数学建模竞赛队员的选拔和组队问题

2011级信计《数学模型》课程论文题目：出版社的资源配置问题姓名：学号：摘要数学建模竞赛队员的选拔和组队问题该模型解决了选拔数学建模参赛队员及确定最佳组队的问题。

本文主要采用了层次分析法，并用计算机编程计算，在综合考虑15名队员个人的各项指标后，从中选出了9名优秀队员，又考虑到整队的技术水平，最终将挑出的9名队员分成三队，并建立了最佳组队的方案。

具体在针对问题二选拔队员时，要全面考察了队员的六项指标，并用层次分析法计算出权重得到15名队员的综合排名，最后淘汰掉排名靠后的6 名队员。

为了组成3个队，使得这三个队整体技术水平最高,我加入了权重，并依次选出了数学成绩较好、计算机成绩较好及综合成绩较好的三名同学，而且在考虑组队的过程中，尽量让问题简化，按成绩优劣均分队员，使三组的总体技术水平相当。

针对问题二，只要考虑计算机能力而不再考察其它情况，设置添加了一名队员S16。

比较分析综合排名，S13的综合能力排第九，而S16的综合能力排在S13之后。

如果直接选拔S16，队伍的总体水平下降。

可见这种选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，所以不可取。

针对问题三，提出了建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

一、问题重述一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。

由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。

为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。

参加数学建模需要的学生应具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。

目前大多数高校选拔队员主要考虑以下几个环节：校内竞赛获奖情况，数学建模暑假培训班考勤记录，培训课程的考试成绩，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。

然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。

各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。

附件列出了15个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况。

要解决的问题如下：1．根据附件中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。

2．有的指导老师在暑假培训时发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。

3．为数学建模教练组写1份1000字左右的报告，提出数学建模竞赛队员选拔机制的建议，帮助教练组提高队员选拔的效率和质量。

二、问题分析问题一分析问题一：在15名学生中剔除6名实力最弱的。

由题意可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名，最后剔除排名落后的六名学生。

问题二分析问题二：在前一问的基础上进行假设，假设计算机是队员选拔的关键因素，设置添加了一名计算机高手S16。

与其他队员综合排名作比较。

通过结果确定直接录取而不考虑其他方面的做法是否可取。

问题三分析写出1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

三、模型假设1、假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。

在正式比赛对过程中队员都能正常的发挥自己的水平。

2、假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,且认为表中测量的数据都是客观公正的。

3、假设培训课程的考试成绩，数学建模暑假培训班考勤记录，其它情况，思维敏捷度，校内竞赛获奖情况以及知识面宽广，这6项对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度是依次递减的。

4、假设在组队后各队的发挥是相互独立对，不受其他组的影响。

5、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。

四、符号说明CI一致性指标 RI随机一致性指标 CR一致性检验指标 1ω准则层对目标层的特征向量 2ω方案层对准则层的特征向量 ω方案层对目标层的特征向量 max最大特征值 1215,,...S S S15名队员的编号五、模型的建立与求解问题一模型的建立及求解 参赛队员的选取：由每个学生的基本条件表可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题。

为了从15名队员中选出9名参赛者，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名。

根据题目给出的八项指标，首先将各指标量化，为了区分各项条件中的档次差异，确定量化原则如下：培训课程的考试成绩按照满分10分计；思维敏捷、机试和知识面的A 、B 、C 、D 等级分别按4分、3分、2分、1分计算；数学建模暑假培训班考勤次数按一次1分计；其他情况如考过程序员，学过MATLAB 的各加1分，过计算机三级的加2分；班级排名情况由于统计的不是很全，所以不好进行量化，因此这项指标可以不用考虑。

表（１）15名学生量化分数表学生 模拟成绩 获奖情况 思维敏捷 知识面出勤次数 其他情况1S 9.6 3 4 4 10 1 2S 9.3 3 4 3 15 33S 9.2 1 2 2 12 1 4S 8.2 3 3 4 12 1 5S8.2233816S 8.2 3 4 1 15 1 7S 8.0 3 2 3 14 1 8S 7.9 3 4 4 12 2 9S 7.8 2 4 2 12 2 10S 7.7 3 4 3 14 2 11S7.6 4 2 3 15 1 12S 7.4 2 4 4 10 1 13S7.8 4 3 1 10 1 14S 7.6 3 4 4 14 1 15S6.6323151运用层次分析法：将从15名学生中选拔9名优秀队员看作一个目标，作为目标层。

将刻画队员的6个指标作为标准层。

将15名学生作为方案层。

如图（1）图（1）：层次结构图由题目已知及假设可得，准则层的六项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，且都假设是相等的，这里都认为相差为1，于是两两对比得如下比较矩阵：1 2 3 4 5 6 1/2 1 2 3 4 51/3 1/2 1 2 3 41/4 1/3 1/2 1 2 31/5 1/4 1/3 1/2 1 21/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =这里用和法来计算，以下为步骤：选拔优秀队员模拟成绩 获奖情况 思维敏捷 知识面 出勤次数 其他情况1S 2S 3S 4S 12S 15S 14S 13S . . . . . . . .目标层O ：准则层C ：方案层P ：①将A 的每一列向量归一化得1/(1,2,...,);nij ij iji a aj n ω===∑②将ij ω按行求和得1(1,2,...,);niij j i n ωω===∑③将i ω归一化得1/,ni i i i ωωω==∑ 112(,,...,)Tnωωω=ω为近似特征向量； ④计算最大特征值1max1()1n ii in λω==∑A ω；由以上公式计算可得最大特征值max6.1232λ≈。

特征向量[]10.37940.24880.1604 0.1024 0.,,,,,0655 0.0434T=ω根据一致性指标公式max (1)1nCI n λ-=- 可得：一致性指标 021)46(.0CI =随机一致性指标可根据表（2）查得：14(1).200RI =。

表（2） 随机一致性指标RI 的值n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0.580.91.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51根据公式得到随机一致性比率：(1)(1)0.1(0.011)99CI CR RI ==<，我们认为成对比较矩阵A 具有满意的一致性，所以通过一致性检验。

可以用MATLAB 编程计算得到（见附录程序1）。

根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。

由此可以分别构造P 层对准则层K C 的比较矩阵： (),()k i j N N b ⨯=K B 其中，()(),()(,1,2,...,6)k k i i jk jT bi j T == 。

显然，所有的 (1,2,...,6)k =k B 均为一致阵。

由一致阵的性质可知：k B 的最大特征值()maxk N λ=，20k CR =，其任一列向量都是()max k λ的特征向量。

将其归一化可得P 对k C 的权重向量。

记作()()()12(,,...,)k k k TN ωωω=kω (1,2,k =， 记2(1)(2)(7)6(,,...,)N ωωω⨯=ω 为P 层对C 层的权重，且一致性比率指标为6()21(2)0k k CR CR===∑，表（3）为P C -层的特征向量：表（3）：P C -层的特征向量C-P1C 2C 3C 4C 5C 6C 1S P 0.0793 0.0714 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500 2S P 0.0768 0.0714 0.0816 0.0682 0.0938 0.1500 3S P 0.0760 0.0238 0.0408 0.0455 0.0625 0.0500 4S P 0.0677 0.0714 0.0612 0.0909 0.0625 0.0500 5S P 0.0677 0.0476 0.0612 0.0682 0.0469 0.0500 6S P 0.0677 0.0714 0.0816 0.0227 0.0938 0.0500 7S P 0.0661 0.0714 0.0408 0.0682 0.0781 0.0500 8S P 0.0652 0.0714 0.0816 0.0909 0.0625 0.1000 9S P0.0644 0.0476 0.0816 0.0455 0.0625 0.1000 10S P 0.0636 0.0714 0.0816 0.0682 0.0781 0.1000 11S P0.0628 0.0952 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500 12S P 0.0611 0.0476 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500 13S P0.0644 0.0952 0.0612 0.0227 0.0313 0.0500 14S P0.0628 0.0714 0.0816 0.0909 0.0781 0.0500 15S P0.0545 0.0714 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500由于标准层C 对目标层O 的权重为1ω，方案层P 对标准层C 权重为2ω， 则P 对O 的权重为：(1)(2)(7)()()()12(,,...,)(,,...,)k k k TN ωωωωωω===211ωωωω其组合一致性比率指标为：(2)(1)00.01980.01980.1CR CR CR =+=+=<因此，组合权重ω可作为目标决策的依据。