用，主要用于描述量子体系中的态矢量及其相互变化的规律等。
可以说，希尔伯特空间和向量内积是量子力学中不可或缺的基础概念。
泛函分析：内积空间介绍（一）
泛函分析：内积空间介绍（一）展开全文今天没有遇见什么有意思的题，所以没有戏精上身了，哈哈！emm,我是个正经人，哪来那么多戏？内积空间介绍现在我们在拓扑结构和线性结构上加上几何结构-内积！内积空间和Hibert空间简介定义：设为实 (或复)数域上的线性空间. 若中任意一对元素恒对应于中一个数, 记为 , 满足 :(i) ;(ii) , 这里 ;(iii) 当为实数域时, ; 当为复数域时, , ;(iv) , 且的充分必要条件是 ,那么称为实 (或复) 内积空间, 简称为内积空间, 称为元素与的内积.下边有一些关于内积的简单性质，我们只对三角不等式和柯西不等式进行证明：1.当时:关于两个变元都是线性的.而当时：关于第一变元线性，第二变元共轭线性.由内积我们可以诱导出范数(体现几何结构和拓扑、线性结构的兼容性)：我们要验证他满足内积的正定型；齐次性；三角不等式.(我们只验证三角不等式并证明柯西不等式.)柯西不等式：证明：取,简单演算即可得证.有了柯西不等式我们便可以证明三角不等式：2.下边的性质将进一步体现几何结构和拓扑、线性结构的相容性：是关于的二元连续函数(依范数收敛)：3.极化恒等式：当为实数域时,当为复数域时,在内积空间中，如果我们不做声明，所用的范数均为由内积诱导的范数.定义如果内积空间作为赋范线性空间是完备的,则称为希尔伯特( Hilbert) 空间. 若不完备, 则称为准希尔伯特空间.下边我们看几个完备的Hilbert空间的例子：欧式空间/酉空间：有限维空间的代表：设,定义内积为：不难验证，他满足内积的四条公理，而这个空间也正是我们高等代数研究的主要对象之一.和空间：可分Hilbert空间的代表设,定义内积：因为都在中，所以定义合理.而且由内积诱导的范数和我们常用的2-范数相同.类似的也可以合理定义.内积空间的特征前边我们说了由内积可以诱导出范数，那么给定了由内积诱导的范数，我们能够推出内积是什么吗？这个问题揭示了内积空间的特征也就是怎么由范数体现他的几何结构？下边回答这个问题！定理：设是内积空间,则由的内积导出的范数满足其中是中任意两个元素. 反之,设是赋范线性空间 ,如果的范数满足等式. 则在中可以定义内积使成为内积空间,且的范数就是由内积导出.我们将上边的不等式成为平行四边形公式或者中线公式.:如果是内积空间，且是由定义内积诱导的范数，则我们很容易就算出了下列恒等式.:如果诱导的范数满足上述不等式，则我们定义的内积一定是我们只需要验证他是不是满足内积的四条公理即可.(这个证明在第四版书籍的96面，颇具技巧性，但是并不是那么重要，大家可以自己查看书籍.)Hilbert空间的正交系现在我们进入内积空间中最重要的概念之一：正交(或者是垂直.)(提问：为什么我们在赋范线性空间中没有谈及这个概念？)我们在赋范线性空间中已经看到了有了基的Banach空间性质会比较良好，易于分析，而在内积空间中，具有正交性质的基将会给我们带来更加优良的性质.定义设为内积空间, . 若 , 则称与正交,记为 . 设是的一个子集, . 若与内的任一元素正交,则称与正交, 记为 . 设也是的一个子集,如果对任意的以及任意的 , 有 , 则称与正交,记为中所有与正交的元素构成的集称为的正交补, 记为 .先来看看他的一些性质：1.勾股定理：如果两两正交，那么就有：2.设,那么是一个线性空间，是的一个闭子空间.线性空间比较容易说明，我们说它是一个闭子空间：因为对任意的中的序列,有：3.如果是的稠子集，且,那么就有:.在中可以找到,由于内积的连续性：所以接下来，我们要进入本小节的大定理：内积空间的正交分解！我们先叙述定理：定理：设是希尔伯特空间的闭子空间,则对中任一元素 ,有下列唯一的正交分解:其中称为在中的正交投影.为了证明这个定理，我们需要一个引理在支撑：定义：设是内积空间的一个子集, 为给定的元素. 如果中存在元素使得则称是在中的一个最佳逼近元.一个简单的问题自然而然的就会问出来：的存在性？是不是一定会存在这样的一个元素使得等于后者？一般的集合上我们可能做不到.但读者可以尝试思考一下什么集合上可以做到？比如：紧集！但是紧集实在是一个很好的东西，一般来说不太容易做到，我们降低要求-凸闭集！仍设是的一个子集,如果对任意的以及满足的任一实数 , 元素仍属于 , 则称是 U 中的凸集. 如果是既凸且闭的集,则称是中的凸闭集.凸集，事实上是一个十分重要的概念，在应用中用到的贼广，有兴趣的读者可以在凸优化和调和分析中查到关于凸函数和凸集的一些应用，这里只提一个最基本的推论或者等价定义(后边会在相关习题中多提两嘴)：定理：设是实线性空间的一个凸子集. 若属于 , 则形如的每个都属于 .这个定理该怎么证明的？提示：数学归纳法-回顾Jesen不等式的证明！好的，现在我们开始证明在闭凸集中，的存在性！定理：设是希尔伯特空间中的凸闭集,则中的任一元素在中存在唯一的最佳逼近元.存在性：因为下确界的定义，我们知道可以找到一列使得：因为是凸集，因此在中，，所以：利用平行四边形公式可以得到：当时，可以得到,因此时中的柯西列，其极限记为,由于是闭集，所以.因此：因此结论得证.再证唯一性：假设有两个.那么：所以整个定理得证.现在动手证明大定理：空间分解.首先我们思考：其中,想一想，这个怎么取？(前面花了那么多功夫证明最佳逼近元，现在难道不用吗？)当然取最佳逼近元了！那么自然就可以取.问题来了：是凸闭集吗？是否在中.第一个问题：由于是闭子空间(线性性)，自然是凸闭集.第二个问题就是我们这个定理主要需要证明的问题：我们现在证明确实在中，即对于任意的都有：记, 由于 ,于是对任一实(或复)数及任一元素 , 有 , 故取 , 并注意到 , 得到于是显然只有当时,上式才能成立.综合我们的叙述结论得证.纪念一下！Nice！。