理科-暑期班第11讲圆锥曲线学生版

圆锥曲线要求层次重难点椭圆的定义及标准方程 C ⑴圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．④了解圆锥曲线的简单应用． ⑤理解数形结合的思想． ⑵曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．椭圆的简单几何性质 C 抛物线的定义及标准方程C 抛物线的简单几何性质 C 双曲线的定义及标准方程 A 双曲线的简单几何性质 A 直线与圆锥曲线的位置关系 C 曲线与方程的对应关系B（一） 知识内容轨迹方程与圆锥曲线的常考题型：⑴对椭圆、双曲线与抛物线的定义的理解与灵活运用；⑵对圆锥曲线的几何性质的考查，常常结合直线与圆的相关知识，中点公式、点到直线的距离等解析几何的常用公式；⑶求曲线的方程或相应的轨迹，根据所给的几何关系或向量关系，要注意某些特殊点能否取到；⑷圆锥曲线与平面向量、三角函数、不等式等综合考查的题型，一般条件较多，需要根据条件恰当选择所用的方法，并要求较高的计算能力．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：知识精讲高考要求第十一讲 圆锥曲线⑴从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础． 要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质． ⑵以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．注意利用弦长公式与两根差公式简化计算： 弦长公式：对于直线MN ：y kx b =+，点()M M M x y ，，()N N N x y ，，22111M N M N MN k x x y y k =+-=+-． 两根差公式：如果M N x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2224()44M N M N M N b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）．（二）典例分析：【例1】 ⑴（2009广东11）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． ⑵（2008重庆8）已知双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的一条渐近线为y kx =()>0k ，离心率5e k =，则双曲线方程为（ ）A ．222214x y a a -=B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b -=⑶（2009山东10）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =【例2】 （2008四川延7）若点(20)P ，到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．23【例3】 （2009上海9）已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b =______．【例4】 如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且30BAO ∠=︒，ABF S ∆=1(633)2-，则设双曲线方程是 ．【例5】 （2008福建11）双曲线22221x y a b-=()00a b >>，的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．()13， B ．(]13， C ．()3+∞， D ．[)3+∞，【例6】 （2007海淀期末16）已知圆C 的方程为224x y +=．⑴直线l 过点()12P ，，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程； ⑵过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．【例7】 （2009广东19）OF B Ay xyxO F 2F 1NM已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点()A A A x y ，和()B B B x y ，，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点()P s t ，是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．⑴若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．⑵若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．【例8】 （2008四川21）设椭圆22221x y a b += (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22e =， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅=．⑴若12||||25F M F N ==，求a 、b 的值．⑵证明：当||MN 取最小值时，12F M F N +与12F F 共线．【例9】 ⑴（2009海南宁夏13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(10)F ，，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(22)，，则直线l 的方程为 ．⑵已知椭圆2215x y +=的左焦点为F ，过F 作倾斜角为45︒的直线l 交椭圆于,A B 两点，则FA FB ⋅=______．【例10】 （2009天津9）抛物线22y x =的焦点为F ，过点()30M，的直线与抛物线相交于A B ，两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．45B ．23C ．47D ．12【例11】 （2009宁夏高三模拟）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ） A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =【例12】 已知椭圆的两个焦点分别为12(22,0),(22,0)F F -，离心率223e =． ClO yxFBA⑴求椭圆方程；⑵一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M N 、，且线段MN 中点的纵坐标为12-，求直线l 倾斜角的取值范围．【例13】 （2009江苏22）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点()22A ，，其焦点F 在x 轴上． ⑴求抛物线C 的标准方程；⑵求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；⑶设过点G (1,0)的直线l 交抛物线于,P Q 两点，2GP GQ =， 求直线l 的方程．⑷设过点()0M m ，()0m >的直线交抛物线C 于D E ，两点，2ME DM =，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．【例14】 （2009北京19）已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的离心率为3，且有233a c =，其中c 为半焦距． ⑴求双曲线C 的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【例15】 （2009浙江22）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(4)A m ，到其焦点的距离为174． 11yxOA⑴求p 与m 的值；⑵若0m >，过点A 作直线l 交抛物线C 于点B ，交x 轴于点D ，过点B 作AB 的垂线交C 于另一点E ，问是否存在直线l ，使得DE 是C 的切线．如果存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．⑶设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．习题1. 已知定点(3,0)B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，则点M 的轨迹方程是__________．习题2. 椭圆223721x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是 ．习题3. （2008湖北10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别家庭作业l EDB AO xy表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+； ②1122a c a c -=-； ③1212c a a c >； ④1212c ca a <．其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④习题4. 已知椭圆221126x y +=与点(1,0)A ，直线l ：2y x =+交y 轴于点B ，并交椭圆于,M N 两点，则MA NA ⋅=_______．MB NB ⋅=______．习题5. （2008江西15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．习题6. （2009北京19）已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的离心率为3，且有233a c =，其中c 为半焦距． ⑴求双曲线C 的方程；⑵已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．IIIIIIP F习题1. 如果抛物线22y px =的焦点也是椭圆2214x y a a +=-与双曲线2214x y b b -=-的焦点，则b =_____，p =______．习题2. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点的一条弦AB 的两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则关系式1212y y x x 的值一定等于（ ） A ．4p B ．4p - C ．2pD ．4-习题3. （2009山东文10）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =月测备选。